COSTRUIAMO CONTENITORI Obiettivi - Porre problemi e progettare possibili soluzioni. - Riconoscere situazioni problematiche, analizzarle e individuare al loro interno dati noti e non noti e le relazioni esistenti tra essi. - Costruire, leggere e interpretare formule. - Tradurre informazioni dal linguaggio comune a quello delle lettere. - Costruire formule e verificarne l esattezza in riferimento ai casi specifici. - Usare coordinate cartesiane, tabelle per rappresentare relazioni e funzioni. SCATOLE DI CARTONE 1 Metodi e attività Lavorando a gruppi, gli alunni avranno a disposizione fogli di cartoncino da ripiegare o ritagliare per costruire contenitori di varia forma sui quali compiere osservazioni, misure, rilevazioni di dati e giungere ad individuare e rappresentare relazioni. FASE 1 Ogni gruppo costruirà, mediante opportune piegature del foglio di cartoncino rettangolare con le dimensioni di 4 cm e 10 cm, la superficie laterale di una scatola (a base rettangolare) alta 10 cm. 10 cm Si chiederà agli alunni di valutare a occhio come varia il volume al variare delle dimensioni di base e di individuare quale scatola ha volume massimo. Verrà compilata successivamente la tabella per i valori relativi alle scatole costruite. 1 Adattato da E. Castelnuovo La Matematica Figure solide, La Nuova Italia.
ATTIVITÀ PER L INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO (dimensione di base) 1 (altra dimensione) y (volume della scatola) Si potranno riportare in un foglio elettronico i valori (con incremento 0,5), 1-, y. Si rappresenterà in un grafico cartesiano la relazione tra y e. Si potrà poi chiedere agli alunni: per quali valori di la scatola è realizzabile; a quale valore di corrisponde il volume massimo; quale funzione matematica lega y ad, completando: y (.. -..)..; se il cartoncino rettangolare avesse dimensioni 16 cm 10 cm, per quale valore di si otterrebbe la scatola alta 10 cm di volume massimo; se p è il perimetro di base della scatola, come chiamo la dimensione di base della scatola con volume ma; quale tipo di scatola alta 10 cm costruirebbero con un cartoncino 40 10 volendola riempire del maggior numero possibile di dadi con lo spigolo di 1 cm. 1 Eventuali sviluppi potranno prevedere la possibilità di fare congetture e verificarle con l ausilio del foglio di calcolo: tenendo come altezza la dimensione maggiore del foglio di cartoncino, come varierà il volume della scatola variando come in precedenza le dimensioni di base? il volume ma sarà maggiore o minore di quello determinato nella precedente fase di lavoro e qual è il rapporto tra i due volumi massimi? Si potranno guidare gli alunni (che già conoscono il calcolo letterale) alla generalizzazione 1 a > 0 + a V 1 [( + a) / 4] 3 + a + a 16 + a V 4 ( + a) 3 + a 16 Si noterà che V 1 è sempre maggiore di V.
ATTIVITÀ PER L INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO 3 Si potranno usare le lettere anche per individuare che il rapporto tra i due volumi corrisponde a quello tra le dimensioni del cartoncino cioè: V1 ( + a) V 16 ( + a) 4 Dallo sviluppo e dalla semplificazione si avrà: V1 + a V Altre domande possibili: supponiamo che il foglio di cartoncino da piegare per costruire la superficie laterale della scatola di volume massimo sia quadrato: se chiamo una dimensione, come chiamo l altra? quale sarà allora la relazione matematica che lega il volume y ad? quale tipo di grafico esprime questa relazione? FASE Ogni gruppo ritaglierà, da un foglio di cartoncino quadrato, 4 quadratini di lato agli angoli e ripiegherà verso l alto le strisce in modo da ottenere una scatola senza coperchio. Partendo da cartoncini uguali di 18 cm di lato, un gruppetto taglierà quadratini di lato 1 cm, gli altri di cm, di 3 cm e verranno costruite le relative scatole. Si chiederà ai ragazzi tra quali valori può essere compreso : insieme si valuterà a occhio se le scatole hanno o meno lo stesso volume. Si passerà poi alla verifica sperimentale riempiendo le scatole con volumi prefissati di sabbia, poi si lavorerà per via algebrica dopo aver rappresentato il modello del foglio e delle piegature Ponendo a il lato del foglio e quello del quadratino si arriverà all area del fondo della scatola nei vari modi che metteranno in evidenza l equivalenza delle espressioni letterali ( a ) a + 4 4a Così si potrà esprimere il volume y delle scatole in funzione di. Per vedere la relazione si realizzerà il grafico sulla base dei valori indicati nella tabella costruita in un foglio di calcolo e si noterà la presenza di un volume massimo. a V 18 1 18 a
ATTIVITÀ PER L INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO 4 A questo punto si compileranno altre tabelle come la precedente riferite a scatole ottenute da fogli di cartoncino quadrati di lato 1 cm; 4 cm; 36 cm (una per gruppo) e confrontando le varie tabelle si guideranno gli alunni a notare che il volume massimo si ottiene per valori tali per cui è 1/6 il rapporto tra e il lato del foglio di cartoncino. Si potrà lavorare con le lettere per passare da Y ( a ) 3 ad Y a (riferendosi a scatole di volume ma). 7 Si potrà ampliare l attività lavorando su fogli rettangolari dai quali ritagliare ai 4 angoli i quadratini come sopra per individuare ancora interessanti relazioni tra lato del quadratino e y volume della scatola. In questo caso il volume massimo della scatola si ha per un valore di compreso tra a/6 e b/6 (a e b sono le dimensioni del foglio di cartoncino rettangolare). I pacchi postali Metodi e attività Gli alunni dovranno essere in grado di scoprire le condizioni che, nel rispetto di vincoli prefissati, permettono di ottenere il volume massimo di un pacco, considerando i vincoli stabiliti dalle Poste Italiane che fissano per i pacchi ordinari: costo di spedizione di 5,16 peso 0 0 Kg A lunghezza ma 100 cm B lunghezza ma + giro opposto 00 cm Verrà posto il problema generale: Quale forma e quali dimensioni dare al pacco perché il volume sia massimo e rispetti le direttive postali? 1) Gli alunni, individualmente o a piccoli gruppi, saranno invitati inizialmente a considerare scatole a forma di parallelepipedo rettangolo (cubo compreso) e a compilare una tabella con a, b, c come dimensioni assunte a caso, verificando di volta in volta se rispettano i vincoli fissati. Potrebbe essere un buon esercizio di allenamento al fare ipotesi e stime ragionevoli e a verificarle. Si può concordare, anche per le fasi di lavoro successive, di prendere a come dimensione maggiore: a b c 100 100 ) Si passerà poi alla traduzione di A e B nel linguaggio algebrico mediante le rispettive disequazioni: a < 100 a + (b+c) 00 Si esamineranno le possibili situazioni per vedere come varia il volume al variare delle dimensioni di base b, c. Gli alunni saranno aiutati a costruire la a + (b + c) 00 e quindi: - ricavare il valore di b + c; - fissare il valore di b (incrementi progressivi di 5 in 5);
ATTIVITÀ PER L INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO 5 - calcolare c per differenza dalla a + b; - calcolare il volume corrispondente. Sarà utile costruire una tabella e usare la calcolatrice tascabile oppure utilizzare il foglio di calcolo nel quale inserire dati, impostare e copiare formule. A B C D E F 1 a a + (b+c) b+c b c volume 100 00 (B-A)/ 5 C-D A*D*E 3 100 00 10 4 Si noterà insieme che il volume ma corrisponde al pacco di base quadrata; si costruirà il grafico cartesiano che rappresenta la relazione tra Volume e dimensione b e si farà notare l analogia con la parabola che traduce la relazione tra l area di rettangoli isoperimetrici ed una dimensione. (si veda Castelnuovo, opera citata Leggi matematiche, pag. 19) Si costruirà poi la formula della legge parabolica V 100 b (50-b) e di nuovo si farà notare l analogia con la y (p-) dove y indica l area, p il semiperimetro, una dimensione dei rettangoli isoperimetrici. A questo punto verrà posta la domanda: Siamo sicuri che il volume ma determinato sia proprio il più grande di tutti i pacchi possibili secondo le norme delle Poste? Ad ogni gruppetto verrà assegnato un valore di lunghezza del pacco compreso tra 10 e 100 cm e verranno compilate le varie tabelle seguendo la traccia del lavoro precedente. (per B si prenderà il valore massimo, 00 cm) Si chiederà ad ogni gruppetto: qual è la forma della base del vostro pacco con un volume massimo? era prevedibile? Verranno raccolti in una tabella riassuntiva i valori relativi al volume ma individuato da ogni gruppetto: a b c V ma 10 0 Si noterà che il volume massimo per un pacco a forma di parallelepipedo è quello a base quadrata che corrisponde alla lunghezza massima di 70 cm. Gli alunni: saranno guidati a costruire la formula di validità generale: 00 a Vma a 4 che lega il V ma del pacco a quello dei vari prismi a base quadrata e ai rispettivi valori di lunghezza ma; potranno visualizzare la funzione precedente rappresentandola sul piano cartesiano;
ATTIVITÀ PER L INTRODUZIONE AL PENSIERO ALGEBRICO 6 V ma 80000 70000 60000 50000 40000 30000 0000 10000 0 10 0 30 40 50 60 70 80 a potranno anche rappresentare su uno stesso piamo cartesiano le rette (di equazione b + c k) che passano per i vertici dei vari insiemi di rettangoli di base. NOTE: il problema può essere esteso a pacchi di forma diversa (cilindro, sfera ) anche se il rischio è quello di un eccessivo appesantimento; gli alunni imparano ad affrontare problemi complessi in cui le relazioni tra le variabili non sono quelle di solito incontrate e intuiscono la complessità di risposte e soluzioni che al loro livello sono necessariamente parziali. Verifiche Assegnare la somma delle tre dimensioni di un parallelepipedo e chiedere quali sono le dimensioni di base che permettono di ottenere il volume ma conoscendo e tenendone fissa una. Se il pacco fosse cilindrico e alto 100 cm, quale misura potrà avere al massimo la circonferenza di base? E quale sarà il volume corrispondente? Abbiamo notato con sorpresa che il pacco a base quadrata con il volume maggiore non era quello alto 100 cm ma quello alto 70 cm; prova a verificare se questo vale anche nel caso di un pacco cilindrico tenendo come massima possibile la seconda condizione fissata dalle Poste.