Diffrazione di raggi X

Diffrazione di raggi X Quando una radiazione X colpisce la faccia di un cristallo con un certo angolo di incidenza θ, essa in parte è diffusa dallo strato di atomi della superficie, in parte penetra verso lo strato sottostante dai cui atomi è nuovamente in parte diffusa. L effetto totale della diffusione da parte di centri cristallini regolarmente spaziati è la diffrazione del fascio luminoso, che si ha se la spaziatura tra i piani atomici è dell ordine di grandezza della radiazione e se i centri diffusori, ovvero gli atomi colpiti, sono distribuiti spazialmente in modo regolare, come nei materiali cristallini 1

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I cristalli proteici normalmente sono non più grandi di 0.3-0.5 mm e il diametro del fascio di radiazioni viene selezionato in modo da eguagliare le dimensioni del cristallo, minimizzando cosi la dispersione di fondo. Il cristallo viene ruotato lentamente in modo da portare tutti i riflessi nelle condizioni di diffrazione. 3

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Il fascio di radiazioni colpisce il cristallo e alcuni dei raggi X incidenti sono diffratti dal cristallo. Buona parte del fascio di raggi X attraversa il cristallo e viene arrestata da una piastra di piombo. I raggi X diffratti sono registrati mediante un rivelatore ad area, imaging plate. Questi rivelatori sono in grado di raccogliere routinariamente serie di dati di diffrazione ai raggi X di alta qualità da cristalli singoli in 1-5 giorni. 6

Le immagini di diffrazione prodotte da questi rivelatori vengono analizzate direttamente dal computer che fornisce una lista delle intensità dei riflessi. In funzione della qualità del cristallo e della grandezza della cella elementare, vengono registrate da diecimila a diverse centinaia di migliaia di riflessi per cristallo 7

I raggi X sono diffusi dagli elettroni Sebbene i raggi X interagiscano solo debolmente con la materia, essi sono occasionalmente assorbiti dagli elettroni, che cominciano ad oscillare. Questi elettroni oscillanti funzionano a loro volta come sorgenti di raggi X che possono inviare fotoni di raggi X in ogni direzione. I fotoni di radiazioni X, diffusi da differenti parti del cristallo devono sommarsi costruttivamente per produrre un intensità misurabile. La condizione sotto cui i raggi diffusi si sommano costruttivamente èdettata dalla legge di Bragg; che tratta i cristalli come famiglie di piani paralleli (piani reticolari). 8

Significato dell'intensità diffratta Se consideriamo un reticolo tridimensionale composto da un solo atomo che si ripete periodicamente, possiamo facilmente intuire che l'intensità diffratta misurata sarà proporzionale alla somma delle intensità diffuse da ciascun atomo per i soli angoli di diffrazione che soddisfano la relazione di Bragg. 9

Legge di Bragg: A C I raggi X sono riflessi da serie di piani paralleli, separati da una distanza d, che formano il cristallo B 10

La diffrazione è osservata soltanto nelle seguenti condizioni: l angolo formato dal raggio incidente con i piani paralleli è identico all angolo del raggio riflesso con gli stessi piani. Quest angolo è indicato con θ. la differenza di cammino per i raggi riflessi dai piani successivi ( cammino ABC in figura) deve essere uguale ad un numero intero di lunghezze d onda (AB+BC=nλ), in modo che i differenti raggi rimangano in concordanza di fase. Quindi le condizioni per cui si ha interferenza costruttiva del raggio per l angolo θ sono: nλ = 2d sen θ legge di Bragg 11

Quando i raggi X diffratti da famiglie di piani reticolari di diverse celle elementari diffondono in concordanza di fase, si ha uno spettro caratteristico di macchie di diffrazione 12

Ciascuna macchia di diffrazione è causata dalla riflessione dei raggi X da parte di una particolare serie di piani nel cristallo. Se il cristallo contiene strati di atomi aventi spaziatura ed orientamento identici in modo da formare una famiglia di piani reticolari, la macchia di diffrazione corrispondente risulterà intensa. La struttura complessa presente nel cristallo è trasformata mediante il processo di diffrazione in una serie di macchie di diffrazione corrispondenti a serie di piani (più precisamente onde sinusoidali di densità). Questa conversione di una funzione complessa in una serie di funzioni più semplici è chiamata trasformata di Fourier. 13

Diffusione di un atomo Il fattore di scattering f dei singoli atomi dipendono dal numero di elettroni di cui l atomo è costituito e dall angolo 2θ tra la radiazione incidente e quella diffratta 14

Il risultato della raccolta dei dati di diffrazione su cristallo singolo è un set di intensità relative, I, per ogni riflessione h,k,l: I h,k,l. Dalla misura delle intensità dei raggi diffratti, non può essere ottenuto direttamente il calcolo della densità elettronica e quindi la determinazione della struttura. Le intensità I h,k,l vanno corrette in genere per alcuni fattori geometrici che riguardano il modo in cui sono stati ottenuti (Fattore di Lorentz, Fattore di polarizzazione) e per l assorbimento se la forma e la grandezza del cristallo non sono appropriate. 15

Il Fattore di Lorentz tiene conto della non perfetta monocromaticità della radiazione incidente, della leggera divergenza tra fascio incidente e diffratto e della conseguente diversa orientazione dei microcristalli nei solidi policristallini e nelle polveri. Sperimentalmente si osserva che in assenza di queste piccole imperfezioni, è estremamente bassa la probabilità di ottenere le figure di diffrazione. 16

Il Fattore di polarizzazione tiene conto dell interazione fra il fascio di fotoni X (l ampiezza di una radiazione, in genere dopo riflessione da parte di un piano cristallografico, è ridotta a causa della polarizzazione, cui la radiazione è soggetta) e gli elettroni del campione. I 0 = I 0,1 +I 0,2 17

Intensità di diffrazione e Fattori di struttura Dalle intensità si ottengono i Fattori di struttura : I F hkl 2 18

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In un cristallo per ogni punto del reticolo reciproco [hkl] avremo i contributi di f 0 dai differenti atomi nella cella cristallografica Il fattore di struttura è il risultato di j onde scatterate nella direzione hkl da j atomi nella cella elementare 21

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The temperature factor The temperature B is caused by both dynamic disorder (temperature-dependent vibration) and static disorder (molecules in different unit cells occupying slightly different positions) B is usually treated as an isotropic term B modify diffraction intensity by: Scattering of a carbon atom B is related to mean square displacement of the atomic vibration by *** B factor affects high resolution limit of crystal diffraction 23

I F hkl 2 F hkl 2 = m j= 1 f 2 i (exp( 2πiφ )exp( 2πiφ )) = m j= 1 f 2 i F hkl = F hkl e iα(hkl) = A(hkl) + ib (hkl) ampiezza fase Ricordando che: A(hkl)= F hkl cos α hkl componente reale B(hkl)= F hkl sen α hkl componente immaginaria 24

Problema della Fase I F hkl 2 F hkl 2 = m j= 1 f 2 i (exp( 2πiφ )exp( 2πiφ )) = m j= 1 f 2 i F hkl B(hkl) F hkl 2 = A 2 hkl + B 2 hkl α A(hkl) Dove α hkl = arcotang Bhkl Ahkl 25

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La densità elettronica è data dalla trasformata di Fourier dei fattori di struttura (F), che sono quantità caratterizzate da un modulo corrispondente alla radice quadrata delle intensità dei raggi diffratti e da una fase (ϕ) di cui i dati sperimentali non forniscono alcuna informazione. Se definiamo il fattore di struttura F h h=(hkl) N Fh = f exp( 2πhr ) = Fh exp( iϕh ) j= 1 j j con indice 27

La densità elettronica ρ(r) per ogni generico punto r della cella unitaria è definita da: ρ ( r ) = V 1 h F h exp( i ϕ h ) exp( 2 π i hr ) 28

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