Teoria dei sistemi ) Considera il sistema Esercizi si sistemi non lineari { ẋ = x + x ẋ = x x + g(x ). a- Verifica che il sistema è globalmente asintoticamente stabile se sign g(x ) = sign (x ). b- Verifica che è asintoticamente stabile se g(x ) = x 3 e trova na stima del dominio di attrazione. ) Considera il pendolo in figra e mostra che, chiamando x = θ, x = θ, la dinamica del sistema è descritta dalle eqazioni: { ẋ = x ẋ = g l sin x. Mostra che il sistema è semplicemente stabile scegliendo na opportna fnzione di Lyapnov. 3) Considera il sistema { ẋ = sat ( x + x ), ẋ = sat ( x x ), dove x se x < sat(x) = se x se x. Dimostra che il sistema è asintoticamente stabile e trova na stima del dominio di attrazione. 4) Stdia la stabilità dell origine del sistema: Nei casi k = 0 e k 0. 5) = x (k x x ) + x (x + x + k ) = x (k + x + x ) + x ( x x + k )
y 0 Molla con costante k M y(t) Considera il sistema mostrato in figra, assmendo na molla lineare e n attrito viscoso non lineare descritto da c ẏ + c ẏ ẏ. a- Trova n eqazione di stato per il sistema b- Mostra che il sistema ha n pnto di eqilibrio globalmente asintoticamente stabile 6) Dato il sistema: = x + x = (x + x ) sin(x ) x a- mostra attraverso la linearizzazione che l origine è stabile b- mostra che l origine è globalmente asintoticamente stabile 7) Dato il sistema: = x 3 + x = ax bx con a, b > 0.. a- mostra attraverso la linearizzazione che l origine è stabile b- mostra che l origine è globalmente asintoticamente stabile 8) Mostra che il sistema = +x 3 x = x x 3 = x 3x 3 ha n nico pnto di eqilibrio nella regione x > 0, x > 0, x 3 > 0 e che tale pnto è stabile. 9) Sia dato il sistema non lineare = x x = x x a- Determina i pnti di eqilibrio b- Stdia la stabilità dell eqilibrio nell origine e nei pnti di eqilibrio del primo qadrante 0)
Sia dato il sistema non lineare = x + q (x, x ) = 4x x + q (x, x ) Dove q e q sono polinomi contenenti solo monomi in x e x di grado non inferiore a de. a- Analizza la stabililità dell eqilibrio nell origine b- Costrisci na fnzione di Lyapnov che permetta di dimostrare che i valori dei coefficinti di q e q sono inessenziali nell analisi della stabilità nell origine. ) = x + x = x + x + Con l ingresso = k x + k x. Determina k e k in modo che l origine del sistema retroazionato sia asintoticamente stabile. ) = x x 3 = x x stdia la stabilità prima con il metodo della linearizzazione, poi con la fnzione V (x, x ) = x + x. 3) = x x x = x + αx x Stdia la stabilità di tale sistema: a- per α = con la fnzione V (x, x ) = x + x b-per α = con la fnzione V (x, x ) = x x. 4) : = 6x + x = x+x dove = + x. Sia V (x) = x + x +x a-mostra che V (x) > 0 e V (x) < 0, x 0. b-considera l iperbole x = x. Mostra che le traiettorie alla destra del ramo del primo qadrante non possono attraversare tale ramo. Sggerimento: Per fare qesto considera il campo vettoriale sll iperbole e mostra che esiste sempre na componente di tale campo diretta nella direzione della normale all iperbole rivolta verso destra. c-mostra che l origine non è n pnto di eqilibrio globalmente asintoticamente stabile. Solzioni ) 3
a- V = x + x, V = x x g(x )x x x, il sistema e globalmente asintoticamente stabile visto che le ipotesi del teorema di Lyapnov sono soddisfatte e V è radialmente illimitata. b- Stessa fnzione di Lyapnov, V = x x g(x )x = x x +x 4 = x x ( x ), qindi (V ) < 0 se x <. Il sistema è asintoticamente stabile, per avere na stima del dominio di attrazione osserviamo che le crve di livello della fnzione V sata sono cerchi centrati nell origine, qindi prendiamo il pi grande appartenente all insieme x <, che e qello di raggio, qindi l insieme x + x < rappresenta na stima del dominio di attrazione. ) Le eqazioni si trovano dall eqazione L = τ, dove il momento angolare è L = ml θ e la coppia torcente esercitata dalla forza di gravità è τ = mgl sin θ. La fnzione di Lyapnov che pò essere sata è l energia totale: V = mgl( cos x ) + m(lx ), dove il primo termine è l energia potenziale e il secondo qella cinetica, V è definita positiva sll insieme π < x π. Troviamo V = 0 dato che l energia totale si conserva e qindi il sistema è semplicemente stabile. 3) V = x + x, V = x x in A +x + x in B +x x x x in C x + x in D x + x x x in E x x in F x x x x in G x + x in H x x x x in I. Il sistema è asintoticamente stabil,e la crva di livello più grande di V contenta in A è il cerchio di raggio centrato nell origine, che rappresenta qindi na stima del dominio di attrazione. 4) a) k = 0, V (x) = x + x, V (x) = (x ) + (x ), stabile per Lyapnov. b) k 0, V (x) = x + x, V (x) = k (x ) + (x ), instabile per il teorema di Chetaev. 5) a) Mÿ = Mg ky c ẏ c ẏ ẏ. b) Si pone x = y M g k, x = ẏ, si sa la fnzione V (X) = ax + bx, scegliendo a = k e b = M si ottiene V (x) = c x c x x, si applica poi 4
il teorema di La Salle, verificando che l nico invariante dell insieme dei pnti per ci V (x) = 0 è l origine. [ ] 6) a) A = f x (0 = è na matrice di Hrwitz. b) 0 3 V (x) = x + x, da ci V (x) = x ( x + x ) + [ x (x + x )] sin(x ) 3x x + x x x < 0, x 0 0 7)a) A = f x (0) = è na matrice di Hrwitz. b) Si prova con il teorema di a b Lyapnov con V ((x)) = x + x a. 8)x = 5 3, x = 5 3, x 3 = 5 3 6. La matrice del sistema linearizzato è na matrice di Hrwitz. 9)a) {(x, x ) : x = 0 x = 0}. b) L eqilibrio è sempre instabile, si dimostra per linearizzazione nei pnti di eqilibrio diversi dall origine, mentre nell origine si dimostra con il teorema di Chetaev con V (x) = x x. 0)a) Si pò provare per linearizzazione che l eqilibrio è stabile. b) La fnzione [ di Lyapnov 9 ] si trova risolvendo l eqazione di Lyapnov A T P + PA = I, si ottiene P =. )k < 0, + k < 0. )Con la linearizzazione non si pò dire nlla slla stabilità dell origine. Con il metodo della fnzione di Liapnov si ottiene V (x = x 4, per dimostrare ls stabilità si applica il teorema di La Salle, verificando che l nico invariante dell insieme dei pnti per ci x = 0 è l origine. 3)a) V (x) = x +x, il sistema è instabile per il teorema di Chetaev. b) V (x) = 0, il sistema è instabile in qanto si sposta slle crve di livello del tipo x x = k. 4)a) V (x) = x 4x 4 < 0, x 0. b) Vettore normale all iperbole in fnzione di x : n = [ (x 6x, ], si fa il prodotto scalare n[ ) + x, (x +x ) ] t e si verifica che è sempre > 0 sll iperbole. 5