Ultriori srcizi svolti Effttuar uno studio qualitativo dll sgunti funzioni ) 4 f ( ) ) ( + ) f ( ) + 3) f ( ) con particolar rifrimnto ai sgunti asptti: a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intrvalli in cui f() risulta positiva qulli in cui risulta ngativa c) dtrmina l vntuali intrszioni con gli assi d) studia il comportamnto dlla funzion agli strmi dl suo dominio, dtrminando vntuali asintoti ) calcola la drivata prima indica quali sono gli intrvalli in cui la funzion è crscnt qulli in cui è dcrscnt, dtrminando vntuali massimi o minimi rlativi o flssi a tangnt orizzontal f) laddov richisto, calcola la drivata sconda indica quali sono gli intrvalli in cui la funzion rivolg la concavità vrso l alto qulli in cui la concavità è vrso il basso, dtrminando vntuali flssi g) disgna un grafico approssimativo in un opportuno sistma di rifrimnto. Non è richisto lo studio dlla drivata sconda nll Esrcizio.
Soluzioni Esrcizio Dominio 4 Dobbiamo capir pr quali valori dl numro, è possibil calcolar il numro, cioè ffttuar la division di 4 pr. Ebbn, tal division è possibil ffttuarla a patto ch il divisor sia divrso da zro. Prtanto il dominio sarà dato da tutti i numri rali cctto qulli pr i quali 0. Ma 0 pr oppur -, quindi il dominio è dato dall insim D R {,-} (, ) (,) (,+ ). Intrvalli di positività/ngatività Dobbiamo trovar i valori dl dl dominio pr i quali f() > 0, quindi, qulli pr i quali f() < 0. Si tratta dunqu di studiar la disquazion 4 > 0. Prima di tutto studiamo sparatamnt il sgno di numrator dnominator. Si ha ch: - il numrator 4 è positivo pr < - oppur >, ngativo pr - < < - il dnominator è positivo pr < - oppur >, ngativo pr - < <. Riportiamo qust informazioni: - 4: ------------------- ------------------------------------------ ------------------- + + + + + - - - - - - - - - - + + + + + + + + : ------------------------------- -------------------- ----------------------------- + + + + + + + + - - - - - + + + + + + + + - 4 La frazion è positiva quando numrator dnominator sono ntrambi positivi o ntrambi ngativi, qusto accad pr < oppur - < < oppur >. In tutti gli altri intrvalli la funzion è ngativa. Riassumiamo i risultati ottnuti rapprsntando graficamnt il dominio sotto gli intrvalli dov la funzion è positiva (ci saranno utili, pr smpio, quando calcolrmo i vari limiti): - D: f() > 0: -------- -------- - -
Intrszioni con gli assi Intrszioni con l ass. L ass è la rtta di quazion y 0. L su intrszioni con la 4 curva y sono dat dall soluzioni dl sistma y y 0 4 cioè (sostitundo la sconda quazion nlla prima) 4 0. (In altr parol, stiamo crcando i valori di pr l quali la funzion si annulla, quindi tocca l ass ). 4 La frazion è 0 s solo s il numrator 4 0. Qusta quazion di scondo grado ammtt com soluzioni -. Ottniamo dunqu i punti di intrszion A(-,0) B(,0). Intrszioni con l ass y. L ass y è la rtta di quazion 0. L su intrszioni con il grafico dlla funzion saranno dunqu dat dall soluzioni dl sistma y 0 4 Sostitundo la sconda quazion nlla prima, ottniamo 0 4 y 4. 0 Prtanto ottniamo un solo punto di intrszion, C(0,4). Rapprsntiamo sugli assi cartsiani l vari informazioni ch abbiamo sinora ottnuto. Pr rndr più visibil il grafico dlla funzion, utilizzrmo du divrs unità di misura sull ass y. Tracciamo i punti A, B, C trovati (pr tali punti passrà il grafico dlla funzion), d liminiamo l zon dl piano cartsiano dov siamo crti ch il grafico dlla funzion non può passar. Pr smpio, pr - < < sappiamo ch la funzion è positiva, quindi liminiamo l insim di punti ch hanno ascissa nll intrvallo [-,] ordinata ngativa.
y C A - B Comportamnto agli strmi dl dominio. Asintoti Pr com è dfinito il dominio, dobbiamo calcolar i sgunti limiti: lim f( ), lim f( ), lim f ( ), lim f ( ), lim f( ), lim f( ). + + + Innanzitutto 4 lim + dà luogo ad una forma indtrminata. Risolviamo tal forma indtrminata mttndo in vidnza, sparatamnt a numrator dnominator, il monomio in di grado più alto: lim + 4 dato ch 0 0 orizzontal. Analogamnt si ha: lim 4 lim + 4 4 lim +, quando tnd a +. Quindi la rtta y è un asintoto 4 lim 4 4 lim.
Prtanto la rtta y è un asintoto orizzontal anch pr -. Inoltr: 4 lim +, prché il numrator tnd ad un numro, il dnominator tnd a 0 immdiatamnt a dstra di la funzion è ngativa; 4 lim +, prché il numrator tnd ad un numro, il dnominator tnd a 0 immdiatamnt a sinistra di la funzion è positiva; 4 lim + +, prché il numrator tnd ad un numro, il dnominator tnd a 0 immdiatamnt a dstra di - la funzion è positiva; 4 lim, prché il numrator tnd ad un numro, il dnominator tnd a 0 immdiatamnt a sinistra di - la funzion è ngativa. S n conclud ch l rtt - sono asintoti vrticali. Riportiamo qust informazioni sul piano cartsiano. y C A - B Si noti ch nl riportar l informazion ch la rtta y è un asintoto orizzontal sul piano cartsiano, abbiamo msso in vidnza com il grafico dlla funzion tnda smpr più ad appoggiarsi (snza mai toccarla) la rtta y. A qusto stadio, tuttavia, non siamo in
grado di stabilir s il grafico dlla funzion si appoggi dall alto o dal basso risptto alla rtta y. Pr qusto motivo y abbiamo riportato ntramb l possibilità. Sarà lo studio dlla crscnza / dcrscnza dlla funzion a farci C capir qual dll du opzioni si vrifichi. Infatti supponiamo di avr trovato ch la funzion a + sia crscnt; bn, è vidnt ch quindi il suo grafico non possa ch ssr fatto nl modo raffigurato a lato, in quanto altrimnti sso B risultrbb dcrscnt. Drivata prima. Intrvalli di crscnza/dcrscnza dlla funzion. Calcoliamo la drivata prima utilizzando la formula dlla drivata dl rapporto: ( f ( ) ( 3 6 ( ) 4) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) 3 + 8 4) 4) ( ) Quindi, tnuto conto dl fatto ch il dnominator ( ) è smpr positivo, si ha ch f ( ) > 0 s solo s 6 > 0, cioè > 0. - D: f() > 0: -------- -------- - - f ( ) > 0 : ------------------------------------- 0 Prtanto la funzion risulta ssr dcrscnt nll intrvallo (-,0) crscnt nll intrvallo (0,+ ). Nl punto di ascissa 0 è prsnt un minimo rlativo. Troviamo la sua ordinata. Poiché tal punto appartin al grafico dlla funzion, l ordinata è data proprio dal valor ch la funzion assum nll ascissa, in qusto caso f(0) 4. Quindi il
minimo rlativo è il punto m(0,4), ch coincid con l intrszion con l ass y ch avvamo trovato in prcdnza. Possiamo ora migliorar il nostro grafico provvisorio. La funzion risulta infatti dcrscnt in (-,-) crscnt in (,+ ). Qusto significa ch il suo grafico tnd ad appoggiarsi all asintoto orizzontal y da sotto, com mostrato in figura: y C A - B Drivata sconda. Studio dlla concavità Abbiamo visto ch 6 f ( ). ( ) Prtanto la drivata sconda è data da: 6 f ( ) ( ) (6) ( 6 ( 6( 6( 6( ( ) ( ) 6 (( 4 ( ) )(( ) 4 ) 4 ( ) )( 3 4 ( ) )(3 ) 4 6 (( 4 ) ) + ). ) ) ) )
Dato ch i polinomi ( ) 4 3 + sono smpr positivi, si ha ch f ( ) > 0 s solo s > 0, cioè < 0. Qust ultima disquazion è soddisfatta pr - < <. - D: f() > 0: -------- -------- - - f () > 0: ------------------------------------- 0 - f ( ) > 0 : ----------------------- ------------------------ Quindi la funzion rivolg la sua concavità vrso l alto nll intrvallo (-,) vrso il basso ngli intrvalli (-,-) (,+ ). Si noti ch i punti di ascissa - NON sono punti di flsso in quanto - non appartngono al dominio dlla funzion. Grafico approssimativo Abbiamo ora tutti gli lmnti pr compltar il grafico approssimativo dlla funzion: M A B
Esrcizio Dominio La funzion risulta ssr il prodotto di du funzioni: la funzion y + la funzion y. Qust ultima funzion è dfinita pr qualsiasi valor di, in quanto il + numro è smpr strttamnt positivo (quindi non può mai ssr 0). Invc ha snso considrar la radic quadrata di + soltanto quando tal quantità sotto radic quadrata è maggior o ugual a 0. Prtanto dobbiamo imporr ch ( + ) + + 0. Qusta disquazion è soddisfatto quando -. Prtanto il dominio è l insim D [0,+ ). Positività/ngatività Pr ciascun nl dominio, il numro f() è il risultato dl prodotto di + (numro + ) smpr 0, ssndo una radic quadrata) di (numro strttamnt + positivo, prché la funzion sponnzial è smpr strttamnt positiva). Prtanto f() 0 pr tutti i punti dl suo dominio. ( Intrszion con gli assi Il grafico dlla funzion intrsca l ass ( y 0) pr qui valori dlla pr i quali ( + ) + 0.. ( + ) La prcdnt quazion è soddisfatta s + 0 oppur 0. Ma il numro. ( + ) non può mai ssr 0, quindi l unica possibilità è ch + 0. Qust ultima quazion è soddisfatta s solo s la quantità sotto radic + 0, cioè -. Ottniamo dunqu il punto di intrszion A(-,0). L vntuali intrszioni con l ass y ( 0) si trovano risolvndo il sistma 0 y + ( + ) (0+ ) Si risolv dunqu l quazion y 0 + 0, 37. Si ottin dunqu il punto di B 0,. intrszion ( ) Cominciamo a rapprsntar sul grafico l informazioni finora a nostra disposizion cioè ch la funzion sist solo pr - ch è non è mai ngativa (cioè il suo grafico non può mai star sotto l ass ); inoltr rapprsntiamo i du punti A B pr i quali passrà il grafico.
y Comportamnto agli strmi dl dominio. Asintoti Poiché il punto 0 è incluso nl dominio, dobbiamo solamnt studiar il comportamnto dlla funzion pr +. Si ha ch lim + ( + ) + + lim, + + una forma indtrminata. Ossrviamo comunqu ch poiché quando + la funzion sponnzial tnd a + con un ordin maggior risptto alla funzion radic quadrata, il risultato dl limit è 0. A tal conclusion si potva anch giungr applicando la rgola di d l Hôpital: / + (( + ) ) ( + ) ( + ) lim lim lim lim lim + + + + + + + ( ) + + + + La rtta y 0 è quindi un asintoto orizzontal. Riportiamo qusto dato nl nostro schizzo di grafico provvisorio: 0.
y Drivata prima f ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ( + )) + ( ) + ( + ) + + + ( + ( + ) ( + ) ) ( ) Prtanto, ssndo i fattori s cioè ( +) + smpr positivi, si ha ch f ( ) > 0 s solo > 0 <. - -/ f ( ) > 0 : -------------------------- --------------------------------------------- Prtanto la funzion risulta crscnt nll intrvallo, (si ricordi ch a sinistra di - la funzion non è dfinita), dcrscnt nll intrvallo,+.
Nl punto di ascissa -/ vi è un massimo rlativo. L ordinata corrispondnt è data da 0,43 + + f. Quindi il massimo rlativo è il punto M,, ch andiamo a rapprsntar: A qusto punto tnndo conto dlla crscnza / dcrscnza dlla funzion, possiamo passar ad abbozzar un grafico approssimativo: y M M
Esrcizio 3 Dominio È ncssario imporr ch il dnominator sia divrso da 0, cioè 0. Quindi dobbiamo imporr ch, cioè 0. Troviamo quindi ch 0. Il dominio è dunqu dato dall insim D R {0} (-,0) (0,+ ). Intrszion con gli assi Pr trovar l intrszion con l ass, troviamo i punti ch hanno in comun l curv y 0 y, cioè risolviamo il sistma y y 0 Quindi si ottin 0. Tal quazion non è mai soddisfatta in quanto il numrator non è mai 0. Quindi non ci sono intrszioni con l ass. L intrszioni con l ass y (di quazion 0) sono dat dall soluzioni dl sistma y 0 Ci accorgiamo prò ch tal sistma non ammtt alcuna soluzion dal momnto ch il valor 0 non appartin al dominio dlla funzion. Quindi non ci sono intrszioni con l ass y. Positività / ngatività dlla funzion Si tratta di stabilir pr quali valori di la frazion è positiva pr quali valori di ssa è ngativa. Si noti ch il numrator è un numro smpr strttamnt positivo, quindi la frazion sarà positiva/ngativa s solo s il dnominator sarà positivo/ngativo. Prtanto 0 > s solo s > 0, cioè >. Applichiamo a primo scondo mmbro il logaritmo natural. Essndo la funzion y ln() una funzion strttamnt crscnt, il vrso dlla disquazion riman inaltrato:
Ma ln( ) ln() 0. Quindi ottniamo: ln( ) > ln(). > 0. Prtanto la funzion è positiva pr > 0 ngativa pr < 0. Trascriviamo dominio studio dlla positività/ngativa qui sotto 0 D: f() > 0: ------------------------------ rapprsntiamo su un grafico provvisorio l (poch) informazioni finora ottnut: y Comportamnto agli strmi dl dominio. Evntuali asintoti Dobbiamo calcolar 4 limiti: Si ha ch: lim f( ), lim f ( ), lim f( ), lim f( ) + 0 0 lim + 0 + +
in quanto il numrator tnd a mntr il dnominator tnd a 0 +. Il risultato è cornt con lo studio dlla positività (la funzion è positiva pr > 0). Inoltr lim 0 in quanto il numrator tnd a mntr il dnominator tnd a 0 -. Il risultato è cornt con lo studio dlla positività (la funzion è ngativa pr < 0). Prtanto la rtta 0 è un asintoto vrtical, quindi il grafico dlla funzion tndrà ad appoggiarsi a tal rtta pr valori vicini a 0: sgnaliamo qusto risultato dirttamnt sul grafico: y Inoltr: lim + Risolviamo tal forma indtrminata mttndo in vidnza lim lim lim + + + dato ch pr ch tnd a + la frazion tnd a 0. Quindi la rtta y è un asintoto orizzontal il grafico dlla funzion tnd ad appoggiarsi alla rtta orizzontal y quando tnd ad assumr valori via via smpr più grandi. Pr il momnto non sappiamo s il grafico dlla funzion tnd ad appoggiarsi al di sopra o al di sotto dlla rtta y. Lasciamo quindi aprt, pr il momnto, ntramb l possibilità. Scioglirmo la risrva una volta ch avrmo ottnuto maggiori informazioni (pr smpio, sulla crscnza/dcrscnza dlla funzion).
y Infin calcoliamo il comportamnto dlla funzion a - : lim 0 prché 0 quando -. Prtanto la rtta y 0 è un asintoto orizzontal, d il grafico dlla funzion tnd ad appoggiarsi su tal rtta quando tnd a -. Riportiamo anch qusto dato sul grafico provvisorio: y
Drivata prima. Studio dlla crscnza / dcrscnza Passiamo a calcolar la drivata dlla funzion. ( ) f ( ). ( ) ( ) Quando f ( ) > 0? Cioè quando la frazion è positiva? Si noti ch, all intrno dl ( ) dominio dlla funzion, il dnominator ( ) è smpr positivo (ssndo il quadrato di un numro) d il numrator è smpr ngativo. N consgu ch la frazion è smpr ngativa. Quindi la disquazion f ( ) > 0 non è mai vrificata la ( ) funzion risulta ssr smpr dcrscnt: 0 D: f() > 0: ------------------------------ f ( ) > 0 : ------------------------------ ------------------------------------ Essndo la funzion smpr dcrscnt, in particolar dcrscnt pr tndnt a +, siamo in grado di dirimr il dubbio s disgnar il grafico dlla funzion sopra o sotto l asintoto orizzontal. S lo disgnassimo al di sotto dll asintoto orizzontal, la funzion sarbb crscnt. Quindi non riman ch disgnarlo al di sopra: y
Drivata sconda. Studio dlla concavità Ora calcoliamo la drivata sconda. f ( ) ( ) ( ( ( )( ( ) ( ) 4 ( ) ) + ( 4 ( ) )( + + ) 4 ( ) 4 ) ) Crchiamo di capir pr quali valori di si ha ch f ( ) > 0. Siccom i fattori d ( ) 4 sono ntrambi positivi, si ha ch f ( ) > 0 s solo s > 0. La prdtta disquazion è vrificata s solo s >. Applicando il logaritmo a primo scondo mmbro ottniamo cioè ln( ) > ln() > 0. Prtanto f ( ) > 0 s solo s > 0. 0 D: f() > 0: ------------------------------ f ( ) > 0 : ------------------------------ ------------------------------------ 0 f ( ) > 0 : ------------------------------
Prtanto, il grafico dlla funzion rivolg la concavità vrso l alto nll intrvallo (0, + ) vrso il basso nll intrvallo (-, 0). In 0 NON abbiamo un flsso in quanto 0 non appartin al dominio dlla funzion quindi in tal punto f non è dfinita. Grafico approssimativo Lo studio dlla crscnza / dcrscnza dlla funzion dlla concavità ci consntono di disgnar un suo grafico approssimativo, compltando l informazioni ch avvamo trovato in prcdnza: