LE GRANDEZZE FISICHE 1. 2. Grandezze fondamentali e derivate 3. Sistemi di unità di misura 4. Multipli e sottomultipli 5. Ordini di grandezza 6. Errori e cifre significative pag.1
Misura di una grandezza Definizione operativa: Grandezza fisica Proprietà misurabile Sensazione di caldo/freddo NO (soggettiva, diversa per ciascuno) Temperatura SI (oggettiva, uguale per tutti) Es. Misura di una grandezza: mediante un dispositivo sperimentale in confronto con un altra grandezza omogenea di riferimento costante e riproducibile Espressione di una grandezza: numero + unità di misura rapporto tra misura e campione di riferimento pag.2
Unita di misura Misura di una grandezza: mediante un dispositivo sperimentale in confronto con un altra grandezza omogenea di riferimento costante e riproducibile Espressione di una grandezza: numero + unità di misura rapporto tra misura e campione di riferimento Lunghezza di un corpo: Es. Procedere all operazione di misura mediante uno strumento Es. misuratore A: 3 spanne ; misuratore B: 4 spanne Confrontare il risultato con un campione fisso, preso come unità di misura spanna misuratore A = 20 cm 3 spanne = 60 cm spanna misuratore B = 15 cm 4 spanne = 60 cm uguale! MAI dimenticare l unità di misura! Dire un corpo è lungo 24 non ha senso. Dire la densità dell acqua è 1 non ha senso. e dirlo all esame pag.3
Grandezze fondamentali e derivate Fondamentali (misure dirette) concetti intuitivi indipendenti l uno dall altro non definibili in termini di altre grandezze Lunghezza [L] Massa [M] Tempo [t] Intensità di corrente [i] Temperatura assoluta [T] In generale: Derivate (misure indirette) definibili in termini delle grandezze fondamentali mediante relazioni analitiche Superficie (lungh.) 2 [L] 2 Volume (lungh.) 3 [L] 3 Velocità (lungh./tempo) [L] [t] -1 Acceleraz. (veloc./tempo) [L] [t] -2 Forza (massa * acc.) [L] [M] [t] -2 Pressione (forza/sup.) [L] -1 [M] [t] -2 [L] a [M] b [t] c [i] d [T] e pag.4
Sistemi di unita di misura Stabilire un sistema di unità di misura = fissare le grandezze fondamentali e il valore dei loro campioni unitari Sistema [L] [M] [t] [i] [T] lungh. massa tempo intens. temper. corrente assoluta MKS (SI) m kg s A o K Internazionale metro chilogr. secondo ampere gr.kelvin cgs cm g s A o K centim. grammo secondo ampere gr.kelvin Sistemi pratici vari esempi pag.5
Sistemi pratici e conversioni ESEMPI DI UNITA PRATICHE Lunghezza angstrom, anno-luce Tempo minuto, ora, giorno, anno Volume litro Velocità chilometro/ora Pressione atmosfera, millimetro di mercurio Energia elettronvolt, chilowattora Calore... caloria... Fattori di conversione: MKS cgs 1 m = 10 2 cm 1 kg = 10 3 g cgs MKS 1 cm = 10-2 m 1 g = 10-3 kg MKS, cgs pratici proporzioni con fattori numerici noti e viceversa pag.6
Se si sbagliano le unita di misura possono succedere disastri pag.7
Multipli e sottomultipli multipli sottomultipli pag.8
Ordini di grandezza Per esprimere brevemente grandezze fisiche grandi o piccole: numero a 1,2,3 cifre + unità di misura con multiplo/sottomultiplo (pot. di 3 in 3) 57800 g = 5.78 10 4 g = 5.78 (10 1 10 3 ) g = 57.8 kg 57.8 kg = 57.8 10 3 g = 5.78 10 4 g Es. 0.0047 g = 4.7 10-3 g = 4.7 mg 0.00047 g = 4.7 10-4 g = 4.7 (10 2 10-6 ) g = 470 µg Per confrontare grandezze infinitamente grandi o piccole: Ordine di grandezza = potenza di 10 più vicina al numero considerato Atomo di idrogeno: Es. raggio atomo: 10-10 m raggio nucleo: 10-15 m 10-10 m /10-15 m = 10 5 L atomo di idrogeno è 100000 volte più grande del suo nucleo! pag.9
Ordini di grandezza: esempi di lunghezze Alcune lunghezze valore in m - dist. del corpo celeste più lontano 10 25 m (10000 miliardi di miliardi di km) - distanza della stella più vicina 3.9 10 16 m (40000 miliardi di km) - anno-luce 9.46 10 15 m (9000 miliardi di km) - distanza Terra-Sole 1.49 10 11 m = 149 Gm (150 milioni di km) - distanza Terra-Luna 3.8 10 8 m = 380 Mm (400000 km) - raggio della Terra 6.38 10 6 m = 6.38 Mm (6000 km) - altezza del Monte Bianco 4.8 10 3 m = 4.8 km (5 km) - altezza di un uomo 1.7 10 0 m = 1.7 m - spessore di un foglio di carta 10-4 m = 100 µm (1/10 di mm) - dimensioni di un globulo rosso 10-5 m = 10 µm (1/100 di mm) - dimensioni di un virus 10-8 m = 10 nm (100 angstrom) - dimensioni di un atomo 10-10 m (1 angstrom) - dimensioni di un nucleo atomico 10-15 m (1/100000 di angstrom = 1 fermi) pag.10
Ordini di grandezza: esempi di tempi Alcuni tempi valore in s - stima dell età dell Universo 4.7 10 17 s (15 miliardi di anni) - comparsa dell uomo sulla Terra 10 13 s (300000 anni) - era cristiana 6.3 10 10 s (2000 anni) - anno solare 3.15 10 7 s - giorno solare 8.64 10 4 s - intervallo tra due battiti cardiaci 8 10-1 s (8/10 di sec.) - periodo di vibraz. voce basso 5 10-2 s (2/100 di sec.) - periodo di vibraz. voce soprano 5 10-5 s (50 milionesimi di sec.) - periodo vib. onde radio (FM 100 MHz) 10-8 s (10 miliardesimi di sec.) - periodo di vib. raggi X 10-18 s (1 miliardesimo di miliardesimo di sec.) pag.11
Ordini di grandezza: esempi di masse Alcune masse valore in kg - massa dell Universo (stima) 10 55 kg - massa del Sole 1.98 10 30 kg (2000 miliardi di miliardi di miliardi di kg) - massa della Terra 5.98 10 24 kg (6 milioni di miliardi di miliardi di kg) - massa di un uomo 7 10 1 kg (70 kg) - massa di un globulo rosso 10-16 kg (100 milionesimi di miliardesimo di g) - massa del protone 1.67 10-27 kg (1.6 milionesimi di miliardesimo di - massa dell elettrone 9.1 10-31 kg miliardesimo di g) M.A. Ciocci pag.12
Errori e cifre significative - Ogni misura è intrinsecamente caratterizzata da un errore. Es.: L = 8.5 ± 0.1 cm. - Il risultato di una misura è quindi in effetti un intervallo di valori attorno al valore misurato: minore intervallo migliore precisione. - Esistono diversi tipi di errore. - Gli errori sulle misure si propagano quando queste sono utilizzate per ottenere altre grandezze derivate. Es.: v = s/t. - Il numero di cifre significative con cui si riporta una misura deve indicare la precisione con cui è stata ottenuta. Errori e cifre significative pag.13
Classificazione degli errori - Errore strumentale: legato alla lettura sulla scala dello strumento, quindi alle sue caratteristiche tecniche che ne determinano la risoluzione (es.: righello, orologio a lancette, bilancia a lettura digitale). Indica un intervallo entro cui sicuramente ritrovo lo stesso valore se ripeto la misura con lo stesso strumento. - Errore statistico (o casuale): legato alle fluttuazioni statistiche (di qualsiasi origine) intrinseche alla misura effettuata (es.: utilizzo di strumenti di precisione nella misura di distanze o di tempi; fluttuazioni nel campione studiato...). Indica un intervallo entro cui, con una probabilità predefinta, ritrovo lo stesso valore se ripeto la misura. - Errore sistematico: legato ad errori di taratura dello strumento (es.: offset nello zero della scala) oppure ad imparzialità dell osservatore (es.: errore di parallasse). L errore è sempre nello stesso verso (in + o in -). Indica un intervallo entro cui questi effetti sono contenuti. Errori e cifre significative pag.14
Supponiamo di fare una misura n volte, i cui risultati fluttuano per qualche motivo. Il risultato della misura e quindi una variabile causale funzione delle condizioni sperimentali, distribuita secondo una certa distribuzione di probabilita ( genitrice ). Il valore piu significativo del risultato e la media (µ) di questa variabile causale. L incertezza da attribuire a questo risultato e data dalla deviazione standard (σ), che da una misuara dello sparpagliamento dei dati attorno alla media. µ e σ ottenuti in tal modo dai dati sono la migliore stima dei corrispondenti parameteri della distibuzione genitrice. µ = σ 2 = σ = σ 2 Errore statistico Una serie di dati con una media di 50 (in blu) e una deviazione standard (σ) di 20 Esempio: distribuzione delle misure gaussiana (tipica di una variabile che e il risultato di tanti effetti casuali e scorrelati). In tal caso si ha il 68% di probabilita che una nuova misura dia un risultato che cada nell intervallo di valori entro ± 1σ attorno a µ. Errori e cifre significative pag.15
Propagazione degli errori Supponiamo di fare una misura che dia il risultato x ± x. Def1: x -> errore assoluto (o massimo) su x (stesse dimensioni di x). Def2: x/x -> errore relativo (o percentuale) su x (adimensionale), fisicamente più significativo... Supponiamo di fare diverse misure (dirette) di diverse grandezze fisiche: x 1 ± x 1,..., X n ± x n. Supponiamo di usare poi tali misure per derivare un altra grandezza (misura indiretta, es.: v = s/t). Gli errori sulle misure originarie si propagheranno nella determinazione della grandezza derivata, in modo legato alla relazione funzionale che lega questa alle grandezze di partenza. Esempi: - somme e sottrazioni (x tot = x 1 +.. + x n ; x tot = x 1 -.. - x n ;...) x tot = x 1 +... + x n -> somma errori assoluti - moltiplicazioni e divisioni (x tot = x 1 x n ; x 1 /x 2 ;...) x tot /x tot = x 1 /x 1 +... + x n /x n -> somma errori relativi Errori e cifre significative pag.16
Cifre significative e arrotondamenti Cifre significative: tutte quelle comprese tra la più significativa e la meno significativa. Cifra più significativa -> quella più a sinistra diversa da 0 Cifra meno significativa -> - quella più a destra diversa da 0, in assenza di virgola decimale; - quella più a destra (anche se 0), in presenza di virgola decimale. Esempi: 1327 1327.3 1300 0.0057 15.00 0.150 + - + - +- +- + - + - Il numero di cifre significative con cui si riporta il risultato di una misura dipende dagli errori commessi, che vanno quindi valutati prima di riportarlo. Le cifre riportate sono tutte le cifre significative fino alla prima influenzata dall errore inclusa (es.: 100.03 ± 0.05 m). Se l errore non e indicato (es. lettura digitale), per convenzione si considera 0.5 della cifra meno significativa (es.: 12.7 -> 12.70 ± 0.05). Arrotondamenti: quando le cifre non significative vengono tagliate le rimanenti cifre devono essere arrotondate in modo da ridurre l errore, ovvero in modo che il valore originario sia sempre entro la metà della cifra meno significativa riportata. Es.: 7.53252 ± 0.05 -> 7.53 ± 0.05; 7.53552 ± 0.05 -> 7.54 ± 0.05. Errori e cifre significative pag.17
Esercizi (I) 1.1 (HRW) Un micrometro, spesso indicato come micron, è pari a 1 µm = 10-6 m. a) Quanti micron fanno 1.0 km? b) Quale frazione di un centimetro è uguale ad 1 µm? 1.3 (HRW) L Antartide è di forma quasi semicircolare, di raggio pari a 2000 km. Lo spessore medio dello strato di ghiaccio che la ricopre è di 3000 m. Quanti centimetri cubi di ghiaccio contiene l Antartide? (Si trascuri la curvatura della Terra). 1.10 (HRW) Ammettendo che, a causa del rallentamento della rotazione terrestre, la durata del giorno cresca uniformemente di 0.001 secondi al secolo, calcolare l effetto cumulativo sulla misura del tempo nel corso di 20 secoli espresso in ore. 1.13 (HRW) La Terra ha una massa di 5.98 10 24 Kg. La massa media degli atomi che costituiscono la materia terrestre è 40 u (1 u = 1.66 10-24 g). Fare una stima di quanti atomi è composta la Terra. Grandezze/Errori - Esercizi pag.18
Esercizi (II) 1.23 (HRW) In un violento temporale precipitano 5.1 cm di pioggia in 30 min su una città di 26 km 2. Che massa d acqua è caduta sulla città nei primi 20 minuti? (Si supponga che l intensità della pioggia sia stata costante nel tempo e si tenga presente che 1 metro cubo d acqua ha la massa di 10 3 kg). 1.24 (HRW) Una zolletta di zucchero ha la forma di un cubo con spigolo lungo 1 cm. Quanto sarebbe lungo lo spigolo di una scatola cubica che contenesse 1.0 mol di zollette (ovvero un numero di zollette pari al numero di Avogadro)? 1.25 (HRW) Una dieta dimagrante prevede una perdita di massa corporea pari a 2.3 Kg in una settimana. Esprimere la perdita temporale di massa corporea in mg/sec, senza dare necessariamente un senso pratico a un tale ritmo di dimagrimento osservato di secondo in secondo. 1.28-b (HRW) L Uomo esiste da circa un milione di anni, mentre l Universo ha un età di circa 10 miliardi di anni. Se si riporta l età dell Universo a 1 giorno, da quanti secondi esiste l umanità? Grandezze/Errori - Esercizi pag.19
Esercizi (III) Es. 1 L essere umano ha di fronte a sé l infinitamente grande e l infinitamente piccolo. Le tipiche scale umane (di lunghezza, tempo e massa) sono tali da porlo al centro dell Universo? Es. 2 La velocità media v è definita come il rapporto tra lo spazio percorso d e il tempo t impiegato a percorrerlo. Supponiamo che le misure di d e t diano i seguenti risultati: d = 3.00 ± 0.03 km, t = 60.0 ± 0.6 sec. Quale è l errore risultante nella determinazione di v? Es. 3 Supponiamo di misurare i 3 lati di un parallelepipedo (b, h, l) mediante un metro che abbia la risoluzione di 1 mm, ottenendo i seguenti valori di misura: b = 50 mm; h = 40 mm, l = 100 mm. Con quale errore si ottiene la stima del volume del parallelepipedo da queste misure? Es. 4 Supponiamo che il risultato di 2 misure dia: a = 3.658 ± 0.001; b = 24.763 ± 0.001. Con quante cifre significative è ragionevole riportare il prodotto c = a b? Grandezze/Errori - Esercizi pag.20