Appunti di Elementi di Geometria Algebrica. Antonino Leonardis

Appunti di Elementi di Geometria Algebrica Antonino Leonardis 29 novembre 2006

Indice 1 Cubiche 5 1.1 Classificazione proiettiva delle curve.............. 5 1.2 Forma canonica di Weierstrass................. 5 1.2.1 Risultato finale...................... 5 1.2.2 1 Caso: cubiche irriducibili lisce............ 6 1.2.3 2 Caso: cubiche irriducibili singolari.......... 8 1.3 Struttura di gruppo su una cubica............... 10 2 Richiami di Algebra Commutativa 13 2.1 Quozienti e localizzazioni.................... 13 2.2 Algebre.............................. 13 2.3 Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert....... 13 3 Topologia di Zariski 15 3.1 Definizione............................ 15 3.2 Proprietà............................. 15 3.3 Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz)......... 16 4 Anello delle coordinate 17 4.1 Definizione............................ 17 4.2 Ideali e chiusi........................... 17 4.3 Mappe polinomiali........................ 17 4.3.1 Proprietà delle mappe polinomiali........... 18 4.4 Punto di vista algebrico..................... 18 5 Varietà 19 5.1 Varietà affini (VA)........................ 19 5.1.1 Definizione........................ 19 5.2 Topologia di Zariski su P n.................... 19 5.2.1 Definizione........................ 19 5.2.2 Ideali omogenei...................... 19 5.2.3 Carte affini........................ 19 5.3 Varietà proiettive (VP)..................... 19 5.4 Varietà quasi-proiettive (VQP)................. 19 3

4 INDICE 5.5 Funzioni regolari......................... 20 5.5.1 Definizione........................ 20 5.5.2 Proprietà......................... 20 5.6 Morfismi.............................. 20 5.7 Mappe di Veronese........................ 21 6 Prodotto 23 6.1 Definizione............................ 23 6.2 Applicazioni di Segre....................... 23 6.2.1 Definizione........................ 23 6.3 Proprietà del grafico....................... 24 6.4 Ipersuperfici di grado d..................... 25 7 Gruppi algebrici 27 7.1 Definizione............................ 27 7.2 Azione di un gruppo....................... 28 8 Grassmanniane 29 8.1 Definizione ed esempi...................... 29 8.2 Immersione di Plücker...................... 29 8.2.1 Quadrica di Klein.................... 29 8.2.2 Caso generale....................... 30 8.3 Varietà di incidenza....................... 30 9 Funzioni razionali (FR) 31 9.1 Definizione............................ 31 9.2 Funtore............................. 32 9.2.1 Scoppiamento di A 2 in (0, 0).............. 33 9.3 Teoria della dimensione..................... 34 9.4 Dimensione nel caso delle varietà proiettive.......... 35 9.5 Superfici di grado d in P 3.................... 36 10 Spazio tangente 39 10.1 Definizioni............................. 39 10.2 Anello locale........................... 39

Capitolo 1 Cubiche Se non specificato diversamente in questo capitolo considereremo lo spazio proiettivo P n (K) con char(k) 2, 3 e le curve su di esso. 1.1 Classificazione proiettiva delle curve Γ curva, d = deg Γ d = 1 Rette (proiettivamente isomorfe) d = 2 Coniche (classificazione in base al rango) d = 3 Cubiche (?) 1.2 Forma canonica di Weierstrass 1.2.1 Risultato finale y 2 = p(x) [p(x) = x 3 + ax 2 + bx + c] f(x, y) = y 2 p(x) Singolarità: y = p(x) = p (x) = 0, cioè i punti (α, 0) tali che α è radice multipla di p(x). Le radici di p(x) possono essere: Una radice tripla α Γ = {y 2 = k(x α) 3 } ha una cuspide in (α, 0) Una radice doppia α Γ = {y 2 = k(x α) 2 (x β)} ha un nodo in (α, 0) Tutte radici singole Γ è liscia All la curva ha un flesso. 5

6 CAPITOLO 1. CUBICHE 1.2.2 1 Caso: cubiche irriducibili lisce Proposizione 1.2.1. Sia Γ una cubica non singolare. Allora O Γ flesso. Dimostrazione 1.2.1 Sia F (P ) = 0 l equazione della curva. Sia H l Hessiana di Γ. Allora: P flesso F (P ) = H(P ) = 0 E questo sistema ha almeno una soluzione. Proposizione 1.2.2. Sia Γ una cubica non singolare, O Γ flesso (cfr. 1.2.1). Allora è possibile trovare un sist. rif. proiettivo t.c.: 1. O = [0, 0, 1] 2. Γ ha equazione y 2 = (x α 1 )(x α 2 )(x α 3 ) p(x) Dimostrazione 1.2.2 Prendo il sist. rif. proiettivo t.c. O = [0, 0, 1] e la tangente in O è la retta z = 0. Allora nella carta y 0 si ha l equazione affine: f(x, z) = z + z(ax + bz) + p 3 (x, z) E questa diventa nella carta z 0: g(x, y) = y 2 + y(ax + b) + p 3 (x, 1) Con la trasformazione: x x y y + 1 (ax + b) 2 L equazione diventa della forma: y 2 = p(x), deg(p) = 3 Inoltre p può essere facilmente reso monico; infatti, se p(x) = cx 3 +..., basta usare la trasformazione: x x x x 3 c oppure y y y y c Infine, essendo Γ non singolare, p ha tre radici distinte α 1, α 2, α 3 voluto. come Proposizione 1.2.3. Con le notazioni della proposizione precedente, si può trovare un sist. rif proiettivo in cui p(x) = x(x 1)(x λ).

1.2. FORMA CANONICA DI WEIERSTRASS 7 Dimostrazione 1.2.3 Con un affinità sulle x è facile ottenere un equazione della forma: y 2 = kx(x 1)(x λ) A questo punto basta rendere il polinomio monico con la trasformazione: x x y y k Flessi Sia Γ = {zy 2 = x(x z)(x λz)} = {zy 2 x 3 + (1 + λ)zx 2 λz 2 x = 0}. Calcoliamo la matrice Hessiana nei punti finiti (z = 1): 2λx 2(1 + λ)x 2λ 2y H(1, x, y) = det 2(1 + λ)x 2λ 6x + 2(1 + λ) 0 = 2y 0 2 λx (1 + λ)x λ y = 8 det (1 + λ)x λ 3x + 1 + λ 0 = y 0 1 λx (1 + λ)x λ = 8y 2 ( 3x + 1 + λ) + 8 det = (1 + λ)x λ 3x + 1 + λ = 8(y 2 λx)( 3x + 1 + λ) + 8((1 + λ)x λ) 2 = = 8(x 3 (1 + λ)x 2 + 2λx)( 3x + 1 + λ) + 8((1 + λ)x λ) 2 = = 8( 3x 4 + 4(1 + λ)x 3 6λx 2 + λ 2 ) 8h(x) Dunque h(x) ha 4 radici, le quali sono distinte 1 e diverse da {0, 1, λ}; dunque Γ ha 8 flessi finiti simmetrici rispetto alla retta y = 0 e un flesso all infinito. Si osservi che Γ ha il massimo numero di flessi possibile (Bezout). Modulo di una cubica liscia Definizione 1.2.4. Si definisce modulo di un birapporto β il valore: j(β) = (β2 β + 1) 3 β 2 (β 1) 2 Si dimostra facilmente che le soluzioni di j(β) = j(γ) sono tutte e sole quelle con γ {β, 1 β, β β 1, β 1 β, 1 β, 1 1 β }; infatti j ha grado2 6, quindi se 1 La dimostrazione è semplicemente il calcolo del risultante 2 Si definisce il grado di una funzione razionale f(x) = p(x) q(x) k(x) (p, q k[x]) come deg f = max(deg p, deg q); in particolare f(x) = c ha esattamente deg f soluzioni (con molteplicità)

8 CAPITOLO 1. CUBICHE le soluzioni sono distinte la tesi è chiara. Gli unici due casi in cui ci sono soluzioni coincidenti sono: a) j(β) = 27 4 β { 1, 2, 1 2 } (Quaterna armonica) b) j(β) = 0 β { ω, ω 2 }, ω 3 = 1 (Quaterna anarmonica) Definizione 1.2.5. Si definisce modulo di una cubica Γ = {y 2 = x(x 1)(x λ)} rispetto al flesso O = [0, 0, 1] il valore: j O (Γ) = j(γ) Questo non è altro che il modulo del birapporto Bir(0, 1, λ, ) e non dipende dalla scelta del sistema di riferimento in quanto è anche il modulo del birapporto tra le tangenti a Γ passanti per O (le rette x = 0, x = 1, x = λ, r ), il quale si conserva per proiettività. Si definisce inoltre il modulo di una cubica Γ = {y 2 = x(x 1)(x λ)} senza specificare il flesso all infinito come j(γ) = j O (Γ); per far ciò basta far vedere che j O (Γ) = j O (Γ) (O e O flessi generici). Questo è chiaro in quanto basta prendere un sistema di riferimento tale che O e O sono simmetrici rispetto alla retta y = 0; allora chiaramente si conserva il modulo con la simmetria. Definizione 1.2.6. Sia Γ una cubica e j(γ) il suo modulo. Allora Γ si dice cubica armonica se j(γ) = 27 4, mentre si dice cubica anarmonica se j(γ) = 0. Osservazione 1.2.7. Sia Γ una cubica né armonica né anarmonica. Allora il gruppo di invarianza G O (Γ) delle proiettività che fissano la cubica Γ e un flesso O ha due elementi; supponendo Γ in forma di Weierstrass questi sono l identità e la simmetria rispetto alla retta y = 0 (G O (Γ) = Z /2Z). Se Γ è invece armonica G O (Γ) è ciclico con 4 elementi e (in forma di Weierstrass) è generato dall affinità φ : (x, y) ( x, iy) (G O (Γ) = Z /4Z). Infine, se Γ è anarmonica, G O (Γ) è ciclico con 6 elementi e (in forma di Weierstrass) è generato dall affinità ψ : (x, y) (ω 2 x + 1, y) (G O (Γ) = Z/6Z). 1.2.3 2 Caso: cubiche irriducibili singolari Una cubica irriducibile può avere al più un punto singolare P (se ne avesse due allora la retta passante per questi due avrebbe molt. di intersezione 4, assurdo). Supponiamo di essere in questo caso; allora si possono distinguere due casi: 1. P ordinario (cubica nodata) 2. P non ordinario (cubica cuspidata) Proposizione 1.2.8. Anche per le cubiche singolari abbiamo una forma di Weierstrass. Precisamente:

1.2. FORMA CANONICA DI WEIERSTRASS 9 i) Ogni cubica nodata è proiett. equiv. alla curva y 2 = x 2 (x 1) ii) Ogni cubica cuspidata è proiett. equiv. alla curva y 2 = x 3 Dimostrazione 1.2.8 i) Verifichiamo innanzitutto che tutte le cubiche nodate sono proiettivamente equivalenti; in particolare saranno equivalenti a quella della tesi. Considero un sist. rif. proiettivo t.c. P = [0, 0, 1] e le tangenti in P sono x = 0 e z = 0. Allora nella carta y 0 si ha l equazione: e tornando alla carta z 0: ovvero: xz + (ax 3 + bx 2 z + cxz 2 + dz 3 ) = 0 xy + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 x(y + bx + c) + ax 3 + d e con la trasformazione y y + bx + c si ottiene: xy + ax 3 + d = 0 la quale con facili scalamenti diventa: xy + x 3 + 1 = 0 ovvero quello che volevamo dimostrare, le cubiche nodate sono tutte equivalenti. ii) Verifichiamo innanzitutto che tutte le cubiche cuspidate sono proiettivamente equivalenti; in particolare saranno equivalenti a quella della tesi. Considero un sist. rif. proiettivo t.c. P = [0, 0, 1] e la tangente in P è z = 0. Nella carta y 0 si ha: e tornando alla carta z 0: z 2 + ax 3 + bx 2 z + cxz 2 + dz 3 = 0 y + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 la quale con la trasformazione x x b/3a 3 a diventa: y + x 3 + cx + d = 0 a questo punto è sufficiente sostituire y y + cx + d per ottenere: y + x 3 = 0 da cui la tesi.

10 CAPITOLO 1. CUBICHE 1.3 Struttura di gruppo su una cubica Definizione 1.3.1. Sia Γ una cubica liscia e A, B due suoi punti. Allora si definisce: R(A, B) = {L(A, B) Γ}\{A, B} contando anche la molteplicità (L(A, A) è la tangente in A). Definizione 1.3.2. Sia Γ una cubica liscia e O un suo punto. definisce la somma sui punti della cubica: Allora si A B = R(R(A, B), O) Proposizione 1.3.3. (Γ, ) è un gruppo abeliano. Dimostrazione 1.3.3 Associatività abbastanza complicata. Supponiamo: Questo si verifica se e solo se: (P Q) S = P (Q S) R(P Q, S) = R(P, Q S) Infatti R(, O) è bigettiva. Consideriamo la cubica degenere Γ = L(P, Q) + L(P Q, S) + L(O, Q S). Allora: Γ Γ = {P, Q, R(P, Q), S, P Q, R(P Q, S), O, Q S, R(Q, S)} Quindi 3 : S, Q, R(Q, S) sono allineati gli altri 6 punti sono su una conica R(P, Q), P Q, O sono allineati gli altri 3 punti sono su una retta Dunque P, Q S, R(P Q, S) sono allineati, ovvero R(P Q, S) = R(P, Q S) c.v.d. Commutatività facile (R è commutativa) Elemento neutro O Opposto A = R(R(O, O), A) O A = R(R(A, O), O) = A A A = R(R(A, R(R(O, O), A)), O) = R(R(O, O), O) = O 3 Nel caso questi 9 punti non siano distinti bisogna utilizzare Bezout generalizzato o un ragionamento per continuità

1.3. STRUTTURA DI GRUPPO SU UNA CUBICA 11 Osservazione 1.3.4. Si osservi che: A + B + C = R(O, O) A, B, C sono allineati A + A + B = R(O, O) la tangente per A passa per B A + A + A = R(O, O) A è un flesso Osservazione 1.3.5. Comunemente si considera un flesso O nel definire la legge di gruppo. In questo caso: Il sottogruppo di torsione 2 ha 4 elementi, che sono i punti O, A, B, C tali che le tangenti passano per O (in forma di Weierstrass quelli con y = 0). Il sottogruppo di torsione 3 ha 9 elementi, che sono esattamente i nove flessi. Definizione 1.3.6. Sia Γ una cubica singolare irriducibile e O un suo punto non singolare. Allora si definisce la somma sui punti non singolari ( P ) della cubica: A B = R(R(A, B), O) In particolare si osservi che se A, B non sono singolari non lo è nemmeno R(A, B). Vale anche in questo caso che (Γ\{P }, ) è un gruppo abeliano. Osservazione 1.3.7. Supponiamo come sopra O flesso. In questo caso: Se la cubica è nodata si ha (Γ\{P }, ) = K tramite l isomorfismo φ : [z, x, y] y x y+x. Se la cubica è cuspidata si ha (Γ\{P }, ) = K tramite l isomorfismo φ : [z, x, y] x y. Il sottogruppo di torsione 2 ha 2 elementi nel caso della cubica nodata (O e, in forma di Weierstrass, A = (1, 0)) e uno solo nel caso della cubica cuspidata (O), come si deduce facilmente dall isomorfismo. Il sottogruppo di torsione 3 è esattamente l insieme dei flessi ( = Z/3Z nel caso della cubica nodata, {O} nel caso della cubica cuspidata, come si deduce facilmente dall isomorfismo).

12 CAPITOLO 1. CUBICHE

Capitolo 2 Richiami di Algebra Commutativa 2.1 Quozienti e localizzazioni 2.2 Algebre 2.3 Anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert 13

14 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI ALGEBRA COMMUTATIVA

Capitolo 3 Topologia di Zariski 3.1 Definizione Sia E K[x 1,..., x n ]. Allora si definisce il luogo di E come: V (E) = {x A n f(x) = 0 x E} Gli insiemi di questo tipo sono i chiusi di una topologia su A n (la dimostrazione è abbastanza semplice) che viene detta topologia di Zariski. Viceversa sia X A n. Allora si definisce l ideale di X come: I(X) = {f K[x 1,..., x n ] f(x) = 0 x X} 3.2 Proprietà La topologia di Zariski è T 1 La topologia di Zariski è T 2 K è finito (altrimenti gli aperti non vuoti sono densi) A n è riducibile K è finito A n è compatto con la topologia di Zariski (per la dimostrazione si fa uso della base di aperti U f V ({f}) C A n è Noetheriano (cioè ogni catena discendente di chiusi è stazionaria) La topologia a complementari finiti è meno fine della topologia di Zariski (gli insiemi finiti sono chiusi) e coincide con essa nel caso n = 1 Per K = C oppure K = R la topologia euclidea è strettamente più fine della topologia di Zariski (i chiusi di Zariski sono chiusi euclidei) 15

16 CAPITOLO 3. TOPOLOGIA DI ZARISKI 3.3 Teorema degli zeri di Hilbert (Nullstellensatz) V (I(X) = X I(V (J )) = J

Capitolo 4 Anello delle coordinate 4.1 Definizione Sia X A n un chiuso di Zariski. Si definisce anello delle coordinate di X l anello K[X] delle funzioni polinomiali (cioè esprimibili con un polinomio) da X in K. Chiaramente si ha: da cui si ha tra l altro che:. 4.2 Ideali e chiusi K[X] = K[x 1,..., x n ]/I(X) K[X] dominio di integrità X è irriducibile Si definiscono, dati E K[X] e Y X, i seguenti: V X (E) = {y X f(x) = 0 y E} I X (Y ) = {f K[X] f(y) = 0 y Y } Gli insiemi V X (E) non sono altro che i chiusi di X con la topologia (indotta) di Zariski. 4.3 Mappe polinomiali Si definisce mappa polinomiale una funzione polinomiale (cioè le cui componenti sono esprimibili con polinomi) da un chiuso X A n a un chiuso Y A m. Si definisce inoltre il funtore controvariante dalla categoria (chiusi, mappe polinomiali) alla categoria (K-algebre, omomorfismi) in modo che: f : K[Y ] K[X] 17

18 CAPITOLO 4. ANELLO DELLE COORDINATE g g f Osservazione 4.3.1. Non è detto che una mappa polinomiale f bigettiva sia un isomorfismo (cioè che f sia un isomorfismo). Ad esempio la parametrizzazione f : K {y 2 = x 3 }, f(t) = (t 2, t 3 ) è bigettiva ma non induce un isomorfismo di algebre. Infatti: f ( [p(x, y)] (y 2 x 3 )) = p(t 2, t 3 ) = t im(f ) 4.3.1 Proprietà delle mappe polinomiali f polinomiale f continua f polinomiale f chiusa (Es.: X = {xy = 1}, Y = A 1, f(x, y) = x) f polinomiale f aperta (Es.: X = Y = A 2, f(x, y) = (x, xy)) f polinomiale f(x) unione finita di localmente chiusi (non dimostrata) Definizione 4.3.2. Una funzione f : X Y si dice immersione chiusa se f(x) è chiuso in Y e f è isomorfismo con l immagine Definizione 4.3.3. Una funzione f : X Y si dice dominante se f(x) è denso in Y f dominante f iniettiva (in particolare I Y (f(x)) = ker(f )) f immersione chiusa f surgettiva φ : K[Y ] K[X] = f : X Y t.c. φ = f 4.4 Punto di vista algebrico Se A è un anello commutativo con identità si può considerare maxspec(a) (spettro massimale di A) e spec(a) (spettro primo di A) con la topologia di Zariski. Il sollevamento di omomorfismi si comporta bene nello spettro primo ma non nello spettro massimale (la contrazione di un massimale non è necessariamente massimale). Se però consideriamo omomorfismi di K- algebre il sollevamento si comporta bene anche nello spettro massimale.

Capitolo 5 Varietà 5.1 Varietà affini (VA) 5.1.1 Definizione Si dice varietà affine una classe di isomorfismo di chiusi di Zariski. In particolare queste classi saranno determinate dall anello delle coordinate corrispondente. 5.2 Topologia di Zariski su P n 5.2.1 Definizione Y P n è chiuso di Zariski (proiettivo) π 1 (Y ) A n+1 è chiuso di Zariski (affine) 5.2.2 Ideali omogenei 5.2.3 Carte affini 5.3 Varietà proiettive (VP) Si dice varietà proiettiva una classe di isomorfismo di chiusi di Zariski proiettivi. 5.4 Varietà quasi-proiettive (VQP) Si dice varietà quasi-proiettiva una classe di isomorfismo di localmente-chiusi di Zariski proiettivi. In particolare le VA e le VP sono VQP. Più in generale si dimostra abbastanza facilmente che una VQP ammette una base di aperti affini (si restringe la varietà nelle carte {x i 0} ottenendo delle cosiddette varietà quasi affini (VQA) ; con queste la tesi è facile). 19

20 CAPITOLO 5. VARIETÀ 5.5 Funzioni regolari 5.5.1 Definizione Sia X una VQP. Una funzione f : X K si dice regolare se è localmente una funzione razionale omogenea (cioè f(λx) = f(x) ovvero il numeratore e il denominatore hanno lo stesso grado). L insieme di tali funzioni è una K-algebra e si indica con O X (X). 5.5.2 Proprietà Le funzioni razionali sono continue (si verifica localmente con i chiusi) Se X è affine allora O X (X) = K[X] (serve il NSS) Se X = P n allora O X (X) = K 5.6 Morfismi Definizione 5.6.1. Una funzione f : X Y è un morfismo se è continua e per ogni aperto V Y : g : V K regolare f g : f 1 (V ) K regolare Un morfismo è detto isomorfismo se ammette un morfismo inverso. Definizione 5.6.2. Sia f : X Y un morfismo tra VQP. Allora definisco: f : O Y (Y ) O X (X), f (h) = h f f così definito è un omomorfismo K-lineare e ha le proprietà seguenti: (Id X ) = Id OX (X) (g f) = f g f isomorfismo f isomorfismo I morfismi non sono altro che una generalizzazione delle mappe polinomiali tra varietà affini. Infatti: Proposizione 5.6.3. Sia X una VQP e f : X A n un applicazione, f = (f 1,..., f n ). Allora: Dimostrazione 5.6.3 f morfismo i : f i regolare f i = f (y i ) è regolare per definizione

5.7. MAPPE DI VERONESE 21 Sia φ una FR su A n. Sia V A n aperto tale che y V : φ(y) = a(y) b(y) (a, b K(A n )). Allora: φ f = a(f 1,..., f n ) b(f 1,..., f n ) è regolare Corollario 5.6.3 f : X Y è un morfismo tra VA se e solo se è polinomiale. Proposizione 5.6.4. Sia X A n una VA, f(x)[ 0] K[X] e X f = {x X f(x) 0} un suo aperto principale. Allora X f è una VA. Dimostrazione 5.6.4 Sia φ : X f A n+1 la mappa: e sia Y = φ(x f ). Allora X f = Y. φ(x) = (x, 1 f(x) ) Corollario 5.6.4 Se X è una VQP allora ammette una base di aperti affini. Proposizione 5.6.5. Sia X una VA e X f un aperto principale. Allora: 5.7 Mappe di Veronese K[X] = K[X] f Definizione 5.7.1. Si definisce la curva razionale normale di grado n come: { ( ) } x0 x C n = rk 1... x n 1 1 x 1 x 2... x n Nel caso n = 3 essa viene anche chiamata cubica gobba. Definizione 5.7.2. ( Si definisce ) la mappa di veronese v k,n : P k P N, n + k ove si è posto N = 1, utilizzando le coordinate (z k I ) con I = (i 0,..., i k ) multiindice a somma n: v k,n (x 0,..., x k ) I = X I La mappa di Veronese v n,k è un isomorfismo tra P k e un chiuso di P N. In particolare per k = 1 si ha un isomorfismo tra P 1 e la curva razionale di grado n (si osservi che N = n) che possiamo scrivere esplicitamente: v 1,n ([s, t]) = [s n, s n 1 t,..., st n 1, t n ]

22 CAPITOLO 5. VARIETÀ

Capitolo 6 Prodotto 6.1 Definizione Si definisce il prodotto di due VQP X e Y tramite la proprietà universale, cioè la VQP W è il prodotto di X e Y con proiezioni p 1 e p 2 se e solo se Z VQP, f : Z X, g : Z Y morfismi!φ : Z W morfismo che fattorizza f e g con le proiezioni (Φ p 1 = f, Φ p 2 = g). Questa proprietà implica l unicità di W a meno di isomorfismo, il quale isomorfismo deve fattorizzare le proiezioni di un prodotto nell altro. Osservazione 6.1.1. A n A m = A m+n Osservazione 6.1.2. P n P m è una varietà proiettiva (si veda il prossimo paragrafo) 6.2 Applicazioni di Segre 6.2.1 Definizione Le applicazioni di Segre s n,m sono un isomorfismo tra P n P m è una varietà proiettiva. Precisamente, posto N = (n + 1)(m + 1) 1 e considerando P N come lo spazio vettoriale delle matrici n m quozientato proiettivamente, definiamo: x 0 y 0 x 0 y 1 x 0 y m x 1 y 0 x 1 y 1 x 1 y m s n,m ([x 0,..., x n ], [y 0,..., y m ]) =...... x n y 0 x n y 1 x n y m O più concisamente: s n,m (x, y) = xy T A questo punto è facile dimostrare che un chiuso in P n P m è definito da equazioni polinomiali con polinomi biomogenei in x, y. 23

24 CAPITOLO 6. PRODOTTO Proposizione 6.2.1. Siano X, Y VQP. Allora: X Y irriducibile X, Y irriducibili 6.3 Proprietà del grafico Proposizione 6.3.1. Sia f : X Y un morfismo e Γ f X Y il suo grafico. Allora Γ f è chiuso; in particolare la diagonale Y Y Y (cioè il grafico di id Y : Y Y ) è chiusa. Dimostrazione 6.3.1 Dimostriamo innanzitutto che basta sapere che la diagonale è chiusa per ottenere la tesi. Infatti considero il morfismo Φ : X Y Y Y, Φ(x, y) = (f(x), y) e siccome Γ f = Φ 1 ( Y ) ottengo che Γ f è chiuso in quanto controimmagine di un chiuso. Dimostriamo ora che Y è chiusa. In particolare basta farlo per Y = P n. Si ha: { ( ) } P n = ([x 0,..., x n ], [y 0,..., y n ]) rk x0... x n 1 = y 0... y n = {([x 0,..., x n ], [y 0,..., y n ]) x i y j x j y i = 0} Ed è quindi definita da polinomi biomogenei di bigrado (1,1), da cui è chiusa. Corollario 6.3.1 Siano f, g : X Y morfismi. Allora {f = g} è chiuso. Infatti {f = g} = (f g) 1 ( y ) cioè è controimmagine di un chiuso tramite il morfismo f g. Teorema 6.3.2. Siano X VP, Y VQP, f : X Y morfismo. Allora f(x) è chiuso. Prima di effettuare la dimostrazione consideriamo il seguente teorema equivalente: Teorema 6.3.3. Siano X VP, Y VQP. Allora p 2 : X Y Y è chiusa. Tutto questo si esprime dicendo che X è universalmente chiusa. Dimostrazione 6.3.3 Possiamo supporre Y affine (ci riduciamo agli elementi di una base di aperti affini) Possiamo supporre Y = A n Possiamo supporre X = P m Sia Z un chiuso in A n P m. Con un po di conti (qui omessi) si ottiene una condizione polinomiale su f(z), ovvero f(z) è chiuso. A questo punto possiamo dimostrare il teorema 6.3.2: Dimostrazione 6.3.2 f(x) non è altro che p 2 (Γ f ) che è chiuso per il teorema 6.3.3. Corollario 6.3.2

6.4. IPERSUPERFICI DI GRADO D 25 Se X è una VP connessa e f : X K regolare allora f è costante (si estenda f a f : X P 1 ; allora f(x) è chiuso connesso P 1 ) Se X è una VP e anche affine allora è una unione finita di punti (ogni componente irriducibile ha un solo punto altrimenti si trova una funzione regolare non costante) In particolare la chiusura proiettiva di una varietà affine è sempre più grande a meno che questa non sia un insieme finito di punti 6.4 Ipersuperfici di grado d Consideriamo lo spazio I d = P(K[x 0,..., x n ] d delle ipersuperfici di grado d. Sia U 0 il sottoinsieme delle ipersuperfici senza fattori multipli e U 1 il sottoinsieme delle ipersuperfici irriducibili. Chiaramente I d U 0 U 1 e si ha: Proposizione 6.4.1. U 0 è aperto. Dimostrazione 6.4.1 Sia 0 < k < d e si consideri l applicazione µ k,d : I k I d 2k I d, µ k,d ([f], [g]) = [f] 2 [g]. Allora: U C 0 = d 1 k=1 im(µ k,d ) Siccome µ k,d è un morfismo (facile) è anche chiusa, quindi U0 C chiusi da cui la tesi. è unione di Proposizione 6.4.2. U 1 è aperto. Dimostrazione 6.4.2 Sia 0 < k < d e si consideri l applicazione µ k,d : I k I d k I d, µ k,d ([f], [g]) = [f][g]. Allora: U C 1 = d 1 k=1 im(µ k,d ) Siccome µ k,d è un morfismo (facile) è anche chiusa, quindi U1 C chiusi da cui la tesi. Corollario U 0 e U 1 sono densi in I d. è unione di

26 CAPITOLO 6. PRODOTTO

Capitolo 7 Gruppi algebrici 7.1 Definizione Sia X una VQP. Allora, data una legge di composizione interna, la coppia (X, ) si dice gruppo algebrico se: (X, ) è un gruppo µ : X X X, µ(x, y) = x y è un morfismo inv : X X, inv(x) = x 1 è un morfismo Esempio 7.1.1. Vediamo qualche esempio: (A n, +) è un gruppo algebrico 1 (K, ) è un gruppo algebrico 2 Il prodotto di due gruppi algebrici è un gruppo algebrico (in particolare il toro di dimensione n) GL(n, K) è un gruppo algebrico (sottovarietà aperta di A n2 ) PGL(n, K) è un gruppo algebrico (sottovarietà aperta di P n2 1 ) Una cubica liscia Γ con l operazione di gruppo definita nel capitolo 1 è un gruppo algebrico Soffermiamoci su quest ultimo esempio. Per dimostrare che è un gruppo algebrico basta far vedere che il residuo R(, ) : Γ Γ Γ è un morfismo. Questo è abbastanza semplice in quanto si può ricoprire Γ con aperti affini sui quali R è polinomiale. Rivediamo l associatività (dimostrazione 1.3.3). In particolare grazie al corollario 6.3.1 possiamo affermare che, siccome (P + Q) + R = P + (Q + R) su un aperto denso, questi due morfismi sono uguali su tutta la curva. 1 (K, +) si denota anche con G a 2 (K, ) si denota anche con G m e G n m viene detto toro di dimensione n 27

28 CAPITOLO 7. GRUPPI ALGEBRICI 7.2 Azione di un gruppo Si dice che un gruppo algebrico (G, ) agisce su una VQP X se φ : G X X morfismo tale che: φ(1, x) = x x X φ(g 1 g 2, x) = φ(g 1, φ(g 2, x)) x X, g 1, g 2 G Scriviamo per semplicità φ(g, x) = g x. Allora le ultime due affermazioni si possono scrivere più semplicemente come: 1 x = x x X (g 1 g 2 ) x = g 1 (g 2 x) x X, g 1, g 2 G Esempio 7.2.1. Vediamo qualche esempio: (G, ) agisce su G per moltiplicazione (φ(g 1, g) = g 1 g) (G, ) agisce su G stesso per coniugio (φ(g 1, g) = g 1 g g 1 1 ) GL(n, K) agisce su A n PGL(n, K) agisce su P n 1

Capitolo 8 Grassmanniane 8.1 Definizione ed esempi Per esempio: G(k, n) = {H K n H sottospazio, dim H = k } G(1, n) = P n 1 G(n 1, n) = (P n 1 ) Il primo esempio non banale è dunque G(2, 4). 8.2 Immersione di Plücker 8.2.1 Quadrica di Klein Consideriamo G(2, 4). Sia H G(2, 4). Sia v 1, v 2 H una base di H e consideriamo la matrice: a 11 a 12 A = (v 1 v 2 ) = a 21 a 22 a 31 a 32 a 41 a 42 Sia w 1, w 2 H un altra base. Allo stesso modo consideriamo la matrice: b 11 b 12 B = (w 1 w 2 ) = b 21 b 22 b 31 b 32 b 41 b 42 In particolare B = AM per qualche matrice invertibile 2 2 M. Siano per i j: ( ) ai1 a A ij = i2 a j1 29 a j2

30 CAPITOLO 8. GRASSMANNIANE E allo stesso modo: ( ) bi1 b B ij = i2 b j1 Si vede facilmente che B ij = A ij M, da cui det B ij = det A ij det M. Considerando su P 5 le coordinate [p ij ] 1 i j 4, grazie a quest ultima osservazione la seguente funzione P : G(2, 4) P 5 è ben definita: b j2 P (H) ij = det A ij ed è iniettiva in quanto si dimostra facilmente che i 6 determinanti det A ij determinano il piano H G(2, 4); essa viene appunto detta immersione di Plucker. Le [p ij ] sono le coordinate di Plucker. L immagine di G(2, 4) in P 5 è un chiuso, più precisamente una quadrica (i punti soddisfano p 12 p 34 p 13 p 24 + p 23 p 14 = 0) che viene chiamata quadrica di Klein. 8.2.2 Caso generale Nel caso generale ( ) G(k, n) si definisce l immersione di Plucker P : G(k, n) n P N (N = ) allo stesso modo. Sia v k 1,..., v n una base di H G(k, n) e si consideri la matrice: A = (v 1... v k ) e le sottomatrici A I (con I = {i 1,..., i k } multiindice ordinato 1, 1 I n) in cui si considerano soltanto le righe I; in particolare cambiando base i determinanti det A I vengono modificati da una costante e determinano completamente H. Dunque si può definire, considerando su P N le coordinate [p I ] (I solito multiindice ordinato): P (H) I = det A I Anche in questo caso P (G(k, n)) è un chiuso, ma ha equazioni più complicate. 8.3 Varietà di incidenza Osservazione 8.3.1. Applicando le matrici n n alla matrice A che rappresenta un generico H G(k, n) si ottiene un azione di GL(k, n) su G(k, n), che si dimostra essere un azione algebrica. Osservazione 8.3.2. Sia H K n un sottospazio di dimensione d; allora l insieme {H G(k, n) H H} è un chiuso in quanto i punti H, se A rappresenta H e A rappresenta H, soddisfano la condizione: rk ( A A ) k Definizione 8.3.3. Più in generale otteniamo la cosiddetta varietà di incidenza: I d,k = {(H, H) H H} G(d, n) G(k, n) 1 Si può anche considerare I non ordinato, e in questo caso p ji = p ij

Capitolo 9 Funzioni razionali (FR) 9.1 Definizione Si dice funzione razionale da una VQP X in K una classe di equivalenza di coppie (U, φ) con U X aperto e φ : U K funzione regolare con la relazione di equivalenza: e si scrive: (U, φ) (U, φ ) φ U U = φ U U f : X K intendendo che essa non è esattamente una funzione. Si dice che f è definita in x X se un rappresentante (U, φ) di f tale che x U, e l insieme dei punti in cui f è definita si dice dominio di f e si indica con domf. Osservazione 9.1.1. Le funzioni razionali su un irriducibile X formano un campo che si denota con K(X), il quale, se X è affine, è il campo dei quozienti di K[X]. Più in generale sono una K-algebra. Si dice funzione razionale da una VQP X in un altra VQP Y una classe di equivalenza di coppie (U, φ) con U X aperto e φ : U Y morfismo con la relazione di equivalenza: e si scrive: (U, φ) (U, φ ) φ U U = φ U U f : X Y Definizione 9.1.2. Sia f : X Y una FR. Allora f si dice dominante se rappresentante (U, φ) φ(u) è denso. Osservazione 9.1.3. Siano f : Y Z e g : X Y due FR. Allora f g se g è dominante. Infatti, dati due rappresentanti f = [(U, φ)] e g = [(V, ψ)], si ha: f g = [(φ 1 (V ), φ ψ)] 31

32 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR) 9.2 Funtore Definizione 9.2.1. Sia f : X Y una FR tra irriducibili. Allora definisco: f : K(Y ) K(X), f (h) = h f il quale è un omomorfismo di K-campi ed è anche iniettivo. Se f, g sono componibili si ha (f g) = g f. Si definisce mappa birazionale una FR f : X Y t.c. g : Y X FR con f g = id X ; se in particolare f e g sono dominanti si ha un isomorfismo birazionale. Si osservi che in quest ultimo caso, se X è irriducibile, f è un isomorfismo di K-campi. Proposizione 9.2.2. Sia X VQP irriducibile. Allora K(X) è finitamente generato. Dimostrazione 9.2.2 Sia V X un aperto affine. Allora si ha K(X) = K(V ) (cfr. 9.2.1) e quest ultimo è finitamente generato (dalle funzioni coordinate X i ). Proposizione 9.2.3. Siano X, Y VQP irriducibili. Sia ψ : K(Y ) K(X) un omomorfismo iniettivo di K-campi. Allora!f : X Y mappa razionale dominante tale che ψ = f. Dimostrazione 9.2.3 Supponiamo Y affine A m. Sia f i = ψ(y i ); allora si può prendere f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)). Allora le seguenti affer- Teorema 9.2.4. Siano X,Y VQP irriducibili. mazioni sono equivalenti: i) X = bir Y ii) K(X) = K(Y ) iii) U X, V Y aperti t.c. U = V Dimostrazione 9.2.4 ii) i) Segue facilmente da 9.2.3. i) ii) Già dimostrato in 9.2.1. iii) i) Chiaramente X = bir U = bir V = bir Y. i) iii) Sia f : X Y un isomorfismo birazionale. Siano (U 0, φ) e (V 0, ψ) dei rappresentanti rispettivamente di f e di f 1. Voglio dimostrare che i seguenti aperti (non vuoti) sono isomorfi: U = φ 1 (ψ 1 (U 0 )) Si osservi che: V = ψ 1 (φ 1 (V 0 ))

9.2. FUNTORE 33 P U 0 e φ(p ) V 0 ψ(φ(p )) = P Q V 0 e ψ(q) U 0 φ(ψ(q)) = Q Le due di- Quindi basta far vedere che φ(u) V e ψ(v ) U. mostrazioni sono simili e abbastanza semplici. Esempio 9.2.5. Si dice trasformazione di Cremona standard la seguente FR: C : P 2 P 2 C([x 0, x 1, x 2 ]) = [x 1 x 2, x 0 x 2, x 0 x 1 ] C è definita in P 2 \{[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]}; inoltre: C 2 ([x 0, x 1, x 2 ]) = C([x 1 x 2, x 0 x 2, x 0 x 1 ] = [x 2 0x 1 x 2, x 0 x 2 1x 2, x 0 x 1 x 2 2] = [x 0, x 1, x 2 ] cioè C 2 = id P 2. Si osservi che C è un automorfismo di U = P 2 \{xyz = 0}, da cui è un isomorfismo birazionale di P 2, cioè C Bir(P 2 ), il gruppo delle mappe birazionali f : P 2 P 2. Per questo gruppo si ha il seguente teorema, dovuto a Noether: Teorema 9.2.6 (Noether). Il gruppo Bir(P 2 ) è generato dalle proiettività e dalla trasformazione di Cremona standard C. 9.2.1 Scoppiamento di A 2 in (0, 0) Definizione 9.2.7. Si consideri la funzione razionale π : A 2 P 1 rappresentata dalla seguente coppia (U, φ): U = A\{(0, 0)} φ(x, y) = [x, y] La chiusura del suo grafico Z = Γ π A 2 P 1 viene detto scoppiamento di A 2 in (0, 0) e si scrive Â2 = Z. In particolare è facile vedere che: Â 2 = {((x, y), [s, t]) xt ys = 0} Si osservi infatti che {((0, 0), [a, b])} Â2 (per dimostrare questa affermazione si considerino gli insiemi Z a,b = {((λa, λb), [a, b]) λ K} = A 1 ).

34 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR) 9.3 Teoria della dimensione Definizione 9.3.1. Sia K F un estensione di campi. Siano a 1,..., a n F. Si dice che a 1,..., a n sono algebricamente dipendenti su K se p K[x 1,..., x n ], p 0 t.c. p(a 1,..., a n ) = 0; se ciò non vale a 1,..., a n si dicono invece algebricamente indipendenti su K. Un insieme S F si dice algebricamente indipendente se lo è ogni suo sottoinsieme finito. Definizione 9.3.2. Sia K F un estensione di campi. Un insieme B = {a i } i I si dice base di trascendenza dell estensione se è un insieme algebricamente indipendente massimale. Si può dimostrare che, data un estensione di campi K F, esiste almeno una base di trascendenza e che tutte le basi di trascendenza hanno la stessa cardinalità. Definizione 9.3.3. Sia K F un estensione di campi e B una base di trascendenza. Si dice grado di trascendenza dell estensione il cardinale: tr deg K F = #B Per quanto osservato sopra il grado di trascendenza è ben definito. Definizione 9.3.4. Sia X una VQP irriducibile. Si definisce la dimensione di X come: dim X = tr deg K K(X) Più in generale se X è una qualsiasi VQP e X 1,..., X k sono le sue componenti irriducibili si definisce: dim X = max i=1,...,k dim X i Grazie al teorema 9.2.4 la dimensione è un invariante birazionale. Esempio 9.3.5. Un punto ha dimensione 0. A n, P n hanno dimensione n. Le ipersuperfici in A n o P n hanno dimensione n 1. dim G(k, n) = k(n k). Se X e Y sono VQP irriducibili dim X Y = dim X + dim Y. Proposizione 9.3.6. Sia f : X Y una FR dominante tra VQP irriducibili. Allora dim Y dim X.

9.4. DIMENSIONE NEL CASO DELLE VARIETÀ PROIETTIVE 35 Dimostrazione 9.3.6 Essendo f iniettivo, esso conserva l indipendenza algebrica. Dunque presa una base di trascendenza di K(Y )/K la sua immagine in K(X) è un insieme algebricamente indipendente, dunque può essere completato ad una base di trascendenza su K (che chiaramente ha cardinalità ). Proposizione 9.3.7. Siano X, Y VQP irriducibili. Allora dim(x Y ) = dim X + dim Y. Dimostrazione 9.3.7 Posso supporre X, Y affini, cioè X A N e Y A M. Sia x 1,..., x N una base di trascendenza per K(X)/K e y 1,..., y N una base di trascendenza per K(Y )/K. Allora K(X Y ) è generato da x 1,..., x N, y 1,..., y N. Dunque basta dimostrare che essi sono algebricamente indipendenti. Questo è abbastanza semplice, si trova facilmente che un polinomio p(x 1,..., x N, y 1,..., y N ) si annulla solo se è identicamente nullo. Proposizione 9.3.8. Sia X una VQP irriducibile. Sia Y X chiuso irriducibile. Allora dim Y = dim X Y = X. Dimostrazione 9.3.8 Chiaramente ogni base di trascendenza per K(Y )/K è anche una base di trascendenza di K(X)/K. Possiamo supporre X affine; allora è facile vedere che I(Y ) =. Definizione 9.3.9. Si definisce la dimensione topologica di uno spazio topologico come: dim top X = sup{k catena ascendente di chiusi irrid. di cardinalità K} In particolare: dim top A n = dim top P n = dim A n = dim P n = n Da cui, se X è una VQP (e grazie alla proposizione 9.3.8): dim top X dim X Proposizione 9.3.10 (Senza dimostrazione). dim top X = dim X 9.4 Dimensione nel caso delle varietà proiettive Teorema 9.4.1. Siano X, Y P n chiusi irriducibili. Supponiamo che dim X + dim Y n. Allora X Y e in particolare dim Z dim X + dim Y n per ogni componente irriducibile Z X Y.

36 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR) Corollario 9.4.1 P 2 = P 1 P 1 Teorema 9.4.2. Siano X, Y VP irriducibili. Sia f : X Y un morfismo surgettivo, r = dim X dim Y. Allora: 1. y Y ogni componente irriducibile di f 1 (y) ha dimensione r 2. U Y aperto t.c. y U dim(f 1 (y) = r) Corollario 9.4.2 Si consideri: Ψ f : Y N Allora Ψ f è semicontinua superiore. y dim f 1 (y) Esempio 9.4.3. Sia f : Â2 A 2 la proiezione canonica. Allora Ψ f = 1 (0,0), quindi è effettivamente semicontinua superiore. Teorema 9.4.4 (Criterio di irriducibilità per varietà proiettive). Siano X, Y VP. Sia f : X Y morfismo surgettivo. Supponiamo che Y sia irriducibile e che Ψ f k; allora X è irriducibile e dim X = dim Y + k. 9.5 Superfici di grado d in P 3 ( ) d + 3 Sia N = N(d) = 1; allora possiamo identificare le superfici 3 di grado d in P 3 con i punti in P N. Si dice che una proprietà vale per la superficie generale di grado d se U P N aperto tale che la proprietà vale per tutte le superfici corrispondenti ai punti di U. Esempio 9.5.1. Vediamo quali rette contiene la superficie generale di grado d. Consideriamo: I = {(l, [F ]) V (F ) l} G(2, 4) P N I è chiaramente chiuso. Si consideri la retta l 0 = {x 2 = x 3 = 0}; allora: (l 0, [F ]) I F = x 2 A+x 3 B x d 0, x d 1 0 x 1,..., x d 1 hanno coefficiente nullo in F In particolare p 2 (p 1 1 (l 0)) è un sottospazio proiettivo di codimensione d + 1. Inoltre PGL(4) agisce su G(2, 4) P N nel modo seguente: g(l, [F ]) = (gl, [F g 1 ])

9.5. SUPERFICI DI GRADO D IN P 3 37 Si vede facilmente che gi = I g PGL(4); dunque, utilizzando un elemento g PGL(4) tale che gl = l 0, si ottiene che in generale p 2 (p 1 1 (l)) ha codimensione d + 1. Allora, grazie al teorema 9.4.4, si ha: Vediamo alcuni casi (Σ = p 2 (I)): d = 1 Banale d = 2 dim I = 4 + N d 1 = N d + 3 d = 3 Si ha dim I = N. Si possono avere due casi: 1. Σ = P N 2. Σ P N Il secondo caso è impossibile perché si dovrebbe avere che [F ] Σ l insieme p 1 2 ([F ]) è infinito; per vedere che questo è assurdo basta considerare la cubica xyz = t 3, la quale contiene solamente le tre rette x = 0, y = 0, z = 0. d 4 dim Σ = dim I < N la superficie generale di grado d non contiene rette

38 CAPITOLO 9. FUNZIONI RAZIONALI (FR)

Capitolo 10 Spazio tangente 10.1 Definizioni Definizione 10.1.1. Sia X A n, X = V (f). Dati P X e una retta l = {P + tq} si definisce la molteplicità di intersezione di l e X in P come: m P (X, l) = v t (f(p + tq)) Si dice che l è tangente a X in P se m P (X, l) > 1. Osservazione 10.1.2. Con le notazioni della definizione 10.1.1 si ha: n l tangente a X in P g f (0) = 0 (P + tq)q i t=0 = 0 x i n i=1 i=1 f x i (P )Q i = 0 Q f(p ) Definizione 10.1.3. Con le notazioni della definizione 10.1.1 si definisce lo spazio tangente a X in P come: T P X = f(p ) L osservazione 10.1.2 giustifica questo nome. Più in generale, se X A n è un qualsiasi chiuso irriducibile, si definisce: T P X = f(p ) f I(X) Proposizione 10.1.4. L applicazione φ : X N tale che: è semicontinua superiore. 10.2 Anello locale φ(p ) = dim T P X 39