Insegnamento di Gestione e Organizzazione dei Progetti A.A. 2008/9 Lezione 11: valutazione costi diagramma di PERT Prof.ssa R. Folgieri email: folgieri@dico.unimi.it folgieri@mtcube.com 1 Da ricordare: analisi costi/benefici e break-even point Abbiamo detto che questa stima non è solitamente a carico del PM, ma è bene ricordare che occorre verificare periodicamente anche le stime dei costi a livello glogale, ovvero verificare che i benefici bilancino i costi. Ricordate che in genere si utilizza il break-even point (punto di pareggio) per controllare quantitativamente che il discostamento generale dei costi di progetto non si elevato Si offiene dividendo il costo per i benefici economici, si ottiene il numero di anni in cui il costo sarà ammortizzato. 2 1
Il diagramma di PERT Abbiamo già detto che: PERT sta per Programme Evaluation and Review Technique (Tecnica di Valutazione e Revisione del Programma). Originariamente: task, cerchi o altre figure chiuse.frecce per collegare. un diagramma PERT elenca le fasi necessarie per portare a completamento il progetto e indica il tempo necessario per completare ciascuna fase. indica la rete di relazioni che intercorrono tra le varie fasi, ponendole nel giusto ordine sequenziale. le attività che si svolgono in parallelo sono segnate su cammini diversi. 3 Il PERT (1958) in dettaglio E una tecnica reticolare. Nel tempo è stato sostituito, nel gergo comune, dall approccio al punto critico e cioè dal cammino critico e dalla critical chain, ma il PERT prevede proprio l identificazione di un cammino critico e la tecnica si usa ancora come strumento di valutazione E utile per ottimizzare tempi e risorse Il formalismo del PERT prevede i seguenti elementi e regole: Gli archi orientati rappresentano attività, ognuna delle quali ha una durata specifica. Le attività non possono essere interrotte una volta avviate. I nodi sono eventi o milestone temporali Gli archi che partono da un nodo non possono cominciare fino a che tutte le attività (archi) entranti non sono state completate. C è un singolo nodo di partenza che ha un solo arco in uscita ed un singolo arco finale che ha un sono arco in entrata Non ci sono riferimenti circolari. 4 2
Il PERT (1958) in dettaglio Ricordiamo che l identificazione del percorso critico risponde alla domanda: quali sono le attività che devono essere completate perché il progetto finisca nel più breve tempo possibile? (il percorso critico risponde anche alla domanda quanto è il minor tempo di completamento del progetto? ) Per costruire il diagramma di PERT si comincia con il compilare una tabella in cui si riportano le attività, quelle che precedono ognuna, e la durata delle stesse. Facciamo un esempio, che solitamente si usa per introdurre l argomento utilizzando delle generiche attività A, B, C, ecc (negli esercizi reali, useremo i nomi delle attività, come li riportiamo nel GANTT) 5 Costruzione del grafo Ora si può passare a costruire il grafo delle attività 6 3
Attività dummy Se fosse necessario per evitare di esprimere legami che in realtà non esistono, si possono introdurre attività fittizie (dummy activity), rappresentate con archi orientati tratteggiati, che hanno durata nulla ma servono solo per risolvere punti singolari. Allo stesso modo possono essere introdotti anche nodi in cui confluiscono solo dummy activity. Un esempio:» Sbagliato perché l attività D dipenderebbe anche dall attività B:» Giusto: A e B confluiscono in nodi diversi collegati da un attività dummy e dunque l attività D è svilncolata dall attività B 7 PERT/CPM Una volta costruito il grafo, si passa a calcolare il tempo previsto per il completamento di tutte le attività (cioè del progetto) Occorre dunque stabilire quale sia il percorso critico, ovvero, come abbiamo già visto, identificare le attività che condizionano direttamente la durata del progetto (allungare i tempi di una di queste attività comporta l allungamento di tutte le attività di progetto). In modo corretto PERT e Critical Path sono dunque sinonimi, visto che il PERT descrive numericamente il CPM (Critical Path Method) anche se quest ultimo è stato sviluppato più o meno nello stesso periodo da ricercatori diversi. Per determinare quale le attività del percorso critico e calcolare il tempo complessivo di progetto, un criterio consiste nel considerare tutti i percorsi che portano dall evento di inizio all evento di fine del progetto e sommare i tempi delle attività pertinenti. Il percorso critico è naturalmente quello con il tempo più elevato e le attività critiche sono quelle che appartengono a tale percorso. 8 4
PERT/CPM nel nostro esempio (1) 1) a + c + f + g = 17 gg. 2) b + d + f + g = 21 gg. 3) b + e + g = 17 gg. Il percorso critico è quello determinato dalla sequenza delle attività b, d, f, g. La durata complessiva degli altri percorsi può aumentare in entrambi i casi di 4 giorni senza determinare un allungamento del progetto (l istante d inizio delle attività che li compongono può essere ritardato fino a un massimo di 4 giorni). Osserviamo però dalle composizioni dei percorsi, che le operazioni che possono ritardare l inizio o durare di più sono solo la a e la c sul percorso 1) e la e sul percorso 3) Infatti le attività b, f e g fanno anche parte del percorso critico e, come già detto, un loro allungamento o ritardo comporta uno slittamento della data di completamento di tutto il progetto. Slack: termine tecnico che indica di quanto può ritardare l inizio di un attività (l attività e ha uno slack di 4). 9 PERT/CPM nel nostro esempio (2) Per determinare il percorso critico in modo corretto occorre stabilire l istante più anticipato e l istante più ritardato di accadimento degli eventi (nodi). Per calcolare gli istanti di accadimento più anticipati occorre procedere dall inizio del progetto verso il suo completamento applicando la relazione: x è l evento per il quale si sta calcolando l istante di accadimento più anticipato; T min,h sono gli istanti di accadimento più anticipati degli eventi dai quali hanno origine le h attività confluenti nel nodo x; D h sono le durate delle h attività confluenti in x. Quindi per il nostro esempio, abbiamo: T min,0 = 0 T min,1 = 5 T min,2 = T min,3 = max {5+3, +2} = 12 T min,4 = max {12+6, +4} = 18 T min,5 = 21 5
PERT/CPM nel nostro esempio (3) Per calcolare gli istanti di accadimento più ritardati occorre invece procedere dall evento di conclusione del progetto verso il suo inizio, applicando la relazione: x è l evento per il quale si sta calcolando l istante di accadimento più ritardato; T max,h sono gli istanti di accadimento più ritardati degli eventi dai quali hanno origine le h attività confluenti nel nodo x; D h sono le durate delle h attività confluenti in x. per il nostro esempio, si ha: T max,5 = 21 T max,4 = 18 T max,3 = 12 T max,2 = min {18-4, 12-2} = 12 T max,1 = 9 T max,0 = min { -, 9-5} = 0 11 PERT/CPM nel nostro esempio (4) Riportiamo ora in corrispondenza dei nodi del grafo sia i tempi più anticipati sia quelli più ritardati 0 0 9 5 Il percorso critico è quello che congiunge tutti i nodi in cui non esiste differenza tra istanti più anticipati e più ritardati di accadimento dell evento. Notate che il percorso corrisponde a quello determinato seguendo anche l altra modalità. 12 12 18 18 21 21 12 6
Osservazioni 9 12 Abbiamo detto che, se esiste una differenza tra istanti più anticipati e più 0 5 12 ritardati di accadimento dell evento, è possibile ritardare l inizio delle attività 0 18 21 (slack) che concorrono (a) o partono (c) dal 18 nodo fino a un valore massimo corrispondente a tale differenza (es.: al nodo 1 21 per un tempo complessivo massimo di 4 giorni). Le due attività a e c hanno uno slack concatenato massimo di 4 giorni Inoltre l attività e, che congiunge due nodi che appartengono al percorso critico, non fa parte del percorso critico perché, nel caso specifico, il ramo del grafo costituito dalle attività d + f, parallelo allo svolgimento di e richiede un tempo superiore. Anche l attività e ha pertanto uno slack libero, in questo caso, pari alla differenza tra le durate delle attività sul ramo parallelo e dell attività stessa (2+6 4 = 4 gg.). Notiamo inoltre che slittamenti superiori a quelli ammissibili trasformano in critici percorsi che non erano tali e che lo slittamento può essere inteso anche come allungamento tollerato della durata delle attività, magari con un impiego diverso delle risorse disponibili. 13 Controllo: i tempi attesi (1) Una delle criticità maggiori nel project management è rappresentata dall attendibilità delle stime effettuate per le durate attribuite alle varie attività. Nella maggioranza dei casi tali tempi non sono assolutamente deterministici e la differenza tra durate massima e minima prevedibili può essere spesso molto significativa. Quindi, per poter stimare i tempi di completamento di un progetto, occorre valutare i tempi attesi di svolgimento delle singole attività per poter anche stabilire quanto sia effettivamente affidabile il tempo calcolato per la durata del progetto. Un criterio semplice ed empirico per stimare i tempi attesi per le attività si basa sull ipotesi che la distribuzione dei tempi probabili sia simile a quella normale; il tempo atteso TA per lo svolgimento di un attività è quindi stimato secondo la formula: TA = (T min + 4T mod + T max )/6 in cui: T min = tempo minimo stimato per il suo svolgimento T mod = tempo modale stimato per il suo svolgimento T max = tempo massimo stimato per il suo svolgimento In modo analogo la varianza σ 2 del tempo atteso è stimata: σ 2 = [(Tmax - Tmin)/6]2 14 7
Controllo: i tempi attesi (2) Costruiamo una nuova tabella: Per come è stato concepito l esempio, il percorso critico e il tempo di completamento del progetto restano gli stessi anche determinandoli attraverso i tempi attesi. Se le distribuzioni dei tempi probabili non fossero normali ma sbilanciate in un senso o nell altro, il percorso critico, così come la sua durata, potrebbero cambiare. In ogni caso, una volta note le varianze dei tempi delle attività, potremmo valutare l attendibilità del tempo atteso di completamento del progetto, e cioé la probabilità di completarlo entro una data assegnata. In pratica questo fornisce un utile indicazione se si dovessero assumere impegni per la data di completamento di un progetto. 15 Come valutare l incertezza Se i tempi di svolgimento delle varie attività sono statisticamente indipendenti, la varianza di un insieme di attività è pari alla somma delle varianze delle singole attività. Per questo motivo, se si volesse calcolare la probabilità di completare il progetto entro un certo periodo, considerando le distribuzioni delle probabilità dei diversi tempi vicine alla normale, occorre determinare il fattore moltiplicativo Z della deviazione standard σ che delimita il campo delle occorrenze (probabilità di rispetto dell ipotesi). Tornando all esempio, supponiamo di avere una scadenza prefissata: vogliamo calcolare qual è la probabilità che il progetto si completi nel tempo massimo di 22 giorni tenuto conto che il tempo atteso di completamento del percorso critico è di 21 giorni. Per calcolare il fattore moltiplicativo Z della deviazione standard si applica la relazione: Z = (TM TPC)/(Σ σ 2 PC )1/2 in cui: TM = tempo massimo = 22 gg TPC = tempo atteso del percorso critico = 21 gg Σσ 2 PC = sommatoria delle varianze dei tempi attesi estesa a tutte le attività (b, d, f, g) del percorso critico Si ottiene Z = (22 21)/(0,67)1/2 = 1,22 Dalla tabella della probabilità cumulata per una distribuzione normale delle probabilità si legge in corrispondenza di 1,22 il valore 0,8888: il progetto ha una probabilità del 88,88% di essere completato entro 22 giorni. 16 8
Invertire il problema Possiamo anche affrontare il problema in modo inverso, ovvero chiederci: entro quale tempo massimo si può completare lo stesso progetto con una probabilità del 98%? In questo caso l incognita diventa TM, che si ricava dall espressione precedente ( Z = (TM TPC)/(Σ σ 2 PC )1/2 ) in questo modo: TM = Z (Σ σ 2 PC )1/2 + TPC Dalla tabella della probabilità cumulata per una distribuzione normale delle probabilità si legge in corrispondenza di 0,98 il valore Z di 2,055. Quindi, ponendo: TM = 2,055 (0,67) 1/2 + 21 = 22,69 gg. Per avere la probabilità del 98% di completare il progetto senza oltrepassare il termine si deve ipotizzare un tempo di 22,69 giorni. 17 I percorsi non critici (1) Con i dati a disposizione possiamo anche valutare con quale probabilità un percorso non critico consenta il completamento del progetto entro il tempo obiettivo. Seguiremo la stessa procedura cambiando opportunamente i dati. Tornando al nostro esempio, si vuole valutare qual è la probabilità che il percorso non critico b + e + g (tempo atteso 17 gg.) consenta di completare il progetto nel tempo massimo di 22 gg. Si calcola la nuova Z data da: Z = (TM TPNC)/(Σ σ 2 PNC )1/2 in cui: TM = tempo massimo = 22 gg TPNC = tempo atteso del percorso non critico = 17 gg Σσ 2 PNC = sommatoria delle varianze dei tempi attesi estesa a tutte le attività (b, e, g) del percorso non critico Si ottiene: Z = (22 17)/(1,44) 1/2 = 4,15 Un fattore moltiplicativo di σ superiore a 4 copre praticamente la totalità delle occorrenze. Il progetto quindi non potrà ritardare a causa del percorso b + e + g perché il percorso b + e + g ha una probabilità del 0% di essere completato in 22 giorni. 18 9
I percorsi non critici (2) Si può anche calcolare qual è la probabilità che il percorso non critico divenga tale attraverso l espressione Z = (TPC TPNC)/(Σ σ 2 PNC )1/2 in cui: TPC = tempo atteso del percorso critico = 21 gg TPNC = tempo atteso del percorso non critico = 17 gg Σσ 2 PNC = sommatoria delle varianze dei tempi attesi estesa a tutte le attività (b, e, g) del percorso non critico Si ottiene: Z = (21 17)/(1,44) 1/2 = 3,33, valore cui è associata una probabilità del 99,96% di completare il progetto entro 21 giorni. La probabilità di completare il progetto in 21 giorni secondo il percorso critico è del 50%., dato che i tempi di svolgimento delle varie attività sono in linea di massima quelli più probabili, Per valutare l effettiva probabilità del completamento del progetto in 21 giorni, occorre considerare anche le probabilità di completamento del progetto negli stessi 21 giorni in funzione degli altri percorsi possibili. Se tali percorsi fossero tra loro indipendenti, la probabilità effettiva del completamento del progetto è data dal prodotto delle probabilità attribuibili a ciascun percorso. Nel nostro caso i due percorsi non sono indipendenti (le attività b e g compaiono in entrambi); quindi la probabilità effettiva di completamento in 21 giorni è sicuramente inferiore al 50%, ma sarà anche superiore al prodotto delle due probabilità. 19 Entrambi! GANTT o PERT? il PERT/CPM visualizza meglio i collegamenti tra le varie attività e consente di valutare più facilmente i percorsi critici. il Gantt offre un idea più chiara sull andamento del progetto e permette di controllare meglio i budget di risorse e conseguentemente di costi. è difficile rappresentare percorsi alternativi sia con il PERT/CPM che con il Gantt. Per questo motivi sono stati proposti anche altri strumenti che tuttavia non sono di uso così semplice e, quindi, non sono molto diffusi. 20