Docente: Alessandro Melchiorri

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1 Astronomia Lezione 9/10/2014 Docente: Alessandro Melchiorri Slides delle lezioni: oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014 (ancora non ci sono...portate pazienza!)

2 Astronomia Lezione 9/10/2014 Libri di testo consigliati: - Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H. Freeman and Company, New York - An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

3 Coordinate Celesti Oggi continuo a trattare le coordinate celesti. Gli argomenti trattati li trovate maggiormente su questo libro. Capitolo 2.

4 Trigonometria Sferica Dato un sistema di assi cartesiani xyz centrato nella sfera un qualunque punto P sulla sfera puo essere individuato dagli angoli q e y come in figura. Consideriamo anche un nuovo sistema di riferimento x y z ruotato lungo x di un angolo c come in figura. Si ha che:

5 Trigonometria Sferica Data questa rotazione le coordinate cartesiane saranno legate da: e usando le relazioni precedenti otteniamo le seguenti equazioni tra gli angoli:

6 Trigonometria Sferica Si chiama triangolo sferico un triangolo sulla superficie sferica i cui lati siano tre archi di cerchi massimi AB, BC, CA. Gli angoli corrispondenti a questi archi sono c, a e b. La lunghezza di un arco AB se la sfera è di raggio r è data da: dove c è in radianti. La somma degli angoli A, B e C del triangolo sferico non e 180 ma e maggiore per un eccesso E dato da: si puo dimostrare che l area del triangolo sferico e allora (con E in radianti):

7 Trigonometria Sferica Il punto P e i due assi z e z possono identificare i vertici di un triangolo sferico. Dalla figura si ha che i vari angoli sono connessi con gli angoli del triangolo sferico tramite:

8 Trigonometria Sferica Ricordando adesso che tra i due sistemi di riferimento valgono: possiamo sostituire con gli angoli del triangolo sferico ottenendo queste relazioni: da cui, con varie permutazioni si ottiene:

9 Coordinate orizzontali o altazimutali Il piano di riferimento e l orizzonte., il piano tangente alla terra che contiene l osservatore. La retta perpedincolare all orizzonte passante per l osservatore identifica due poli celesti: lo Zenith (sopra l osservatore) ed il Nadir (il polo opposto). I cerchi massimi attraverso lo Zenith sono chiamate verticali ed intersecano l orizzonte perpendicolarmente. Le circonferenze minori formate dai punti di uguale altezza sono i cerchi d'altezza o almucantarat. Quindi come coordinate si usano: l altezza (a) è l angolo dell'astro dall'orizzonte, e varia tra -90 e +90. Si usa anche la distanza di zenith z con z=(90 -a) l azimut (A) è l angolo tra il punto Sud e il piede dell'astro (corrispondente alla distanza angolare tra meridiano locale e meridiano passante per l'astro), misurata in senso orario, e varia tra 0 e 360. Attenzione pero che la definizione cambia!!

10 Coordinate Equatoriali Il sistema equatoriale usa come cerchi di riferimento l'equatore e il meridiano passante per il punto gamma g. Il punto g corrisponde all intersezione tra il piano dell equatore e quello dell eclittica dove ha luogo La rivoluzione terrestre intorno al sole. Le coordinate sono la declinazione d e l'ascensione retta a, misurate a partire, rispettivamente, dall'equatore verso il Polo Nord celeste (vicino alla stella polare) e dal punto gamma g in senso antiorario. Il moto diurno delle stelle avviene parallelamente all'equatore celeste e il punto gamma si comporta come un qualsiasi oggetto celeste, per cui le coordinate equatoriali non cambiano con il trascorrere del tempo. Questo sistema di coordinate si muove, nelle 24 ore, insieme ai corpi celesti ed è indipendente dalla latitudine del luogo. a si misura in ore, minuti, secondi (di tempo); d si misura in gradi, primi, secondi (d'arco)

11 Coordinate Equatoriali Il punto gamma vernale è anche noto con il nome di punto dell'ariete o primo punto d'ariete perché in corrispondenza dell'equinozio di primavera di circa 2100 anni fa (più precisamente nel periodo 2000 a.c. 100 a.c.), il Sole si trovava nella costellazione dell'ariete. Oggi a causa della precessione degli equinozi non è più così e in corrispondenza dell'equinozio di primavera il Sole si trova nella costellazione dei Pesci; a partire dal 2700 d.c. si troverà in quella dell'acquario e così via fino al completamento dell'intero zodiaco. Il moto del sole sulla sfera celeste cambia nei giorni dato che il piano dell equatore Interseca quello dell eclittica. Il moto del sole apparira quindi andare da sud a nord nell equinozio vernale (in primavera) e da nord a sud nell equinozio autunnale (detto punto omega o della Bilancia).

12 Analemma Solare

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14 Coordinate Equatoriali Quando osserviamo con il telescopio trovare la declinazione e semplice perche uno degli assi del telescopio e orientato come l asse di rotazione terrestre. Per l ascensione retta si prende come riferimento un meridiano (es. il Sud). L angolo orario h e la distanza angolare Di una stella rispetto a questo meridiano. Si chiama tempo siderale l angolo orario del punto vernale. Dalla figura e chiaro che: Quindi in pratica: Si misura h di una stella di cui si conosce l ascensione retta. Si conosce quindi il tempo siderale e tutte le altre stelle si possono quindi trovare conoscendone l ascensione retta da un catalogo.

15 Passaggio da coordinate orizzontali a coordinate equatoriali. Il passaggio da coordinate orizzontali a Equatoriali puo essere fatto considerando il triangolo sferico con i vertici la stella, lo zenith ed il polo nord. Guardando la figura si ha: Da cui, usando le formule precedenti: dove f e la latitudine dell osservatore.

16 Coordinate eclittiche In questo sistema di coordinate si usa come piano di riferimento il piano dell eclittica. Si ha una latitudine eclittica indicata da b e una longitudine eclittica indicata con l. La longitudine si misura dal punto vernale in senso antiorario. La latitudine e la distanza angolare dal piano dell eclittica. Queste coordinate possono essere geocentriche o eliocentriche. Per oggetti vicini c e una differenza tra i due tipi di coordinate, per quelli lontani no.

17 Passaggio coordinate eclittichecoordinate equatoriali. I due sistemi di riferimento differiscono solo per la differente orientazione dei piani avendo entrambe in ascissa come riferimento il punto gamma o vernale. Ricordando quindi la trasformazione di coordinate tra angoli trovata precedentemente data da: Considerando quindi gli angoli si ha: Con e che indica l inclinazione tra i due piani e pari a circa 23 26

18 Coordinate Galattiche Per le coordinate galattiche si usa come piano il piano della galassia. Si ha una latitudine galattica b ed una longitudine galattica i. Quest ultima e calcolata partendo dal centro della Galassia (nel Sagittario) in senso antiorario.

19 Perturbazioni alle coordinate Abbiamo visto che le coordinate orizzontali dipendono dal tempo e dalla posizione. Le coordinate equatoriali invece sono fisse con la sfera celeste, tuttavia vari fenomeni perturbano queste coordinate e sono necessarie delle correzioni. Gli effetti perturbativi di cui tenere conto sono: - Precessione - Nutazione - Parallasse - Aberrazione - Rifrazione

20 Precessione La Terra possiede un moto di precessione: il suo asse di rotazione ruota lentamente (con un ciclo di anni) intorno alla perpendicolare al piano della sua orbita, rispetto alla quale è inclinato di circa 23 26'. Questo fenomeno è dovuto all'attrazione del Sole e della Luna, e al fatto che la sua forma non è esattamente sferica. Si parla di precessione degli equinozi, in quanto tra gli effetti della precessione vi è quello di spostare lentamente i punti equinoziali lungo la volta celeste. Questo fenomeno fa sì che la linea degli equinozi (cioè il segmento congiungente i due punti dell'orbita terrestre in cui si verificano gli equinozi) ruoti. Il punto vernale si muove quindi di circa 50 arcosecondi l anno in senso orario. Questo porta ad un incremento della longitudine eclittica. Inoltre al presente l asse di rotazione punta verso la stella polare con una incertezza di un grado. Fra anni puntera invece approssimativamente verso la stella Vega.

21 Precessione Lo schiacciamento della Terra ai poli può essere schematizzato ipotizzando la Terra sferica con una massa anulare (in azzurro) intorno all'equatore. L'attrazione gravitazionale (in verde) esercitata sulla massa anulare dà origine a una coppia (in arancione) che, nel tentativo di raddrizzare la Terra, sposta l'asse di rotazione (in magenta con senso antiorario) verso una nuova direzione (in giallo con senso antiorario), dando luogo al movimento di precessione degli equinozi (in bianco con senso orario).

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23 Precessione Andiamo adesso a vedere come la precessione cambia le coordinate equatoriali. Le equazioni per il cambiamento di coordinate da eclittiche ad equatoriali sono: Differenziando l ultima si trova: Il cambiamento di coordinate inverso (da equatoriali ad eclittiche) e invece dato da: Applicando la seconda equazione al secondo membro della precedente si trova:

24 Precessione Differenziando l equazione (la seconda del cambiamento ecliitica-equatoriale): si trova: Usando questa equazione nell espressione precedente per dd e usando anche si ottiene : Da cui semplificando otteniamo:

25 Precessione In pratica quindi si ha che per ogni cambiamento di longitudine eclittica dl si ha: dl incrementa di circa 50 l anno. Le equazioni precedenti si possono scrivere anche come: dove: m ed n cambiano anch esse con il tempo ma molto piu lentamente. Si ha

26 Nutazione Anche la luna subisce un precessione con un periodo di circa 18.6 anni. Questo crea dei piccoli ondeggiamenti anche sull asse terrestre con lo stesso periodo. Il calcolo degli effetti della nutazione sono molto piu complicati. Fortunatamente l effetto e inferiore a 0.5 nelle coordinate.

27 Parallasse Si tratta della tecnica più nota tra quelle utilizzate in campo astronomico per le distanze di stelle e pianeti "vicini". È molto semplice in quanto permette, dati:l'angolo P con cui si vede sullo sfondo un oggetto la lunghezza di base A tra i due punti di vista la distanza D dall'oggetto di ricavare la distanza D mediante una semplice formula trigonometrica:d=(a/2)tang (P") con l'angolo misurato P, ad esempio, in secondi di arco. Con questo metodo non si misurano direttamente le distanze ma gli angoli, è da questi che è possibile risalire, sfruttando l'effetto della proiezione sullo sfondo, al dato fisico della distanza. In astronomia quello che è determinante è la scelta della lunghezza di base. A tale scopo si scelgono:il raggio terrestre Rt si misura la parallasse geocentrica o diurna della Luna si misura la parallasse di Marte utilizzando i transiti dei pianeti interni sul Sole si ottiene la parallasse solare cioè la distanza Terra-Sole w il raggio dell'orbita terrestre.

28 Parallasse Se scegliamo il raggio terrestre (Rt= 6378 km) come base per il calcolo della parallasse (diamo quindi per scontata la conoscenza della sfericità della Terra) ecco che siamo in grado di determinare, calcolata la parallasse geocentrica P, la distanza della Terra, ad esempio, dalla Luna secondo la formula: DL= Rt sen (P") dove: DL è la distanza geocentrica della Luna Rt è il raggio terrestre P" è l'angolo di parallasse geocentrica o diurna in secondi di arco Il calcolo della parallasse Lunare non è semplice, ma comunque porta a determinare i seguenti valori:pl= " (secondi d'arco) DL= km

29 Aberrazione Se siamo in moto rispetto ad un oggetto questo ci apparira sottendere un angolo inferiore. Questo fenomeno e chiamato aberrazione e dipende dalla velocita finita della luce. L effetto e dato da: Il massimo effetto e dovuto al moto orbitale della terra (pari a circa 21 ) mentre l effetto Della rotazione terrestre e 0.3.

30 Rifrazione La luce di un corpo celeste passa attraverso differenti strati dell atmosfera ciascuno con Indice di rifrazione diverso. Questo porta ad un dislocamento dell astro dalla sua posizione vera. Applicando la legge di Snell ai vari strati (z e la distanza di zenith) si ha:

31 Rifrazione Per piccoli angoli di rifrazione R=z-z si puo scrivere: Ovvero: come valore medio si ha: Ci sono due punti da considerare pero : 1) allo zenith non si dovrebbe avere rifrazione ma questo e vero solo se i vari atmosferici sono Paralleli, cosa che non avviene. 2) La formula precedente vale solo per piccoli angoli. Per il Sole al tramonto si ha circa 35, praticamente il suo diametro. (noi vediamo il sole quando e gia tramontato).

32 Rifrazione

33 Discussione delle leggi di Keplero e Newton le trovate qui.

34 Galileo e Newton Galileo: Padre della fisica moderna. Principio di Relativita Galileana, fasi di Venere (quindi non brilla di luce propria), Satelliti di Giove. Newton parte da Galileo per formulare le sue famose 3 Leggi.

35 Leggi di Newton Legge di Inerzia. Un oggetto in quiete rimarra in quiete, un oggetto in moto rimarra in moto uniforme percorrendo una linea retta. (e una definizione di sistema di riferimento inerziale!).l impulso p=mv di una particella non soggetta a forze e costante In un sistema di riferimento inerziale. - La forza netta (la somma di tutte le forze) su di un oggetto e proporzionale alla massa dell oggetto e la sua accelerazione risultante. - - Per ogni azione c e una reazione opposta e contraria.

36 Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale. Terza Legge di Keplero Assumendo orbita circolare: Inserendo nella Terza Legge di Keplero: Inserendo nella Terza Legge di Keplero: Moltiplicando ambo i membri: Si ha: Usando la II legge di Newton questa e la forza a cui e soggetto il pianeta

37 Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale. Usando la III Legge di Newton abbiamo che la forza esercitata sull altro pianeta di massa M sara : Uguagliando le due forze in modulo si ha: dove definendo e abbiamo la Legge di Gravitazione!:

38 Legge di Gravitazione Per due corpi sferici (non punti materiali)

39 Adesso deriviamo le leggi di Keplero dalle leggi di Newton.

40 Le tre leggi di Keplero: - - Le orbite dei pianeti sono ellittiche Coprono aree uguali in tempi uguali 1 AU = Astronomical Unit Distanza media Terra-Sole

41 Equazione dell ellisse: a e una costante detta semi-asse maggiore. b e il semiasse minore. F e F sono i due punti focali dell ellisse. Il Sole e nel punto focale maggiore F. e e l eccentricita dell ellisse e va da 0 a 1. e definita come la distanza di uno dei fuochi divisa a. e=0 e un cerchio. Il punto piu vicino al fuoco principale e detto perielio, quello opposto afelio. Si puo dimostrare che:

42 Introduciamo il momento angolare: Deriviamo rispetto al tempo : Se non abbiamo forze esterne: conservazione del momento angolare.

43 Centro di massa Per 2 oggetti Per i=1,..,n oggetti Derivando per t Derivando ancora: (Per la III Legge di Newton)

44 Prendiamo un riferimento con Definiamo come «massa ridotta» del sistema:

45 Ora scriviamo l energia totale del sistema: Inseriamo: inoltre :

46 L energia totale e quindi: Raggruppando: con fornisce: L energia totale del sistema e data dall energia cinetica di una particella con massa pari alla massa ridotta e con energia potenziale data da un sistema massa ridotta-massa totale

47 Allo stesso modo per il momento angolare: Inserendo: Abbiamo : Il momento angolare totale e dato da una particella con massa pari a massa ridotta, che si muove a velocita pari alla differenza Delle due velocita e a distanza

48 Il problema a due corpi e equivalente ad un sistema ad un singolo corpo di massa pari alla massa ridotta che si muove attorno ad una massa M con massa pari alla Massa totale.