Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Variabili casuali Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio Determinare se le funzioni seguenti: 0.0 se x < 0. se x = g(x) = 0.5 se x = 0.7 se x = 3 se x = 4 0. se x = 0.4 se x = h(x) = 0.35 se x = 3 se x = 4 0. se x = 0. se x = l(x) = 0.3 se x = 3 0.4 se x = 4 possono essere una funzione di probabilità o una funzione di ripartizione. Nel caso in cui una o più funzioni possano essere una funzione di ripartizione, calcolare la relativa funzione di probabilità. Soluzione Per risolvere questo esercizio occorre ricordare le proprietà di una funzione di ripartizione e di una funzione di probabilità (o di densità nel caso di variabili aleatorie assolutamente continue). La funzione g(x) assume valori positivi e non superiori ad uno ed è monotona crescente e, in corrispondenza del valore massimo x = 4, assume g(x = 4) = quindi g(x) è una funzione di ripartizione. Da notare che non puo essere una funzione di probabilità in quanto g(x = ) + g(x = ) + g(x = 3) + g(x = 4) =.4 >.

La funzione di ripartizione per ogni valore di x risulta: 0 se x < 0. se x < F (x) = 0.5 se x < 3 0.7 se 3 x < 4 se x 4 La seconda h(x) non può essere né una funzione di probabilità né una funzione di ripartizione poiché, rispettivamente, la somma delle probabilità è un valore superiore ad uno e non rispetta la proprietà di monotonicità. L ultima funzione è, invece, una funzione di densità poiché rispetta sa la proprietà di non negatività e sia che la somma sia pari ad uno. Per ottenere una funzione di densità p(x) dalla corrispondente funzione di ripartizione g(x) basta semplicemente calcolare la differenza tra il corrispondente valore della funzione di ripartizione ed il suo valore precedente, ovvero:. g(x = ) 0 = 0. se x = g(x = ) g(x = ) = 0.3 se x = p(x) = g(x = 3) g(x = ) = 0. se x = 3 g(x = 4) g(x = 3) = 0.3 se x = 4 Esercizio Sia X la variabile casuale che può assumere i valori 0,,,3,4,5 e la tabella sottostante fornisce la distribuzione di probabilità della variabile casuale X (a meno di una delle probabilità che è mancante): X 0 3 4 5 Probabilità Pr(X=x)? 0.45 0.4 0. 0.09 0.05 a) Che valore ha la probabilità mancante? b) Qual è la probabilità che (X )? c) Si calcoli il valore atteso della variabile casuale X. d) Si calcoli la varianza della variabile casuale X. e) Si determini la funzione di ripartizione della variabile casuale X. Soluzione a) Affinchè la funzione di distribuzione di probabilità P (X = x) sia correttamente definita deve essere: P (X = x) 0 x = 0,,, 3, 4, 5 5 P (X = x) = x=0

Dalle seconda delle due condizioni precedenti si ha che P (X = 0) + r(x = ) + P (X = ) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = P (X = 0) + 0.45 + 0.4 + 0. + 0.09 + 0.05 = P (X = 0) = 0.45 0.4 0. 0.09 0.05 = 0.05 quindi la probabilità richiesta è 0.05. Si noti che anche la prima delle due condizioni è soddisfatta. b) Si deve determinare la P (X ) oppure P (X ) = P (X = ) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = 0.4 + 0. + 0.09 + 0.05 = 0.5 P (X ) = P (X < ) = P (X = ) P (X = 0) = 0.45 0.05 = 0.5 c) d) 5 µ = E(X) = x P (X = x) x=0 = 0 P (X = 0) + P (X = ) + P (X = ) + 3 P (X = 3) + 4 P (X = 4) + 5 P (X = 5) = 0 0.05 + 0.45 + 0.4 + 3 0. + 4 0.09 + 5 0.05 =.9 5 σ = V ar(x) = (x µ) P (X = x) x=0 = (0.9) P (X = 0) + (.9) P (X = ) + (.9) P (X = ) + (3.9) P (X = 3) + (4.9) P (X = 4) + (5.9) P (X = 5) = 3.6 0.05 + 0.8 0.45 + 0.0 0.4 +. 0. + 4.4 0.09 + 9.6 0.05 =.57 e) La funzione di ripartizione F (x) esprime la probabilità che X assuma un valore al massimo pari ad x F (x) = P (X x) Il valore della funzione di ripartizione nel punto x è dato dalla somma di tutte le probabilità p i dei valori x i non superiori ad x. F (x) = 0 per x<0; F (x) = 0.05 per 0 x < ; F (x) = 0.05 + 0.45 = 0.50 per x < ; F (x) = 0.05 + 0.45 + 0.4 = 0.74 per x < 3; F (x) = 0.05 + 0.45 + 0.4 + 0. = 0.86 per 3 x < 4; F (x) = 0.05 + 0.45 + 0.4 + 0. + 0.09 = 0.95 per 4 x < 5; F (x) = 0.05 + 0.45 + 0.4 + 0. + 0.09 + 0.05 = per x 5; 3

Esercizio 3 Data la v.a. discreta X caratterizzata dalla funzione di probabilità p(x) = (x + 5) x = 0,,, 3, 4 35 a) Calcolare la funzione di probabilità e di ripartizione di X e rappresentarle graficamente; b) determinare valore atteso e varianza di X. Soluzione a) Per il valore x = 0 la funzione di probabilità risulta: P (0) = (0 + 5) = 0.4 35 Per il valore x = la funzione di probabilità risulta: P () = ( + 5) = 0.7 35 e similmente per gli altri valori di X. La funzione di probabilità risulta: X P (X = x) 0 0.4 0.7 0.0 3 0.3 4 0.6 p 0.4 0.6 0.8 0.0 0. 0.4 0.6 0 3 4 x La funzione di ripartizione risulta: F (x) = 0 x < 0 0.4 0 x < 0.3 x < 0.5 x < 3 0.74 3 x < 4 x 4 4

F 0. 0.4 0.6 0.8.0 0 3 4 x b) Per il calcolo di E(X) e V ar(x) risulta x P (x) xp (x) x P (x) 0 0.4 0.00 0.00 0.7 0.7 0.7 0.0 0.40 0.80 3 0.3 0.69.06 4 0.6.03 4. tot.00.9 7.4 da cui si ricava E(X) =.9 e V ar(x) = E(X ) E(X) = 7.4.9 =.9 Esercizio 4 Data la variabile casuale con funzione di densità f(x) di seguito definita 0 x < 0 x 0 x < f(x) = x x < 0 x a) verificare che è una funzione di densità; b) determinare la funzione di ripartizione; c) determinare il valore atteso. Soluzione a) Per verificare che f(x) èuna funzione di densità bisogna dimostrare che l integrale della funzione di densità è pari ad. Dato che la funzione di densità è nulla fuori dall intervallo (0, ) risulta: f(x)dx = 0 0dx + xdx + ( x)dx + 0 5 0dx

f (x) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 0.0 0.5.0.5.0 x Dato che la funzione primitiva di x è x risulta: e la funzione primitiva di ( x) è (x x ) f(x)dx = x 0 + (x x ) = + 4 4 + = b) Per il calcolo della funzione di ripartizione F (x) = x f(t)dt risulta: c) E(X) = xf(x)dx = F (x) = 0 x0dx + 0 x < 0 x 0 x < ( x) x < x 0 x dx + x( x)dx + x0dx = = x3 3 0 + ( x x3 3 ) = 3 + 4 8 3 + 3 = Esercizio 5 Sia X una variabile aleatoria tale che E(X) = 3 e E(X ) = 3. Si determini un limite inferiore per P ( < X < 8) 6

F (x) 0.0 0. 0.4 0.6 0.8.0 0.0 0.5.0.5.0 x Soluzione Risolviamo l esercizio usando la disuguaglianza di Chebyshev. P ( < X < 8) = P ( 3 < X 3 < 8 3) = P ( X 3 < 5) Calcolamo la varianza di X Infine, dalla disuguaglianza di Chebyshev V ar(x) = E(X ) [E(X)] = 3 9 = 4 P ( X µ < ε) σ ε P ( X 3 < 5) 4 5 Esercizio 6 Si consideri la variabile aleatoria doppia (discreta) X(e i ) = numero di Teste nei primi due lanci, (e i ) = numero di Teste nei secondi due lanci, definite su S, insieme dei risultati possibili associato ad un esperimento consistente nel lanciare tre volte una moneta non truccata contrassegnata da Testa e Croce. Determinare la funzione di probabilità, le distribuzioni condizionate. In base alle distribuzioni condizionate verificare se le due variabili sono indipendenti. Determinare la covarianza e il coefficiente di correlazione. Determinare la funzione di probabilità e i momenti della variabile casuale somma (X + ) Soluzione La coppia di variabili aleatorie X, definisce, su S, insieme degli 8 eventi elementari {e =TTT, e =TTC, e 3 =TCT, e 4 =CTT, e 5 =TCC, e 6 =CTC, e 7 =CCT, e 8 =CCC}, ciascuno di probabilità /8, la seguente variabile aleatoria doppia discreta con le relative distribuzioni condizionate: 7

P(X,),5,5 0,5 0-0,5 0 0,5,5,5-0,5 X (e i ) X(e i ) (e i ) P (e i ) (T T T ) /8 (T T C) /8 (T CT ) /8 (CT T ) /8 (T CC) 0 /8 (CT C) /8 (CCT ) 0 /8 (CCC) 0 0 /8 P (X, ) X 0 0 /8 /8 0 /8 /8 /8 /8 4/8 0 /8 /8 /8 /8 4/8 /8 P (/X) X 0 0 / / 0 /4 /4 /4 0 / / 8

P (X/ ) X 0 0 / /4 / /4 / 0 /4 / Le due variabili aleatorie X, non sono indipendenti perché, ad esempio, la distribuzione condizionata P (/X = 0) è diversa da P ( ). Si ricava facilmente E(X) = E( ) = e V ar(x) = V ar( ) = 3 E( ) = y i P ( = y i ) = i= e analogamente si determina E(X) =. = /8 0 + 4/8 + /8 = 3 V ar( ) = (y i E( )) P ( = y i ) = i= = /8 (0 ) + 4/8 ( ) + + /8 ( ) = / e analogamente si determina V ar(x) = /. Il valore atteso condizionato della quando X = risulta: 3 E( X = ) = y i P ( = y i X = ) = i= = 0 0 + / + / = 3/ e analogamente si determinano E( X = 0) = / e E( X = ) = La varianza condizionata della quando X = risulta: 3 V ar( X = ) = (y i E( X = )) P ( = y i X = ) = i= = 0 (0 3/) + / ( 3/) + + / ( 3/) = /4 e analogamente si determinano V ar( X = 0) = /4 e V ar( X = ) = /. 9

Cov(X, ) = E(X E(X)( E( )) = (0 ) (0 ) + ( ) (0 ) 8 8 + + (0 ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 8 8 8 + + ( ) ( ) + ( ) ( ) 8 8 = 4 Corr(X, ) = E(X E(X)( E( )) V ar(x) 0.5 V ar( ) 0.5 = La funzione di ripartizione doppia risulta: 0 se x < 0, y < 0 4 0.5 /8 se 0 x <, 0 y < /8 se 0 x <, y < /8 se x <, 0 y < F (x, y) = 5/8 se x <, y < 6/8 se x <, y 6/8 se x, y < se x, y 0.5 = 4 La funzione di probabilità e i momenti della variabile casuale somma (X + ) risultano: X + P (X + ) 0 /8 /8 /8 3 /8 4 /8 Infatti, ad esempio, P ((X + ) = ) = P (X = 0, = ) + P (X =, = 0). Si ricava: = E(X + ) = 0 8 + 8 + 8 + 3 8 + 4 = = E(X) + E( ) 8 V ar(x + ) = 0 8 + 8 + 8 + 3 8 + 4 8 = 3 = V ar(x) + V ar( ) + Cov(X, ) Esercizio 7 Una prova consiste nell estrarre una pallina da ciascuna di due urne, in ognuna delle quali sono presenti 4 palline numerate da a 4. Lo spazio dei risultati possibili consiste di 6 eventi elementari {(i, j), i 4, j 4 }. Costruire la funzione di probabilità della variabile aleatoria doppia (X, ) ove: X=somma dei numeri sulle due palline, =differenza in valore assoluto dei numeri sulle due palline. Calcolare E(X), E( ) e Cov(X, ). Commentare il valore ottenuto della covarianza. 0

Soluzione P (X, ) X 0 3 /6 0 0 0 /6 3 0 /6 0 0 /6 4 /6 0 /6 0 3/6 5 0 /6 0 /6 4/6 6 /6 0 /6 0 3/6 7 0 /6 0 0 /6 8 /6 0 0 0 /6 4/6 6/6 4/6 /6 0.0 0.5.0.5.0.5 3.0 3 4 5 6 7 8 X E(X) = 6 + 3 6 + 4 3 6 + 5 4 6 + 6 3 6 + 7 6 + 8 6 = 80 6 = 5 E( ) = 0 4 6 + 6 6 + 4 6 + 3 6 = 0 6 =.5 Cov(X, ) = E[(X E(X))( E( ))] = ( 5)(0.5) + (3 5)(.5) 6 6 + + (4 5)(0.5) + (4 5)(.5) + (5 5)(.5) 6 6 6 + + (5 5)(3.5) + (6 5)(0.5) + (6 5)(.5) 6 6 6 + + (7 5)(.5) + (8 5)(0.5) 6 6 = 0 La covarianza è pari a zero anche se le variabili casuali X e non sono indipendenti. Esercizio 8 Date due variabili aleatorie X e ugualmente distribuite, si ponga U = X e V = X +. Calcolare la covarianza di (U, V ).

Soluzione La covarianza tra U e V è definita come: Cov(U, V ) = E(UV ) E(U)E(V ) = E[(X )(X + )] E(X + )E(X ) = E(X ) [E(X) + E( )][E(X) E( )] = E(X ) [E(X) + E( )] 0 = E(X ) E( ) = 0, dove negli ultimi due passaggi si è utilizzata l ipotesi che X e sono ugualmente distribuite (quindi E(X) = E( ) e E(X ) = E( )). Esercizio 9 (Monti) Una compagnia di assicurazione ha due agenti, Rossi e Bianchi. Sia X una variabile casuale che assume valore se un potenziale cliente è stato contattato dall agente Rossi e zero se è stato contattato dall agente Bianchi. Sia una variabile casuale che assume valore se la persona contattata sottoscrive una polizza e zero in caso contrario. La distribuzione di probabilità congiunta di X e è data da: X 0 0 0.3 0.3 0.34 0.30 a) Calcolare le funzioni di probabilità marginali. b) Calcolare le funzioni di probabilità condizionate di, per X = 0 e X =, e confrontarle. c) Calcolare la funzione di probabilità congiunta che si avrebbe in caso di indipendenza. E possibile affermare che le due variabili sono indipendenti? Soluzione Il testo fornisce la distribuzione di probabilità congiunta, quindi le distribuzioni marginali si possono ottenere direttamente semplicemente sommando sulle righe (distribuzione marginale della X) e sommando lungo le colonne (distribuzione marginale della ) ottenendo cosi: ovvero e P (X = x) = P ( = y) = X 0 0 0.3 0.3 0.36 0.34 0.30 0.64 0.57 0.43 { 0.36 se x = 0 0.64 se x = { 0.57 se y = 0 0.43 se y =

La probabilità condizionata è definita come: P ( = y X = x) = P (X = x, = y) P (X = x) Le due distribuzioni condizionate richieste si possono facilmente ricavare, ottenendo: { 0.3/0.36 = 0.64 se y = 0 P ( = y X = 0) = 0.3/0.36 = 0.36 se y = e P ( = y X = ) = { 0.34/0.64 = 0.53 se y = 0 0.30/0.64 = 0.47 se y = Per risolvere l ultimo quesito occorre ricordare che sotto l ipotesi di indipendenza una distribuzione congiunta può essere espressa come prodotto delle distribuzioni marginali. Tale ipotesi nel caso proposto può essere espressa come: P ( = y, X = x) = P (X = x) P ( = y), x, y = 0,. La distribuzione teorica sotto l ipotesi di indipendenza è pertanto pari a: X 0 0 0.05 0.55 0.36 0.365 0.75 0.64 0.57 0.43 Dalla distribuzione soprastante si può concludere che le due variabili aleatorie non sono indipendenti essendo le due distribuzioni congiunte (osservata e teorica d indipendenza) tra di loro diverse. Equivalentemente si può verificare che le due distribuzioni condizionate P ( = y X = 0) e P ( = y X = ) delle variabili X e non sono uguali alla distribuzione marginale P ( ). Esercizio 0 (Monti) Un funzionario di un azienda addetto al reclutamento del personale sottopone i candidati ad un test attitudinale e, se questo è superato, ad un colloquio finalizzato ad accertare la preparazione professionale. Egli ha osservato che gli esiti sono tendenzialmente diversi per i candidati che hanno una precedente esperienza di lavoro rispetto a coloro che sono alla ricerca del primo impiego. Sia X una variabile casuale che assume valore se il candidato ha già lavorato in precedenza e 0 altrimenti e sia una variabile casuale che assume valore 0 se il candidato non supera il test attitudinale, se il candidato supera il test attitudinale ma non il colloquio e se supera anche il colloquio. Il dirigente ha stimato alcune probabilità. In particolare, la probabilità che un candidato abbia una precedente esperienza lavorativa è 0.40. La probabilità che un candidato superi il test attitudinale ma non superi il colloquio è 0.37 e la probabilità che li superi entrambi è di 0.5. La probabilità che un candidato non abbia esperienze di lavoro e non superi il test attitudinale è 0.33, mentre la probabilità che un candidato abbia esperienze di lavoro e superi il test attitudinale ma non il colloquio è 0.5. 3

a) Determinare la funzioni di probabilità congiunta di X e. b) Verificare se le variabili casuali X e sono indipendenti. c) Calcolare le funzioni di probabilità condizionate di, per X = 0 e X =, e confrontarle. Soluzione Il primo passo per affrontare la soluzione del primo quesito è impostare la distribuzione doppia richiesta cercando di collocare le informazioni fornite dal testo dell esercizio. Occorre porre particolare attenzione ai dati forniti poiché alcuni di essi si riferiscono direttamente alla distribuzione di probabilità congiunta mentre altre probabilità si riferiscono alle marginali. In particolare si ha che: X 0 0 0.33 0.5 0.40 0.37 0.5 Il successivo passo è quello di completare le due distribuzioni marginali utilizzando la proprietà che la somma delle probabilità di una distribuzione è pari ad uno. Quindi si ha che: e P (X = 0) = P (X = ) = 0.40 = 0.60, P ( = 0) = P ( = ) P ( = ) = 0.37 0.5 = 0.48. La distribuzione congiunta aggiornata è pari a: X 0 0 0.33 0.60 0.5 0.40 0.48 0.37 0.5 Con un analogo ragionamento, ovvero che la somma delle probabilità sulle righe e sulle colonne deve restituire le rispettive marginali, si ottiene la seguente distribuzione congiunta completa: X 0 0 0.33 0. 0.05 0.60 0.5 0.5 0. 0.40 0.48 0.37 0.5 Per risolvere il secondo quesito occorre ricordare, come nel precedente esercizio, che sotto l ipotesi di indipendenza una distribuzione congiunta può essere espressa come prodotto delle distribuzioni marginali. Tale ipotesi nel caso proposto può essere espressa come: P ( = y, X = x) = P (X = x) P ( = y), x = 0, y = 0,,. La distribuzione teorica sotto l ipotesi di indipendenza è pertanto pari a: 4

X 0 0 0.88 0. 0.09 0.60 0.9 0.48 0.06 0.40 0.48 0.37 0.5 e si può, quindi, concludere che le variabili non sono indipendenti. Le due distribuzioni condizionate di rispetto a X richieste si possono facilmente ricavare, ottenendo: 0.33/0.60 = 0.55 se y = 0 P ( = y X = 0) = 0./0.60 = 0.37 se y = 0.05/0.60 = 0.08 se y = e 0.5/0.40 = 0.375 se y = 0 P ( = y X = ) = 0.5/0.40 = 0.375 se y = 0.0/0.40 = 0.50 se y = Se le due variabili X e fossero indipendenti le due distribuzioni condizionate P ( = y X = 0) e P ( = y X = ) dovrebbero essere uguali alla distribuzione marginale P ( ). Esercizio (Monti ) E stata svolta una indagine per studiare la relazione fra il peso dei neonati e l abitudine al fumo in gravidanza da parte della madre. Per il peso dei neonati sono state individuate quattro classi: la prima ha valore centrale Kg, la seconda ha valore centrale.75kg, la terza ha valore centrale 3.5Kg ed, infine, la quarta ha valore centrale 4Kg. Sia X una variabile casuale che assume valore se la madre ha fumato durante la gravidanza e 0 in caso contrario e sia una variabile casuale che assume valori,.75, 3.5 e 4 a seconda della classe di appartenenza del peso del neonato. E stata stimata la funzione di probabilità congiunta. I valori di tale funzione sono riportati nella seguente tabella: X.75 3.5 4 0 0. 0.5 0.5 0.9 0.6 0.09 0.08 0.06 a) Calcolare le funzioni di probabilità marginali di X e. b) Calcolare i valori attesi condizionati della, per X = 0 e X =, e confrontarli con il valore atteso marginale, commentando i risultati, calcolare le varianze condizionate della. c) Valutare se le variabili casuali X e sono indipendenti. Notare Bene che in questo caso la variabile aleatoria assume tre valori ma le distribuzione condizionate sono solamente due, poiché la variabile condizionate X assume solamente due valori. 5

Soluzione Il testo fornisce la distribuzione di probabilità congiunta, quindi le distribuzioni marginali si possono ottenere direttamente semplicemente sommando sulle righe (distribuzione marginale della X) e sommando lungo le colonne (distribuzione marginale della ) ottenendo cosi: X.75 3.5 4 0 0. 0.5 0.5 0.9 0.6 0.6 0.09 0.08 0.06 0.39 0.8 0.4 0.3 0.5 Il valore atteso marginale della è dato da: E( ) = 4 y i P ( = y i ) = i= = 0.8 + 0.4.75 + 0.3 3.5 + 0.5 4 =.9675 Per calcolare i valori attesi condizionati occorre innanzitutto determinare le due distribuzioni condizionate. Tali distribuzioni sono date da: 0./0.6 = 0.97 se y = 0.5/0.6 = 0.46 se y =.750 P ( = y X = 0) = 0.5/0.6 = 0.46 se y = 3.50 0.9/0.6 = 0.3 se y = 4 e 0.6/0.39 = 0.40 se y = 0.09/0.39 = 0.3 se y =.750 P ( = y X = ) = 0.08/0.39 = 0.05 se y = 3.50 0.06/0.39 = 0.54 se y = 4 Il valori attesi condizionati della sono dati da: 4 E( X = 0) = y i P ( = y i X = 0) = i= = 0.97 + 0.46.75 + 0.46 3.5 + 0.3 4 = 3.4 e 4 E( X = ) = y i P ( = y i X = ) = i= = 0.40 + 0.3.75 + 0.05 3.5 + 0.54 4 =.7375 Si verifica che E(E( X)) = E( ). Infatti: E(E( X)) = E( )P (X = 0) E( X = 0) + P (X = )E( X = ) = = 0.6 3.4 + 0.39.7375 =.9675 = E( ) 6

Le varianze condizionate della sono date da: 4 V ar( X = 0) = (y i E( X = 0)) P ( = y i X = 0) = i= = 0.97 ( 3.4) + 0.46 (.75 3.4) + + 0.46 (3.5 3.4) + 0.3 (4 3.4) = 0.53 e V ar( X = ) = 4 (y i E( X = )) P ( = y i X = ) = i= = 0.40 (.7375) + 0.3 (.75.7375) + + 0.05 (3.5.7375) + 0.54 (4.7375) = 0.5 La distribuzione teorica sotto l ipotesi di indipendenza è pari a: X.75 3.5 4 0 0.7 0.46 0.40 0.53 0.6 0.09 0.094 0.09 0.097 0.39 0.8 0.4 0.3 0.5 e si può, quindi, concludere che le variabili non sono indipendenti. Equivalentemente si può verificare che le due distribuzioni condizionate P ( = y X = 0) e P ( = y X = ) delle variabili X e non sono uguali alla distribuzione marginale P ( ). Esercizio Sia X una variabile casuale continua con media e varianza 9. a) Supponiamo che ed siano due variabili indipendenti che hanno la stessa distribuzione di X. Calcolare la varianza della variabile casuale 0.5( + ) b) Sia Z = /3 + X/3. Determinare il valore atteso e la varianza di Z. Soluzione Se chiamiamo W = 0.5( + ) allora si ha che E(W ) = E(0.5( + )) = 0.5 (E( ) + E( )) = 0.5 ( + ( )) = ; Var(W ) = Var(0.5( + )) = 0.5 (Var( ) + Var( )) = 0.5 (9 + 9) = 4.5. 7

Per la soluzione dell ultima domanda occorre ricordare la proprietà delle trasformazioni lineare di una variabile aleatoria. Se chiamiamo Z = /3 + X/3, si ha che: E(Z) = E(/3 + X/3) = /3 + (E(X)/3) = /3 /3 = 0; Var(Z) = Var(/3 + X/3) = /9 Var(X) = /9 9 =. Quindi Z è una variabile aleatoria standardizzata. Esercizio 3 Sia data una prova avente come insieme dei risultati possibili i numeri interi positivi S = {,, 3,...}. Il generico evento elementare i abbia probabilità P (i) = / i. Verificare se si tratti di una variabile casuale. Determinare la probabilità dell evento E: il risultato della prova è un numero pari. Soluzione Le P (i) sono numeri non negativi e maggiori di. Dalle proprietà della serie geometrica si ha inoltre: P (X = i) = + 4 + 8 +... = i= P (E) = P () + P (4) + P (6) +... = 4 ( + 4 + 6 +..) = 4 /4 i = 3 Esercizio 4 Determinare il coefficiente di correlazione ρ nei seguenti tre casi di variabili casuali doppie: I) (X, ), P (X, ) X 0 0 /8 /8 0 /8 /8 /8 0 /8 /8 i=0 II) (X, ), P (X, ) X 0 0 /8 0 0 0 4/8 0 0 0 /8 8

III) (X, ), P (X, ) X 0 0 0 0 /8 0 4/8 0 /8 0 0 Soluzione 9

I) Si ricava facilmente E(X) = E( ) = e V ar(x) = V ar( ) = P(X,),5,5 0,5 0-0,5 0 0,5,5,5-0,5 X Cov(X, ) = E(X E(X)( E( )) = (0 ) (0 ) + ( ) (0 ) 8 8 + + (0 ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 8 8 8 + + ( ) ( ) + ( ) ( ) 8 8 = 4 Corr(X, ) = E(X E(X)( E( )) V ar(x) 0.5 V ar( ) 0.5 = 4 0.5 0.5 = 4 = 0

II) Si ricava facilmente E(X) = E( ) = e V ar(x) = V ar( ) = P(X,),5,5 0,5 0-0,5 0 0,5,5,5-0,5 X Cov(X, ) = E(X E(X)( E( )) = = (0 ) (0 ) 4 + ( ) ( ) + ( ) ( ) 8 8 8 = Corr(X, ) = E(X E(X)( E( )) V ar(x) 0.5 V ar( ) 0.5 = 0.5 0.5 = =

III) Si ricava facilmente E(X) = E( ) = e V ar(x) = V ar( ) = P(X,),5,5 0,5 0-0,5 0 0,5,5,5-0,5 X Cov(X, ) = E(X E(X)( E( )) = = (0 ) ( ) 4 + ( ) ( ) + ( ) (0 ) 8 8 8 = Corr(X, ) = E(X E(X)( E( )) V ar(x) 0.5 V ar( ) 0.5 = 0.5 0.5 = = Esercizio 5 Sia X una variabile casuale continua con media e varianza 9. a) Supponiamo che ed siano due variabili indipendenti che hanno la stessa distribuzione di X. Calcolare la varianza della variabile casuale 0.5( + ) b) Sia Z = /3 + X/3. Determinare il valore atteso e la varianza di Z. Soluzione Se chiamiamo W = 0.5( + ) allora si ha che E(W ) = E(0.5( + )) = 0.5 (E( ) + E( )) = 0.5 ( + ( )) = ; Var(W ) = Var(0.5( + )) = 0.5 (Var( ) + Var( )) = 0.5 (9 + 9) = 4.5.

Per la soluzione dell ultima domanda occorre ricordare la proprietà delle trasformazioni lineare di una variabile aleatoria. Se chiamiamo Z = /3 + X/3, si ha che: E(Z) = E(/3 + X/3) = /3 + (E(X)/3) = /3 /3 = 0; Var(Z) = Var(/3 + X/3) = /9 Var(X) = /9 9 =. Quindi Z è una variabile aleatoria standardizzata. Esercizio 6 Per produrre un manufatto occorrono X ore di lavoro e kg di materia prima. Si sa inoltre che E(X) = 0., E( ) =.5, V ar(x) = 0.00, V ar( ) = 0.5, Cov(X, )=0.006 e che il costo di un ora di lavoro è 0 euro e quello di un kg di materia prima 3.5 euro. a) Si determini il valore atteso del costo del singolo manufatto; b) Si determini la varianza del costo del singolo manufatto Soluzione a) Il costo del singolo manufatto è dato da Z = 0X + 3.5. Per la proprietà di valore atteso e varianza di combinazioni lineari di variabili casuali si ottiene: b) E(Z) = µ = E(0X + 3.5 ) = 0E(X) + 3.5E( ) = 0 0. + 3.5.5 = 9.5 Il costo medio del singolo manufatto risulta 9.5 euro. V ar(z) = σ = V ar(0x + 3.5 ) = 0 V ar(x) + 3.5 V ar( ) + 0 3.5Cov(X, ) = 0 0.00 + 3.5 0.5 + 0 3.5 0.006 = 4.705 La varianza del costo del singolo manufatto risulta 4.705 euro, lo scarto quadratico medio.7 euro. 3