1 ElencodiSA L elenco è parziale. Un elenco esaustivo sarebbe ovviamente impossibile(le SA sono infinite... potreste comunque consultare la biblioteca di Babele!). 1.1 SA con una sola operazione binaria Spazio sostegno finito o infinito S, una operazione binaria che indichiamo con. Si sottintende la proprietà di chiusura. Quindi x y=z; x,y S,z S (1) 1.1.1 Magma(Gruppoide) Nessun assioma 1.1.2 Semi Gruppo Un assioma: la proprietà associativa x (y z)=(x y) z (2) 1.1.3 Quasi Gruppo Due assiomi 1)Divisionesinistra: daticomunquea,b Sesisteunoeunsolox Stale che(soluzione di) a x=b (3) 2)Divisionedestra: daticomunquea,b S esisteunoeunsolo x S tale che(soluzione di) x a=b (4) 1
1.1.4 Ciclo(Loop) Sinistro (Destro) Due assiomi 1) Divisione sinistra(destra) 2)Elementoneutrosinistro(destro): u s S taleche x S (analogamente per il destro): Notabeneche u s (u d )nonpossonodipendereda x... u s x=x (5) x u d =x (6) 1.1.5 Ciclo(loop) Tre assiomi 1) divisione sinistra 2) divisione destra 3)esisteununicoelementoneutrocheèsinistroedestro Quindi un Loop è anche quasi-gruppo e ovviamente anche loop sinistro e destro. 1.1.6 Gruppo Tre assiomi(abbiamo visto che si possono scegliere in modo diverso) 1) proprietà associativa 2) esistenza dell elemento neutro u u x=x u=x (7) 3) esistenza x S dell anti_elemento x S(inverso, opposto) che è sinistro edestro: x x=x x=u (8) Remark 1 Se vale la proprietà commutativa x y=y x (9) allora avremo ulteriori SA che chiameremo Abeliane: semi gruppi abeliani, loop abeliani, etc. 2
1.2 SA con due operazioni binarie Le due operazioni sono chiamate abitualmente somma e prodotto e si usano abitualmente i soliti simboli +,. Ma occorre sempre tener presente che in generale NON sono le usuali operazioni di somma e prodotto tra numeri. Sarebbe in effetti meglio usare simboli diversi(anche se quasi sempre per economia non si fa): Somma: x y (10) Prodotto: x y (11) QuindiunaSAorasaràunospaziosostegnoconquestedueoperazionibinarie(S,, ) più eventuali assiomi. 1.2.1 Anello RispettoallasommaèunGruppoAbeliano Rispetto al prodotto è un Semi_Gruppo Valelaproprietàdistributiva(sinistraedestra): x,y,z S x (y z)=(x y) (x z) (12) (x y) z=(x z) (y z) (13) Se anche il prodotto è commutativo abbiamo un Anello Commutativo(Abeliano). 1.2.2 Corpo (S, )èungruppoabeliano (S, )èungruppo Vale la proprietà distributiva(sinistra e destra) Con S indichiamo lo spazio sostegno privato dell elemento neutro della somma(che comunemente è idicato con 0): S =S\{0} (14) 3
1.2.3 Campo (Field) (S, )èungruppoabeliano (S, )èungruppoabeliano Vale la proprietà distributiva(sinistra e destra) Cioè il campo è un Corpo Commutativo. Remark 2 Notare che Q(numeri razionali),r(numeri reali),c(numeri complessi) sono Campi(per gli studenti: verificare!) Ma anche i numeri algebrici, i numeri surreali e i numeri piadici sono campi... sembra proprio che se volete introdurre una nuova specie di numeri dobbiate accertarvi che con le loro operazionicostituiscanolasadicampo(oalmenodicorpodatocheiquaternioni hanno una moltiplicazione non commutativa). Per questo si parla comunemente di campo(corpo) numerico. Exercise 3 chestrutturahan?ez? Problem 4 I numeri complessi hanno come spazio sostegno le coppie ordinate di numeri reali, i quaternioni le quadruple di numeri reali. E possibile inventare operazioni di somma e prodotto tali che le terne ordinate di numeri reali abbiano la SA di un campo o almeno di un corpo? avremmo così nuovi numeri: i ternioni. Problem 5 realizzareunasa con sostegno inumeri reali chesiauncampo( oalmenouncorpo)eincui x 1 x 2 =x 3 ; x 1,x 2,x 3 R (15) x 3 =x 1 +x 2 +1 (16) (con + che indica la normale somma dei reali... avremmo quindi dei nuovi numeri-inumeristrambi-percui 2+2=5! vabbèhobarato: 2 2=5) 2 Una banale operazione binaria Indagheremo per esercizio le SA indotte sullo spazio sostegno dei numeri reali da una semplice(lineare) operazione binaria: x 1 x 2 =x 3 ; x 1,x 2,x 3 R (17) 4
x 3 =a+bx 1 +cx 2 (18) dove a,b,c sono tre numeri reali, scelti per ora arbitrariamente, e le operazionidisommaeprodottosonoquelleusualiperireali. LaSAsaràquindi(R,,a,b,c). Ok, dato che l operazione è ben definita avremo comunque un Magma(gruppoide). Cerchiamo altre proprietà. 2.1 é commutativa? vediamo: quindideveessere x,y x y = a+bx+cy (19) y x = a+by+cx (20) a+bx+cy=a+by+cx (21) cheèveraseesolosec=b. Quindi(R,,a,b,b)èalmenounMagmaAbeliano. 2.2 é associativa? vediamo: ma x (y z)=(x y) z (22) x (y z) = x (a+by+cz) (23) = a+bx+c(a+by+cz) (24) (x y) z = (a+bx+cy) z (25) = a+b(a+bx+cy)+cz (26) quindi deve essere a+bx+c(a+by+cz)=a+b(a+bx+cy)+cz (27) chenonèunaequazionedarisolveremaunaidentità(valida x,y,z)epperciòdeveessereveraseparatamenteperlaparteinxeinyeinzeinpiùperil termine noto. Cioè bx = b 2 x (28) cby = bcy (29) c 2 z = cz (30) a+ca = a+ba (31) 5
L ultima condizione da due scelte 1)a=0.Nonconsiderandocb=bc,cheèveradatocheilprodottotrareali ècommutativo,restanodasoddisfareb=b 2 ec 2 =c.quindib=0o b=1e c=0o c=1.scartandoilcasobanalea=0,b=0,c=0restanolesa (R,,0,1,1) (32) (R,,0,1,0) (33) (R,,0,0,1) (34) chequindisonosemigruppi. Notareche(R,,0,1,1)èunsemigruppoAbeliano. 2)a 0equindi c=b.sa:(r,,a,1,1)semigruppoabeliano. 2.3 ha divisione sinistra e/o destra? vediamo sinistra: laseguenteequazionehasoluzioneunicax per y,z R cioè quindi x= z by a c cheesisteedèunicasec 0. y x=z (35) a+by+cx=z (36) destra: laseguenteequazionehasoluzioneunicax per y,z R cioè quindi x= z cy a b cheesisteedèunicaseb 0. Quindi(R,,a,b 0,c 0)èunquasigruppo (37) x y=z (38) a+bx+cy=z (39) (40) 6
2.4 Esiste l elemento neutro sinistro e/o destro? Proviamo elementoneutrosinistrou s cioè: u s x=x; x R (41) a+bu s +cx=x (42) Attenzione: u s = (1 c)x a (43) b NON va bene perchè l elemento neutro deve essere lo stesso per x. Quindi deveesserec=1(eb 0). elementoneutrodestrou d cioè: x u d =x; x R (44) a+bx+cu d =x (45) Attenzione: u d = (1 b)x a (46) c NON va bene perchè l elemento neutro deve essere lo stesso per x. Quindi deveessereb=1(ec 0). Quindi(R,,a,b 0,1)èunloopsinistro,(R,,a,1,c 0)èunloopdestro. (R,,a,1,1)èunloop. 2.5 Esiste l anti_elemento sinistro e/o destro? sinistro: deveesistereper xun x s taleche x s x=u s (47) Implicitamente abbiamo detto che esiste u s e quindi c = 1 (e b 0) e (vedisopra)u s = a b.allora quindi a+b x s +x= a b x s = 1 b ( a b +a+x ) (48) (49) 7
destro: deveesistereper xun x d taleche x x=u d (50) Implicitamente abbiamo detto che esiste u d e quindi b = 1 (e c 0) e (vedisopra)u d = a c.allora quindi a+x+c x d = a c x d = 1 c ( a c +a+x ) (51) (52) Allora(R,,a,1,1)èungruppo epureabeliano Exercise 6 inventare e indagare nuove operazioni binarie non lineari. Exercise 7 interpretare la di questo capitolo come prodotto, aggiungere una vostra operazione di somma e analizzare le varie SA ottenibili sempre sul sostegno dei numeri reali. Exercise 8 (laborioso!) Lo spazio ambiente S 1 è l insieme delle coppie ordinate [x,y]; x,y R Indicheremoglielementiditalespazioconleletteremaiuscole L=[x,y] S 1 Introduciamol operazionedisommatradueelementidis 1 (sayl=[x,y],l = [x,y ])con L L = L (53) L = [x,y ] (54) x = x+x (55) y = y+y (56) Indicheremolozero(elementoneutrorispettoallasomma)con 0=[0,0] Introduciamo una ulteriore operazione binaria(prodotto) tra due elementi di S 1 (say L=[x,y],L =[x,y ])con L = L L =LL =[x,y ] (57) x = y 2 y x 2 y 2xyy +xx +xy ; (58) y = y 2 y +x 2 y +2xyy +yy +yx (59) Che struttura algebrica abbiamo? 8