Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) Algebre di Boole. 1. Definizione e proprietá

Appunti di LOGICA MATEMATICA (a.a.2009-2010; A.Ursini) [# Aii [10 pagine]] Algebre di Boole Un algebra di Boole è una struttura 1. Definizione e proprietá B =< B,,, ν, 0, 1 > in cui B è un insieme non vuoto,, sono operazioni binarie in B, ν è un operazione unaria in B, 0, 1 sono costanti e sono soddisfatti i seguenti assiomi: per tutti gli a, b, c B : (1) (commutative) a b = b a, a b = b a; (2) (associative) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (3) (distributive) a (b c) = (a b) (a c), a (b c) = (a b) (a c); (4) (elementi neutri) a 0 = a, a 1 = a; (5) (complementazione) a (νa) = 1, a (νa) = 0. Nella precedente definizione, non si esclude che B abbia un solo elemento; significa (come vedremo) che 1 = 0 in una tale struttura (algebra degenere). Nel seguito, tuttavia, ci occuperemo solo di algebre di Boole con almeno due elementi. Spesso scriviamo B per indicare l algebra B. 2. Esempi. (1) La struttura 2 =< 2, 2, 2, 2, 0, 1 > dei valori di veritá è un algebra di Boole. Ricordiamo che 2 denota l insieme {0, 1}. Le operazioni sono date dalle tavole di veritá: per a, b 2 : (a) 2 (a, b) :=: 1 sse a = b = 1; (b) 2 (a, b) :=: 0 sse a = b = 0; (c) 2 (a) :=: 1 sse a = 0. (2) Per ogni insieme X, sia PX (anche indicato con P(X)) l insieme dei sottinsiemi di X. La struttura < PX,,,,, X > in cui Y = X \ Y per Y X (complementazione), è un algebra di Boole. (3) FBF / si puó strutturare come algebra di Boole. La relazione di equivalenza logica, denotata da, tra due formule è definita da: P Q se = P Q : ossia dal fatto che v(p ) = v(q) per ogni interpretazione v. Ricordiamo il teorema di sostituzione: se P i Q i, i = 0,..., n, allora R[ P / A] R[ Q/ A]. 1

2 Lemma 1. La relazione è una relazione d equivalenza in FBF, e rispetta i connettivi, ossia se P P, Q Q, allora anche (P Q) (P Q ), (per =, ) e P P. DIM. Si tratta di stabilire che P P T AUT ; che se P Q, Q R T AUT allora anche Q P, P R T AUT, e tutto ció è quasi ovvio. Inoltre c è da verificare che se P P, Q Q T AUT, allora anche (P Q) (P Q ) T AUT, ed analogamente per. Si considerino la formula R = (A 0 A 1 ) e le sostituzioni [P, Q/A 0, A 1 ], [P, Q /A 0, A 1 ]. Per il teorema di sostituzione avremo: P Q = R[P, Q/A 0, A 1 ] R[P, Q /A 0, A 1 ] = P Q. Analogamente per la negazione. Il lemma consente di definire nel quoziente FBF / operazioni corrispondenti ai connettivi; se con P denotiamo la classe di equivalenza di P : (a) P Q := (P Q) ; (b) (P ) := ( P ) ; (c) 0 :=. A questo punto i segni di connettivo,, assumono ancora un altro senso: per denotare le operazioni nell algebra quoziente PROP/. Ponendo ulteriormente 0 =, 1 = ( ), il lettore verifichi che la struttura FBF / gli assiomi di algebra di Boole. [Si tratta di controllare una serie di tautologie; per esempio, che per ogni P, Q P ROP, = (P (R Q)) ((P R) Q), = P ( P ), = (P P ).] (4) Dato un insieme X, un sottinsieme Y X dicesi cofinito (in X) se X \ Y é un insieme finito. Con le usuali operazioni insiemistiche, dato un insieme X, la famiglia {Y Y X, Y finito oppure cofinito} è un algebra di Boole. (5) Dato uno spazio topologico < X, T >, la famiglia {Y Y X, Y aperto e Y chiuso}, con le usuali operazioni insiemistiche (come in 2), è un algebra di Boole (algebra dei clopen di X). 3. Alcune proprietá. Nello scrivere termini con le operazioni booleane, useremo la convenzione per cui ν ha la prioritá su, : per esempio, νa b sta per (νa) b. La complementazione é caratterizzata univocamente dall assioma (5): Proposizione 1. Se a x = 1, e a x = 0, allora x = νa.

Si ha una sequela di uguaglianze (tra parentesi indichiamo l assioma o l ipotesi applicata): 3 νa = [4]νa 1 = [ip.]νa (a x) = [3](νa a) (νa x) = [1](a νa) (νa x) = [4]0 (νa x) = [ip.](a x) (νa x) = [1](x a) (x νa) Proposizione 2. Si ha ννa = a. = [3]x (a νa) = [5]x 1 = [4]x. Infatti dagli assiomi (1) e (5) si ha νa a = 1, νa a = 0; dalla proposizione precedente, si ricava a = ννa. Principio di dualitá. Si noti che se in un assioma si scambiano tra loro tutti i segni di operazione e, e 0 con 1, si ottiene ancora un assioma. Pertanto se si ha un identitá t = t che vale in tutte le algebre di Boole, e se in t, t si fa lo stesso scambio, si ottiene ancora un identitá valida in tutte le algebre di Boole. Proposizione 3. In un algebra di Boole valgono le proprietá: (1) (idempotenza) a a = a, a a = a; (2) (assorbimento) a (a b) = a, a (a b) = a; Infatti: a = a 0 = a (a νa) = (a a) (a νa) = (a a) 1 = a a. Allora a a = a si ottiene per dualitá. Inoltre a (a b) = (a 1) (a b) = a (1 b) = a 1 = a. L altra si ottiene per dualitá. In una algebra di Boole si definisce la relazione binaria (o B ) ponendo a b se a b = b. Inoltre si pone per definizione a b = (νa) b; a b = (a b) (b a). Spesso scriviamo anche a per νa. Proposizione 4. Sia B un algebra di Boole; per ogni a, b, x B si ha: (1) a b sse a b = a; se a b allora a x b x ed a x b x; (2) è un ordine parziale in B; (3) a b = inf {a, b}, a b = sup {a, b}; (4) 0 a 1, 0 a = 0, 1 a = 1; (5) a b sse a b = 1 sse a b = 0; a = b sse a b = 1; (6) a x b sse x a b; a b = 0 sse a b sse b a ; (7) a = b sse a = b; a b = b a ; a b sse b a ; (8) a b = (a b), a b = (a b).

4 Dim. 1.Sia a b = b; allora a = a (a b) = a b. Sia a b = a; allora a b = (a b) b = b. Sia a b; allora a x = (a b) x = a (b x) = a (x b) = a ((x x) b) = a (x (x b)) = (a x) (b x); ossia a x b x. Similmente per. 2. è riflessiva (per l idempotenza); antisimmetrica (per la commutativita ) e transitiva (per l associativitá). 3.Si ha (a b) b = a b onde a b b. Similmente si vede a b a. Sia ora x a, x b; avremo x (a b) = (x a) (x b) = a b, onde x a b. Cioè a b = inf {a, b}. Similmente per. 4. è pressochè ovvio. 5. Sia a b; allora a b = a b = a (a b) = (a a) b = 1 b = 1. Sia a b = 1, allora a = a 1 = a (a b) = (a a ) (a b) = a b; onde a b. Sia a b; da a = a b otteniamo a b = a b b = 0. Sia a b = 0; allora a = a 1 = a (b b ) = (a b) (a b ) = a b, onde a b. 6. Sia a x b; allora x a x = (a a) (a x) = a (a x) a b. Sia x a b, allora a x a (a b) = a b b. Sia a b = 0; allora a b 0 = b. Viceversa sia a b ; allora a b b b = 0. 7. Da a = a si ottiene che se a = b allora a = a = b = b. Inoltre a b = a b = b a = b a. Infine a b sse a b = 1 sse b a = 1 sse b a. 8. è presto visto che (a b) (a b ) = 0 e che (a b) (a b ) = 1. Infine (a b) = (a b ) = (a b ) = a b. Considerata l algebra di Boole B come struttura parzialmente ordinata, si ha pertanto che a b (risp.a b) é l estremo inferiore (risp. superiore) dell insieme {a, b}. Inoltre a b = inf{x B a x b}. Sono spesso utili rappresentazioni grafiche per algebre di Boole finite: si dice che b copre a se a b ma non esiste alcun x con a < x < b; questo si indica segnando a aldisotto di b ed unendoli con un trattino. Per esempio:

Esercizio. Dimostrare che non puo esistere un algebra di Boole di 3 elementi, né di 5 elementi, né di 6 elementi. 3.1. Algebre atomiche e algebre finite Il caso finito si riduce presto alla considerazine delle sole algebre della forma P(X) con X insieme finito. Un atomo di B Boole è un elemento a 0 e tale che 0 y a implica y = 0 oppure y = a; ossia un elemento che copre 0. Si ha: a 0 è un atomo di B sse per ogni x B o si ha a x oppure a x. Invero sia a un atomo; se a x allora a x a, a x a, onde a x = 0, onde a x. Viceversa, sia y a, y a; allora a y; per ipotesi, a y, ossia y a onde y a a = 0. Si noti che se a, b sono atomi distinti, a b = 0 : invero sara a b oppure b a; nel primo caso, a b cioè a b = 0; e similmente nell altro caso. Un algebra è detta atomica se per ogni x 0 esiste un atomo a con a x. Si vede facilmente che B è atomica se e solo se per ogni b B esiste sup {a a atomo e a b} ed è eguale a b. Siccome un verso è ovvio, supponiamo che B sia atomica; se b = 0 avremo b = sup. Sia b 0; ovviamente b è un maggiorante di {a a atomo e a b}; sia x un maggiorante di tale insieme; se fosse b x, avremmo b x 0; ci sarebbe allora una atomo a b x ; allora a b e pertanto a x; ma allora a x x = 0 : assurdo. Onde effettivamente b = sup {a a atomo e a b}. Proposizione 5. Un algebra di Boole B finita è atomica, e se A è l insieme dei suoi atomi, B è isomorfa all algebra insiemistica PA. Dim. Dato b B, b 0, se b non è un atomo, ci sarebbe y 0 B con 0 < y 0 < b; ripetendo il ragionamento con y 0, se y 0 non è un atomo troveremmo y 1 con 0 < y 1 < y, etc.. Ma l algebra è finita, onde qualche y n sara un atomo b. L isomorfismo da B a P(A) si costruisce come segue: a b B associamo f(b) = {a A a b}. Intanto tale f è iniettiva; se b c, sarà b c oppure c b; nel primo caso, b c 0; se a è un atomo b c, allora a f(b) \ f(c); similmente nell altro caso. Inoltre f è suriettiva: se Y A, esiste, in quanto Y è finito, b = sup Y ; ora b = 0 sse Y = ; sia b 0; se a A, a Y = {a 1,..., a n }, allora a f(b); se poi a b, avremmo (a a 1 ) (a a n ) = a; ma ciascun a i è un atomo, e se fosse a a i, i = 1,..., n allora a a i = 0;, ed allora a = 0; pertanto sarà a = a i per qualche i. Infine f conserva le operazioni: basterà controllare che conserva, (perchè?). Invero ovviamente a b c sse a b ed a c; e se a A, a b sse a b. Corollario 1. Ogni algebra di Boole finita ha cardinalità 2 n dove nè il numero dei suoi atomi. Due algebre di Boole finite con lo stesso numero di elementi sono isomorfe. OSSERVAZIONI. 1 In generale, data un algebra atomica anche infinita, si puó costruire la funzione f come nella dimostrazione precedente; essa risulta essere un omomorfismo iniettivo, ma in generale non sarà suriettiva. Per ottenere l isomorfismo, occorrerà che l algebra sia 5

6 anche completa, ossia che ogni sottinsieme ammetta sup nell algebra. Cosí si otterrebbe la caratterizzazione, a meno di isomorfismi, delle algebre della forma P(X) con X un insieme: sono tutte e sole le algebre di Boole atomiche e complete. 2.L algebra dei finiti e cofiniti di ω è atomica (gli atomi sono i singoletti) ma non completa : l insieme {{2n} n ω} non ha un sup in tale algebra. D altronde, tale algebra ha ℵ 0 elementi, e nessun algebra della forma P(X) è di cardinalitá numerabile: se X e finito, anche P(X) è finito; se X è infinito, P(X) è piú che numerabile (teorema di Cantor). 3. Un algebra è detta priva di atomi se non possiede atomi. L algebra FBF / è priva di atomi. Invero sia Q 0, ossia esista una valutazione v tale che v(q) = 1. Se A è una lettera proposizionale che non occorre in Q, sia R = Q A. Allora si ha ovviamente = R Q; mentre = Q R : invero se v coincide con v salvo che manda A in 0, si ha v (Q R) = 0. Inoltre A 0 : la valutazione che coincide con v salvo a mandare A in 1, valuterá R in 1. E cosí 0 R < Q ; cioè Q non è un atomo. La seconda osservazione mostra che non possiamo aspettarci che le algebre di Boole infinite siano tutte del tipo P(X). Tuttavia, ogni algebra di Boole è (isomorfa ad) una sottalgebra di P(X) per un qualche insieme X, (teorema di M.H.Stone), come vedremo tra poco. 3.2. Filtri ed ultrafiltri booleani Data B Boole, un filtro di B è un sottinsieme non vuoto di B tale che per ogni x, y B, x y U sse x U ed y U. Si noti che allora 1 U : invero esiste qualche a U, ed allora a = a 1 U, onde anche 1 U. Un filtro U è un filtro proprio se U B. Se U è un filtro proprio di B e per ogni x, y B x y U sse x U oppure y U, allora U è detto un ultrafiltro di B. ESEMPI. 1. Per ogni a B l insieme {x B a x} é un filtro. Esso é proprio se e solo se a 0. Si osservi (esercizio) che esso é un ultrafiltro se e solo se a é un atomo di B. 2. Nell algebra Pω dei sottinsiemi di ω, {A ω 3 A} é un ultrafiltro. 3. In Pω, la famiglia dei sottinsiemi cofiniti Cof é un filtro proprio. Proposizione 6. i. Per U B le seguenti sono equivalenti: (1) U è un filtro; (2) Se x, y U, x z allora anche x y U, z U. (3) Se x, y, x z U allora anche x y, z U. ii.per U filtro di B le seguenti sono equivalenti: (1) U è un filtro proprio;

7 (2) 0 / U; (3) Per ogni x U si ha x / U. Dim. i.1 2.Se x z, allora z x = x U, ed allora anche z U. 2 3. Avremo: z x z = x (x z) U, onde z U. 3 1. Se x y U, avremo ovviamente x, y, inu. ii. Questo è un semplice esercizio. Diremo che un filtro proprio U di B è un filtro massimale di B se é massimale (per l inclusione) tra i filtri proprii di B, ossia se l unico filtro che contenga propriamente U è B. Proposizione 7. Per U filtro proprio di B le seguenti sono equivalenti: (1) U è un ultrafiltro; (2) U è un filtro massimale. (3) Per ogni x B, o x U, oppure x U. Dim. Dimostreremo che 1 2 3 1. 1 2. Sia V un filtro che includa propriamente U; sia a V \U. Siccome a a = 1 U, ed a / U, avremo a U, onde a V, ed allora a, a V, e quindi 0 = a a V, quindi V = B. 2 3. Sia a / U; dobbiamo dimostrare che a U. Consideriamo l insieme Si ha: F = {x B a x U}. (1) F é un filtro di B : invero a 1 = 1 U, sicché 1 F ; si ha a (x y) = (a x) (a y) [esercizio!]; per cui x y F se e solo se x F ed y F. (2) U F : se u U, siccome u a u, avremo a u U. (3) Inoltre a a = 1 U, onde a F. Quindi F contiene propriamente U; onde F = B; cioé 0 F : ossia νa = a 0 U. 3 1. Supponiamo a b U, a / U : dimostriamo che b U. Per l ipotesi (3), a U quindi a (a b) U, ossia a b U; ma a b b, pertanto b U. Ricordiamo ora il seguente importante risultato di teoria degli insiemi (é equivalente all assioma di scelta) : LEMMA DI ZORN. Sia dato un insieme parzialmente ordinato non vuoto S,. Assumiamo che per ogni catena non vuota C S ( ossia, per ogni x, y C si ha x y oppure y x) esista in S un maggiorante di C ( ossia esiste un c S tale che per ogni x C, x c). Allora esiste almeno un elemento massimale in S (ossia, un m S tale che per ogni s S, se m s, allora s = m). (Si noti che in generale l asserzione che esista un siffatto massimale non viene ottenuta con un metodo che permetta di indicare concretamente un tal m; ed inoltre possono essercene piú di uno.)

8 Lemma 2. Sia B un algebra di Boole. Sia a B, a 0. Allora esiste un ultrafiltro U di B, tale che a U. DIM. Sia F la famiglia dei filtri proprii F di B, tali che a F ; essa non e vuota, invero {x a x} é un filtro, é proprio (essendo a 0) e quindi esso F. Rispetto all inclusione, abbiamo un insieme parzialmente ordinato non vuoto. Vogliamo applicare il lemma di Zorn. Sia (F i i I) una catena in F; poniamo G = i I F i : allora G F. Infatti esso e non vuoto, ed é un filtro: se x y G, allora per qualche i I, avremo x y F i, allora x, y F i G; viceversa, siano x, y G; per certi i, j I avremo x F p, y F j ; ma per ipotesi, avremo che F i F j (oppure F j F i ); allora x y F j G. É chiaro che G é un filtro proprio, altrimenti 0 dovrebbe appartenere a qualche F i. Infine, ovviamente G é un maggiorante della catena: F i G per ogni i I. Allora possiamo conludere che esiste un filtro proprio U F, che é massimale in F. Ma allora U é un ultrafiltro di B : nessun filtro proprio P di B puo contenere propriamente U (altrimenti avremmo a U P, ossia P F : assurdo poiche U e massimale in F). NOTE. (1) Per esempio, nell algebra di Boole dei sottinsiemi di ω, se si fissa un numero naturale k, l insieme U k = {A ω k A} é un ultrafiltro. In pratica, questi ultrafiltri (chiamati principali) sono gli unici che siamo in grado si descrivere: nessuno é in grado di descrivere un ultrafiltro in Pω che non sia di questa forma. In base al lemma precedente, se P é l insieme dei numeri pari, deve esistere un ultrafiltro U di Pω tale che P U : e basta prendere U k one k P. (2) Con una tecnica simile (via lemma di Zorn) si dimostra che per ogni filtro proprio F di B, esiste un ultrafiltro U di B con F U. Pertanto, se Cof é la famiglia dei cofiniti di ω, esiste un ultrafiltro U di Pω con Cof U. Sicuramente un tale U non é della forma U k : non esiste alcun k che appartenga a tutti i cofiniti. Non abbiamo alcuna idea su come si possa descrivere o costruire un siffatto ultrafiltro U. Si noti che allora si ha anche: se a 1, esiste un ultrafiltro U tale che a / U. (Infatti, allora νa 0, esiste U con νa U, quindi a / U. Teorema 1. (Teorema di Stone). Per ogni algebra di Boole B esiste un insieme X tale che B sia isomorfa ad una sottalgebra dell algebra di Boole PX dei sottinsiemi di X. DIM. Sia X la famiglia degli ultrafiltri di B. Siccome per convenzione B ha almeno un elemento 0, esiste almeno un ultrafiltro: X. Consideriamo la funzione u : B PX definita da u(a) = {U X a U} (a B). Intanto u é iniettiva: sia a b, allora o a b oppure b a. Consideriamo il primo caso ( nel secondo caso si ragiona allo stesso modo). Allora a νb 0, onde esiste U X, tale che a νb U per cui: a U, νb U, onde b / U; dunque u(a) u(b), poiche U u(a), U / u(b).

Inoltre u conserva le operazioni: (1) u(0) = ; (2) u(1) = X; (3) u(a b) = u(a) u(b); (4) u(a b) = u(a) u(b); (5) u(νa) = X \ u(a). Dimostriamo (4) e (5); il resto e un semplice esercizio. Per definizione di ultrafiltro, si ha :U u(a b) sse a b U sse a U oppure b U sse U u(a) oppure U u(b) sse U u(a) u(b). Infine U u(νa) sse νa U, sse a / U sse U / u(a). Quindi la famiglia di insiemi {u(a) a B} é una sottalgebra di PX, ed é isomorfa a B tramite la funzione u. Il precedente Teorema di rappresentazione di Stone e solo l inizio di una parte fondamentale della teoria delle algebre di Boole.... Si noti che esso generalizza il risultato visto sopra per il caso delle algebre finite ( o anche per quelle atomiche) in cui peró tutto é costruttivamente determinato. ESERCIZI. (1) Data un algebra di Boole B, dimostrare che: i. a (a b) = 1; ii. (a b) a a; iii. a b = (a b) b. (2) Sia B un algebra di Boole. Un sottinsieme A B é una sottalgebra di B (ossia:0, 1 A e per ogni x, yina, anche x y, x y, νa A) se e solo se 1 A e per ogni x, y A, anche x (νy) A. (3) Sia data una struttura < B,,, 0 >, tale che siano soddisfatti i seguenti assiomi: (a) é commutativa, associativa ed idempotente; (b) a a = 0 (c) Se a b = 0 = a b allora a = 0 (d) Se a b = 0 = a b allora a = b. Dimotrare che, ponendo a b := (a b ), 1 := 0 si ottiene un algebra di Boole. (4) Sia B un algebra di Boole e sia F un filtro di B. Definiamo la relazione R F B B : a R F b se e solo se (a b) (b a) F. Dimostrare che R F é una congruenza di B; ossia una relazione d equivalenza compatibile con le operazioni. Viceversa, se S é una congruenza, allora F S = {a B as1} é un filtro di B. Dimostrare infine che se S é una congruenza, R FS = S, e che se F é un filtro, F RF = F. (5) (Difficile) Chiamiamo interpretazione booleana (i.b.) una funzione b da F BF verso B ( una data algebra di Boole), tale che b(p Q) = β(p ) b(q), =,, ; b( P ) = νb(p ); b( ) = 0. Dimostrare che P é una tautologia se e solo se b(p ) = 1 per ogni i.b. b. (6) (Difficile) Dimostrare che un identita t = t vale in tutte le algebre di Boole se e solo se vale nell algebra di due elementi 2. 9

10 (7) Traduciamo le formule proposizionali in termini Booleani come segue: le lettere proposizionali A, B,... diventano variabili x, y,... (in modo iniettivo!); i connettivi diventano il corrispondente operatore booleano. Allora una formula P F BF si traduce nel termine t P. Dimostrare che = P se e solo se t P = 1 é valida in tutte le algebre di Boole. Per approfondire: P.R. Halmos, Lectures on Boolean Algebras, Springer Verlag 1974; en.wikipedia.org/wiki/boolean algebra (logic) [- Wikipedia non sempre merita, ma questa non e male-]