Storia dei sistemi di numerazione

Università Degli Studi di Bologna - Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Informatica L.S. Storia dei sistemi di numerazione A cura di : Dell Onte Fabio, Masciotti Marco Bologna 29-08-2006 Docente: Prof. Casadei Giorgio Corso: Storia e didattica dell informatica 1

INDICE Il sistema di numerazione sumero. 3 Il sistema di numerazione egizio... 4 Il sistema di numerazione cinese... 5 Il sistema di numerazione maya... 6 Il sistema di numerazione romano... 7 Tipologia dei sistemi di numerazione... 8 2

Il sistema di numerazione sumero Possiamo considerare i Sumeri i veri inventori di un sistema di numerazione (terzo millennio a.c.). Il sistema di numerazione sumero usava due soli simboli ed era di tipo misto, additivo e posizionale. I simboli sono composti per formare i numeri fino al 59 in maniera additiva, mentre dal 60 in poi la rappresentazione diviene posizionale in base 60. Lo stesso simbolo assumeva, infatti, il valore diverso se scritto distanziato con uno spazio dagli altri. I simboli utilizzati come detto sono due, infatti lo stilo usato per le incisioni sulle tavolette d'argilla fresca era impiegato secondo due modalità di incisione: di taglio e di piatto. Questo simbolo viene utilizzato per rappresentare le unità mentre rappresenta le decine. Nella tabella è rappresentata la scrittura dei numeri da 1 a 60. 1 11 21 31 41 51 2 12 22 32 42 52 3 13 23 33 43 53 4 14 24 34 44 54 5 15 25 35 45 55 6 16 26 36 46 56 7 17 27 37 47 57 8 18 28 38 48 58 9 19 29 39 49 59 10 20 30 40 50 60 Dopo il numero 60 viene utilizzata la notazione posizionale, ciò fa risparmiare una notevole quantità di simboli. Non esistono limiti nella rappresentazione dei numeri. Esempi: = 3600 x 1 + 60 x 1 + 1 = 3661 = 33 x 60 + 19 = 1999 = 9 x 60 + 13 = 553 Tuttavia la mancanza di un simbolo per rappresentare lo zero provoca una notevole ambiguità nella rappresentazione scritta. 3

Il sistema di numerazione egizio La matematica egizia utilizzava la base 10, ed utilizzava simboli per le potenze di 10 da 1 (10 0 ) a 1.000.000 (10 6 ). Nella tabella a fianco vengono riportati in forma Valore Simbolo stilizzata i simboli usati per la scrittura geroglifica 1 dei numeri. 10 I multipli dei valori rappresentati da questi simboli venivano espressi ripetendo il simbolo 100 tante volte quante era necessario. Ad esempio il numero 4622 viene rappresentato 1.000 come 10.000 100.000 Le iscrizioni geroglifiche egiziane presentano una 1.000.000 notazione speciale per le frazioni aventi come numeratore l'unità. Il numero reciproco di un qualsiasi intero veniva indicato collocando al di sopra del segno indicante il numero un ovale allungato. Il sistema di scrittura egizio e poi evoluto semplificando la forma dei simboli (scrittura ieratica) sia aggiungendo simboli nuovi per rappresentare numeri da 2 a 9. Esempi: 440 = 2004 = 111.111 = 1.010.000 = 4

Il sistema di numerazione cinese Gli antichi Cinesi avevano sviluppate notazioni basate su corde e nodi, nodi bianchi per i numeri dispari, richiamanti le giornate, nodi neri per i pari, assegnati alle notti. A partire dal III sec. a.c. circa, i Cinesi cominciano a usare i 14 segni riportati in tabella. Si fa notare Tuttavia che lo zero non era utilizzato in maniera sistematica. Valore 0 1 2 3 Simbolo I segni cinesi usati per i numeri, come per i romani, sono caratteri in lingua cinese, segni/parole che esprimono sia un valore ideografico sia un valore fonetico dei nomi cinesi e dei numeri corrispondenti. Nel sistema numerico cinese nel rappresentare i numeri da 11 a 19 si usava 10 e a destra si mettevano i numeri che al 10 si dovevano addizionare (metodo additivo). 4 5 6 7 8 9 10 100 1.000 Esempio : = 14 = ( ) + ( ) Invece da 20 si sperimenta un metodo moltiplicativo per cui 20 è 2 x 10: il moltiplicatore della base di riferimento si mette a sinistra (e non a destra come nelle procedure additive). Esempio: 20 diventa che corrisponde a [( ) x ( )] e cioè 2x10. Esempio: 21 diventa ( ) che corrisponde [( ) x ( ) + ( )] e cioè 2x10+1. In questo modo si evitavano le fastidiose ripetizioni di segni identici e l'uso di troppi simboli elementari. 10.000 Esempi: = 273 = 1589 = 40804 Il numero più grande rappresentabile è 999.999.999 = 5

La numerazione maya I Maya avevano raggiunto un alto grado di rappresentazione dei numeri grazie al quale potevano cimentarsi nelle scienze matematiche e nell'astronomia con risultati a volte sorprendenti. A loro, infatti, viene attribuita anche la scoperta dello zero. I numeri andavano dallo 0 al 19 e venivano espressi con due diversi metodi: metodo "normale" metodo dei glifi I due simboli, punto per le unità e linea per cinque unità, rappresentavano fagioli e bastoncini di legno che dovevano essere usati effettivamente per comporre i numeri forse su una scacchiera, infatti allo sbarco dei Conquistadores in Messico vi era già in uso uno strumento simile all'abaco. Nel secondo metodo si usavano le rappresentazioni delle teste delle divinità. Se i numeri erano superiori al 20 in entrambi i due metodi si passava al sistema posizionale in quanto si otteneva un aumento d'ordine nella serie numerica sovrapponendo un numero sopra l altro partendo dal basso verso alto. In tal modo il numero in basso nella serie era moltiplicato per 20 0, quello immediatamente superiore per 20 1, il terzo per 20 2 e così via per potenze di 20. Come per i sumeri non vi erano limiti nella rappresentazione dei numeri. Con questo sistema le operazioni come addizioni e sottrazioni erano molto più semplici. Negli esempi che seguiranno verranno allineati i numeri da destra a sinistra per motivi di ordine pratico. Esempio: 345 = 17 x 20 1 + 5 x 20 0 = 158 = 7 x 20 1 + 18 x 20 0 = 49 = 2 x 20 1 + 9 x 20 0 = 8000 = 1 x 20 3 = Valore Simbolo Glifo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6

Il sistema di numerazione romano Nella tabella seguente vengono riportati i simboli del noto sistema di numerazione utilizzato dai romani. Valore Simbolo 1 I 5 V 10 X 50 L 100 C 500 D 1.000 M Inoltre per limitare la lunghezza della presentazione venivano utilizzati i seguenti gruppi base: Valore Simbolo 4 IV 9 IX 40 XL 90 XC 400 CD 900 CX Le lettere I, X, C, M si potevano ripetere al massimo tre volte ( Esempio 3333 = MMMCCCXXXIII ). I simboli V, L, D, non si ripetono mai. Tutti gli altri numeri si ottengono mediante varie combinazioni dei sette simboli fondamentali e dei sei gruppi base. La logica additiva prevede di ottenere il numero sommando i valori relativi ad ogni simbolo per ottenere l'equivalente decimale. La logica sottrattivi prevede che se un simbolo di valore minore precede uno di valore maggiore allora occorre sottrarre il valore minore al maggiore per ottenere l'equivalente decimale. Solo I da V e da X, X da L e da C e C da D e M possono essere sottratti. I gruppi base sono gli unici casi in cui si indica un numero con una sottrazione, infatti 49 non si scrive con il simbolo IL (50-1), ma si deve scrivere ordinatamente XLIX (40 + 9). Esempi: IV = 4; VI = 6; VIII = 8; IX = 9; XII = 12; XLIX = 49; LV = 55; CLVIII = 100 + 50 + 5 + 1 + 1 + 1 = 158 XCII = 92 CD = 400; CMLIX = (1000-100) + 50 + (10-1) = 959 7

Mediante queste regole il numero più alto che si può scrivere è 3999 = MMMCMXCIX (3000 + 900 + 90 + 9) e infatti si è visto che il simbolo M non si può ripetere più di tre volte e non c'è nessun simbolo fondamentale superiore a M. Per ovviare a questo e proseguire la numerazione, i Romani usavano un' accorgimento particolare, ponendo sopra il simbolo una lineetta - e con questo intendevano moltiplicare per 1.000 il valore dei numeri (esempio: L - = 50000). Per moltiplicare poi un numero per 1.000.000, oltre alla linea superiore gli si aggiungevano due linee verticali tali da incorniciarlo (esempio: C - = 100.000.000). Data la relativa complessità della numerazione adottata dai romani l unica maniera per eseguire le operazioni aritmetiche era quella di utilizzare l abaco(vedi sezione relativa). Tipologia dei sistemi di numerazione I sistemi di numerazione possono essere di tipi differenti. La principale distinzione riguarda se il sistema è posizionale oppure no. Per posizionale si intende che ogni cifra assume un significato diverso a seconda della posizione in cui si trova (unità, decine, centinaia, ecc.). Per esempio il sistema numerico romano non era posizionale; il simbolo X rappresenta sempre il numero dieci. Definizione formale di un Sistema di Numerazione posizionale: si sceglie un qualsiasi numero naturale b (diverso da zero e da uno), che chiameremo base. si scelgono b simboli diversi, che chiameremo cifre. si compongono i numeri tenendo presente che il valore di ogni cifra va moltiplicato per: o b 0 cioè 1 se è l'ultima cifra alla destra del numero che stiamo considerando o b 1 cioè b se è la seconda cifra da destra, o b 2 se è la terza cifra da destra, o e così via, b (n-1) se è la n-esima cifra da destra. la somma tutti i valori così ottenuti è il numero che stiamo considerando. Esempio: 2865 base10 = 2x10 3 + 8x10 2 + 6x10 1 + 5x10 0 Questo sistema ha preso piede perché necessita di pochi simboli per rappresentare un numero ed inoltre consente una comoda esecuzione di operazioni aritmetiche: si mettono i numeri da sommare uno sotto l'altro li si può addizionare colonna per colonna riportando i totali eccedenti il 10 nella colonna a fianco. Con il sistema romano il numero nell esempio necessita di nove cifre ( MMDCCCLXV ) contro le quattro del nostro sistema ed eventuali operazioni su tale numero avrebbero richiesto un supporto esterno, tipo l'abaco. Il sistema posizionale per poter funzionare deve prevedere un simbolo per rappresentare lo zero. Questo fu introdotto dagli indiani e permette di dare al numero "10" il significato di "una decina e zero unità". Questa scoperta è il frutto di concetti religiosi/filosofici sviluppatesi in India, infatti in un manoscritto buddista tra il I sec. a.c. e il I sec. d.c. si dice che ogni forma è vuota ma che la Vuotezza è anch essa forma. Quindi gli indiani diedero allo zero, oltre al significato di operatore alla fine dei numeri, anche il significato di numero su cui effettuare delle operazioni. 8