1. Sistemi di coordinate nello spazio La longitudine e la latitudine vengono comunemente impiegate per la localizzazione dei punti sulla superficie terrestre, l ascensione retta e la declinazione per la descrizione del moto del Sole, degli altri corpi corpi celesti e dei satelliti artificiali rispetto alla Terra. Il sistema longitudine-latitudine L - è mostrato in fig. 1.1 Fig. 1.1 Sistema di coordinate longitudine latitudine Il piano equatoriale coincide con il piano x,y ed il centro della Terra con l origine del sistema; l asse x passa per il meridiano di Greenwich. A tale meridiano si attribuisce per definizione la longitudine 0. L asse z coincide con l asse di rotazione terrestre ed è diretto verso il nord e l asse y forma una terna destrorsa con gli altri due. Si definisce latitudine di punto P l angolo fra il piano equatoriale e la congiungente centro della Terra P misurata lungo il meridiano passante per P (ovvero il meridiano locale). Usualmente la latitudine assume valori fra 90 (polo Nord) e -90 (polo Sud). Si definisce longitudine di un punto P l angolo fra il meridiano di Greenwich ed il meridiano locale di P. Usualmente la longitudine è positiva per i punti ad est di Greenwich ed assume valori da 0 a 180 e negativa ad ovest, valori da 0 a -180. Nelle applicazioni in programmi numerici è preferibile sia definire la longitudine da 0 a 360 misurata in direzione Est da Greenwich sia esprimere gli angoli in radianti anziché in gradi. La geometria del moto relativo Terra Sole è mostrata in fig. 1.2, il piano dell eclittica è il piano descritto dal movimento della Terra intorno al Sole.
Fig. 1.2 Moto relativo Terra Sole A rigore si dovrebbe dire il piano medio del moto orbitale della Terra intorno al Sole, ma le perturbazioni, come si vedrà anche in seguito, possono essere trascurate. Si definisca un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della Terra e con l asse X definito dalla intersezione dei piani dell eclittica e dell equatore nell equinozio di Primavera, cioè nell istante in cui il cui il Sole attraversa l equatore nel suo movimento apparente in direzione Sud Nord. Il verso positivo dell asse X è nella direzione della Terra verso il Sole. La direzione così individuata è detta primo punto d Ariete ed è rappresentata col simbolo T; essa è a circa 15 ovest della costellazione delle Pleiadi. Anche in questo riferimento l asse Z coincide con l asse di rotazione terrestre ed è diretto verso il Nord e l asse Y forma una terna destrorsa con gli altri due. Si definisce sfera celeste una sfera di raggio apparentemente infinito che contiene le stelle fisse (fisse nel senso che il moto delle stelle sulla sfera celeste è trascurabile rispetto ai tempi caratteristici dei fenomeni che stiamo studiando) e rispetto alla quale il Sole, la Luna, i pianeti ed i satelliti artificiali sembrano muoversi rispetto ad una osservazione dalla Terra. Il primo punto d Ariete è ovviamente un punto della sfera celeste. L intersezione del piano dell equatore terrestre con la sfera celeste è detta equatore celeste e, equivalentemente a quanto già detto, la traccia del Sole nel suo moto apparente annuale sulla sfera celeste è detta eclittica. L angolo acuto fra l equatore celeste e l eclittica, detto obliquità dell eclittica, è di circa 23.44. I piani e le direzioni di riferimento stabilite dipendono dal moto relativo della Terra intorno al Sole ed intorno al proprio asse. In realtà a causa principalmente dell asimmetria della forza gravitazionale del Sole, dell asimmetria della forma della Terra, degli effetti gravitazionali della Luna e degli altri pianeti, la Terra è interessata da un moto di precessione. A causa di esso l asse terrestre ruota nello spazio con un
moto conico intorno alla verticale al piano dell eclittica al rapporto di circa 50.25 secondi di arco in un anno, anticipando l equinozio di Primavera di circa 20 minuti all anno. Questo movimento di rotazione, che sposta verso ovest la posizione del primo punto d Ariete, richiede circa 25725 anni per ogni ciclo ed è detto precessione degli equinozi. Si definisce precessione la velocità angolare dell asse di rotazione di un corpo rigido ruotante, che nasce in seguito all applicazione di una coppia esterna sul corpo. Per la precessione degli equinozi la componente lungo il meridiano celeste è di 20 per anno, quella lungo l equatore celeste di circa 46.1 per anno. Un effetto secondario addizionale è la variazione dell obliquità dell eclittica che diminuisce di circa 47 secondi di arco per secolo. Considerando la vita operativa della gran parte dei satelliti artificiali orbitanti intorno alla Terra, tali moti possono essere trascurati e le direzioni definite possono essere considerate fisse. La posizione di un punto P sulla sfera celeste (ad es. il Sole o un satellite) è definita da due angoli: l ascensione retta misurata lungo l equatore celeste partendo da T, positiva verso est, e la declinazione declinazione misurata rispetto all equatore celeste, positiva verso Nord (fig. 1.3). Fig. 1.3 Sistema di riferimento per la definizione dell ascensione retta e della declinazione I sistemi e L - hanno entrambi il piano equatoriale come base e differiscono solo per la scelta degli assi x y. Si noti che l ascensione retta e la declinazione, sebbene introdotte per definire punti della sfera celeste, possono essere anche impiegate per individuare punti sulla superficie terrestre e che, mentre l ascensione retta è definita rispetto ad una direzione fissa nello spazio, la longitudine è definita rispetto ad
un punto della Terra. Il sistema anche se ha la propria origine coincidente col centro della Terra (e quindi ruotante intorno al Sole) è, rispetto ad un osservatore terrestre, un sistema inerziale perché i suoi assi sono puntati in direzioni fisse dello spazio (nelle ipotesi prima viste); il sistema L - è invece un sistema ruotante intorno all asse terrestre. Naturalmente la Terra non è esattamente un sistema inerziale, ma per gli obiettivi che ci si propone la si può considerare tale. Il moto del Sole o di un satellite artificiale nella sfera celeste è più agevolmente descrivibile nel sistema inerziale in termini di ; invece la definizione della traccia sulla superficie terrestre del moto orbitale di un satellite è chiaramente preferibile ottenerla in termini di L -. Pertanto è indispensabile trovare una relazione fra i due sistemi e necessariamente tale relazione deve tenere conto della posizione del meridiano di Greenwich rispetto a T. Bisogna quindi fissare un sistema di riferimento per la misura dei tempi.
2. Sistemi di riferimento per la misura dei tempi Fissare un sistema di riferimento per la misura dei tempi vuol dire fissare un evento iniziale ovvero un punto di partenza e una serie di eventi periodici come unità di misura. La grandezza tempo introdotta in in questi termini è indispensabile in quanto variabile indipendente delle equazioni dinamiche. Si noti, sia sia pure per inciso, che le misure del tempo effettuate con questa logica esistono a livello di definizione e e che queste definizioni diventano imperfette e creano discrepanze se applicate in situazioni particolari. Per Per i problemi che ci si propone di affrontare è comunque adeguata tale definizione. Si noti che questi problemi e le relative definizioni ed equazioni coinvolgono studi vastissimi che partendo dalle osservazioni astronomiche arrivano sino alle problematiche di meccanica relativistica. Un approfondimento di questi argomenti, ricavabile peraltro da una vasta bibliografia specialistica, è al di fuori degli obiettivi di queste note; pertanto nel seguito verranno date solo le definizioni indispensabili per la descrizione della dinamica orbitale di un satellite terrestre. Convenzionalmente esistono due vie per la definizione di un sistema per la misura dei tempi nel sistema Terra Sole sfera celeste: tempo sidereo e tempo solare. Il giorno sidereo è basato sul moto delle stelle. Per definizione il giorno sidereo è l intervallo di tempo fra due passaggi consecutivi del primo punto di Ariete su uno stesso meridiano della Terra. In realtà non è costante, a causa della precessione degli equinozi, ma, come sempre, per i fini proposti lo si può ammettere tale. Il tempo solare è governato dalla rotazione della Terra intorno al Sole. Per definizione il giorno solare è l intervallo di tempo fra due passaggi consecutivi del Sole su uno stesso meridiano della Terra. Il giorno sidereo è circa 4 minuti minore del giorno solare, ciò perché in un giorno il Sole si è spostato di un grado lungo l eclittica e la Terra deve ruotare un po più di 360 per seguire il Sole. Inoltre, poiché la traiettoria della Terra è ellittica ed il piano dell eclittica non coincide con il piano dell equatore, il giorno solare è solo approssimativamente costante. Per eliminare il problema si definisce un tempo solare medio relativo ad un sole medio fittizio che si muove nel piano equinoziale (proiezione dell equatore sulla sfera celeste) ad un rapporto angolare costante pari al rapporto medio apparente del moto del sole reale, in modo da fornire una misura uniforme dei tempi. Pur con tutte le approssimazioni introdotte il tempo solare medio è stato accettato da tutti i popoli come base per la misurazione del tempo. Per definizione si assume il giorno solare medio, comunemente giorno, pari a 86400 secondi solari medi, comunemente secondi. L anno siderale è relativo al moto della Terra rispetto alle stelle fisse, l anno tropicale rispetto al Sole. Si definisce anno tropicale l intervallo di tempo fra due equinozi di primavera consecutivi. A causa degli effetti degli altri pianeti del sistema solare non è costante, ma decresce linearmente col tempo di.53 secondi/secolo; oggi lo si può assumere approssimativamente lungo 365.242 giorni. Ciò comporta i noti problemi ed una serie di imperfezioni (anno bisestile, etc.) nei calendari. Ad esempio nel 1582 un decreto emanato da Papa Gregorio XIII stabilì che il giorno successivo al 4 Ottobre 1582 sarebbe stato il 15 Ottobre 1582, eliminando così 10 giorni. Ancora nel 1752 in Gran Bretagna furono soppressi 11 giorni. Relativamente alla misura del tempo in giorni solare medi esistono due sistemi di riferimento: il tempo universale (UT) e la data Giuliana (JD). Il tempo universale è la base del tempo civile. E espresso in ore, minuti e secondi, ovvero in frazioni di giorno. Lo zero UT è la mezzanotte del meridiano di Greenwich. Per Per questo motivo e poiché è riferito al sole medio fittizio questo tempo viene spesso definito equivalentemente Greenwich Mean Time (GMT). Nel settore spaziale viene anche definito Zulu o Z.
Introducendo il concetto di angolo orario, cioè l angolo valutato dal meridiano dell osservatore fino al meridiano del corpo celeste osservato, positivo verso ovest e misurato in ore (1 ora corrisponde a 15 gradi e quindi 1 grado a 4 minuti), il tempo GMT è l angolo orario del sole medio osservato da Greenwich in ore più 12 ore, modulo 24. La data giuliana, di grande importanza in astronomia, computa i giorni solari medi consecutivamente con l origine sufficientemente lontana (1 Gennaio 4713 a.c.) in modo da poter attribuire, in linea di principio, una data giuliana certa a tutti gli eventi astronomici registrati. Un anno giuliano è composto da 365.25 giorni. La trasformazione fra una data espressa in UT e JD può essere ricavata dalle tabelle riportate su appositi almanacchi astronomici. E comunque agevole sviluppare un programma di calcolo che effettui la trasformazione basandosi sul valore 2433282 JD relativo allo 0 Gennaio 1950 (oppure sul valore 2415020 JD relativo allo 0 Gennaio 1900) e sommando sequenzialmente i giorni tenendo conto della lunghezza dei mesi e degli anni bisestili. In tab. 2.1 si riportano, ad esempio, alcuni dei valori relativi ai mesi di Dicembre 1984 e Gennaio 1985. ore 0:00 UT - Dicembre 1984 JD 5 2446039.5 10 2446044.5 15 2446049.5 20 2446054.5 25 2446059.5 30 2446064.5 ore 0:00 UT - 0 Gennaio 1985 (31 Dicembre 1984) 2446065.5 5 2446070.5 10 2446075.5 15 2446080.5 20 2446085.5 25 2446090.5 30 2446095.5 Tab. 2.1 Valori della data giuliana in corrispondenza di date UT Per attribuire ad un unico giorno giuliano le osservazioni che si effettuano nel corso di una notte gli astronomi hanno fissato l inizio e la fine del giorno giuliano a mezzogiorno di Greenwich. In altri termini un osservazione effettuata alle ora 23 del 31 Dicembre UT ed una alle ore 2 del 1 Gennaio UT vengono effettuate nello stesso giorno giuliano, quello che va dalle 12 del 31 Dicembre alle 12 del 1 Gennaio UT. Pertanto la JD 2433282.0 corrisponde allo 0 Gennaio 1950 ovvero alle 12 del 31 Dicembre 1949, mentre la la JD 2433282.5 corrisponde alle ore 0:00 del 1 Gennaio 1950 UT. Anche se ad un osservatore abituato ai ai calendari potrebbe apparire complessa, la data giuliana ha degli indubbi vantaggi connessi con la numerazione consecutiva dei giorni. Si consideri il seguente esempio: calcolo della JD corrispondente al 1 Gennaio 1985 UT alle ore 9:45. Poiché la data giuliana è misurata partendo dal mezzogiorno, le ore 0 del 1 Gennaio (ovvero la mezzanotte del 31 Dicembre) cadono a metà della data Giuliana relativa al 31 Dicembre. Quindi dalla tabella 2.1: 0 Gennaio 1985 = mezzogiorno del 31 Dicembre 1984 = 2446066.0 JD e quindi ore 0:00 del 1 Gennaio 1985 UT = 2446066.5 JD
Convertendo 9 ore e 45 minuti in giorni si ha 9/24 + 45/(60 x 24) = 0.406 che sommato al valore precedente fornisce JD = 2446066.906 = 1 Gennaio 1985 ore 9:45 UT
3. Relazione fra longitudine ed ascensione retta Nel riferimento inerziale precedentemente definito, l angolo g, cioè l ascensione retta di Greenwich, è una misura del tempo siderale di Greenwich poiché individua la posizione del meridiano di Greenwich rispetto alle stelle fisse. In maniera analoga il tempo siderale del meridiano dell osservatore generico sarà individuato dall angolo. Pertanto tempo locale siderale ed ascensione retta sono misure equivalenti di una posizione angolare. La longitudine dell osservatore L (che comunemente si misura verso est) sarà quindi legata alle due ascensioni rette dalla relazione (3.1) a meno di multipli di 360 g + L Fig. 3.1.a Relazione fra l ascensione retta di Greenwich, quella di un meridiano generico e la longitudine di quest ultimo
Fig. 3.1.b I problemi a cui ci si trova comunemente di fronte sono due: nota la longitudine di un punto ed il tempo UT ricavare la ascensione retta ovvero il tempo locale siderale e nota l ascensione retta di un punto ad un tempo UT ricavarne la longitudine. Il secondo caso, come apparirà più evidente nei paragrafi successivi, è quello che riveste maggiore interesse nei problemi di dinamica orbitale di un satellite terrestre. La relazione che si sfrutta in entrambi i casi è la (3.1), in cui è necessario però caratterizzare g. La relazione fra ascensione retta e data Giuliana, ricavata da studi astronomici è (3.2) g,0 = 99.6909833 + 36000.7689 T + 0.00038708 T 2 dove g,0 è l ascensione retta di Greenwich alle ore 0:00 UT e T è il tempo espresso in secoli giuliani a partire dallo 0.5 Gennaio 1900 (si ricordi che un anno giuliano è 365.25 giorni e quindi un secolo è 36525 36525 giorni) ovvero (3.3) Nella relazione (3.2) il termine di secondo grado in T tiene conto delle piccole variazioni periodiche della velocità di rotazione della Terra. Si noti che l espressione di g,0 non è una funzione continua di T perché la (3.2) vale solo per le ore 0:00 UT ovvero la data Giuliana assume solo il valore XXX XXXX.5 La relazione che lega g (ascensione retta di Greenwich in un qualunque istante del giorno) con g,0 (ascensione retta di Greenwich alle 0:00 UT) è ovviamente la seguente (3.4)
dove è la velocità angolare di rotazione della Terra; poiché il Sole compie una rotazione apparente di 360 intorno alla Terra in 365.24219879 giorni solari medi, la Terra ruota intorno al proprio proprio asse di 0.25068477 gradi per minuto solare medio, ovvero 4.3752695 x 10-3 radianti per minuto solare medio gradi per giorno solare medio, ovvero è la differenza degli UT fra quello attuale e quello alle ore 0:00 UT Si noti che la sia la differenza che la velocità angolare della terra sono misurate rispetto al tempo solare medio. Quindi il prodotto è la differenza di tempo siderale fra l istante t relativo ad e t 0 relativo ad g,0. Per chiarire la sequenza delle operazioni descritte si riporta un esempio. Determinare il tempo locale siderale del punto di longitudine L = 198.2213 al tempo UT 12:15:30 del 12 Ottobre 1962 Innanzitutto è necessario calcolare la data giuliana: 2437938.0 + data giuliana relativa alle 12:00 del 30 Settembre 1962, cioè allo 0 Ottobre 0.5 + per ottenere le 0:00 del 1 Ottobre 1962 11.0 + per ottenere le 0:00 del 12 Ottobre 1962 2437949.5 Il tempo in secoli giuliani è dato dalla (3.3) e quindi sostituendo nella (3.2) si ha L ascensione retta di Greenwich alle 0:00 UT del 12 Ottobre 1962 (sono stati eliminati i multipli interi di 360 ) e quindi t 0 = 0:00 = 0 minuti t = 12:15:30 = (12*60 + 15 + 30/60) minuti = 735.5 minuti
ed in infine dalla (3.1) (sono stati eliminati i multipli interi di 360 ) Si noti che il tempo siderale è espresso in angoli, ma è agevolmente trasformabile in ore, ponendo 360 = 24h si ha: In ogni caso è bene evitare confusioni fra il tempo siderale espresso in ore così calcolato ed il tempo medio solare a cui si è abituati a riferirsi. Anche se nelle tabelle astronomiche l ascensione retta è più frequentemente espressa in ore, minuti e secondi, nella dinamica orbitale si preferisce adottare come unità di misura i gradi o i radianti. Lo schema a blocchi della procedura è riportato in figura seguente L UT JD g,0 (3.2) g (3.4) (3.1)
In maniera perfettamente analoga è possibile calcolare la longitudine relativa ad un punto di assegnata ascensione retta ad un tempo UT assegnato. Ad esempio: determinare la longitudine del punto sub-satellite (punto della superficie terrestre la cui verticale locale passa per il satellite stesso) quando il satellite ha ascensione retta 72.19 alle 10:18:23 del 15 Giugno 1982 UT. Per il calcolo della data giuliana si ha 2445121.0 + data giuliana relativa alle 12:00 UT del 31 Maggio 1982, cioè allo 0 Giugno 0.5 + per ottenere le 0:00 del 1 Giugno 1982 14.0 + per ottenere le 0:00 del 15 Giugno 1982 2445135.5 Il tempo in secoli giuliani è dato dalla (3.3) e quindi sostituendo nella (3.2) si ha e quindi t = 10:18:23 = (10*60 + 18 + 23/60) minuti = 618.38 minuti ed infine dalla (3.1)
4. Latitudine geocentrica e geodetica E noto che la Terra non è perfettamente sferica. Ad un primo livello di approssimazione viene comunemente considerata tale nei calcoli di dinamica orbitale. Ma per migliorare l accuratezza dei risultati, soprattutto quando entrano in gioco problemi di puntamento, navigazione, osservazione della superficie terrestre dallo spazio, è necessario tenere conto dello schiacciamento polare. Un eccellente modello per la descrizione della superficie terrestre è l ellissoide terrestre, cioè l ellissoide generato dalla rotazione di un ellisse intorno all asse minore. Questo modello non è rigorosamente valido, ma per un gran numero di applicazioni lo si può ritenere tale con ottima approssimazione e così verrà fatto nel seguito del discorso. Il semiasse maggiore dell ellissoide è il raggio equatoriale r e, mentre il semiasse minore è il raggio polare r p. Si definisce appiattimento o ellitticità f (flattening) il rapporto tra la differenza tra il raggio equatoriale meno il raggio polare ed il raggio equatoriale. Tali valori sono relativi all ellissoide internazionale o di Hayford, impiegato comunemente per scopi cartografici. Si consideri la sezione ellittica del modello adottato della Terra con un piano passante per l asse terrestre (fig. 4.1). In fig. 4.1 e nelle successive le proporzioni reali sono volutamente alterate per maggiore chiarezza. Fig. 4.1 Latitudine geocentrica e geodetica
Si definisce latitudine geocentrica di un punto P della superficie terrestre l angolo acuto misurato perpendicolarmente al piano dell equatore fra l equatore e la congiungente il centro dell ellissoide, origine del sistema di riferimento, col punto P. Si definisce latitudine ellissoidica o geografica o geodetica del punto P l angolo acuto misurato perpendicolarmente al piano dell equatore fra l equatore e la normale al piano tangente all ellissoide in P. Nelle applicazioni topografiche e cartografiche si impiegano più frequentemente gli aggettivi ellissoidica o geografica, in alcuni testi tecnici italiani si parla anche di latitudine corrente o semplicemente di latitudine. Nella dinamica orbitale, soprattutto nei testi anglosassoni, è adottata più frequentemente la dizione geodetica. La latitudine introdotta nel paragrafo 1. è evidentemente la latitudine geocentrica, si noti che essa per i punti della superficie terrestre coincide con la declinazione. Le curve sull ellissoide a latitudine costante, dette paralleli ed ottenute intersecando l ellissoide con piani normali all asse di rotazione, sono circonferenze, mentre le curve a longitudine costante, dette meridiani ed ottenute intersecando l ellissoide con piani contenenti l asse di rotazione, sono ellissi. La relazione che lega e per punti sull ellissoide terrestre è la seguente: Si notino in fig. 4.2 gli angoli, declinazione di un satellite in orbita terrestre ad un certo istante di tempo e e rispettivamente latitudini geocentriche e geodetiche del punto sub-satellite. In ipotesi di Terra sferica i tre angoli sarebbero evidentemente coincidenti. Fig. 4.2 Declinazione di un satellite, latitudine geocentrica e geodetica del punto sub-satellite