Approccio Classico: Meodi di Scomposizione
Il Modello di Scomposizione Il modello maemaico ipoizzao nel meodo classico di scomposizione è: y =f(s, T, E ) dove y è il dao riferio al periodo S è la componene sagionale al periodo T e la componene rend-ciclo al periodo E è la componene irregolare al empo. La forma di f() dipende dall approccio seguio. Una forma molo comune è la seguene: y =S +T +E che viene definia modello addiivo. Un alra forma alreano frequene è il modello moliplicaivo: y =S x T x E
Modello Addiivo Un modello addiivo è appropriao quando l ampiezza dell oscillazione sagionale non varia col livello della serie.
Modello Moliplicaivo Un modello moliplicaivo è adeguao quando la fluuazione sagionale aumena (o diminuisce) proporzionalmene con l aumeno (diminuzione) del livello della serie
Osservazioni Nel modello addiivo, le componeni S,T, E sono espresse nella sessa unià di misura di y ; nel modello moliplicaivo, solo T (per convenzione) viene espresso nell unià di misura di y ; E e S sono numeri puri. Nel modello addiivo l errore può assumere valori posiivi o negaivi; 0 è il valore neurale, nel senso che non influenza la serie. Nel modello moliplicaivo l errore può assumere solo valori non negaivi e ha 1 come valore neurale. Si noi che, col modello moliplicaivo, porebbe essere uile ricorrere alla rasformazione della serie. Poiché la funzione logarimica rasforma una espressione moliplicaiva in una addiiva si ha: ln y =ln(s x T x E ) ln y =lns + lnt + lne Quindi, invece del modello moliplicaivo sui dai originari della serie, si porebbe applicare il modello addiivo sulle rasformae logarimiche.
Rappresenazioni grafiche negli approcci di scomposizione Analizziamo i dai relaivi alla vendia di boiglie di birra 1400 1200 Nr. boiglie 1000 800 600 400 200 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 Modello addiivo? 900 600 500 800 400 Dai desagionalizzai 700 600 500 Sagionalià 300 200 100 0-100 400 10 20 30-200 -300 10 20 30
Si noa invece la presenza di una cera ciclicià degli sessi: i residui sono più vicini a zero nella pare cenrale della serie menre sono maggiori (in valore assoluo) alle esremià. Analisi dei Residui Se la scomposizione è valida allora i residui devono presenare un andameno accidenale rispeo al empo. 100 1400 1200 1000 Acual Prediced Acual Prediced Residui 0 Y 800 600-100 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536 0 10 20 30 40
Serie Desagionalizzaa Nel caso di un modello addiivo, il dao desagionalizzao D è derivao come: D =y S =y +E menre nel modello addiivo: D =y /S =y x E una vola che è saa simaa la componene sagionale S.
Sudio del rend mediane forma analiica L evoluzione di lungo periodo di una serie sorica è denominaa rend. Nell economia, ad esempio, il rend è deerminao dal leno sviluppo delle ecnologie, dei fenomeni demografici e sociali, ecc. L esisenza di una evoluzione di lungo periodo può essere evidenziaa dall andameno dei dai desagionalizzai risulani da un analisi di scomposizione, oppure dalla serie di dai annuali (anch essi privi della sagionalià). Nel capiolo precedene abbiamo illusrao la sima del rend mediane le medie mobili; ale procedimeno è denominao adaameno locale del rend o sima locale. In queso capiolo affroneremo la sima del rend mediane specificazione e sima di una funzione analiica del empo. Queso procedimeno è denominao analisi globale poiché la funzione simaa definisce come una sora di legge di dipendenza del rend dal empo. Varie forme funzionali sono uilizzae per rappresenare il rend.
Forma Lineare Ipoizziamo che y =T +e, dove y qui rappresena o il dao annuale o quello desagionalizzao e e la componene di disurbo. La forma lineare in è: T =β 0 +β 1 =1,,n dove β 0 è l inercea e β 1 è la pendenza della rea. Se β 1 >0 il rend è crescene; se β 1 <0, il rend è decrescene; se β 1 =0 esise un paern orizzonale.
Sima del Trend Una vola che è saa scela una forma analiica per rappresenare il rend, è necessario passare alla sua sima a parire da dai di osservazione. I dai sui quali viene simao il rend dovrebbero essere privi di andameno sagionale e ciclico. In alre parole, l unica componene sisemaica presene nei dai deve essere quella endenziale di lungo periodo. In assenza di significaive oscillazioni cicliche, i dai più idonei all analisi del rend sono: i valori desagionalizzai oppure la serie di dai annuali.
Esempio: Vendie di Bibia Dai Desagionalizzai ANNO MESE y 1999 1 1 383 2 2 385 3 3 419 4 4 425 5 5 461 6 6 438 7 7 450 8 8 459 9 9 460 10 10 469 11 11 472 12 12 462 2000 1 13 495 2 14 497 3 15 536 4 16 545 5 17 555 6 18 565 7 19 567 8 20 568 9 21 579 10 22 581 11 23 591 12 24 619 2001 1 25 605 2 26 635 3 27 627 4 28 652 5 29 663 6 30 670 7 31 685 8 32 682 9 33 698 10 34 692 11 35 696 12 36 736
Sima del Trend Mediane il meodo dei minimi quadrai ordinari, la funzione analiica che rappresena il rend è in al caso: Tˆ = 380, 3 + 9, 505 che regisra un indice di deerminazione lineare R 2 pari a 0,985. Nello sudio del rend mediane funzione analiica, viene usao il meodo dei minimi quadrai come in una consuea analisi di regressione.
La Media Mobile La media mobile è un semplice meodo che smussa (liscia, perequa) la serie sorica. Tale procedura è basilare nei meodi di scomposizione. Se la serie è composa solo da rend e dalla componene residua, la media mobile elimina gli effei dei disurbi. Se nella serie originaria è presene anche il fenomeno sagionale di periodo p, allora una media mobile di ampiezza p è in grado di eliminare anche la sagionalià. Nei due casi, la media mobile si propone di isolare il rend-ciclo.
Esempio: Vendie mensili di shampoo Mese y 1 266,0 2 145,9 3 183,1 4 119,3 5 180,3 6 168,5 7 231,8 8 224,5 9 192,8 10 122,9 11 336,5 12 185,9 1 194,3 2 149,5 3 210,1 4 273,3 5 191,4 6 287,0 7 226,0 8 303,6 9 289,9 10 421,6 11 264,5 12 342,3 1 339,7 2 440,4 3 315,9 4 439,3 5 401,3 6 437,4 7 575,5 8 407,6 9 682,0 10 475,3 11 581,3 12 646,9
Time Plo 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
Calcolo della Media Mobile La media mobile a re ermini ci dà una sima del rend T 2 del mese di Febbraio 1999, mediane la media arimeica dei dai di Gennaio, Febbraio, Marzo 1999: T 2 =(y 1 +y 2 +y 3 )/3 Generalizzando, la media mobile a re ermini cenraa su è: T =(y -1 +y +y +1 )/3, =2,,n-1 Si noino, nella Tab. 3.1, i valori della media mobile a re ermini: non c è sima del rend per i empi =1 e =n perché mancano le osservazioni al empo 0 e al empo n+1. Come si sarà capio, quesa procedura è denominaa media mobile perché ogni successiva media viene calcolaa eliminando il valore più vecchio e inserendone un nuovo. La media mobile è un meodo di adaameno locale in quano crea una serie di valori smussai di lunghezza pari alla serie originaria, ognuno in corrispondenza del puno di osservazione.
Calcolo della Media Mobile Come si può facilmene verificare, una media mobile a k ermini, con k dispari, fa perdere (k 1)/2 ermini all inizio e alreani ermini alla fine della serie. La perdia dei primi ermini ha poca imporanza; al conrario la perdia degli ermini più receni ha conseguenze rilevani ai fini della operazione di previsione. Una possibile soluzione consise nell effeuare, agli esremi, delle medie mobili con un numero inferiore di ermini. Ad esempio, nel caso di media mobile a re ermini si può calcolare T 1 come T 1 =(y 1 +y 2 )/2 e T n come T n =(y n-1 +y n )/2. Mese y MM3 MM5 MM7 1 266,0 2 145,9 198,3 3 183,1 149,4 178,9 4 119,3 160,9 159,4 185,0 5 180,3 156,0 176,6 179,1 6 168,5 193,5 184,9 185,8 7 231,8 208,3 199,6 177,2 8 224,5 216,4 188,1 208,2 9 192,8 180,1 221,7 209,0 10 122,9 217,4 212,5 212,7 11 336,5 215,1 206,5 200,9 12 185,9 238,9 197,8 198,9 1 194,3 176,6 215,3 210,4 2 149,5 184,6 202,6 220,1 3 210,1 211,0 203,7 213,1 4 273,3 224,9 222,3 218,8 5 191,4 250,6 237,6 234,4 6 287,0 234,8 256,3 254,5 7 226,0 272,2 259,6 284,7 8 303,6 273,2 305,6 283,4 9 289,9 338,4 301,1 305,0 10 421,6 325,3 324,4 312,5 11 264,5 342,8 331,6 343,1 12 342,3 315,5 361,7 344,9 1 339,7 374,1 340,6 366,2 2 440,4 365,3 375,5 363,3 3 315,9 398,5 387,3 388,0 4 439,3 385,5 406,9 421,4 5 401,3 426,0 433,9 431,1 6 437,4 471,4 452,2 465,6 7 575,5 473,5 500,8 488,3 8 407,6 555,0 515,6 508,6 9 682,0 521,6 544,3 543,7 10 475,3 579,5 558,6 11 581,3 567,8 12 646,9
Valori Osservai e Medie Mobili 800,0 700,0 600,0 500,0 Osservai MM3 MM7 400,0 300,0 200,0 100,0 0,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40
Media Mobile di ampiezza k (k pari) Esempio: Vendie mensili di shampoo Mese y 1 266,0 2 145,9 3 183,1 4 119,3 5 180,3 6 168,5 7 231,8 8 224,5 9 192,8 10 122,9 11 336,5 12 185,9 1 194,3 2 149,5 3 210,1 4 273,3 5 191,4 6 287,0 7 226,0 8 303,6 9 289,9 10 421,6 11 264,5 12 342,3 1 339,7 2 440,4 3 315,9 4 439,3 5 401,3 6 437,4 7 575,5 8 407,6 9 682,0 10 475,3 11 581,3 12 646,9
Le medie mobili inrodoe in precedenza hanno un numero dispari di ermini e perciò risulano auomaicamene cenrae su un puno di osservazione. Tali medie sono dee semplici poiché ui i ermini della media hanno associao lo sesso peso. Supponiamo che si voglia calcolare una media mobile con numero pari di ermini. Ad esempio, poso k=4, sui dai Vendie di Shampoo si ha: T =(y 1 +y 2 +y 3 +y 4 )/4= (266,0+145,9+183,1+119,3)/4 T = (y 2 +y 3 +y 4 +y 5 )/4= (145,9+183,1+119,3+180,3)/4 La prima media sarebbe cenraa fra il secondo e il erzo ermine; la seconda media cenraa fra il erzo e il quaro. Per risolvere la quesione della cenraura, si effeua una media mobile a 2 ermini sulle due successive medie mobili a ermini pari. Con queso procedimeno la media arimeica delle due medie mobili a 4 ermini sopra calcolae, viene ad essere cenraa nel puno =3. Quindi: T 3 =(T +T )/2 Sosiuendo a T e T le espressioni precedeni, la formula di T 3 divena: (3.4) T 3 =(y 1 +2y 2 +2y 3 +2y 4 +y 5 )/8 che è una media ponderaa: i ermini cenrali hanno peso 2, i ermini esremi peso 1; il denominaore è, ovviamene, la somma dei pesi. Essa è dea media mobile cenraa a k ermini (k pari). Medie mobili con numero pari di ermini sono usae per eliminare l oscillazione sagionale. Su dai mensili si userà k=12; k=4 su dai rimesrali e k=2 su dai semesrali. Ovviamene, con k pari, si perdono k/2 ermini all inizio e alla fine della serie.
Scomposizione classica: il modello addiivo Esempio: Vendie mensili di boiglie di bibia XXX (da ½ liro) Anno Mese Nr. Anno Mese Nr. Anno Mese Nr. 1999 1 1 189 2000 1 13 244 2001 1 25 298 1999 2 2 229 2000 2 14 296 2001 2 26 378 1999 3 3 249 2000 3 15 319 2001 3 27 373 1999 4 4 289 2000 4 16 370 2001 4 28 443 1999 5 5 260 2000 5 17 313 2001 5 29 374 1999 6 6 431 2000 6 18 556 2001 6 30 660 1999 7 7 660 2000 7 19 831 2001 7 31 1004 1999 8 8 777 2000 8 20 960 2001 8 32 1153 1999 9 9 915 2000 9 21 1152 2001 9 33 1388 1999 10 10 613 2000 10 22 759 2001 10 34 904 1999 11 11 485 2000 11 23 607 2001 11 35 715 1999 12 12 277 2000 12 24 371 2001 12 36 441
Scomposizione classica: il modello addiivo La scomposizione classica viene condoa svolgendo le fasi segueni. 1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione. 2. Calcolo della componene (SE) : serie della sagionalià misa e errore. 3. Sima della componene sagionale 4. Derivazione della serie desagionalizzaa D 5. Sima del ciclo-rend 6. Sima dell inera componene sisemaica della serie. 7. Calcolo del residuo del modello.
1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione Si raa di una fase srumenale che non produce una sima definiiva della componene rend-ciclo. Il rend-ciclo di prima approssimazione viene calcolao con una media mobile cenraa a 12 ermini. Indichiamo con MM il valore di dea media, dove =7,,n-6 a causa della perdia di dai all inizio e al ermine della serie. 2. Calcolo della componene (SE) Anche quesa è una fase srumenale. La serie (SE) è calcolaa soraendo dalla serie originale, la grandezza MM : (SE) =y MM
3. Sima della componene sagionale Dalla componene (SE) si elimina il disurbo e si perviene alla sima di S. Nell approccio classico si ipoizza che l oscillazione sagionale sia cosane da anno in anno, per cui, con dai mensili, S =S +12 =S +24 =. Si parla di modello di sagionalià cosane. Il coefficiene di sagionalià S m per il mese m (m=1,,12) viene calcolao effeuando la media arimeica dei ermini (SE) dove =m, m+12, m+24,. In alre parole la sima della sagionalià per gennaio è daa dalla media arimeica dei valori (SE) riferii a gennaio. Il risulao di quesa operazione produce 12 coefficieni di sagionalià m Ŝ, m=1,..,12 (dove m indica il mese), che si ripeono per ogni anno.
4. Derivazione della serie desagionalizzaa D. Il dao desagionalizzao D è calcolao nel modello addiivo come: D = y Ŝ e Ŝ = Ŝ m se si riferisce al mese m. La serie D coniene dunque il paern del ciclo-rend e l effeo del disurbo. Essa è perano uile per lo sudio del ciclo-rend. 5. Sima del ciclo-rend La sima Tˆ del ciclo-rend è oenua mediane una media mobile a 3 ermini sui dai D. ( con eccezione del primo e ulimo ermine, oenui con una media a 2 ermini)
6. Sima dell inera componene sisemaica della serie Mediane le sime della sagionalià e del rend-ciclo si oiene la sima ŷ, che coniene solo il paern sisemaico della serie, dove: ŷ = Tˆ + Ŝ 7. Calcolo del residuo del modello Il residuo del modello Ê = y ŷ Ê è, infine:
Scomposizione classica: il modello moliplicaivo Modello Moliplicaivo y =S x T x E La scomposizione classica viene condoa svolgendo le fasi segueni. 1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione. 2. Calcolo della componene (SE) : serie della sagionalià misa e errore. 3. Sima della componene sagionale. 4. Derivazione della serie desagionalizzaa D. 5. Sima del ciclo-rend. 6. Sima dell inera componene sisemaica della serie. 7. Calcolo del residuo del modello
1. Calcolo del rend-ciclo di prima approssimazione Viene calcolao con una media mobile cenraa a 12 ermini. (sesso procedimeno del modello addiivo). 2. Calcolo della componene (SE) La serie (SE), composa da sagionalià ed errore, è calcolaa dividendo la serie y per MM : (SE) =y /MM
3. Sima della componene sagionale Dalla serie (SE) si elimina il disurbo e si perviene alla sima di S. Si ipoizza, anche qui, che l oscillazione sagionale sia cosane di anno in anno per cui, con dai mensili, S =S +12 =S +24 =. Il coefficiene di sagionalià S m per il mese m (m=1,,12) viene calcolao effeuando la media arimeica dei ermini (SE) dove =m, m+12, m+24,. Ancora, la sima della sagionalià per gennaio è daa dalla media arimeica dei valori (SE) riferii a gennaio. 4. Derivazione della serie desagionalizzaa. Il dao desagionalizzao D si ricava come: D = y / Ŝ Quesa grandezza coniene il paern del ciclo-rend e l effeo del disurbo. Essa è uile per il successivo sudio del ciclo-rend.
5. Sima del ciclo-rend La sima del ciclo-rend Tˆ è oenua mediane una media mobile a 3 ermini sui dai D. 6. Sima della componene sisemaica della serie Mediane le sime della sagionalià e del rend-ciclo, si ricava la sima ŷ che coniene solo il paern sisemaico della serie, dove: ŷ = Tˆ Ŝ 7. Calcolo del residuo del modello Si ricava, infine, il residuo del modello Ê come: Ê = y / ŷ Tuavia, per consenire un confrono con l adaameno del modello addiivo, ai fini del calcolo degli indici MAPE, MAE, ecc., conviene uilizzare i residui calcolai nel modo consueo: Res = y ŷ
Valuazione della scomposizione oenua La valuazione dell adaameno oenuo mediane il modello di scomposizione può essere condoa mediane indici quali MSE, MAE, MAPE, riferii alla serie sorica disponibile. Olre al calcolo di ali indici, è buona norma condurre anche delle analisi grafiche dei residui Ê. L idea che sa alla base di quesi conrolli è la seguene: se la scomposizione è valida allora il residuo non dovrebbe evidenziare oscillazioni sisemaiche di nessun ipo e il suo line plo dovrebbe oscillare inorno al valore neurale (0 per il residuo del modello addiivo, 1 per il residuo del modello moliplicaivo), in modo accidenale. Vediamo il caso del modello addiivo dove il residuo è: Ê = y ŷ Può essere uile rappresenare graficamene l Andameno di Ê rispeo al empo. L ideale è che non si presenino oscillazioni sisemaiche, come avviene in Fig. 3.7. Siuazione dubbia è quella di Fig. 3.8 (la scomposizione oenua è più valida per periodi più remoi). La Fig. 3.9, infine, evidenzia che non siamo sai in grado di individuare un andameno ciclico (o comunque curvilineo)