Università degli Studi di Siena Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria delle Telecomunicazioni Indirizzo Sistemi per il telerilevamento Allocazione distribuita delle risorse radio nel LTE-A uplink, in presenza di comunicazioni Device-to-Device. Riassunto tesi in italiano Relatore Chiar.mo Prof. Andrea Abrardo Tesi di laurea di Demia Della Penda Anno Accademico 2010/2011
1 Introduzione L enorme crescita di utenti cellulari, unita alle richieste sempre più esigenti in termini di prestazioni sia per il traffico vocale ma anche, e soprattutto, per il traffico dati, ha portato allo sviluppo di nuovi standard nelle reti radiomobili che mirano ad aumentare la velocità di trasmissione dati, l efficienza spettrale e la capacità dei sistemi. 3GPP Long Term Evolution (LTE) e la sua evoluzione in LTE-Advanced (LTE-A), rispondono a tali esigenze, rappresentando un passo importante verso le cosiddette tecnologie di quarta generazione (4G). Un elemento chiave nella struttura dei nuovi standard è rappresentato dallo scheduler, responsabile dell assegnazione delle risorse radio agli utenti, sia per la trasmissione in uplink sia per quella in downlink, che cerca di servire il maggior numero di utenti possibile soddisfacendone la QoS 1 richiesta. La strategia di scheduling non è fissata dallo standard 3GPP, ma viene lasciata ai costruttori ed ha un impatto cruciale sulle prestazioni dell intero sistema. Nello standard LTE le risorse vengono allocate dinamicamente agli utenti cellulari UE 2 ogni TTI 3 (corrispondente ad 1ms), scegliendo in base alla loro condizione di canale che include anche la conoscenza dell interferenza dovuta alle celle vicine. Lo scheduling in LTE risulta essere un problema di ottimizzazione molto complesso, la cui soluzione ottima è, in generale, difficile da raggiungere considerando la sua successiva applicazione in sistemi reali che prevedono vincoli stringenti come, ad esempio, la richiesta di ridotti tempi computazionali. Per tale motivo, numerosi sforzi si stanno dirigendo verso la ricerca di algoritmi euristici che permettano di ottenere buone prestazioni, sebbene con soluzioni subottime del problema di allocazione, ma che, allo stesso tempo, ne rendano possibile l utilizzo nella pratica. Il lavoro di questa tesi è incentrato, appunto, sulla ricerca e sul successivo 1 Quality of Service 2 User Equipment 3 Transmission Time Interval 1
sviluppo di un nuovo algoritmo euristico distribuito per lo scheduling in uplink di un sistema LTE-A in cui, oltre alle tradizionali comunicazioni in uplink tra gli utenti mobili e la Base Station (enodeb), sono presenti anche comunicazioni dirette tra alcuni utenti, definite comunicazioni di tipo Device-to-Device (D2D). Le comunicazioni di tipo D2D rappresentano una nuova componente tecnologica introdotta solo di recente nell LTE-Advanced capace di apportare molteplici vantaggi al sistema come la riduzione del consumo della batteria degli utenti, maggiore bit-rate, minore ritardo, offloading del sistema, etc. Alcuni esempi di applicazioni di tale tecnologia possono essere lo streaming di video, giochi online, il download di media, e le comunicazioni di tipo Vehicle-to-Vehicle. L algoritmo proposto mira a garantire una corretta distribuzione delle risorse radio (sottocanali in cui è suddivisa banda del sistema) massimizzando il rate totale offerto dalla rete. Viene sempre assicurata l ortogonalità in frequenza tra gli utenti UEs, come previsto dallo stesso standard LTE-A, mentre alle coppie d2d è consentito il riuso delle risorse, ma in maniera controllata al fine di ridurre l interferenza intra-cella che esse determinano. Motivati dai risultati positivi ottenuti negli ultimi anni nello sviluppo di procedure di scheduling basate sull approccio del Message Passing (MP), questa tesi si è posta come obiettivo la valutazione della loro possibile estensione ad un più complesso scenario multicella in cui sono presenti anche collegamenti d2d. In questo tipo di rete eterogenea, infatti, è necessario tenere in considerazione non solo l interferenza intercella, ma anche la più svantaggiosa interferenza intracella dovuta alla presenza di comunicazioni d2d che riutilizzano risorse degli utenti UE. L algoritmo proposto è stato implementato in ambiente MATLAB, col supporto del tool RUNE (RUdimentary Network Emulator) che permette di simulare un sistema cellulare realistico. 2
2 Cenni sulla tecnologia LTE e sulla la sua evoluzione verso l LTE-A Il Long Term Evolution, come definito nel 3rd Generation Partnershio Project (3GPP), è un interfaccia radio il cui sviluppo è iniziato alla fine del 2009. Nasce come una nuova generazione per i sistemi di accesso mobile a larga banda e si colloca in una posizione intermedia fra gli attuali standard di terza generazione (3G) come l UMTS e quelli di quarta generazione (4G) come l LTE-A, ancora in fase di sviluppo. L LTE sfrutta l esperienza e gli investimenti effettuati per le precedenti reti 3G ed anticipa i tempi rispetto alla disponibilità degli standard 4G, il cui obiettivo è quello di raggiungere velocità di connessione wireless anche superiori ad 1Gbps. I requisiti principali previsti dall LTE Release8 sono riassumibili in: velocità di trasferimento dati in download fino a 100 Mbps; velocità di traferimento dati in upload fino a 50 Mbps; efficienza spettrale (numero di bit/s trasmessi per ogni Hz impiegato) 3 volte superiore alla più evoluta versione dell UMTS, ovvero l HSPA; basse latenze(inferiori ai 100 ms per il passaggio dallo stato idle allo stato active, ed inferiori ai 5 ms per piccoli pacchetti IP); architettura di rete semplificata; maggiore flessibilità nell uso dello spettro, sia in nuove bande sia in quelle preesistenti; supporto ottimale della mobilità, anche tra diverse tecnologie; ridotto consumo di potenza per i terminali mobili. 2.1 Tecnologie LTE Le principali tecnologie utilizzate in LTE Release8 sono: 3
utilizzo della modulazione OFDM per il downlink e Single-Carrier FD- MA per l uplink; supporto di trasmissioni secondo la tecnica MIMO; supporto di tecniche di duplexing FDD e TDD, per separare il traffico uplink (UL) da quello downlink (DL); flessibilità spettrale che prevede l utilizzo di un minimo di 1.25 MHz ed un massimo di 20 MHz di banda per ciascun canale (1.25, 1.6, 2.5, 5, 10, 15, 20); supporto di schemi di modulazione QPSK, 16 QAM e 64 QAM sia in UL che in DL; Le risorse radio in LTE sono caratterizzate da tre dimensioni: tempo, frequenza e spazio, dove la dimensione spaziale è legata alla trasmissione multi antenna (tecnologia MIMO). Le risorse tempo-frequenza sono suddivise secondo la seguente struttura: la più grande unità temporale è il frame che dura 10 ms, questo è diviso in 10 subframe di 1ms ciascuno. A loro volta, ciascun subframe è composto da due slot di 0.5 ms e ogni slot comprende sette simboli OFDMA nel caso di prefisso ciclico normale. Nel dominio della frequenza, invece, le risorse sono raggruppate in unità di 12 sottoportanti, per un totale di 180 khz. Una unità di 12 sottoportanti per una durata temporale di uno slot è chiamata Resource Block (RB). Il più piccolo elemento di una risorsa è detto Resource Element (RE) e consiste in una sottoportante per una durata di un simbolo OFDMA. Figura 1 mostra la struttura base di una risorsa radio LTE. 2.2 Architettura LTE L LTE è caratterizzato dall evoluzione della parte radio, radio access network, attraverso l E-UTRAN 4, e l evoluzione della parte non radio che va sotto 4 Evolved-Universal Terrestrial Radio Access 4
Figura 1: Basic time-frequency resource structure of LTE. il termine SAE 5 che include anche l EPC 6. LTE-RAN e SAE costituiscono insieme l Evolved Packet System (EPS), come mostrato in figura 9. Uno degli obiettivi dell LTE consiste nel minimizzare il numero di nodi nella rete, per tale motivo lo sviluppo dell E-UTRAN si sviluppa essenzialmente in un nodo: l Evolved enodeb(enodeb) che include tutte le funzionalità relative all accesso radio, compresa la gestione delle risorse. L intera struttura dell E-UTRAN, quindi, può essere interpretata semplicemente come un insieme di enodeb connessi tra di loro tramite l interfaccia X2 e connessi all EPC per mezzo dell interfaccia S1. I principali nodi logici dell EPC, invece, sono: L MME (Mobility Management Entity) Il PDN Gateway (Packet Data Network) Il S-GW (Serving Gateway) 5 System Architecture Evolution 6 Evolved Packet Core 5
Figura 2: The EPS network elements. Figura 3 mostra la strutture complessiva di una rete LTE. Figura 3: LTE Release 8 architecture. 2.3 Interfaccia radio LTE Per fornire una connessione IP tra l user UE e il PDN, l EPS usa il concetto di EPS-bearers: un flusso di pacchetti IP caratterizzati da una specifica QoS. L interfaccia radio è responsabile di tutto il controllo degli UEs e dell instaurazione delle Radio-bearer, che rappresentano il mezzo di trasferimento delle 6
EPS-bearers. Tutti i protocolli presenti tra l enodeb e l UE vengono definiti come Access Stratum (AS) protocols e sono suddivisi in protocolli di control plane e di data plane, come mostrato in figura 4. Packet Data Convergence Protocol (PDCP) Radio-Link Control (RLC) Medium-Access Control (MAC) Physical Layer (PHY) Figura 4: Overall RAN protocol architecture. 2.4 Canali di comunicazione Il livello MAC offre servizi al RLC sotto forma di canali logici, un canale logico si caratterizza in funzione dell informazione che porta, e generalmente si classifica in canale di controllo, usato per trasmettere informazione di controllo e configurazione necessaria per l operatività del sistema LTE, canale di traffico, usato per i dati utente 7
e usa i servizi del livello fisico attraverso i canali di trasporto. Un canale di trasporto si caratterizza per come e con quali caratteristiche l informazione è trasmessa all interfaccia radio. I dati nel canale di trasporto sono organizzati in Transport Block. Un canale fisico, invece, corrisponde all insieme di risorse tempo-frequenza impiegate per la trasmissione di uno specifico canale di trasporto. Come si evince dalle figure 5 e 6, alcuni canali fisici non hanno un corrispondente canale di trasporto, questi canali, conosciuti come L1/L2 Control Channels, vengono impiegati per la trasmissione di informazioni necessarie per il corretto funzionamento del sistema, come downlink scheduling assignments, l uplink scheduling grant. Figure 5 e 6 mostrano il channel mapping fra i canali di diverso livello, per il Downlink e per l Uplink rispettivamente. Figura 5: Downlink channel mapping. Oltre ai canali fisici, LTE downlink e uplink sono anche composti di segnali fisici che non trasportano informazione ai livelli più alti della struttura, ma sono usati per la ricerca della cella a cui associare un nuovo utente e per la stima dei guadagni dei canali. I principali segnali fisici sono il Reference Signal (RS) e il Primary and Secondary Synchronization Signals (PPS, SSS). 8
Figura 6: Uplink channel mapping. 2.5 Verso L LTE-A La prima versione dello standard LTE, LTE Release8, è stata completata durante la primavera del 2008 e la sua commercializzazione è iniziata verso la fine del 2009 nei paesi scandinavi. Ad essa si sono susseguite altre versioni, con l introduzione di nuove tecnologie, come illustrato in figura 7. Figura 7: LTE and its evolution. I principali miglioramenti visti nella seconda versione del LTE, Release9, completata alla fine del 2009, sono stati il supporto per la trasmissione multicast ed i servizi di positioning. 9
LTE Release10, invece, è stata completata alla fine del 2010 mira a migliorare ulteriormente le prestazioni del sistema attraverso: Carrier Aggregation. nuove estensioni della trasmissione multi-antenna supporto per il relaying con lo scopo di migliorare la copertura della cella. sviluppo di reti eterogenee. Device-to-Device Communication, cioè permettere a due terminali mobili di comunicare direttamente senza passare attraverso la stazione radiobase (Fig.8). Questa nuova tecnologia permetterà di aumentare la capacità della rete cellulare, di aumentare il rate degli utenti e di estendere la durata della batteria dei terminali. Figura 8: D2D communication. 3 Allocazione risorse in Uplink mediate l approccio del Message Passing In questa sezione descriviamo un nuovo algoritmo di allocazione risorse (RA), basato sull approccio del Message Passing, e la sua potenziale applicazione nello scheduling in uplink di uno scenario multicellulare in cui sono presenti anche comunicazioni del tipo Device-to-Device. 10
Formulazione del problema Consideriamo un sistema cellulare costituito da K celle. In ogni cella la banda complessiva è divisa in F sottocanali (risorse), di cui è previsto il riuso sia tra gli utenti che si trovano in celle diverse, con conseguente interferenza intercella, sia tra gli utenti cellulari (UE) ed i dei trasmettitori-d2d che si trovano all interno della stessa cella. In ciascuna cella q K, la Base Station (enodeb) controlla un numero fisso L(q) di trasmettitori, che include N(q) utenti cellulari (UEs) e T (q) trasmettitori-d2d (d2d Txs). UEs e d2d Txs sono indicizzati rispettivamente con i = 1,..., N(q) e d t = 1,..., T (q), mentre le risorse con j = 1,..., F. Inoltre, il trasmettitore-d2d d t è connesso al ricevitore d r e tutti i ricevitori- D2D nella cella q sono indicizzati con d r = 1,..., T (q). L assegnazione viene effettuata con l obiettivo di massimizzare il bit rate complessivo del sistema, soddisfacendo due vincoli: assicurare un numero fisso di risorse a ciascun utente e mantenere l ortogonalità in frequenza tra gli utenti UE, cioè tutti gli UEs appartenenti ala stessa cella devono trasmettere su risorse diverse per evitare l interferenza intracella, che però persiste a causa della presenza degli utenti D2D. Consideriamo la capacità di Shannon come misura del rate raggiungibile e indichiamo con [h]r (k) i,j = log 2(1 + P (k) i,j G(k) i,j I (k) i,j + N ); (1) 0 il guadagno che l utente i, nella cella k, ottiene trasmettendo sulla risorsa j con potenza P i,j e avente guadagno di canale pari a G i,j. Omettendo l indice q relativo alla cella, il problema di allocazione delle 11
risorse affrontato in questa tesi può essere formulato come segue maximize subject to N i=1 j=1 F R i,j x i,j + T F d t=1 j=1 R dt,jx dt,j F x i,j = r i N (C1) j=1 F x dt,j = r d t T (C2) j=1 N x i,j 1 j F (C3) i=1 x l,j {0, 1} l L, j F (C4) (2) Si assume che tutti gli utenti trasmettano a potenza fissa, a prescindere dalla risorsa assegnata. Approccio MP Problema (2) può essere risolto in maniera distribuita richiamando una procedura di MP in cui gli utenti UE e le risorse rappresentano i nodi di un grafo bipartito che si scambiano dei messaggi in maniera iterativa, ciascuno rappresentante la soluzione di un problema locale, fino al raggiungimento di una soluzione stabile. Ad ogni iterazione di questo procedimento, al massimo un messaggio attraversa ciascun arco in ciascuna direzione, sostituendo quello inviato al passo precedente. Facendo riferimento al Reweighed MP proposto in [1], ad ogni iterazione t, il messaggio µ n,f inviato dall utente n alla BS, relativo alla risorsa f è rappresentato dalla quantità scalare µ (t+1) n,f ( = R n,f ρ ( ) R n,j + µ (t) j,n )rth\f (1 ρ) R n,f + µ (t) f,n dove {...} r th \f rappresenta l r-simo elemento dell insieme ordinato, senza considerare il termine ( R n,f + µ f,n ), e r è il numero di risorse da assegnare all utente n. Il messaggio µ f,n inviato invece dalla Base Station all utente n, relativo alla (3) 12
risorsa f è definito come: µ (t+1) f,n = ρ min i,i n µ i,f (t+1) (1 ρ)µ n,f (t+1) Quindi, la soluzione ˆx n,f all iterazione (t + 1) può essere ottenuta calcolando il marginale come segue: e τ (t+1) n,f ˆx (t+1) n,f = = µ (t+1) n,f (4) + µ (t+1) f,n (5) 1 if τ (t+1) n,f < 0 0 otherwise In [2] è stato dimostrato che questo problema converge alla soluzione ottima in scenari singola cella e senza la presenza di utenti di tipo d2d che riutilizzano le risorse. Pertanto, nel nostro caso, è stato necessario apportare delle modifiche al fine di ottenere una soluzione stabile nonostante la presenza dell interferenza intercella e oscillazioni nel ReMP. (6) intracella (Figura 9) che causerebbero forti Figura 9: Esempio di interferenza intercella e intracella nell LTE uplink di un sistema con comunicazioni d2d. Le frecce rosse rappresentano le trasmissioni che utilizzano la stessa risorsa, le frecce nere e verdi tratteggiate, invece, rappresentano rispettivamente l interferenza intercella e intracella. L algoritmo proposto, denominato X-ReMP, prevede che ad ogni iterazione, in ciascuna cella, venga applicata la procedura classica del ReMP 13
solo tra gli utenti UE, mentre gli utenti d2d trasmettono sulle rrisorse che corrispondono al maggiore guadagno in termini di rate. Dopo ciascuna allocazione, la funzione utilità associata a ciascun utente viene aggiornata tenendo in considerazione non solo il rate ottenuto trasmettendo su una determinata risorsa, ma anche l effetto che l uso di quella risorsa ha prodotto sia negli altri utenti del sistema. Questo effetto viene rappresentato dalla variazione di rate subita da ciascun utente a causa dell interferenza prodotta dall allocazione corrente delle risorse. Nello specifico, ad ogni iterazione t i ricevitori (enodeb e d2d Rx) stimano la variazione di rate percepita dai corrispondenti trasmettitori e inviano tale valore in broadcast. Quindi, l enodeb nella cella q calcola R (q,t) i,j I (q,t) i,j = log(2)(i (q,t) i,j mentre ogni d2d Rx d r calcola R (dr,t) d t,j I (dr,t) d t,j = log(2)(i (dr,t) d t,j + N 0 ) 2 (P (q) P (q) i,j G(q,t) i,j i,j G(q,t) i,j /(I (q,t) i,j + N 0 ) 2 (P (dr) P (dr) d t,j G(dr,t) d t,j d t,j G(dr,t) d t,j /(I (dr,t) d t,j i N(q), j + N 0 ) + 1) (7) + N 0 ) + 1) d r T (q), j che rappresentano la sensibilità del rate alle variazioni di interferenza. Questo valore negativo rappresenta il costo che una certa scelta di allocazione delle risorse comporta e viene calcolato per tutti i trasmettitori, non solo rispetto alle risorse che stanno utilizzando, ma, in maniera opportunamente pesata, anche rispetto alle risorse che seppur non utilizzate all iterazione in esame, potrebbero esserlo a quella successiva. In tal modo l algoritmo potrà basare la decisione al passo seguente sulla base della conoscenza dell effetto complessivo che l allocazione precedente ha sull intero sistema. D altro canto, ogni utente UE i N(k) calcola l interferenza che, trasmettendo su una certa risorsa j, provoca nelle Base Station delle altre celle e nei d2d Rx di tutto il sistema: I (q,t) i,j I (dr,t) i,j (8) = P (k) i,j G(q,t) i,j j, q k (9) = P (k) i,j G(dr,t) i,j j, d r (10) 14
e lo stesso vale per i d2d Tx I (δr,t) d t,j I (q,t) d t,j = P (dr) d t,j G(δr,t) d t,j j, δ r d r (11) = P (dr) d t,j G(q,t) d t,j j, q (12) Quando gli utenti conoscono le quantità (7)- (12), sono in grado di aggiornare le proprie utilità come segue E (k,t+1) i,j = R (k,t) i,j + q K q k n N(q) R (q,t) n,j I (q,t) n,j I (q,t) i,j + q K d t T (q) R (dr,t) d t,j I (dr,t) I (dr,t) i,j (13) d t,j e la nuova utilità del trasmettitore-d2d d t T (k) sulla risorsa j è: E (dr,t+1) d t,j = R (dr,t) d t,j + q K n N(q) R (q,t) n,j I (q,t) I (q,t) d + t,j n,j q K δ t T (q) δ t d t R (δr,t) δ t,j I (δr,t) I (δr,t) d t,j (14) δ t,j in cui le variazioni di rate causate dall incremento dell interferenza I possono essere considerate una valida approssimazione quando l interferenza globale è molto maggiore rispetto al contributo di interferenza del singolo utente, assunzione valida nel caso in esame. 4 Risultati e conclusioni L algoritmo è stato implementato e testato in MATLAB, con l ausilio di RUNE (RUdimentary Network Emulator). I passaggi principali dell algoritmo implementato sono riportati in Algorithm 1. Lo scenario simulato è formato da 7 celle, ciascuna con una Base Station al centro e con un numero fisso di utenti UE e coppie d2d. Le simulazioni sono state effettuate considerando diversi snapshots della rete, casuali e indipendenti, che permettevano di assumere tutte le condizioni di propagazione (slow e fast fading) fisse durante le simulazioni. Un esempio dello scenario multicellulare simulato per la maggior parte delle simulazioni effettuate e mostrato in Figura 11. Oltre alla convergenza dell algoritmo proposto, che viene raggiunta sia nel caso singola cella (differentemente dal ReMP) sia in quello multi cella 15
Figura 10: X-ReMP con controllo dell interferenza intercella attraverso l interfaccia X2. (Figura 13-12), abbiamo analizzato anche il guadagno che si può ottenere (in termini di rate totale) permettendo ad alcuni utenti di condividere lo spettro disponibile, per comunicare tra loro in maniera diretta, come nel caso delle comunicazioni D2D (Figura 14). Inoltre abbiamo analizzato le prestazioni dell algoritmo proposto effettuando dei confronti con un altro algoritmo distribuito (ReMP) che non prevede lo scambio di informazioni relative all effetto dell interferenza nel sistema. Limitandoci al caso singola cella abbiamo potuto confrontare i risultati prendendo come base di riferimento anche un algoritmo di allocazione ottimo implementato con l assistenza di IBM ILOG CPLEX Optimizer. Figure 15 e 16 mostrano i risultati delle simulazioni, rispettivamente per il caso singola cella e multicella, al variare del peso w con cui si considera l effetto che ciascuna allocazione ha anche negli utenti che non stanno utilizzando una specifica risorsa, ma che potrebbero farlo all iterazione successiva. Il valore di questo peso deve essere scelto in modo tale da avere sempre un 16
Algorithm 1 X-ReMP iterative procedure for a given cell q 1: Initialize: set Cost n,f ( R n,f ), µ n,f 0, µ f,n 0 n N(q), f F 2: repeat 3: Each user UE n elaborates and sends message µ n,f (3) to the BS for each resource f F 4: The BS elaborates and sends messages µ f,n (4) to each user UE for each resource f F 5: Each user UE computes marginals τ n,f (5) for each f F and derives the corresponding allocation x n,f (6) 6: Each d2d Tx transmits on those resources corresponding to his r best utilities 7: New users utilities E are evaluated according to Equations (13)-(14) 8: Cost n,f ( E n,f ), R dt,f (E dt,f ), n N(q), d t T (q), f F 9: until Convergence Figura 11: Un esempio dello scenario simulato: 7 celle, 6 UEs e 2 coppie d2d per cella. compromesso tra il raggiungimento della convergenza e il raggiungimento di una soluzione che dia buone prestazioni al sistema. Come si evince dai grafici, l algoritmo proposto ottiene, in media, un rate Totale superiore a quello dell ReMP e le prestazioni migliorano ulteriormente all aumentare del numero di utenti nel sistema. È proprio questo il risultato che ci si aspettava dal seguente lavoro, lo sviluppo di un algoritmo capace di fronteggiare il sempre più elevato numero di utenti delle reti cellulari di generazioni future. 17
(a) UE-transmitters (b) D2D-transmitters Figura 12: Non convergenza del rate degli utenti con la versione originale dell algoritmo X-ReMP. 18
(a) UE-transmitters (b) D2D-transmitters Figura 13: Convergenza del rate degli utenti con l algoritmo X-ReMP proposto. 19
Figura 14: Diverso impiego della banda a disposizione. Scenario multicella con 5 UE and 3 coppie d2d. Figura 15: Rate complessivo raggiunto da diversi schemi di allocazione, in uno scenario singola cella con 4 UE e 2 coppie d2d. 20
Figura 16: Rate complessivo raggiunto da diversi schemi di allocazione,in uno scenario multi cella con 6 UE ed un numero variabile di coppie d2d. Riferimenti bibliografici [1] A. Richardson and R. Urbanke. Modern Coding Theory. Cambridge University Press, 2008. [2] M. Belleschi, A. Abrardo, P. Detti, and M. Moretti. A min-sum approach for resource allocation in communication systems. IEEE ICC, 2011. 21