SPORT E TEORIA DEI GIOCHI: UN APPLICAZIONE

Dipartimento di Studi Aziendali e Giuridici Corso di Laurea Magistrale in Management e Governance SPORT E TEORIA DEI GIOCHI: UN APPLICAZIONE AI CALCI DI RIGORE NEL FOOTBALL Relatore: Chiar.mo Prof. Nicola Dimitri Correlatore: Chiar.mo Prof. Paolo Pin Candidato Carlotta Capezzuoli Anno Accademico 2012/2013

2 A Barbara ed Andrea

La vita ci costringe a fare continue scelte ad ogni livello (famigliare, personale, sociale) e in ogni campo (morale, economico, politico), in situazioni di conoscenza imperfetta della situazione, del comportamento altrui e degli effetti delle varie scelte. Nonostante la sua complessità, il processo decisionale può comunque essere modellato con strumenti matematici: la branca della matematica che si interessa di tali problemi si chiama teoria dei giochi. [P. Odifreddi Giochi pericolosi ] 3

INDICE Abstract pag. 6 Introduzione pag. 7 1. La Teoria dei giochi pag. 9 1.1 Cenni storici pag. 9 1.2 Il gioco pag. 10 1.3 Classificazione dei giochi pag. 14 1.4 Giochi non cooperativi pag. 16 1.4.1 Gioco simultaneo pag. 16 1.4.2 Gioco dinamico pag. 19 1.4.3 Giochi ripetuti pag. 21 1.4.3.1 Ripetizione finita pag. 22 1.4.3.2 Ripetizione infinita pag. 22 1.5 Giochi cooperativi pag. 24 1.5.1 Il Valore di Shapley pag. 25 1.6 Gioco a somma costante pag. 27 2. Il calcio di rigore pag. 30 2.1 La storia del calcio pag. 30 2.2 Il penalty kick pag. 34 2.3 La Teoria dei giochi applicata al calcio di rigore pag. 36 2.3.1 I rigori di A. Del Piero pag. 44 2.3.2 Le parate di G. Buffon pag. 49 4

2.3.3 I rigori di L. Messi pag. 52 2.3.4 Le parate di S. Handanovic pag. 54 2.3.5 I rigori di C. Ronaldo pag. 56 2.3.6 Le parate di I. Casillas pag. 59 2.4 Le probabilità di successo dei singoli giocatori pag. 61 2.5 I rigori sono prevedibili? pag. 73 2.6 I tiri di rigore pag. 78 Conclusione pag. 83 Bibliografia e Sitografia pag. 85 Ringraziamenti pag. 87 APPENDICE B i = note presenti in Bibliografia S i = note presenti in Sitografia 5

ABSTRACT This thesis applies the game theory to an often concrete contingency in football: the penalty kick. Of considerable interest especially for how that is structured: one on one, two possibilities of outcome, in a scenario represented by so many choices. This work analyzes 368 penalty kicks in total performed and/or warded off by 6 worldrenowned football players. The objective of this study is to highlight the applications of the game theory in this particular circumstance. As with any non-cooperative game, even in the case of penalty kicks no strategies apply. That is why we used the minimax method to identify the probability that one of the two players is indifferent to the choices of others in mixed strategies. We also analyzed the development of the opportunity to score for each player considered as part of this analysis. The ability for a player to become unpredictable has been observed with the application of the OLS method.. A brief analysis was also carried out for the penalty kicks. 6

INTRODUZIONE La quotidianità impone ad ognuno di valutare continuamente gli eventi di fronte ai quali ci troviamo attraversando i personali percorsi. La vita ci chiede di fare scelte a livello familiare, sociale, amicale, professionale, identitario, mentre quella sociale ci chiede lo stesso in termini di morale, politica, economia, istituzioni ed in termini di appartenenza. Gli esseri umani hanno facoltà di scelta, ne è un esempio ciò che chiamiamo libero arbitrio. Esiste però anche una meta-scelta (meta, dal greco metà che significa aldilà, oltre, sopra) cioè la possibilità, anzi la necessità, di uno scegliere nella scelta. Vivere significa scegliere e scegliere significa decidere come agire. In termini di azioni le possibilità sono moltissime: dal non scegliere affatto, all affidarsi al caso, ad azioni progettate, all intuito, fino a scegliere matematicamente. Una cosa è certa: è impossibile non scegliere perché anche non scegliere rappresenta una scelta a sé. Chi non sceglie non gioca. Nonostante la sua complessità, ciò che chiamiamo processo decisionale può essere analizzato, valutato e modellato attraverso l utilizzo di strumenti propri della matematica, secondo le teorie di quel filone di studi chiamato appunto teoria dei giochi. Questa tesi applica la teoria dei giochi ad una possibilità spesso concreta nel gioco del calcio: il penalty kick, meglio conosciuto con il nome di calcio di rigore. Esso è di notevole interesse soprattutto per come si struttura: uno contro uno, due sole possibilità di esito immerse in uno scenario rappresentato da moltissime scelte. Nel lavoro sono stati analizzati in totale 368 calci di rigore tirati e/o parati da sei calciatori di fama mondiale. L obiettivo è mettere in evidenza le applicazioni della teoria dei giochi in questa particolare eventualità. Come in ogni gioco non cooperativo abbiamo visto che anche nei calci di rigore non esistono delle strategie pure e quindi abbiamo utilizzato il metodo minimax per individuare, in strategie miste, la probabilità che rende uno dei due giocatori indifferente alle scelte dell altro. A seguito dell analisi di un numero n di rigori abbiamo valutato le possibilità di successo che lo specifico giocatore potrebbe ottenere al rigore (n+1). Successivamente si è preso in esame l andamento della possibilità di punteggio per ogni giocatore, al fine di mostrare come, all aumentare dei calci di rigore, la score probability tende ad assumere un valore pressoché costante. È stato importante inoltre specificare una differenza che non tutti hanno chiara e che risulta fondamentale a questa analisi: la sostanziale differenza tra il calcio di rigore e i tiri di rigore, analizzati in questo studio sempre in riferimento ai calciatori presi in esame. 7

Un ulteriore valutazione è scaturita dall applicazione del metodo dei minimi quadrati (OLS), utilizzato per calcolare la probabilità direzionale inerente al tiro successivo: la constatazione della capacità di un giocatore di rendersi imprevedibile. È in dubbio comunque che all interno della vita degli uomini sia presente un elemento spesso lontano dalla logica matematica e statistica. Ci riferiamo alla possibilità di un azione e di una scelta istintive, non programmate, imprevedibili. 8

CAPITOLO PRIMO LA TEORIA DEI GIOCHI 1.1 Cenni storici La teoria dei giochi, anticipata da Leibniz 1 nel 1710, fu formulata nel 1928 dal matematico John von Neumann 2. Egli credeva fortemente nella ragione e nel metodo razionale come unico strumento utile per affrontare gli eventi importanti della vita. Le sue idee dettero origine ad una branca della matematica efficace per affrontare problemi decisionali, risoluzione dei conflitti, dilemmi sociali. Neumann sviluppò ulteriormente le sue teorie in Theory of Game and Economic Behaviour (1944), lavorando con Oskar Morgenstern 3 : i due scienziati tentarono di descrivere matematicamente il comportamento umano in quelle situazioni in cui l interazione umana è incentrata su dinamiche competitive di vincita-perdita o spartizione di risorse. La teoria dei giochi si sviluppò durante la seconda guerra mondiale, soprattutto in USA e in Gran Bretagna, dove un numero rilevante di scienziati ed economisti vennero impiegati negli Stati Maggiori. Uno dei principali studiosi nel campo della teoria dei giochi fu, negli anni cinquanta, il matematico John Forbes Nash jr. 4, che si specializzò nei giochi non cooperativi ed introdusse il concetto di Equilibrio di Nash. 1 Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 1 lugio 1646 Hannover, 14 novembre 1716) è stato un matematico, filosofo e giurista tedesco. A lui si deve il termine funzione e l'introduzione e i primi sviluppi del calcolo infinitesimale, in particolare del concetto di integrale. È considerato un precursore dell'informatica e del calcolo automatico: fu inventore di una calcolatrice meccanica detta appunto Macchina di Leibniz. 2 John von Neumann (Budapest, 28 dicembre 1903 Washington, 8 febbraio 1957) è stato un matematico, fisico e informatico ungherese naturalizzato statunitense. A lui si devono fondamentali contributi in numerosi campi della ricerca tra cui la teoria dei giochi. 3 Oskar Morgenstern (Görlitz, 24 gennaio 1902 Princeton, 26 luglio 1977) è stato un economista austriaco, cofondatore insieme a John von Neumann della Teoria dei giochi. Con lui scrisse, nel 1944, il libro Theory of Game and Economic Behaviour. 4 John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 13 giugno 1928) è un matematico ed economista statunitense, nobel per l'economia nel 1994 insignito insieme ad Harsanyi e Selten. Tra i matematici più brillanti e originali del Novecento, ha rivoluzionato l'economia con i suoi studi di matematica applicata alla Teoria dei giochi. Nonostante abbia vissuto 25 anni da squilibrato è passato alla storia per aver introdotto la nozione di Equilibrio che porta il suo nome. A lui è stato dedicato il film di Ron Howard A beautiful mind. 9

Non possono non essere citati Tucker 5 (matematico americano, autore del Dilemma del Prigioniero), Luce 6 e Raiffa 7, che in Games and Theory (1957) estesero la teoria a contesti decisionali incerti e complessi, con agenti con razionalità limitata e Schelling 8 autore del testo The Strategy of Conflict (1960) sui comportamenti strategici. Altro studioso della teoria dei giochi è stato Robert Aumann 9, il cui più grande contributo va ricercato nell ambito dei cosiddetti giochi ripetuti. In origine la teoria dei giochi aveva contribuito a chiarire alcuni importanti interrogativi concettuali, rispondendo a molte aspettative concrete. Nel tempo, però, si è persa nell astrattismo, fino agli anni 80, quando è iniziato un suo risveglio, e ha raggiunto un ampia applicazione pratica. Oggi può essere suddivisa in grandi filoni, poiché le sue applicazioni sono molteplici: dal campo economico-finanziario a quello strategico-militare, dalla psicologia all informatica, dalla politica alla sociologia, dalla biologia allo sport 1.2 Il gioco La teoria dei giochi è la disciplina scientifica che studia il comportamento e le decisioni degli agenti razionali in condizioni di interdipendenza strategica, ovvero in situazioni in cui, in presenza di interazioni tra diversi soggetti, le azioni di un individuo influenzano anche le scelte degli antagonisti. Queste condizioni si definiscono situazioni strategiche. 5 Albert William Tacker (Oshawa, 28 novembre 1905 Hightstown, 25 gennaio 1995), è inoltre noto per le così dette condizioni di Karush-Kuhn-Tacker per la programmazione lineare. Durante la sua attività accademica ebbe Nash tra i suoi alunni. 6 R. Duncan Luce (Scranton, 16 maggio 1925 Irvine, 11 agosto 2012), laureato in ingegneria e con dottorato di laurea in matematica, è stato un pioniere nel campo della psicologia matematica, ricevendo per questo nel 2003 la National Medal of Scienze per scienze sociali e comportamentali. Molti altri i riconoscimenti a lui conferiti. 7 Howard Raiffa (New York City, 24 gennaio 1924) ha ricevuto numerosi riconoscimenti per le ricerche e gli studi compiuti sulla teoria dei giochi, la teoria delle decisioni statistiche, l analisi decisionale, la mediazione e la risoluzione dei conflitti. 8 Tomas Crombie Schelling (Oakland, 14 aprile 1921), economista, è stato professore per gli affair esteri, sicurezza nazionale, strategie nucleari e controllo degli armamenti. Nel 2005 gli è stato conferito il premio nobel per l economia, condiviso con Aumann. 9 Yisrael Robert John Aumann (Francoforte sul Meno, 8 giugno 1930) è un matematico israeliano, nobel per l economia nel 2005 insieme a Schelling. Membro dell'accademia delle Scienze degli Stati Uniti, è uno dei fondatori del "Centro per la teoria dei giochi nell'economia". È stato il primo a definire il concetto di Equilibrio correlato (1974, Journal of Mathematical Economics), un esempio di equilibrio nei giochi non cooperativi. 10

Il principale oggetto di studio della teoria dei giochi è costituito da quelle situazioni di conflitto nelle quali gli individui sono costretti a intraprendere una strategia di competizione o di cooperazione. Una situazione di questo tipo è denominata gioco e gli individui sono i giocatori. I giocatori (o agenti) devono formulare una strategia 10 al fine di effettuare le scelte migliori per massimizzare la propria utilità, tenendo anche conto delle mosse adottate dagli altri agenti che partecipano al gioco. Le scelte positive sono premiate, mentre quelle negative sono punite. Il risultato del gioco, quindi, è completamente determinato dalla sequenza delle strategie degli agenti e da quelle prese dagli altri giocatori, che possono essere in accordo o meno. In seguito alle strategie adottate da tutti i giocatori coinvolti, ognuno di essi riceve una valutazione del risultato ottenuto: il numero che esprime tale valutazione è detto payoff 11 e può essere positivo, negativo o nullo. In definitiva, un gioco è descritto quindi da almeno tre elementi caratteristici: 1.un insieme di giocatori che partecipano al gioco e assumono delle decisioni; 2.un insieme di strategie per ciascun giocatore; 3.i payoffs per ciascun giocatore, associati agli esiti finali del gioco. Premessa indispensabile per la teoria dei giochi è che tutti devono essere a conoscenza delle regole del gioco e delle conseguenze di ogni singola mossa. Ogni gioco può essere rappresentato in forma normale (o strategica) o in forma estesa. Nel primo caso si parla di rappresentazione matriciale (matrice dei payoffs o delle vincite), nel secondo di rappresentazione con un grafo ad albero, la quale mette in risalto sia le informazioni di cui i giocatori dispongono al momento di muovere che la sequenza (temporale o logica) delle loro mosse. La rappresentazione in forma normale si basa sull ipotesi che il problema decisionale dell agente possa essere assimilato a quello della scelta di una strategia, data quella che si pensa i rivali stiano adottando. Quando il gioco coinvolge solamente due players, tutte le informazioni del gioco in forma strategica possono essere rappresentate con una bimatrice, come nella tabella seguente. 10 La strategia è la mossa o l insieme di mosse che l individuo intende fare; è un piano di azioni formulato all inizio del gioco, che individua quelle da utilizzare per ogni eventuale circostanza in cui si può essere chiamati a giocare. 11 Il termine payoff viene talvolta reso in italiano con i termini: risultato, premio, ricompensa, pagamento. 11

Matrice a doppia entrata B Destra Sinistra Alto (1, 2) (0, 1) A Basso (2, 1) (1, 0) Tab. 1 Nella matrice a doppia entrata, le possibili mosse (o strategie) dei due giocatori sono disposte rispettivamente sul lato verticale (giocatore B, detto di colonna destra o sinistra) e orizzontale (giocatore A, detto di riga alto o basso). In ogni cella sono rappresentati gli esiti del gioco, i payoff, che i due giocatori ottengono attuando le mosse raffigurate nelle corrispondenti righe e colonne. Per convenienza, il primo numero della cella rappresenta la vincita del giocatore di riga e il secondo numero quella del giocatore di colonna. Nel caso della rappresentazione in forma estesa, invece, le possibili mosse dei giocatori (azioni 12 ) sono rappresentate mediante un albero di gioco. Una sequenza di azioni è detta sentiero (path) o storia del gioco, i nodi rappresentano gli stati del gioco e i rami (o archi) le possibili mosse che gli agenti possono effettuare a partire da un determinato nodo. Il nodomadre è associato alla situazione iniziale del gioco; i nodi intermedi sono caratterizzati da almeno un nodo predecessore e un nodo successore. Quando un nodo non ha successori (nodo terminale), si identifica uno dei possibili stati finali del gioco. La ramificazione dell albero si espande dall alto verso il basso, ma per analizzarlo deve essere utilizzata l induzione a ritroso (backward induction). Rappresentiamo l esempio precedente con un grafo: Grafo ad albero Rami Alto A Basso Nodo Dx B Sx Dx B Sx 1, 2 0, 1 2, 1 1, 0 12 Le azioni sono diverse dalle strategie: un azione è una scelta locale, una possibile scelta in un determinato nodo; una strategia è una scelta globale, è un piano completo di azioni. 12

Le soluzioni di un gioco portano all equilibrio, ovvero alla situazione in cui nessun giocatore desidera modificare il suo comportamento unilateralmente dato il comportamento degli altri. Ciascuno adotta la strategia migliore, quella selezionata sulla base della scelta razionale, ma poiché l ottimizzazione sottende l interdipendenza che si instaura, per ognuno la scelta migliore coincide con la risposta migliore (best reply) all altro. Nel caso di informazione imperfetta il giocatore non conosce la mossa dell altro e la sua decisione migliore verrà formulata sulla base dell aspettativa che anche l avversario scelga la strategia migliore. La nozione più utilizzata di equilibrio è quella introdotta da Nash: Un gioco può essere descritto in termini di strategie, che i giocatori devono seguire nelle loro mosse: l equilibrio c è, quando nessuno riesce a migliorare in maniera unilaterale il proprio comportamento. Per cambiare, occorre agire insieme. 13 Si parla appunto di equilibrio di Nash quando è possibile trovare un insieme di strategie (una per ciascun giocatore), tale che ognuna di esse è la migliore per il singolo giocatore al momento che anche gli altri giocano la loro strategia di equilibrio. L equilibrio di Nash rappresenta quindi l insieme di strategie che costituisce la risposta ottima di tutti i giocatori e che permette di conseguire il massimo guadagno sia individuale che collettivo. Pertanto, in un gioco strategico e con un profilo di azioni a*, si dice che abbiamo un equilibrio di Nash se: U i (a* i, a* -i ) U i (a i, a* -i ) e a* costituisce un equilibrio di Nash se non vi è incentivo unilaterale a deviare dall azione prevista in a* se tutti gli altri la adottano. Nell esempio precedentemente esposto, sia nel caso della matrice a doppia entrata che nel grafo ad albero, abbiamo equilibrio di Nash con la strategia (basso, destra) perché né A né B hanno l incentivo a cambiare la propria strategia data la scelta dell altro giocatore. Questo è l unico equilibrio del gioco, anche se per il giocatore B non produce il payoff più alto. In alcuni giochi è possibile avere equilibri multipli e possono sussistere equilibri pareto inefficienti, come possiamo rilevare, ad esempio, dalla tabella seguente: II A B A (5, 5) (-4, 0) I B (0, -4) (0, 0) Matrice (Tab. 2) 13 Odifreddi P., 2008, da http://espresso.repubblica.it/visioni/cultura/2008/03/11/news/john-nashgenio-e-follia-1.7633. 13

Le coppie (A, A) e (B, B) sono entrambi equilibri di Nash e l equilibrio (A,A) è preferibile all altro. Importante da ricordare è che: 1.l equilibrio di Nash può non esistere; 2.non è detto che l equilibrio di Nash sia pareto-efficiente; 3.non è detto che la previsione sia unica; 4.ciascuna componente è risposta ottima contro tutte le altre; 5.non spiega come si formano le aspettative. Infine, ricordiamo che esistono due tipologie di equilibrio: - Equilibrio di Nash puro dove una certa convinzione può rimanere. - Equilibrio di Nash misto dove il giocatore non sceglierà direttamente una mossa ma la probabilità con la quale adottare ciascuna di essa. Nelle strategie miste esiste sempre un equilibrio di Nash. 1.3 Classificazione dei giochi I principali giochi possono essere classificati in base alle modalità con cui gli agenti effettuano le proprie decisioni e possono essere ad informazione completa, nel qual caso ogni giocatore consoce le mosse a disposizione di tutti i giocatori e le possibili vincite, oppure incompleta. L agente che muove per primo è chiamato leader mentre il giocatore che lo succede è il follower. Secondo la natura delle interazioni fra i partecipanti, invece, i giochi possono essere divisi in due macro categorie,: 1.non cooperativi 2.cooperativi Questi ultimi si concentrano sulle scelte di gruppo e si presentano quando gli interessi dei giocatori non sono in opposizione diretta tra loro, ma esiste una comunicazione di interessi; vi è quindi la possibilità per i giocatori di sottoscrivere accordi vincolanti. I giochi non cooperativi (o giochi competitivi), introdotti da Nash e di cui la teoria dei giochi prevalentemente si occupa, sono maggiormente utilizzati in economia, si focalizzano sulle scelte individuali e i giocatori non possono stipulare accordi vincolanti, indipendentemente dai loro obiettivi. In essi vengono adottati comportamenti razionali utilizzando la strategia del 14

massimo: il giocatore prende sempre la decisione che consegue il massimo guadagno possibile per lui. In linea generale i giochi non cooperativi a loro volta si distinguono in: a. giochi simultanei o strategici o statici, quando entrambi i giocatori decidono la propria mossa contemporaneamente, ossia quando l individuo A sceglie, prende una decisione e non ha informazioni sulle scelte degli altri giocatori anche se questi hanno già scelto. b.giochi dinamici o in forma estesa o sequenziali, che si svolgono invece, a turni ossia seguendo un particolare ordine; quando l individuo A sceglie può aver osservato l azione dell altro giocatore e quindi avere un informazione perfetta su cosa ha fatto l altro, può trascurare così delle scelte potenziali e basarsi su quelle più importanti. Molte strategie comprendono sia la simultaneità che la sequenzialità. Per quanto riguarda le tipologie, i giochi possono essere: ripetuti o multiperiodali, caratterizzati da almeno due o più turni. Queste tipologie di gioco, che portano gli agenti a giocare più di una volta, possono produrre risultati finali diversi pur considerando lo stesso schema di gioco iniziale. La ripetizione del gioco può continuare anche un numero infinito di volte. one-shot o uniperiodali, dove il gioco è caratterizzato da un solo turno. finiti, quando il numero delle situazioni di gioco possibili è appunto finito, anche se spesso assai elevato. con informazione perfetta, se i giocatori conoscono con certezza la storia delle giocate precedenti. In termini più tecnici, si tratta di quelli in cui in ogni momento del gioco si può capire in quale nodo della rappresentazione ad albero ci si trova. con informazione imperfetta, se i giocatori hanno parzialmente accesso alle informazioni sullo stato del gioco e le scelte degli altri giocatori (il giocatore non sa precisamente in quale nodo della rappresentazione ad albero del gioco si trova). a informazione completa, se tutti i giocatori conoscono le strategie a disposizione degli altri e i possibili payoff di tutti i partecipanti al gioco. a informazione incompleta, se almeno un giocatore non conosce payoff e/o strategie degli altri giocatori. a somma costante, se la somma degli esiti per i singoli giocatori è sempre la stessa, qualunque sia la combinazione di strategie risultante dalla loro interazione. a somma variabile, se la somma dei payoff dei singoli giocatori cambia. 15

1.4 Giochi non cooperativi 1.4.1 Gioco simultaneo Il gioco simultaneo è una tripla di oggetti < N, A i, U i > con i = 1,, n dove: - N è l insieme o anche il numero dei giocatori; - A i è l insieme delle azioni disponibili per il giocatore i-esimo; - U i è la funzione di utilità del giocatore i-esimo e dipende dall azione di tutti. Un quarto elemento è l ipotesi comportamentale che ci permette di individuare come le persone si comportano: come agenti razionali che massimizzano la funzione di utilità. Una volta definito il gioco, possiamo iniziare a fare previsioni utilizzando uno dei due criteri principali: o Criterio della dominanza o Equilibrio di Nash Cerchiamo di chiarire attraverso esempi di gioco. (1) Dilemma del Prigioniero II C D C (-1, -1) (-3, 0) I D (0, -3) (-2, -2) Matrice (Tab. 3) Questo è un gioco 2x2 = 2 giocatori e 2 azioni. Gli agenti sono due criminali che, accusati con prove indiziarie di aver compiuto una rapina, vengono arrestati entrambi per il reato di favoreggiamento e chiusi in due celle diverse per impedire loro di comunicare. A ognuno di loro vengono date due scelte: confessare l accaduto (C), oppure non confessare (D). Viene inoltre spiegato loro che: a) se solo uno dei due confessa, chi ha confessato evita la pena; l altro viene però condannato a x anni di carcere; b) se entrambi confessano, vengono entrambi condannati a y<x anni; c) se nessuno dei due confessa, entrambi vengono condannati a 1 anno. La funzione di utilità associa un numero ad una coppia: U I (C,C) = -1 è l utilità del giocatore I quando gioca C come il giocatore II; è il payoff all incrocio delle due strategie U II (D,C) = -3 è l utilità del giocatore II quando gioca C e il giocatore I gioca D 16

Per quanto riguarda le previsioni, usiamo il criterio della dominanza. L individuo I deve decidere senza sapere cosa ha fatto l altro e viceversa. Supponiamo che II non lo accusi, allora all individuo I conviene accusare (D); se II lo accusa (D), all individuo I conviene nuovamente accusare (D). Quindi, in questo caso, qualunque cosa fa l altro, l individuo I trova sempre conveniente accusare (D); lo stesso vale per l individuo II, essendo questo un gioco simmetrico. La previsione sarà quindi (D,D). Sia il giocatore I che il giocatore II hanno, in questo caso, una strategia dominante (D): essa risulta la migliore (garantisce più alti payoffs) per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri giocatori. Poiché un azione domina l altra se non fa mai peggio dell altra, possiamo dire che D domina strettamente o in senso stretto C. Contrariamente, C sarà una strategia dominata, quella cioè che risulta la peggiore per un giocatore indipendentemente dalle strategie adottate dagli altri. Evidentemente se esiste una strategia dominante il giocatore razionale giocherà quella; se esistono una o più strategie dominate il giocatore razionale non le giocherà mai. (2) Battaglia dei sessi (o gioco delle coppie) LUI B S B (2, 1) (0, 0) LEI S (0, 0) (1, 2) Matrice (Tab. 4) Questo gioco serve a rappresentare le molte situazioni in cui i soggetti, pur avendo preferenze diverse, cercano di coordinare le proprie azioni: il coordinamento dà un valore aggiunto alla loro azione, sebbene ognuno debba sacrificare qualcosa in termini di preferenze. Nell esempio canonico, una coppia deve programmare il tempo libero: lui preferirebbe andare allo stadio (S), lei all opera (B). Benché abbiano gusti diversi, entrambi saranno disposti a sacrificare la propria preferenza piuttosto che trascorrere il pomeriggio separatamente (con corrispondenti payoffs 0,0). Evidentemente, se LUI dice B, a LEI conviene dire B; ma se LUI dice S, a LEI conviene dire S. Quindi ciò che è meglio per LEI dipende da quello che sceglierà LUI. Non essendoci dominanza tra le azioni non possiamo utilizzare il criterio della dominanza, bensì dobbiamo ricorrere al concetto di equilibrio di Nash. Per individuare il possibile o i possibili equilibri dovremo analizzare quattro profili d azione: (B, B) (S, S) (B, S) (S, B). Per facilitare utilizziamo 1 per indicare le scelte di LEI e 2 quelle di LUI. 17

(B, B): U 1 (B, B) U 1 (S, B) 2 0 U 2 (B, B) U 2 (B, S) 1 0 Entrambe le disuguaglianze valgono e quindi (B, B) è un equilibrio di Nash. (B, S): U 1 (B, S) U 1 (S, S) 0 1 La disuguaglianza non vale già per l individuo 1 e quindi anche per l individuo 2 sarà inutile analizzare (B, S), in quanto già non è equilibrio di Nash. (S, B): U 1 (S, B) U 1 (B, B) 0 2 Anche (S, B) non è un equilibrio di Nash. (S, S): U 1 (S, S) U 1 (B, S) 1 0 U 2 (S, S) U 2 (S, B) 2 0 Entrambe le disuguaglianze valgono e quindi (S, S) è un equilibrio di Nash. Si tratta per ora di equilibri puri. Assegnando delle probabilità (q, 1-q, p, 1-p) alle scelte di ogni giocatore, possiamo individuare gli equilibri di Nash in strategie miste: LUI B p S 1-p B q (2, 1) (0, 0) LEI S 1-q (0, 0) (1, 2) Matrice (Tab. 5) E 1 (B) = 2p + 0(1-p) = 2p p = p* 2p = 1-p p* = 1/3 E 1 (S) = 0p + 1(1-p) = 1-p E 2 (B) = 1q + 0(1-q) = q q = q* q = 2(1-q) q* = 2/3 E 2 (S) = 0q + 2(1-q) = 2(1-q) Quindi avremo un equilibrio di Nash in strategie miste dato da: (q* = 2/3, p* = 1/3). 18

(3) Indovina correttamente II 1 2 3 K 1 1, -1 0, 0 0, 0 0, 0 2 0, 0 1, -1 0, 0 0, 0 3 0, 0 0, 0 1, -1 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 I K 0, 0 0, 0 0, 0 1, -1 Matrice (Tab. 6) In questo gioco gli agenti sono due; quando entrambi giocano lo stesso numero, l individuo I prende 1 e l individuo II prende -1. Appare immediato che non ci sono né strategie dominanti né equilibri di Nash. 1.4.2 Gioco dinamico Il gioco dinamico è un gioco a forma estesa dove le azioni sono dipendenti (possono essere una prima dell altra); in questo caso quando il giocatore sceglie può aver osservato le scelte dell altro. Anche qui procediamo con un esempio: Gioco del prendere o lasciare (ultimatum game) Gli agenti sono 2 giocatori: I e II. In questo gioco vi sono due computer (due oggetti indivisibili), che i due giocatori, se trovano un accordo per come dividerli, avranno la possibilità di tenere. L azione del giocatore I è la proposta e II la conosce. Avremo ovviamente tre proposte possibili da parte del giocatore I: (2,0) per prendersi entrambi i computer, (1,1) per dividerli, (0,2) per lasciarli entrambi al giocatore II. Nella rappresentazione ad albero: I (2, 0) (1, 1) (0, 2) II II II S N S N S N (2, 0) (0, 0) (1, 1) (0, 0) (0, 2) (0, 0) 19

I In forma normale: II S S S N N N S N S S N S N S N N S N S S S N N N (2, 0) 2, 0 2, 0 2, 0 0, 0 0, 0 0, 0 2, 0 0, 0 (1, 1) 1, 1 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 1, 1 0, 0 0, 0 (0, 2) 0, 2 0, 0 0, 2 0, 2 0, 2 0, 0 0, 0 0, 0 Matrice (Tab. 7) Per il giocatore I, le azioni coincidono con le strategie; per il giocatore II, i piani d azione sono 2 3 = 8. In questo gioco sono 9 gli equilibri di Nash, ma solamente {(2, 0);(S, S, S)} e {(1, 1);(N, S, S)} sono quelli che sopravvivono all esame della completa razionalità di II e sono detti, pertanto, equilibri di Nash perfetti 14 nei sottogiochi 15. Per trovare questi equilibri è necessario utilizzare l induzione a ritroso. Nell esempio seguente, il giocatore I pensa che, essendo II razionale, sceglierà (2, 1) e quindi non sceglierà D perché non è la scelta migliore tra le due possibili che ha a disposizione. I S D II s d (1, 2) (0, 0) (2, 1) II s d S (0, 0) (2, 1) I D (1, 2) (1, 2) Matrice (Tab. 8) Quindi (S, d) è l equilibrio di Nash perfetto. 14 Nei giochi dinamici non basta la nozione semplice di equilibrio di Nash, ma vanno considerati gli equilibri di Nash perfetti che si hanno con scelte razionali. 15 Un sottogioco è un gioco che parte da un nodo. Le componenti del gioco sono tutti equilibri di Nash nei sottogiochi che vengono giocati. 20