1 L estrazione di radice Consideriamo la potenza 3 2 = 9 di cui conosciamo: Esponente 3 2 = 9 Valore della potenza Base L operazione di radice quadrata consiste nel chiedersi qual è quel numero x che elevato alla seconda dà come risultato 9. x 2 = 9 x = 3 perché 3 2 = 9 Scriviamo dunque 2 9 = 3 Area 1 Capitolo 2 - PAG. 48 1
1 L estrazione di radice In generale possiamo affermare che: DEFINIZIONE. L operazione inversa dell operazione di elevamento a potenza, che ci consente di calcolare la base conoscendo l esponente e il valore della potenza, si chiama estrazione di radice o più semplicemente radice di un numero. Indice Segno di radice 2 9 = 3 Radice (quadrata) Radicando Area 1 Capitolo 2 - PAG. 48 2
1 L estrazione di radice L operazione di radice è l operazione inversa di potenze di esponente diverso: 3, 4, 5 ecc.; si avranno così radici terze, quarte, quinte, ecc! Radice terza di in quanto 3 27 = 27 = 3 3 3 = 27! Radice quarta di in quanto 4 16 = 16 = 2 2 4 = 16 DEFINIZIONE. La radice quadrata di un numero (radicando) è quel numero che elevato al quadrato (ossia moltiplicato per se stesso) dà come risultato il radicando stesso. Area 1 Capitolo 2 - PAG. 48 3
1 La radice quadrata esatta Consideriamo i numeri 900 e 64 ottenuti elevando al quadrato rispettivamente 30 e 8. Possiamo scrivere che 900 = 30 64 = 8 Questi numeri hanno per radice quadrata un numero naturale; per questo motivo vengono definiti quadrati perfetti. Come possiamo riconoscere se un numero è un quadrato perfetto? PROPRIETÀ. Un numero naturale è un quadrato perfetto se nella sua scomposizione in fattori primi tali fattori hanno tutti esponente pari. Area 1 Capitolo 2 - PAG. 49 4
1 La radice quadrata esatta Consideriamo le scomposizioni in fattori primi dei due numeri 900 e 64 900 = 2 2 " 3 2 " 5 2 64 = 2 6 Consideriamo ora la scomposizione in fattori primi delle radici quadrate dei numeri 900 e 64, cioè di 30 e 8. 30 = 2 " 3 " 5 8 = 2 3 Osserviamo che i fattori della radice quadrata hanno sempre l esponente dimezzato rispetto ai corrispondenti fattori del radicando. REGOLA. La radice quadrata di un quadrato perfetto si ottiene dal prodotto degli stessi fattori primi con gli esponenti dimezzati. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 49 5
1 La radice quadrata approssimata all unità Se cerchiamo la radice quadrata del numero 45 cioè 45, non riusciamo a trovare alcun numero, nell insieme dei numeri razionali, che elevato alla seconda dia esattamente 45. Questo numero non è pertanto un quadrato perfetto. È però possibile individuare fra quali quadrati perfetti è compreso il numero 45. Siccome 36 < 45 < 49 possiamo dire che: 6 approssimazione per difetto, infatti 6 2 = 36 < 45 45 = 7 approssimazione per eccesso, infatti 7 2 = 49 > 45 Possiamo quindi dire che 6 < 45 < 7 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 49 6
1 La radice quadrata approssimata all unità REGOLE.! La radice quadrata approssimata per difetto a meno di un unità è il numero naturale più grande che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato senza superarlo.! La radice quadrata approssimata per eccesso a meno di un unità è il numero naturale più piccolo che elevato alla seconda si avvicina maggiormente al numero considerato restandogli maggiore. Il risultato dell estrazione di radice di un numero che non è un quadrato perfetto dà origine a un numero decimale illimitato non periodico. Tali numeri vengono chiamati irrazionali. DEFINIZIONE. I numeri irrazionali formano l insieme dei numeri irrazionali che viene indicato con la lettera I. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 50 7
2 Le proprietà della radice quadrata ESEMPIO Se dobbiamo calcolare 121 36 possiamo scrivere oppure 121 36 = 4356 = 66 121 36 = 121 36 = 11 6 = 66 Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che: REGOLA. La radice quadrata di un prodotto è uguale al prodotto delle radici quadrate dei suoi fattori. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 51 8
2 Le proprietà della radice quadrata ESEMPIO Se dobbiamo calcolare 256 : 64 possiamo scrivere oppure 256 : 64 = 4 = 2 256 : 64 = 256 : 64 = 16 : 8 = 2 Poiché i due procedimenti portano allo stesso risultato, possiamo concludere che: REGOLA. La radice quadrata di un quoziente è uguale al quoziente delle radici quadrate del dividendo e del divisore. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 51 9
3 Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Per determinare la radice quadrata di un numero si possono utilizzare le tavole numeriche. Si possono presentare due casi. Primo caso Il radicando ha un valore compreso tra 1 e 1 000 Per calcolare la radice quadrata basta individuare il numero nella colonna n e leggere la relativa radice quadrata sulla stessa riga, in corrispondenza della colonna n. Calcoliamo la radice quadrata di 329. n n 2 n 3 n n 328 107 584 35 287 552 18,1108 6,8964 329 108 241 35 611 289 18,1384 6,9034 330 108 900 35 937 000 18,1659 6,9104 3 Pertanto 329 = 18,1384 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 52 10
3 Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche Secondo caso Il radicando ha un valore compreso tra 1 001 e 1 000 000 Il numero non si trova sulle tavole nella colonna n. Si possono presentare due casi.! Il numero si trova nella colonna n 2 In questo caso il numero dato è un quadrato perfetto e per trovare la radice quadrata basta leggere il numero sulla stessa riga nella colonna n. Calcoliamo la radice quadrata di 390625. n n 2 n 3 n n 624 389 376 242 970 624 24,9800 8,5453 625 390 625 244 140 625 25 8,5499 626 391 876 245 314 376 25,0200 8,5544 3 Pertanto 390 625 = 625 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 52 11
3 Il calcolo della radice quadrata mediante le tavole numeriche! Il numero non si trova nella colonna n 2 Il numero non è un quadrato perfetto e si deve ricorrere a un approssimazione. Calcoliamo, ad esempio, la radice quadrata di 44 678. Scorriamo la colonna n 2 n n 2 n 3 n n 210 44 100 9 261 000 14,4914 5,9439 211 44 521 9 393 931 14,5258 5,9533 212 44 944 9 528 128 14,5602 5,9627 3 Ne deriva che 44 678 è un numero compreso tra 211 e 212 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 52 12
3 La radice quadrata di un numero decimale REGOLA. In base all approssimazione che si intende raggiungere, si pareggiano le cifre decimali (nel caso non lo siano) aggiungendo zeri; si trasforma il numero decimale nella relativa frazione decimale; si estrae, mediante l uso delle tavole, la radice quadrata approssimata per difetto a meno di un unità del numeratore; si estrae la radice quadrata del denominatore; si trasforma la frazione decimale ottenuta nel corrispondente numero decimale. ESEMPIO La radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 di 4,6: 0,1 4,6 = 4,60 = 460 100 = 460 100 = 21 10 = 2,1 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 54 13
4 L algoritmo di estrazione della radice quadrata Calcoliamo la radice quadrata di 38 025. 1. Procedendo da destra verso sinistra, suddividiamo con un puntino il numero in gruppi di due cifre. 3.80.25 Prima cifra di radice 2. Calcoliamo la radice quadrata del primo gruppo (a sinistra) approssimata per difetto e la scriviamo a destra del numero di cui vogliamo calcolare la radice quadrata. 3.80.25 1 3. Eleviamo al quadrato la prima cifra del risultato (1 " 1 = 1) e la sottraiamo dal primo gruppo di cifre (3 1 = 2). Primo resto 3.80.25 1 1 2 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 54 14
4 L algoritmo di estrazione della radice quadrata 4. Abbassiamo il secondo gruppo di cifre accanto al primo resto e separiamo l ultima cifra a destra con un punto. 3.80.25 1 1 2 8.0 5. Raddoppiamo la prima cifra del risultato finora calcolato (1 " 2 = 2) e la trascriviamo sotto l uno. 3.80.25 1 1 2 2 8.0 6. Calcoliamo il quoziente, approssimato per difetto, 28 : 2 = 14. Siccome il quoziente è maggiore di 9, non possiamo accettarlo e dobbiamo considerare come quoziente 9 che va scritto accanto al 2. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 55 3.80.25 1 1 29 2 8.0 15
4 L algoritmo di estrazione della radice quadrata Seconda cifra di radice 7. Moltiplichiamo 29 per il quoziente 9 (29 " 9 = 261 < 280). Tale numero è la seconda cifra della nostra radice. 3.80.25 19 1 29 " 9 = 261 2 80 8. Calcoliamo il secondo resto sottraendo il prodotto ottenuto da 280 (280 261 = 19). 3.80.25 19 1 29 " 9 = 261 2 80 2 61 19 Secondo resto Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 55 16
4 L algoritmo di estrazione della radice quadrata 9. Abbassiamo il terzo gruppo di cifre, che inseriamo accanto al secondo resto e stacchiamo l ultima cifra a destra. 3.80.25 19 1 29 " 9 = 261 2 80 2 61 19 2.5 10. Raddoppiamo il numero formato dalle prime due cifre della radice (19 " 2 = 38), oppure sommiamo i due fattori del primo prodotto (29 + 9 = 38), e lo trascriviamo sotto la riga orizzontale. 3.80.25 19 1 29 " 9 = 261 2 80 38 2 61 19 2.5 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 55 17
4 L algoritmo di estrazione della radice quadrata 11. Calcoliamo il quoziente approssimato per difetto tra 192 e il valore della seconda radice raddoppiata (192 : 38 = 5) e lo scriviamo accanto al 38. 3.80.25 19 1 29 " 9 = 261 2 80 385 2 61 19 2.5 12. Moltiplichiamo il valore ottenuto per lo stesso quoziente approssimato, cioè per 5 (385 " 5 = 1 925). 3.80.25 19 1 29 " 9 = 261 2 80 385 " 5 = 1 925 2 61 19 2.5 Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 55 18
4 L algoritmo di estrazione della radice quadrata 13. Calcoliamo il terzo resto sottraendo il prodotto ottenuto da 1 925 (1 925 1925 = 0). 14. Avendo ottenuto come terzo resto 0, il calcolo della radice si conclude. L ultimo quoziente ottenuto (5) rappresenta la terza cifra di radice. 3.80.25 195 1 29 " 9 = 261 2 80 385 " 5 = 1 925 2 61 19 2.5 19 2.5 0 Terzo resto NB. Se il numero considerato non è un quadrato perfetto si possono calcolare le cifre decimali della radice aggiungendo la virgola e due zeri al radicando e procedendo poi con la tecnica descritta. Area 1 - Capitolo 2 - PAG. 55 19