unità 0 Scopriamo... gli insiemi
pprendo... UNITÀ C Venere 0.6 Scopriamo gli insiemi Unione di insiemi L operazione di unione di due insiemi e ci consente di costruire un nuovo insieme C formato da tutti gli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi, oppure ad o a. Si scrive: C =» e si legge: C uguale unione. Il simbolo» indica l operazione di unione. Nel costruire l insieme unione di due insiemi assegnati, si distinguono tre casi. Gli insiemi sono disgiunti Se due insiemi sono disgiunti (cioè non hanno elementi in comune), come per esempio: Terra Marte Giove = {Venere, Terra} = {Marte, Giove} L insieme degli alunni della mia scuola è l unione degli insiemi degli alunni di ciascuna classe! l unione consiste nel determinare un terzo insieme che contenga sia gli elementi di, sia quelli di. C =» ={Venere, Terra, Marte, Giove} Gli insiemi hanno alcuni elementi in comune Se gli insiemi e hanno alcuni elementi in comune, come per esempio: C ={bianco, verde, arancione, azzurro} bianco verde giallo ={verde, azzurro, rosso, giallo} arancione azzurro rosso la loro unione è data dall insieme C in cui com - paiono tutti gli elementi di e tutti gli elementi di. ttenzione! Gli elementi comuni ad e si considerano una sola volta. Perciò: C =» ={bianco, arancione, verde, azzurro, rosso, giallo}. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 do re sol Gli insiemi sono uno sottoinsieme dell altro Dati gli insiemi e, con sottoinsieme di : ={do, re, mi, fa, sol, la, si} mi ={fa, la, si} fa si la l insieme che costituisce la loro unione è dato dall insieme ; perciò scriveremo:» =. Si dice unione di due insiemi e l insieme formato da tutti i loro elementi, presi una sola volta se sono comuni. 2
... verifico 1 Completa. a. Poiché gli insiemi ={oro, argento, acciaio} e ={ferro, piombo} sono disgiunti, la loro unione è data da: oro,.... Si scrive» ={...}. b. Poiché gli insiemi ={n, a, v, e} e ={a, v, e, r, i} hanno in comune gli elementi..., la loro unione è data da:... c. Gli insiemi ={r, i, t, i, r, o} e ={t, i, r, o} sono tali che è... di..., pertanto la loro unione è data dall insieme... 2 Quale delle seguenti scritture si usa per indicare che C è l insieme unione di e? C = «C = à C C = + D C =» E C = Œ 3 Considera gli insiemi e rappresenta graficamente». Come sono tra loro gli insiemi e? Quale delle tre rappresentazioni della pagina a fianco devi usare? Perché? ={Sara, Maria, Elena, Federica} ={Carola, Gianni, Marco, Martina} 4 Determina l insieme C unione dei seguenti insiemi e e rappresentalo graficamente. Quale delle tre rappresentazioni della pagina a fianco devi usare? Perché? ={Carla, Marta, Michele} ={Elena, Samuele, Carla} 5 Determina l unione dei seguenti insiemi e rappresentala per elencazione. ={x x è una consonante della parola fenicottero } ={x x è una consonante della parola elicottero } ESERCIZIO GUIDTO = {f, n, c, t, r} = {l, c,... } Individua gli elementi comuni e considerali una sola volta! Quindi C =» = {... } 6 Dati gli insiemi ={Marco, Sergio, ice, ndrea, da} ={Filippo, Sergio, Daniela, ndrea, Tommaso} segna l insieme unione esatto.» ={Marco, ice, da}» ={Marco, Sergio, ice, ndrea, da, Filippo, Daniela, Tommaso}» ={Filippo, Daniela, Tommaso} 7 Rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn l unione dei seguenti insiemi. ={rosso, verde, bianco, rosa, giallo} ={verde, rosso, giallo} ESERCIZI p. 12 3
pprendo... UNITÀ 0.7 Scopriamo gli insiemi Differenza di insiemi Insieme complementare L operazione di differenza tra due insiemi e consente di costruire un nuovo insieme C formato dagli elementi che appartengono ad manon a. Consideriamo i seguenti insiemi: ={cane, gatto, coniglio, criceto} ={criceto, tartaruga, coniglio} L insieme C ={cane, gatto}, i cui elementi sono quelli di che non appartengono a, si chiama differenza tra gli insiemi e. Si scrive: C = - oppure C = \ e si legge: C uguale meno. C Qual è la differenza tra e? La differenza tra e è C = {cane, gatto}. Si chiama differenza tra due insiemi e l insieme C costituito dagli elementi di che non appartengono a. Consideriamo ora l insieme degli atleti di un club sportivo e il sottoinsieme degli atleti di quel club che praticano tennis. In questo caso la differenza - è data dall insieme degli atleti di quel club che non praticano tennis. Quest ultimo insieme, che si ottiene togliendo da tutti gli elementi di, prende il nome di insieme complementare di rispetto ad e generalmente si indica con, cioè con una lineetta sulla lettera che lo rappresenta. Due insiemi e si dicono complementari rispetto ad, se» =.. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 Consideriamo ora l insieme delle lettere dell alfabeto italiano e l insieme delle lettere della parola tavolo. Se indichiamo con la lettera U l insieme di tutte le lettere dell alfabeto, cioè l insieme universo che contiene come sottoinsieme, la rappresentazione grafica dei due insiemi è la seguente: U i u d g n p b f t a v m z e o l c h s r q L insieme universo si rappresenta graficamente con un rettangolo. Le lettere dell alfabeto italiano che non compaiono nell insieme costituiscono gli elementi dell insieme, che è il complementare di rispetto a U. 4
... verifico 1 Completa. a. L insieme differenza tra gli insiemi ={cielo, Sole, stelle, pianeti} e ={Luna, Sole, mare, stelle} è dato dall insieme C ={...}. b. Si dice differenza tra due insiemi e l insieme C formato dagli... di che non... a. c. L insieme complementare delle vocali dell alfabeto italiano rispetto all insieme delle lettere dell alfabeto è costituito da b, c,... cioè dall insieme delle... d. Due insiemi si dicono complementari rispetto a un dato insieme se... e. L insieme universo si indica con la lettera... f. Un esempio di insieme universo è quello formato da... 2 Quali delle seguenti scritture si riferiscono alla differenza di due insiemi e? * - C + D / E \ 3 Considera gli insiemi ={mela, pera, banana, dattero, pesca} e ={prugna, pesca, mela, pistacchio, dattero}. Scrivi gli elementi dell insieme differenza - e rappresentali graficamente. 4 Determina gli insiemi - e -, sapendo che ={4, 5, 6, 7} e ={4, 7, 8, 9, 10}. 5 Se un insieme è un sottoinsieme di, quale delle seguenti scritture si usa per indicare il complementare di rispetto ad? 6 Qual è l insieme complementare dell insieme delle ragazze della tua classe rispetto a quello che costituisce l intera classe? 7 Scrivi l insieme universo cui può appartenere ciascuno degli insiemi indicati. insieme universo zia, nonno, cugino... Venere, Marte, Terra... dda, Po, Tamigi... tene, Londra, Roma, Parigi... mela, arancia, ciliegia... 8 Considera i seguenti insiemi e scrivi il complementare di ciascuno di essi rispetto all insieme universo, indicato a fianco. ={x x è un animale erbivoro} U ={x x è un essere vivente} ={x x è una consonante} U ={x x è una lettera dell alfabeto} C ={primavera} U ={x x è una stagione} D ={mi, sol, re, fa} U ={x x è una nota musicale} ESERCIZI p. 14 5
pprendo... UNITÀ ttenzione! Il primo elemento di ogni coppia è sempre un elemento di. 0.8 Scopriamo gli insiemi Prodotto cartesiano Supponiamo che in una giornata del campionato di calcio si disputi l incontro Cagliari-Palermo. Ciò significa che la partita si gioca nella città della prima squadra, ossia a Cagliari. La coppia Cagliari-Palermo si dice ordinata perché in essa è fissato l ordine dei suoi elementi. Consideriamo ora due insiemi: ={a, b, c} e ={1, 2} e associamo a ogni elemento di un elemento di in modo da formare tutte le possibili coppie ordinate di elementi: (a, 1) (a, 2) (b, 1) (b, 2) (c, 1) (c, 2) Secondo me a Palermo! Dove si gioca Cagliari-Palermo? La coppia Cagliari-Palermo è ordinata e la partita si gioca nella prima città: Cagliari. Martina quindi sbaglia! L insieme delle coppie ordinate di elementi che abbiamo formato, e che indicheremo con la lettera C, prende il nome di prodotto cartesiano degli insiemi e. Si scrive: C = e si legge: C uguale cartesiano. Si chiama prodotto cartesiano di due insiemi e l insieme C formato da tutte le coppie ordinate che si ottengono prendendo come primo elemento un elemento di e come secondo elemento un elemento di. Rappresentiamo il prodotto cartesiano dell esempio precedente in tre modi. Con i diagrammi di Eulero-Venn, collegando con frecce (rappresentazione sagittale) gli elementi di ciascuna coppia a partire da quelli del primo insieme.. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 Puoi notare che il numero degli elementi del prodotto cartesiano è uguale a quello delle coppie ordinate che, nell esempio, è 6. a b c Con una tabella a doppia entrata, scrivendo nelle caselle corrispondenti le coppie ordinate, nelle quali il primo elemento appartiene ad, il secondo a. Con un reticolo, scrivendo sulla semiretta orizzontale gli elementi di, su quella verticale gli elementi di e riportando le coppie ordinate come indicato a fianco. 2 1 1 2 1 2 a ( a, 1) ( a, 2) b ( b, 1) ( b, 2) c ( c, 1) ( c, 2) (a, 2) (b, 2) (c, 2) (a, 1) (b, 1) (c, 1) a b c 6
... verifico 1 Supponi che gli elementi della coppia ordinata (10, 6) appartengano agli insiemi e ; a quale dei due insiemi appartiene il numero 10? 2 Come si legge la seguente scrittura? C = 3 Vero o falso? a. Il prodotto cartesiano di ={8, 9} per ={m, n} è dato da: C ={( 8, m); ( 8, n); ( 9, m); ( 9, n)} b. Se ={1, 2, 3} e ={a, b, c}, le coppie ordinate del prodotto cartesiano C = sono 6. 4 Osserva i seguenti diagrammi di Eulero-Venn e scrivi il prodotto cartesiano. V V F F a me so sta la 5 Dati gli insiemi e, scrivi tutte le possibili coppie di C =. ={amo, stimo} ={me, te, lei, lui, loro} 6 Scrivi il prodotto cartesiano dei seguenti insiemi e rappresentalo graficamente collegando opportunamente i loro elementi. z k w 4 1 8 12 7 Nella tabella a doppia entrata scrivi il prodotto cartesiano. a b c 6......... 7......... 5......... 8......... 8 Scrivi le coppie del prodotto cartesiano, servendoti delle maglie del reticolo. 3 2 1 0 1 2 3 ESERCIZI p. 16 7
pprendo... UNITÀ 0.9 Scopriamo gli insiemi Corrispondenze tra insiemi Consideriamo i seguenti insiemi: ={Roma, Firenze, Torino, Piacenza} ={Tevere, rno, Po} Se associamo a ogni città la proprietà il fiume che l attraversa è, stabiliamo tra e una corrispondenza. Tra due insiemi e si stabilisce una corrispondenza se è fissata una proprietà che associa elementi di a elementi di. Nel nostro esempio, osserviamo che a ogni città dell insieme corrisponde uno e un solo fiume dell insieme, ma non viceversa perché Torino e Piacenza sono entrambe attraversate dal Po. Questo tipo di corrispondenza tra gli insiemi e si chiama corrispondenza univoca. Una corrispondenza tra due insiemi si dice univoca, se associa a ogni elemento del primo insieme un solo elemento del secondo insieme, ma non viceversa. Se rappresentiamo graficamente in forma sagittale la precedente relazione, notiamo che da ogni elemento di parte una sola freccia e a ogni elemento di arrivano una o più frecce. Roma Firenze Torino Piacenza Tevere rno Po Supponiamo ora che sia un insieme di tre ragazzi e l insieme dei loro rispettivi zaini. La corrispondenza che associa a ogni ragazzo il suo zaino e viceversa si chiama corrispondenza biunivoca.. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 Una corrispondenza tra due insiemi si dice biunivoca se associa a ogni elemento del primo insieme un solo elemento del secondo insieme e, viceversa, ogni elemento del secondo insieme è corrispondente di un solo elemento del primo. La rappresentazione grafica evidenzia che ogni elemento di è collegato a un solo elemento di e viceversa (ogni ragazzo ha un solo zaino e ogni zaino appartiene a un solo ragazzo). Due insiemi in corrispondenza biunivoca sono necessariamente equipotenti. ragazzi zaini 8
... verifico 1 Spiega che cosa s intende per corrispondenza tra due insiemi. Fai un esempio. 2 Completa. a. Tra due insiemi si stabilisce una corrispondenza univoca se a ogni... del... insieme corrisponde un... del secondo insieme, ma non... b. Tra due insiemi si stabilisce una corrispondenza biunivoca se a ogni elemento del... insieme corrisponde un... del... insieme e, viceversa,...... c. Dati gli insiemi ={Sole, Luna, Marte, Giove} e ={stelle, satelliti, pianeti}, tra essi si può stabilire una corrispondenza... perché...... d. Tra l insieme ={io, tu, egli} e l insieme ={amo, ami, ama} si stabilisce una corrispondenza... perché... 3 Indica tra quali dei seguenti insiemi si stabilisce una corrispondenza univoca e tra quali una corrispondenza biunivoca, motivando la risposta. C D ngela tennis Stefano Monica Marcella Filippo Veronica Francesco calcio ndrea Giulio lessia E F G H Roma Italia pollice a Tunisi Cile indice e Santiago Tunisia medio i anulare o Stoccolma Svezia mignolo u 4 Disegna delle frecce che associno tra loro gli elementi degli insiemi e, in modo tale che questi siano in corrispondenza univoca. c d e 1 a b 2 5 Con le frecce stabilisci una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dei due insiemi e. e o a u i 5 1 3 2 4 6 Che tipo di corrispondenza esiste in una guida telefonica tra i numeri di telefono e i nominativi degli utenti del telefono? 7 Rappresenta graficamente la corrispondenza che esiste tra l insieme delle targhe automobilistiche e le automobili circolanti in Italia. Di quale tipo di corrispondenza si tratta? ESERCIZI p. 20 9
pprendo... UNITÀ 0.10 Scopriamo gli insiemi Relazione tra due insiemi Consideriamo gli insiemi e formati rispettivamente da alcune città e da alcuni continenti e associamo, con delle frecce, uno o più elementi di all elemento corrispondente di, in modo tale da soddisfare la proprietà è una città di. Le coppie ordinate di elementi che rendono vera la relazione è una città di sono: ( Parigi, Europa); ( Londra, Europa); ( Tunisi, frica); ( New York, merica). Parigi Londra Tunisi Europa sia frica New York merica La proprietà è una città di, che abbiamo fissato per descrivere una corrispondenza, si chiama relazione fra gli insiemi e e si indica con il simbolo. Ci accorgiamo subito che le coppie ordinate di elementi che soddisfano tale proprietà costituiscono un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Si dice relazione tra due insiemi e la proprietà che associa a un elemento di un elemento di ed è rappresentata da un sottoinsieme del prodotto cartesiano. In generale, considerata una coppia ordinata di elementi a e b, rispettivamente dell insieme e, che verificano la relazione data, si scrive: a b e si legge: a è in relazione con b. Se a e b nonsoddisfano la relazione, si scrive: a b. Rappresentiamo la relazione di verso con una tabella a doppia entrata e un diagramma cartesiano. merica. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 Europa sia frica merica Parigi Londra Tunisi New York Consideriamo ora la relazione illustrata a fianco: : è la metà di frica sia Europa Osserviamo che è possibile trovare una relazione inversa che va dagli elementi di a quelli di : essa sarà è il doppio di. Parigi 1 2 3 4 5 Londra Tunisi New York 2 4 8 6 10 10
... verifico 1 Che cosa s intende per relazione tra due insiemi? Fai alcuni esempi. 2 Leggi le seguenti scritture: a b, a b. Qual è il loro significato? 3 Qual è la frase che definisce la relazione da verso? Dopo averla illustrata, scrivi le coppie di elementi corrispondenti e rappresenta la relazione con una tabella a doppia entrata. Madrid arcellona Napoli ologna Parigi Milano Spagna Italia Francia 4 Dati i seguenti insiemi, stabilisci la relazione che li lega e rappresentala graficamente. ={Europa, merica, sia, frica} ={Spagna, Cina, rasile, Congo, Italia, Libia} 5 Osserva il disegno e rispondi alle domande. 3 4 5 6 triangolo quadrilatero pentagono esagono a. Quale tipo di corrispondenza esiste tra e? b. Qual è la frase che definisce la relazione da verso? c. Quali sono le coppie di elementi corrispondenti? d. Qual è la frase che definisce la relazione inversa, cioè da verso? 6 Dati i due insiemi e, rappresentati qui di seguito, scrivi la frase che definisce la relazione da verso e quella da verso. Rappresentala nei due modi possibili. tennista pittore fabbro falegname racchetta pennello martello seghetto 7 Stabilisci qual è la frase che definisce la relazione da verso. Rappresentala con una tabella a doppia entrata e con un diagramma cartesiano. Quale delle tre rappresentazioni ti sembra più efficace per la visualizzazione della relazione data? Torino sti Milano Catania Palermo Piemonte Lombardia Sicilia ESERCIZI p. 21 11
UNITÀ 0 Esercizi Scopriamo gli insiemi Unione di insiemi [U0.6 p. 2] esercizi RICORD L unione di due o più insiemi è l insieme formato da tutti i loro elementi, presi una sola volta se sono comuni. 1 Delimita con una linea l unione delle seguenti coppie di insiemi. io tu noi egli loro voi C D ta ca to no pi lo E 7 3 1 F 8 4 5 9 2 6 2 L unione di ={2, 4, 6, 8, 10} e ={5, 15, 20} è data da: C ={6, 8, 5, 15} C ={2, 4, 6, 8, 10, 5, 15, 20} C C ={2, 4, 6, 8, 10, 5, 15} 3 Rappresenta in forma tabulare C =», sapendo che: ={6, 8, 10, 12, 14} ={2, 4} 4 Considera i seguenti insiemi e determina la loro unione, rappresentandola graficamente. ={x x è un numero pari} ={x x è un numero dispari} 5 Dati gli insiemi e, determina» per proprietà caratteristica e per elencazione. = {x x è una vocale} ={x x è una consonante} 6 Rappresenta per elencazione e per caratteristica l insieme unione dei seguenti insiemi. = {Mantova, Cremona, rescia, Como, ergamo, Lecco} = {Milano, Varese, Sondrio, Pavia, Lodi} 7 Dati gli insiemi e, determina l insieme C =» e rappresentalo graficamente e per caratteristica. = {x x è un numero naturale minore di 15} = {x x è un numero naturale compreso tra 8 e 20}. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 8 Considera gli insiemi e e determina l insieme C =». Rappresenta poi quest ultimo con i diagrammi di Eulero-Venn. = {x x è un numero naturale compreso tra 5 e 16} = {x x è un numero naturale compreso tra 7 e 13} 9 Rappresenta per elencazione l insieme C =», riportato qui sotto, con diagrammi di Eulero-Venn. C mandolino arpa chitarra pianoforte viola giglio garofano rosa La parola viola indica sia uno... sia un... 12
esercizi 10 Dati gli insiemi ={Est, Ovest, Sud} e ={Ovest, Nord, Sud}, determina gli elementi dell insieme C =». Rappresenta l insieme C per elencazione e con diagrammi di Eulero-Venn. 11 Determina l insieme C =» dei seguenti insiemi e danne una rappresentazione tabulare e con diagrammi di Eulero-Venn. = {x x è un numero naturale dispari minore di 25} = {x x è un numero naturale minore di 25} 12 Osserva la seguente rappresentazione grafica e scrivi l insieme unione di e. 9 3 6 2 4 15 12 8 10 13 Osserva i seguenti diagrammi di Eulero-Venn e scrivi gli elementi di, quelli di, quelli dell intersezione di e. Scrivi infine gli elementi dell unione di e. a x b y c r z s k j w 14 Dati gli insiemi, e C, determina»» C e rappresentalo con diagrammi di Eulero-Venn e per elencazione. ={Francesco, Claudio, Luigi, ndrea} ={Maria, Elena, ngela, Monica} C ={Paola, Monica, Pablo, Francesco, ndrea} 15 Scrivi per elencazione e per proprietà caratteristica l unione di e. ={il, lo, la} ={i, gli, le} 16 Rappresenta con diagrammi di Eulero-Venn i seguenti insiemi e determina»» C. ={x x è una lettera della parola miraggio } ={x x è una lettera della parola marino } C ={x x è una lettera della parola raggiro } 17 Considera l insieme delle prime cinque potenze di 2 e l insieme delle prime cinque potenze di 4 e determina» con i diagrammi di Eulero-Venn. 18 Scrivi per elencazione tre insiemi disgiunti e rappresenta graficamente la loro unione. 19 Dapprima scrivi gli elementi di due insiemi non disgiunti, poi rappresenta graficamente la loro unione. 20 Considera gli insiemi a fianco e rappresenta per elencazione gli elementi di, e C; scrivi quindi quali sono gli elementi che appartengono ad e, ad e C, a e C, ad, e C. Infine scrivi gli elementi di»» C. a m n r g d s C q p f u c o i 13
UNITÀ 0 Scopriamo gli insiemi esercizi 21 Considera gli insiemi,, C e determina l insieme D =»» C. Poi rappresentalo per elencazione e con i diagrammi di Eulero-Venn. ={x x è una sillaba della parola calciatore } ={x x è una sillaba della parola calcare } C ={x x è una sillaba della parola retorica } 22 Osserva la seguente rappresentazione grafica e rispondi ai quesiti. 7 1 3 C 5 4 9 6 10 a. Quali sono gli elementi dell insieme? b. Da quali elementi è formato l insieme»? c. È vero o falso che gli elementi dell insieme» C sono 1, 3, 6, 7, 9, 10? d. Quali sono gli elementi che formano l insieme»» C? 23 Dati gli insiemi, e C, determina (» ) «C. ={4, 5, 7, 8, 10, 11} ={3, 6, 9, 12, 15} C ={1, 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12} Esegui prima l operazione tra le parentesi tonde. 24 Considera gli insiemi, e C e determina (» C) «e (» C) «. ={y, u, c, x} ={r, s, t, o, p, q} C ={y, z, t, s, u, o, p} 25 Esamina gli insiemi e e determina l insieme C =» esprimendo le tue considerazioni. ={x x è una lettera della parola toro } ={x x è una lettera della parola orto } Differenza di insiemi Insieme complementare [U0.7 p. 4] RICORD La differenza tra due insiemi e è l insieme formato dagli elementi di che non appartengono a.. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 26 Determina l insieme C, differenza tra l insieme ={barca, mare, Sole, Luna} e l insieme ={scoglio, nuvola, Sole}, e rappresentalo con diagrammi di Eulero-Venn. 27 Dati gli insiemi ={3, 4, 7, 10} e ={1, 3, 5, 7, 12}, scrivi gli elementi dell insieme C = - e rappresenta graficamente tale differenza, usando il tratteggio. 28 Scrivi due insiemi e a piacere, ma tali che abbiano alcuni elementi in comune, ed evidenzia graficamente la loro differenza. 29 Il complementare dell insieme ={2, 4} rispetto all insieme ={0, 1, 2, 3, 4, 5} è: ={2, 4} ={0, 1, 3, 5} C ={1, 3, 5} 14
esercizi 30 Scrivi due insiemi tali che uno sia il complementare dell altro. 31 Rappresenta per elencazione e graficamente l insieme C = -. ={x x è una lettera della parola taccuino } ={x x è una lettera della parola tapiro } 32 Considera gli insiemi ={a, b, c, d, e, f} e ={c, e, r, t, a} e determina gli insiemi \ e \. Rappresenta questi ultimi mediante diagrammi di Eulero-Venn, usando il tratteggio. 33 Dati gli insiemi e, determina gli elementi degli insiemi \ e \ e rappresentali con diagrammi di Eulero-Venn. ={vacanza, spiaggia, monte, lago, campagna} ={viaggio, vacanza, campagna, studio} 34 Dati gli insiemi e, determina gli elementi degli insiemi \ e \ e rappresentali con diagrammi di Eulero-Venn. ={x x è una sillaba della parola dizionario } ={x x è una sillaba della parola notiziario } 35 Dati gli insiemi e, determina gli elementi degli insiemi \ e \ e rappresentali con diagrammi di Eulero-Venn. ={x x è un numero naturale compreso tra 10 e 20} ={x x è un numero naturale pari minore di 18} 36 Per ciascuna delle seguenti rappresentazioni grafiche scrivi l insieme complementare di rispetto ad. a. 6 c. 2 4 8 10 14 16 12 5 7 9 13 1 11 3 15 b. d. a e u o i uva fragola lampone mela pera 37 Determina l insieme complementare del seguente insieme rispetto all insieme delle lettere. ={x x è una consonante della parola naturalmente } 38 Scrivi quali sono gli elementi che formano il complementare dell insieme ={giallo, verde} rispetto all insieme ={x x è un colore dell arcobaleno}. 39 Considera l insieme delle rose e l insieme delle rose rosse e scrivi la caratteristica dell insieme complementare di rispetto ad. 40 Se è l insieme dei fiumi che scorrono in Europa e l insieme dei fiumi italiani, sai dire da quali elementi è formato l insieme complementare di rispetto ad? 41 Dati gli insiemi e, rappresentali graficamente e scrivi il complementare di rispetto ad. ={5, 10, 11, 14, 16} ={10, 14} 15
UNITÀ 0 Scopriamo gli insiemi 42 Rappresenta con i diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi e e determina il complementare di rispetto ad. ={u, l, t, i, m, o} ={l, i, m, o} esercizi 43 Considera il sottoinsieme ={x x è un veicolo a motore} dell insieme U ={x x è un veicolo}. Indica l insieme complementare di rispetto a U e danne una rappresentazione grafica con i diagrammi di Eulero-Venn. 44 Osserva gli insiemi, e C, rappresentati in due modi diversi, e rispondi alle domande. ={a, b, c, d} ={b, d, e, f, g} C ={e, f, g} C C a. Quale delle due rappresentazioni ritieni che sia quella giusta? Perché?... b. Quali sono gli elementi dell insieme»?... c. Da quali elementi è formato l insieme «?... d. Qual è il complementare di C rispetto a?... 45 Dati gli insiemi, e C, indica il complementare di C rispetto ad e rappresenta graficamente i tre insiemi. ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ={2, 4, 6} C ={6} Prodotto cartesiano [U0.8 p. 6] RICORD Il prodotto cartesiano di due insiemi e è l insieme C formato da tutte le coppie ordinate che si ottengono prendendo come primo elemento un elemento di e come secondo elemento un elemento di.. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 46 Considera i due insiemi e e scrivi tutte le coppie ordinate del prodotto cartesiano C =. ={a, b, c} ={d, e} ESEMPIO Dati gli insiemi ={sol, mi} e ={do, re} determina il prodotto cartesiano C =. C = ={(sol, do); (sol, re); (mi, do); (mi, re)} 47 Dati gli insiemi ={a, b} e ={x, y}, tutte le possibili coppie di elementi che si possono formare sono: ( a, b) ( b, a) ( x, y) ( y, x) ( a, x) ( a, y) ( b, x) ( b, y) C ( a, y) ( x, y) ( b, x) ( a, x) ( a, b) 16
esercizi 48 Il prodotto cartesiano di ={a, b} per = Δ è: C = Δ C ={a, b} C C ={(a, 0); (b, 0)} 49 Determina il prodotto cartesiano dei due insiemi e e rappresentalo graficamente con delle frecce. 2 5 a b 50 Scrivi per elencazione il risultato del prodotto cartesiano tra l insieme e l insieme. r s t a e 51 Se l insieme è formato da 1 elemento e l insieme da 3 elementi, quanti sono gli elementi di? 52 Dati gli insiemi ={1, 2, 3} e ={m, n}, considerando, si possono formare: 5 coppie ordinate di elementi 6 coppie ordinate di elementi 53 Dati gli insiemi ={a, b, c} e ={r, s}, scrivi le coppie ordinate di e indica la risposta corretta. Da quanti elementi è formato il prodotto cartesiano? 3 6 C 9 D 5 54 Dati i due insiemi e, associa a ogni elemento di un elemento di in modo da formare tutte le possibili coppie ordinate. ={rosa, verde, azzurro} ={bianco, nero, arancione} 55 Dati gli insiemi e, scrivi le coppie ordinate degli elementi di C = e dai la rappresentazione sagittale di tale situazione. ={marzo, aprile, maggio} ={sole, nebbia, vento, pioggia} 56 Determina il prodotto cartesiano degli insiemi e e stabilisci quanti sono gli elementi che lo costituiscono. ={8, 9, 10} ={a, b} 57 Dai la rappresentazione sagittale dell insieme C =, dove ={u, l, m} e ={4, 6}. 58 Scrivi nella tabella a doppia entrata gli elementi del prodotto cartesiano. a e b...... d...... s...... r...... 17
UNITÀ 0 Scopriamo gli insiemi esercizi 59 Considera gli insiemi e e scrivi le coppie ordinate di elementi che formano l insieme C =. Successivamente rappresenta i due insiemi con diagrammi di Eulero-Venn e le coppie del prodotto cartesiano con delle frecce, da verso. ={mamma, Eleonora} ={papà, Stefano, Carlo} 60 Rappresenta con il metodo della tabella a doppia entrata il prodotto cartesiano, sapendo che: ={p, q} ={r, s, t} 61 Scrivi nel reticolo gli elementi che formano il prodotto cartesiano. 7 6 5 ( 1,...) 0 1 2 3 4 62 Rappresenta con i diagrammi sagittali, con le tabelle a doppia entrata e con i reticoli il prodotto cartesiano di ciascuna delle seguenti coppie di insiemi e. a. ={n, p} ={1, 2, 3} b. ={c} ={3, 6} c. ={r, s, t} ={a} d. ={0, 3} ={4, 7} e. ={5, 8, 10} ={0, 1, 2} f. ={m, n} ={0} 63 Tra le seguenti coppie ordinate, sottolinea quelle che appartengono all insieme C =, sapendo che ={ve, me} e ={ra, ste}. ( ve, ra) ( ve, na) ( me, sta) ( me, ra) ( vi, ra) ( ve, ste) ( me, ste) ( ve, sti) ( me, ri) ( ra, me) ( ste, ve) ( ste, me) 64 Fai un esempio in cui un prodotto cartesiano abbia 6 elementi. Quanti elementi hai dato ad e quanti a? Puoi considerare qualche altra possibilità di scelta?. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 65 Nel caso in cui il prodotto cartesiano abbia 5 elementi, quanti ne possono avere e? 66 Dati gli insiemi e formati rispettivamente dagli elementi {1, 2} e {r, s} stabilisci se: a. Gli elementi del prodotto cartesiano sono uguali a quelli di. b. Nel prodotto cartesiano di due insiemi esiste la proprietà commutativa. Rappresenta con diagrammi a frecce i prodotti cartesiani e e verifica se le tue risposte sono giuste oppure errate. 67 Rappresenta con una tabella a doppia entrata il prodotto cartesiano dei seguenti insiemi. ={a, b, c, d, e} ={1, 3, 5} 18
esercizi 68 Rappresenta per elencazione gli insiemi e, sapendo che ={(1, x); (1, y); (1, z); (2, x); (2, y); (2, z)}. 69 Scrivi per elencazione gli insiemi M e N, sapendo che M N ={(se, dia); (se, sta); (me, dia); (me, sta); (te, dia); (te, sta)}. 70 Scrivi per elencazione gli insiemi R e T, sapendo che R T ={(u, sa); (u, va); (u, sta); (ca, sa); (ca, va); (ca, sta)}. 71 Completa il grafo ad albero che rappresenta il prodotto, dove ={a, b} e ={x, y, z}. Quali e quanti sono gli elementi del prodotto cartesiano? a b Il prodotto cartesiano di due insiemi si può rappresentare anche con dei grafi ad albero, che già conosci. x y z x y z {a, x},... {b, x},... =... 72 Utilizzando dei grafi ad albero, determina il prodotto cartesiano degli insiemi ={1, 2, 3} e ={4, 5, 6}. È vero o falso che hai ottenuto 9 elementi? Risolvi i seguenti problemi. 73 Dagli aeroporti di Milano, Roma e Palermo partono dei voli per Parigi e Londra. Rappresenta con un prodotto cartesiano tutti i possibili abbinamenti di partenze e arrivi. [6] 74 In un campionato di calcetto, otto squadre disputano partite di andata e ritorno. Quante sono in tutto le partite del campionato? [56] 75 In un sacchetto ci sono dei cartoncini su cui sono scritte le consonanti della parola fortuna, mentre in un altro le vocali della stessa parola. Quante coppie di lettere, formate ciascuna da una consonante e da una vocale, si possono ottenere prendendo appunto una lettera da ogni sacchetto? [12] 76 Cristina possiede 8 collane, 3 braccialetti e 2 anelli. In quanti modi diversi può abbinarli, mettendo una collana, un braccialetto e un anello? [48] 77 Simona ha nel suo guardaroba tre magliette, una gialla, una bianca e una grigia, e due jeans, uno azzurro e uno nero. Quanti e quali abbinamenti può fare, usando una maglietta e un jeans? Fai il prodotto cartesiano tra l insieme delle magliette e quello dei pantaloni e otterrai tutte le combinazioni possibili. jeans magliette gialla bianca grigia azzurro......... nero......... 78 In un gruppo di 120 ragazzi, 28 leggono libri gialli, 50 leggono libri di avventura e 12 leggono entrambi i tipi di libri. Quanti sono i ragazzi che non leggono né libri gialli né libri di avventura? [54] 79 In una piscina frequentata da 35 persone, 18 sanno nuotare a stile libero, 7 a stile rana e 12 non praticano né lo stile libero né lo stile rana. Quanti praticano sia l uno sia l altro stile? [2] 19
UNITÀ 0 Scopriamo gli insiemi esercizi 80 Se è l insieme dei multipli di 2 e è l insieme dei multipli di 3, allora l unione di e è formato dall insieme dei multipli di 6? RICORD 81 Clara afferma che dati gli insiemi ={a} e ={1, 2}, il prodotto cartesiano è uguale al prodotto. Secondo il tuo giudizio è corretta questa affermazione? Esiste la proprietà commutativa nel prodotto cartesiano? 82 Dieci squadre di calcio disputano un torneo che prevede partite di andata e ritorno. Quante sono complessivamente le partite del torneo? Corrispondenze tra insiemi [U0.9 p. 8] Una corrispondenza tra due insiemi si dice univoca se a ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo insieme, ma non viceversa. b a c 1 2 Una corrispondenza tra due insiemi si dice biunivoca se a ogni elemento del primo insieme corrisponde un solo elemento del secondo insieme e, viceversa, ogni elemento del secondo insieme è corrispondente di un solo elemento del primo. a b 1 2 83 Considera l insieme degli alunni della tua classe e l insieme dei loro nomi. Che tipo di corrispondenza esiste tra i due insiemi considerati? Rappresentali graficamente. 84 Rappresenta con un grafico la corrispondenza che esiste tra l insieme formato dalle madri di cinque ragazzi, di cui tre sono fratelli, e l insieme dei loro figli. 85 Dati gli insiemi e, associa a ogni elemento di il corrispondente di e illustra il tipo di corrispondenza che si stabilisce tra i due insiemi. ={pane, pasta, riso, uova, carne, pesce} ={amido, proteine} 86 Stabilisci se tra i seguenti insiemi può esistere una corrispondenza biunivoca e, in caso di risposta affermativa, esegui la relativa rappresentazione grafica. ={Roma, Firenze, Londra, Parigi, Colonia} ={rno, Tamigi, Tevere, Reno, Senna}. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 87 Considera i seguenti insiemi e stabilisci che tipo di corrispondenza esiste tra l insieme e l insieme. ={latte, grano, uva, olive} ={pasta, vino, formaggio, olio} Disegna un grafico a frecce che illustri la tua risposta. 88 Indica in quale dei due casi tra gli insiemi e è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca, giustificando la tua risposta. a. ={2, 5, 8, 11, 14} ={a, b, c, d, e} b. ={1, 8, 24} ={a, b, c, d, e} 89 Considera gli insiemi e e stabilisci il tipo di corrispondenza che esiste tra essi, disegnando diagrammi a frecce. ={Como, Perugia, Terni, Salerno, Napoli, Lecce, Taranto} ={Puglia, Lombardia, Campania, Sicilia} 20
esercizi 90 Rappresenta graficamente la corrispondenza che lega i seguenti insiemi. ={scuola, ufficio, treno} ={studente, manager, viaggiatore} Si tratta di una corrispondenza univoca o biunivoca? Francia 91 Collega opportunamente, usando delle frecce, Italia gli elementi di con quelli di in modo Spagna che si stabilisca una corrispondenza univoca. Messico Perú Europa merica 92 Osserva i seguenti diagrammi di Eulero-Venn e rappresenta con delle frecce la proprietà bagna la città di. Che tipo di corrispondenza esiste tra gli insiemi e? Univoca o biunivoca? rno Senna Tevere Firenze Parigi Roma 93 Dati gli insiemi ={Roma, Parigi, Londra, tene, Madrid} e ={Italia, Francia, Regno Unito, Grecia, Spagna}, rappresenta la corrispondenza che esiste tra i loro elementi mediante diagrammi di Eulero-Venn. 94 Osserva i diagrammi di Eulero-Venn e unisci opportunamente gli elementi corrispondenti. Che tipo di corrispondenza hai ottenuto? I due insiemi dati sono equipotenti? Qual è la cardinalità di ciascuno di essi? Giovanni Dante 6 7 7 8 34 pulcino cane lighieri Pascoli 56 42 17 + 17 cucciolo gallina Relazione tra due insiemi [U0.10 p. 10] 95 Completa la tabella, poi svolgi le attività proposte. insiemi relazione da coppie di elementi verso corrispondenti ={2, 10, 18, 22} è il doppio di... ={1, 5, 9, 11, 12}... ={Torino, sti, Milano} è una città in... ={Piemonte, Lazio, Lombardia}... ={Roma, ari, Venezia, Madrid} si trova in... ={Italia, Spagna}... ={Po, Tevere, rno} bagna... ={Pavia, dria, Roma, Pisa}... ={6, 7, 8, 11, 15, 20} è la metà di... ={12, 16, 22, 40}... 21
UNITÀ 0 Scopriamo gli insiemi a. Completa la seguente frase: la corrispondenza tra gli insiemi e è... b. Illustra il significato di tale tipo di relazione e fai alcuni esempi, tratti dalla vita quotidiana, in cui tra due insiemi si stabilisca una relazione come quella trovata. c. Rappresenta ciascuna delle relazioni date mediante diagrammi di Eulero-Venn. esercizi 96 Dati gli insiemi e e la relazione da verso è l insegnante di, rappresenta mediante diagrammi di Eulero-Venn la corrispondenza tra e e spiega di quale tipo di corrispondenza si tratta. ={nomi degli insegnanti della tua classe} ={materie di studio} 97 Dati due insiemi e, sapendo che la relazione esistente tra essi è adopera, rappresenta con un grafico sagittale gli elementi di e che sono in relazione tra loro. Stabilisci il tipo di corrispondenza che esiste tra i due insiemi e scrivi le coppie degli elementi corrispondenti. ={scrittore, medico, musicista} ={pianoforte, chitarra, penna, carta, bisturi, violino, stetoscopio} 98 Dati gli insiemi e, sapendo che esiste tra essi la relazione contiene, rappresenta mediante diagrammi di Eulero-Venn la corrispondenza tra e, specificandone il tipo. ={pane, pasta, uova, zucchero, carne, pesce, olio, burro} ={proteine, carboidrati, grassi} 99 Stabilisci la relazione esistente tra gli insiemi e e scrivi le coppie di elementi corrispondenti. Di che tipo di corrispondenza si tratta? Euclide Pitagora Dante Leopardi Pascoli Mozart matematica letteratura musica 100 Disegna il grafico a frecce della relazione da verso, espressa dalla frase si usa per, e indica le coppie di elementi corrispondenti. ={microfono, cucchiaio, palla, penna} ={mangiare, scrivere, cantare, giocare} 101 Individua la relazione tra i seguenti insiemi e rappresenta poi la corrispondenza, stabilendo se si tratta di corrispondenza univoca o biunivoca. ={luce verde, luce rossa} ={via libera, stop}. Montemurro @ Degostini Scuola - 2013 102 Dati gli insiemi e, scrivi la relazione che si stabilisce tra essi, rappresentala mediante diagrammi di Eulero-Venn e stabilisci di quale tipo di corrispondenza si tratta. ={Natale, San Giuseppe, Festa della Liberazione, Festa dei lavoratori, Capodanno} ={1, 19, 25} 103 Considera l insieme ={Copenaghen, Londra, Stoccolma, nkara} e l insieme ={Gran retagna, Danimarca, Turchia, Svezia}. Dopo aver trovato la relazione tra e, rappresentala graficamente e stabilisci che tipo di corrispondenza esiste tra gli insiemi dati. 104 Considera gli insiemi e, poi rispondi alle domande. ={ari, Taranto, Modena, Roma, Viterbo, Siena} ={Puglia, Lazio, Toscana} a. Qual è la relazione che lega i due insiemi? 22
esercizi b. Qual è la frase che la definisce? c. Rappresenta con un grafico sagittale gli elementi di e che si corrispondono in tale relazione e scrivi per elencazione le coppie ordinate che si vengono a formare. 105 Considera gli insiemi e, legati dalla relazione appartiene alla classe, e rispondi alle domande. ={gallo, orso, rana, merluzzo, lucertola} ={mammiferi, anfibi, pesci, rettili, uccelli} a. Rappresenta con un grafico a frecce tale relazione e scrivi le coppie ordinate di elementi corrispondenti. b. Quale tipo di corrispondenza esiste tra i due insiemi? c. I due insiemi sono equipotenti? Perché? 106 Rappresenta mediante diagrammi di Eulero-Venn la relazione è capoluogo di che si stabilisce tra l insieme formato dalle città di Palermo, Genova, Firenze e l insieme formato dalle regioni Liguria, Sicilia, Toscana. Si tratta di una corrispondenza univoca o biunivoca? 107 Scrivi la frase che definisce la relazione da verso e la frase che definisce la relazione inversa da verso. Dai quindi una rappresentazione per elencazione delle coppie di elementi corrispondenti. 4 6 1 5 3 7 2 6 3 12 15 18 9 21 108 Scrivi una relazione possibile tra i due seguenti insiemi, poi fai la sua rappresentazione con un grafico a frecce. ={Marco, Lucia, Claudio, Stefano, Laura} ={mela, uva, panino, pasta, uova} 109 Dati gli insiemi ={4, 8, 12, 16, 20} e ={1, 2, 3, 4, 5} rappresenta in forma sagittale, con una tabella a doppia entrata e in forma cartesiana, la relazione da verso : è il quadruplo di. 110 Osserva la figura e individua la relazione che fa corrispondere agli elementi di quelli di. Rappresentala con una tabella a doppia entrata e in forma cartesiana. Qual è la frase che definisce la relazione inversa da verso? 5 1 4 6 16 25 1 36 111 Scrivi la frase che lega l insieme all insieme. Rappresenta poi la relazione in forma sagittale e con una tabella a doppia entrata. ={La Spezia, Venezia, Napoli, Taranto, ari} ={Mar Tirreno, Mare driatico, Mar Ionio, Mar Ligure} 112 Scrivi le coppie di numeri degli insiemi e che soddisfano la relazione : è il numero precedente di. Quante coppie hai individuato? ={16, 37, 59, 99, 105} ={17, 38, 100, 106, 109} 23