F e s t i v a l d e l l e S c i e n z e P a r c o MUSICA & MATEMATICA Associazione Agamus Giovani amici della musica di Grugliasco Assessorato all Istruzione - Comune di Grugliasco con la partecipazione dell Associazione Subalpina MATHESIS NUMERI, MISURE, SUONI E RITMI Attività ludico didattiche di matematica e fisica applicata in ambito musicale L e S e r r e GIUSEPPE DI DOMENICO
MUSICA & MATEMATICA
La musica è il suono della matematica Un allievo di Bach La musica è l'esercizio matematico nascosto di una mente che calcola inconsciamente Leibniz
"Un giorno Pitagora passò di fronte all'officina di un fabbro, e si accorse che il suono dei martelli sulle incudini era a volte consonante, e a volte dissonante. Incuriosito, entrò nell'officina, si fece mostrare i martelli, e scoprì che..."
DA UN ARTICOLO DI PIERGIORGIO ODIFREDDI I rapporti fra matematica e musica sono stati determinanti nello sviluppo della scienza moderna. L'armonia del mondo di Keplero, in cui egli descrisse le sue famose tre leggi, è in realtà uno studio delle leggi musicali che regolano il moto dei pianeti, dettagliato al punto da specificare che, nella sinfonia celeste, Mercurio canta da soprano, Marte da tenore, Saturno e Giove da bassi, e la Terra e Venere da alti. In uno scolio classico ai Principia Newton mostrò come la sua più grande scoperta, la dipendenza inversa dell'attrazione gravitazionale dal quadrato della distanza, deriva in realtà da una semplice analogia musicale, e sostenne che essa doveva quindi già essere nota a Pitagora. E cosí via, sino alla odierna teoria delle stringhe di Witten, in cui le costituenti ultime della materia vengono non più pensate come punti (im)materiali, ma come pezzi di corda che vibrano in uno spazio pluridimensionale, e i cui modi di vibrazione (o suoni) costituiscono le particelle elementari.
COS È LA MUSICA? Nella prospettiva pitagorica, la musica è un modo di rendere presente e udibile l'armonia del mondo. In questa prospettiva, dunque, la libertà del compositore è strettamente vincolata. Infatti, una segreta sostanza matematica è racchiusa nella musica, immagine del mondo nel suo complesso, e compito del compositore è appunto quello di esplicitare l'armonia che regge l'universo.
"Pitagora udiva l'armonia dell'universo, cioè percepiva l'universale armonia delle sfere e degli astri moventisi con quelle; la quale noi non udiamo, per la limitatezza della nostra natura. Porphyrius, Vita Pythagorica
MATEMATICA PER LE MIE ORECCHIE Non può stupire che i pitagorici stabilissero un programma di studi per i loro allievi che, ripreso da Platone nella Repubblica e da Agostino nel De Musica, venne poi codificato da Boezio nel De institutione musica. Esso divenne lo standard dell'educazione occidentale dal Medio Evo all'ottocento, e fu chiamato quadrivium perché comprendeva i quattro saperi fondamentali: l'aritmetica e la geometria, la musica, e l'astronomia.
LA TETRAKTYS PITAGORICA Secondo Pitagora, dunque, tutte e sole le consonanze musicali degne di questo nome si ottengono dai rapporti tra i primi quattro numeri naturali
IL SENARIO ZARLINIANO PRENDE IL POSTO DELLA TETRAKTYS PITAGORICA. Gioseffo Zarlino, maestro di cappella della Chiesa di San Marco a Venezia, nel 1558 scrive un trattato, le Institutioni Harmoniche, nel quale effettua un allargamento concettuale della tetraktys pitagorica. Ciò viene reso possibile dall'osservazione secondo cui, anche nel caso dei nuovi intervalli giudicati consonanti, il rapporto tra le lunghezze delle corde corrispondenti alle due note considerate può venire espresso come rapporto tra numeri semplici: in particolare, 4:5 per la terza maggiore (do-mi), 5:6 per la terza minore (mi-sol).
SUONI Caratteristiche fisiche del suono: ampiezza (o intensità), lunghezza d onda
SUONI Timbro è la caratteristica che ci consente di distinguere il suono di uno strumento da quello di un altro; esso può essere paragonato al colore in un disegno: i compositori usano il timbro dei vari strumenti per arricchire (colorare) le loro musiche. Frequenza (o altezza) indica quanti periodi sono presenti in un secondo; è l inverso del periodo T. Velocità di propagazione è il rapporto
LA SCALA MUSICALE Per es. l intervallo tra Do e Mi è di Terza perché formato da 3 note l intervallo tra Fa e Si è di Quarta, quello tra i due Do si chiama Ottava e così via (basta contare i gradini della scala)
LA SCALA MUSICALE Ogni gradino può essere alzato o abbassato di un semitono: nel primo caso la nota viene accompagnata dalla dicitura diesis, (rappresentata dal simbolo #); nel secondo caso dalla dicitura bemolle. Notare che i gradini del Re# e del Mib non sono alla stessa altezza
SCALA NATURALE Lunghezze relative della corda do re mi fa sol la si 1 8/9 4/5 3/4 2/3 3/5 8/15 Frequenze relative delle note do re mi fa sol la si 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8
RAPPORTO ESISTENTE TRA LA LUNGHEZZA DELLA CORDA E LA FREQUENZA DEL SUONO PRODOTTO La condizione fondamentale affinché si produca un suono è che sia messo in vibrazione un corpo vibrante e perché un corpo sia definito vibrante, è necessario che sia elastico. Quando una corda viene messa in vibrazione, si producono due nodi all estremità ed un ventre al centro e lo spazio coperto dalla corda nel suo vibrare verso l'alto e verso il basso viene chiamato ampiezza della vibrazione. La frequenza è il numero di vibrazioni che vengono compiute in una determinata unità di tempo, per noi il minuto secondo.
RAPPORTO ESISTENTE TRA LA LUNGHEZZA DELLA CORDA E LA FREQUENZA DEL SUONO PRODOTTO Le leggi fisiche che spiegano il fenomeno, sono: La frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda: più lunga una corda, minore è il numero delle vibrazioni al minuto secondo e meno acuto è il suono prodotto; La frequenza è inversamente proporzionale al diametro: più grossa una corda, minore è il numero delle vibrazioni e meno acuto il suono prodotto; La frequenza è direttamente proporzionale al quadrato della tensione: più si tende una corda, maggiore è il numero di vibrazioni e più acuto è il suono prodotto; La frequenza è inversamente proporzionale al quadrato della densità: più la corda è densa, minore è il numero delle vibrazioni e meno acuto è il suono prodotto.
CORDE E CORRISPONDENTI SUONI FREQUENZE ALTE Per ottenere suoni ACUTI occorrono corde sottili, corte e ben tese FREQUENZE BASSE Per ottenere suoni GRAVI occorrono corde spesse, lunghe e leggermente tese
SCALA PITAGORICA CROMATICA E una suddivisione dell'ottava musicale in 12 semitoni, essendo un semitono equivalente alla divisione per dodici della distanza fra due ottave. DO, DO#, RE, RE#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI, e quindi nuovamente DO. Tutte le note della scala sono poste a un semitono di distanza l'una dall'altra, cioè in altre parole il DO# dista un semitono in senso ascendente dal DO, il RE dal DO#, e così via.
INTERVALLO la distanza tra due note o suoni intervallo melodico o diacronico o salto, distanza tra due suoni prodotti consecutivamente. un intervallo armonico è caratterizzato anche da consonanza e dissonanza, fenomeni legati all'interferenza generata dai due suoni in questione.
CONSONANZA - DISSONANZA il termine consonanza (dal latino consonare, "suonare insieme") si indica in genere un insieme di suoni eseguiti simultaneamente e tali che l'effetto complessivo risulti morbido e gradevole. il termine dissonanza, all'opposto, indica un agglomerato di suoni dall'effetto aspro e stridente. l'idea di Galileo è che il grado di consonanza risulti inversamente proporzionale alla lunghezza del periodo del suono complessivo, e analogamente il grado di dissonanza risulti proporzionale a questo periodo.
CONSONANZA - DISSONANZA Helmholtz interpretò questi dati immaginando che responsabili della dissonanza fossero i battimenti. Poiché essi sono molto lenti quando le frequenze sono molto simili, inizialmente si ha una sensazione generale di consonanza. La massima dissonanza corrisponde alla zona in cui si producono circa 30 battimenti al secondo, mentre per differenze di frequenza ancora superiori i battimenti diventano così rapidi da non essere percettibili, e il loro contributo alla sensazione di dissonanza diminuisce.
ARMONIA Col nome di armonia si indica il ramo della teoria musicale che studia la sovrapposizione "verticale" (simultanea) dei suoni, la loro reciproca concatenazione (accordi) e la loro funzione all'interno della tonalità.
I TUBOING IN CLASSE
Quando entra in classe un oggetto nuovo, strano, particolare, l interesse dei bambini e dei ragazzi viene subito catturato e da lì parte la voglia di giocare, di esplorare, di sperimentare, di imparare cose nuove Il tuboing è uno strumento musicale che si presta a giochi non solo in ambito musicale E non parlo solo di espressione corporea (fare la battaglia brandendo i tuboing come spade o la danza dei tuboing, o l uso giocoso dei tuboing come cannocchiali) ma anche di attività logico-matematiche a partire dalla misurazione di questi strumenti.
Come distingui un TUBOING da un altro
I tuboing si differenziano per il COLORE, in quanto ogni colore corrisponde a una nota.
I tuboing si differenziano per la LUNGHEZZA, in quanto i tuboing di una data lunghezza suonano una determinata nota Ad es. Il tuboing che produce come nota il RE è lungo 55,5 centimetri, mentre quello del DO centrale è lungo 62,5 centimetri
Proviamo a costruire UN GRAFICO che metta a confronto le lunghezze dei nostri tuboing Misuriamo ciascun tuboing e riportiamo le misure in una TABELLA TUBOING DO 62,5 RE 55,5 ecc. completare LUNGHEZZA IN CENTIMETRI
A partire dalla tabella costruiamo un ISTOGRAMMA o GRAFICO A BARRE
NUMERI, MISURE, SUONI E RITMI Attività ludico didattiche di matematica e fisica applicata in ambito musicale
Il ritmo viene di solito fatto sperimentare ai bambini facendoli marciare a suon di musica o chiedendo loro di battere le mani Ma è possibile sperimentare il ritmo anche in matematica Ad esempio utilizzando le progressioni numeriche e le tabelline e chiedendo ai bambini di contare da 1 a 50 suonando una nota col tuboing ogni volta che ricorre un numero della tabellina del 5 (se la nota fosse DO la sequenza ritmica sarebbe 1, 2, 3, 4, DO, 6, 7, 8, 9, DO, 11, 12, 13, 14, DO ecc.) dando vita a un piccolo concerto, se si complica la cosa unendo diverse tabelline a diverse note (es. contare da 1 a 90 suonando DO al posto della tabellina del 3, RE al posto della tabellina del 7, MI al posto della tabellina del 9 )
Curiosità: la numerologia di Bach. il 14! Sostituiamo le lettere dell'alfabeto del cognome del famoso musicista con i numeri corrispondenti (1 per la A, 2 per la B, 3 per la C ) B = 2 A = 1 C = 3 H = 8 "Bach" EQUIVALE a "2138 Sommiamo queste cifre 2 + 1+ 3+ 8 = 14. La grande fuga lasciata incompiuta da Bach è la quattordicesima e tale numero ricorre spesso nell'opera di Bach.
I canoni delle variazioni Goldberg Approfondiamo il legame tra matematica e musica, pensando a Bach Nelle variazioni Goldberg, si susseguono 30 variazioni tutte sul medesimo basso. Le numero 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 sono canoni. Da notare la regolarità matematica della progressione. Poiché l'aria viene ripetuta alla fine, ci sono in tutto 32 pezzi, ciascuno di 32 battute. Le 9 variazioni multiple di 3 (dalla terza alla ventisettesima) sono canoni a intervalli crescenti. La struttura metrica presenta tutte le 9 possibili combinazioni di 2, 3 o 4 gruppi di note.
Canone n.13 (BWV 1076). Variazioni Goldberg Ottavio de Carli
CANONI E SIMMETRIA I canoni presentano una serie di voci che si rincorrono, ripetendo la prima in forma traslata, riflessa o proporzionale.
MUSICA E FRATTALI La musica contemporanea ricorre alla matematica, utilizzando gli algoritmi della geometria frattale. I frattali sono figure geometriche, determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva, in cui uno stesso motivo si ripete all infinito su scala sempre più ridotta. I frattali vengono rappresentati con un immagine, ma essendo funzioni matematiche, è possibile anche associarvi una rappresentazione sonora (ottenibile al computer tramite un apposito software che permette di trasformare in suoni le funzioni o le immagini di frattali.
Fractal Music Lab www.fractalmusiclab.net