GLI ERRORI DI MISURA

Revisione del 26/10/15 ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE V.E.MARZOTTO Valdagno (VI) Corso di Fisica prof. Nardon GLI ERRORI DI MISURA Richiami di teoria Caratteristiche degli strumenti di misura Portata: massimo valore della misura che uno strumento può apprezzare (es. la portata del mio righello è di 15 cm). Sensibilità: minimo valore apprezzabile con lo strumento (per lo stesso righello, la sensibilità è di 1 mm, perché esso non mi consente di misurare lunghezze minori di questa). Cifre significative Si chiamano cifre significative tutte le cifre del numero, letto da sinistra a destra, cominciando dalla prima cifra diversa da 0. Nel caso di numeri in notazione scientifica, trascurare la parte esponenziale. Es.1. 2,345 600 0 ha 8 cifre significative. Anche 0,000 234 560 00 ha 8 cifre significative. 2,4 * 10 4 ha 2 cifre significative 0,003 5 ha 2 cifre significative. Approssimazione di una misura Se la prima cifra da tagliare è 0,1,2,3 o 4: si approssima per difetto (tagliando questa cifra e le successive) Se la prima cifra da tagliare è 5,6,7,8 o 9: si approssima per eccesso (tagliando questa cifra e le successive), ma incrementando di 1 l ultima cifra rimasta Es.1. Approssimare 23,4576 mantenendo 2 cifre decimali. Poiché la prima cifra da eliminare è un 7, il risultato è 23,46 Es.2. Approssimare 0,0003426 mantenendo 2 cifre significative. Poiché la prima cifra da eliminare è un 2, il risultato è 0,00034 1 Gli errori di misura

Rappresentazione degli errori In Fisica non esistono misure (sperimentali) prive di errori. Ci sono più modi per segnalare il grado di affidabilità di una misura: 1. Con le cifre significative L1 = 20 cm (2 cifre significative) L2 = 20,0 cm (3 cifre significative) In apparenza le due misure sono uguali: in realtà ne primo caso ho potuto misurare la grandezza con uno strumento con sensibilità di 1 cm: ignoro quindi tutto sulle cifre successive; nel secondo lo strumento poteva apprezzare anche i millimetri. 2. Riportando esplicitamente misura ed incertezza: L = (20 ± 1) cm Dove 20 cm = misura probabile o media e 1 cm = incertezza o errore (assoluto) della misura La misura vera è compresa tra 19 e 21 cm. Tipi di errore 1. Errore assoluto 2. Errore relativo 3. Errore (relativo) percentuale Come abbiamo visto, l errore assoluto (ε a ) è l incertezza con la quale conosciamo una misura. Più piccolo è tale valore, più precisa si definisce la misura. Per l errore assoluto si segue la seguente regola pratica: - se la prima cifra significativa è 1 o 2 tenere due cifre significative - altrimenti tenere solo una cifra significativa Esempi ε a = 0,00174cm ε a = 0,36s ε a = 2420m diventa 0,0017cm (2 cifre significative) diventa 0,4s (1 cifra significativa) diventa 2,4*10 3 m (2 cifre significative) Si definisce errore relativo (ε r ) il rapporto: L errore relativo è una quantità adimensionale, cioè non ha unità di misura. Quanto più piccolo è l errore relativo, quanto più la misura si definisce accurata. ε r = Si definisce infine l errore (relativo) percentuale (ε % ), che si calcola: ε % = ε r * 100 2 Gli errori di misura

Esempio Ho una misura di tempo: t = (20 ± 1)s Errore assoluto: 1s Errore relativo: 1/20 = 0,05 Errore percentuale: 0,05 * 100 = 5% Propagazione degli errori Si parla di propagazione ogni volta che si devono compiere operazioni (calcoli) tra misure affette da errori. Nei prossimi esempi, useremo L1 = (8,4 ± 0,3) mm e L2 = (2,7 ± 0,1) mm Casi possibili da incontrare in laboratorio: 1. Somma Si esegue la somma delle misure probabili e la somma degli errori assoluti (medi) Esempio. L1 + L2 = (11,1 ± 0,4) mm Spiegazione: 11,1 mm = 8,4mm + 2,7mm 0,4mm = 0,3mm + 0,1mm 2. Sottrazione Si esegue la differenza delle misure probabili e la somma degli errori assoluti (medi) Esempio. L1 - L2 = (5,7 ± 0,4) mm Spiegazione: 5,7mm = 8,4mm - 2,7mm 0,4mm = 0,3mm + 0,1mm 3. Moltiplicazione Si esegue il prodotto delle misure probabili e la somma degli errori relativi Esempio. L1 x L2 = (22,68 ± 1,65) mm 2 (22,7 ± 1,7) mm 2 Spiegazione: 22,68mm 2 = 8,4 mm * 2,7 mm ε r 1 = 0,3/8,4 ε r 2 = 0,1/2,7 ε r tot = ε r1 + ε r2 = 0,07275 ε a tot = ε r tot * misura = 0,07275 * 22,68 = 1,65 mm 2 dato che la prima cifra significativa dell errore è 1, teniamo 2 cifre significativa per l errore, quindi (approssimando), 1,7. 4. Divisione Si esegue il rapporto delle misure probabili e la somma degli errori relativi Esempio. L1 / L2 = (3,11111 ± 0,22633 ) (3,11 ± 0,23) Spiegazione: 3,11111 = 8,4 mm / 2,7 mm ε r 1 = 0,3/8,4 ε r 2 = 0,1/2,7 ε r tot = ε r1 + ε r2 = 0,07275 ε a tot = ε r tot * misura = 0,07275 * 3,1111 = 0,22633.. dato che la prima cifra significativa dell errore è 2, teniamo 2 cifre significativa per l errore, quindi (approssimando), 0,23. 5. Potenza Una potenza può essere pensata come un prodotto (es: L 3 = L x L x L). valgono le regole dei prodotti. 3 Gli errori di misura

Esempio. L1 3 = (592,704 ± 63,503 ) mm 3 (59 ± 6) * 10 mm 3 Spiegazione: 592,704 mm 3 = (8,4 mm) 3 ε r 1 = 0,3/8,4 ε r tot = ε r1 + ε r1 + ε r1 = 0,10714 ε a tot = ε r tot * misura = 0,10714 * 592,704 = 63,503.. dato che la prima cifra significativa dell errore è 6, teniamo 1 cifra significativa per l errore, quindi (approssimando), 6*10. Tabella riassuntiva OPERAZIONE SOMMA, SOTTRAZIONE MOLTIPLICAZIONE, DIVISIONE CALCOLO ERRORE SOMMA DEGLI ERRORI ASSOLUTI SOMMA DEGLI ERRORI RELATIVI Altri esempi Calcolo dell errore su una misura fisica SITUAZIONE 1 SI DISPONE DI UNA SOLA MISURA DELLA GRANDEZZA 2 SI POSSONO RACCOGLIERE POCHE MISURE DELLA GRANDEZZA 3 SI POSSONO RACCOGLIERE MOLTE MISURE DELLA GRANDEZZA CALCOLO DELL ERRORE E DELLA MISURA LA MISURA È QUELLA OTTENUTA DALLO STRUMENTO. L ERRORE ASSOLUTO È LA SENSIBILITÀ DELLO STRUMENTO UTILIZZATO. LA MISURA È LA MEDIA ARITMETICA DELLE MISURE RACCOLTE. L ERRORE ASSOLUTO È DATO DALLA MISURA MAGGIORE TRA A. LA SEMIDISPERSIONE MASSIMA DELLE MISURE RACCOLTE B. LA SENSIBILITÀ DELLO STRUMENTO. LA MISURA È LA MEDIA ARITMETICA DELLE MISURE RACCOLTE. L ERRORE ASSOLUTO È DATO DALLA MISURA MAGGIORE TRA A. LA MEDIA DEGLI SCARTI DELLE MISURE RACCOLTE B. LA SENSIBILITÀ DELLO STRUMENTO. Caso 1: esempio Ho misurato la lunghezza di una matita con un righello, ed è risultata pari a 12,3 cm. Se ho una sola misura, dato che la sensibilità del righello è di 0,1 cm (1 mm), la misura corretta è di (12,3 ± 0,1) cm Caso 2: esempio La stessa matita è stata misurata 3 volte; i risultati sono stati: 12,3 cm; 12,4 cm; 12,3 cm. La misura media è pari a (12,3 + 12,4 + 12,3) /3 = 12,33333 cm La semidispersione massima è pari a (12,4 12,3) /2 = 0,05 cm Come prima, la sensibilità dello strumento è pari a 0,1 cm Si sceglie quindi come errore 0,1 cm A questo punto, la nostra lunghezza vale (12,3 ± 0,1) cm (approssimato per difetto) 4 Gli errori di misura

Caso 3: esempio Ho misurato 20 volte una lunghezza, con i seguenti risultati: MISURA (CM) NRO DI RISUTATI 20,5 4 20,6 8 20,7 7 20,9 1 (notare che la somma della 2 colonna fa 20: è il numero totale delle misure ottenute) La misura media è pari a: = 20,63 cm 20,6 cm (l approssimazione a 20,6 è dovuta al fatto che noi non abbiamo misurato i centesimi di millimetro, quindi dobbiamo approssimare a una sola cifra decimale). Calcoliamo ora la media degli scarti: MISURA (CM) NRO DI RISUTATI SCARTI (CM) 20,5 4 20,5 20,6 = -0,1 20,6 8 20,6 20,6 = 0 20,7 7 20,7 20,6 = 0,1 20,9 1 20,9 20,6 = 0,3 L ultima colonna è stata calcolata con la differenza: Misura della riga misura media Per trovare l errore finale, facciamo una media del valore assoluto degli scarti 8cioè, gli scarti presi con il segno +): = 0,07 cm 0,1 cm Anche qui, l approssimazione è necessaria per evitare i centesimi di millimetro. Alla fine, quindi, la nostra misura è: (20,6 ± 0,1) cm 5 Gli errori di misura

Esercizi [N.B. la difficoltà degli esercizi va da (semplice) a (impegnativo)] Esercizio 1 Un cubo ha lato L = (20±2)cm. Determinare perimetro di base, area di base e volume di questo solido. Esercizio 2 Una circonferenza misura C = (32,5±0,2)cm. Il suo diametro misura invece D = (10,3±0,1)cm. Determinare il loro rapporto (C/D) e verificare se esso è compatibile con la misura di π? Esercizio 3 Ho tre misure, elencate in seguito: m1 = (50±1) m m2 = (20±1) cm m3 = (10±2)s Determinare qual è la più precisa, e quale la più accurata. Esercizio 4 Ho misurato 5 volte un intervallo di tempo, ottenendo come risultati 8,4s, 8,2s, 8,5s, 8,4s e 8,3s. Determinare misura media ed errore corrispondente. Esercizio 5 Ho misurato 50 volte una lunghezza, con i seguenti risultati: MISURA (CM) NRO DI RISUTATI 12,3 2 12,4 7 12,5 13 12,6 24 12,8 3 12,9 1 Determinare misura media ed errore corrispondente. Esercizio 6 Franco misura l altezza di un asta, e ottiene L1 = (48,7±0,2)cm; Alberto, misurando lo stesso oggetto, ottiene L2 = (47,9±0,5)cm; Giovanna, infine, ottiene L3 = (48,4±0,1)cm. Le tre misure (o almeno 2 tra esse) sono compatibili? Tracciare un grafico di compatibilità per verificarlo. 6 Gli errori di misura

Soluzioni degli esercizi 1. Perimetro base = (80±8)cm Area base = (40±8)*10cm 2 Volume = (80±24)*10 2 cm 3 2. C/D = 3,16±0,05 (si, è compatibile con π) 3. Precisione: impossibile confrontare le prime 2 misure con la terza, che è misurata in secondi. m2 (ε a = 1cm) è più precisa di m1 (ε a = 1m) Accuratezza: in ordine decrescente ε r 1 = 1/50 = 0,02 ε r 2 = 1/20 = 0,05 ε r 3 = 2/10 = 0,2 4. t medio = 8,39s ε a = 0,15s (semidispersione max.) t = (8,4±0,2)s (non posso credere ai 100simi di secondo, che non c erano nelle misure iniziali) 5. L medio = 12,552cm 12,6cm (taglio sotto i mm, perché non ho dati così accurati) Calcolo degli scarti: Calcolo l ε a con la media degli scarti: MISURA (CM) NRO DI RISUTATI SCARTI (CM) 12,3 2-0,3 12,4 7-0,2 12,5 13-0,1 12,6 24 0 12,8 3 0,2 12,9 1 0,3 ε a = = 0,084 cm 0,1cm (non può essere < 0,1cm) alla fine quindi: L = (12,6±0,1)cm 6. L3 è compatibile con L1 e con L3. L1 e L2 non sono non sono compatibili tra loro. 7 Gli errori di misura