1 Le equazioni di Maxwell e le relazioni costitutive 1 1.1 Introduzione... 1 1.2 Richiami sugli operatori differenziali...... 4 1.2.1 Il gradiente di uno scalare... 4 1.2.2 La divergenza di un vettore... 5 1.2.3 Il rotore di un vettore... 5 1.2.4 Il vettore simbolico nabla... 6 1.2.5 Campi lamellari e solenoidali... 7 1.2.6 Il laplaciano 2 di uno scalare e il laplaciano di un vettore 8 1.2.7 Formule di Green... 9 1.2.8 Teorema di Helmholtz... 9 1.3 Le equazioni di Maxwell: formulazione integrale......... 10 1.4 Equazioni di Maxwell locali.................... 13 1.5 Il caso statico e quasi statico.................... 16 1.6 Densità di carica elettrica........................ 16 1.7 Condizioni di continuità e discontinuità.............. 19 1.8 Cariche e correnti magnetiche................... 23 1.9 Le equazioni di Maxwell trasformate................ 25 1.10 Vettori complessi rappresentativi.................. 26 1.10.1 Due casi di particolare interesse.............. 29

viii Indice 1.10.2 Ortogonalità e prodotto vettoriale complesso....... 30 1.11 Equazioni di Maxwell per vettori complessi............ 32 1.12 Polarizzazione dei vettori di campo................. 32 1.13 Fasori e trasformate di Fourier................... 36 1.14 Segnale analitico e inviluppo complesso.............. 37 1.15 Eq. di Maxwell nel dominio del numero d onda.......... 39 1.16 Le relazioni costitutive: considerazioni generali.......... 40 1.16.1 Lo spazio libero....................... 41 1.16.2 Le relazioni costitutive................... 42 1.16.3 Concetto di tensore..................... 42 1.16.4 Mezzi lineari e mezzi non lineari.............. 43 1.16.5 Mezzi isotropi, omogenei, stazionari............ 44 1.16.6 Generalizzazione di mezzo lineare............. 44 1.17 La polarizzazione elettrica e magnetica............... 46 1.18 Materiali magnetici......................... 47 1.19 Relazioni costitutive per un dielettrico............... 47 1.20 Relazioni costitutive per un mezzo conduttore........... 50 1.21 La permittività elettrica complessa................. 52 1.22 Condizioni di continuità........................ 53 1.23 Riassunto del capitolo........................ 54 2 Teoremi di base 57 2.1 Esempi di propagazione elettromagnetica............. 57 2.1.1 Propagazione in un mezzo non dispersivo......... 57 2.1.2 Soluzioni spurie...................... 61 2.1.3 L equazione monodimensionale delle onde: un secondo approccio.......................... 62 2.1.4 Propagazione in un mezzo dispersivo e con perdite.... 63

ix 2.1.5 Distribuzione della densità di corrente all interno di un conduttore cilindrico.................... 67 2.1.6 Ancora sulla distribuzione della densità di corrente.... 69 2.2 Lunghezza d onda, velocità di fase e velocità della luce...... 71 2.3 Concetto di contemporaneità.................... 72 2.4 Onda stazionaria.......................... 73 2.5 Pacchetti d onda e velocità di gruppo................ 74 2.6 Sorgenti ed utilizzatori....................... 78 2.7 Teorema di Poynting per vettori reali................ 80 2.8 Teorema di Poynting per vettori complessi............. 82 2.9 Teorema di unicità nel dominio del tempo............. 84 2.10 Teorema di unicità nel campo complesso............... 86 2.11 Particolari condizioni al contorno.................. 88 2.12 Teorema di reciprocità....................... 90 2.13 Teorema di equivalenza (o di Love)................ 92 2.14 Teorema di dualità......................... 93 2.15 Teorema delle immagini...................... 95 3 Propagazione di onde piane 101 3.1 Onde piane in mezzi isotropi.................... 102 3.1.1 La natura delle soluzioni e la loro classificazione..... 107 3.1.2 Mezzo senza perdite.................... 108 3.1.3 Mezzo con perdite..................... 110 3.2 Onda stazionaria.......................... 111 3.3 Interferenza tra due onde piane.................... 112 3.4 Riflessione e rifrazione di un onda piana.............. 114 3.4.1 Scomposizione vettoriale dell onda piana incidente.... 117 3.4.2 Onda incidente di tipo TE.................. 119 3.4.3 Onda incidente di tipo TM.................. 121

x Indice 3.4.4 Incidenza normale..................... 124 3.5 Lamina ottica............................ 125 3.5.1 Divisore di fascio: splitter................. 130 3.5.2 Effetto tunneling...................... 131 3.5.3 Eliminazione dell onda riflessa: adattamento a λ/4.... 131 3.6 Completezza delle onde piane: spettri di onde piane........ 132 3.7 Campo a grande distanza....................... 136 3.8 Campo prodotto da un apertura rettangolare............ 140 3.9 Campo d apertura.......................... 145 4 Ottica geometrica 147 4.1 Dalle equazioni di Maxwell all equazione iconale......... 147 4.2 Fronti d onda e raggi ottici..................... 154 4.3 Equazione dei raggi......................... 160 4.3.1 Alcune conseguenze dell equazione dei raggi....... 161 4.4 Leggi della riflessione e della rifrazione.............. 162 4.5 Legge dell intensità dell ottica geometrica............. 164 4.6 Radianza di una sorgente...................... 166 4.7 Esempio: mezzo a stratificazione piana............... 168 4.8 Esempio: il prisma diffrattivo.................... 170 4.9 Esempio: specchio sferico..................... 174 4.10 Esempio: il paraboloide....................... 176 4.11 Esempio: diottro sferico...................... 178 4.12 Esempio: Lente sottile....................... 181 4.12.1 Formazione dell immagine e ingrandimento........ 184 5 Propagazione guidata 187 5.1 Relazioni fra le componenti di campo............... 187 5.2 Onde di tipo TEM e linee di trasmissione............. 190 5.2.1 Interpretazione fisica delle funzioni V (z) e I(z)..... 192

xi 5.2.2 Il cavo coassiale...................... 195 5.2.3 Linee di trasmissione in regime armonico......... 197 5.2.4 L impedenza di ingresso.................. 201 5.2.5 Il rapporto d onda stazionaria (ROS)............ 202 5.2.6 La carta di Smith...................... 203 5.2.7 Adattatore a λ/4...................... 205 5.2.8 Regime di onda stazionaria in una linea ideale....... 209 5.2.9 Adattatore a semplice stub................. 211 5.2.10 Adattatore a doppio stub.................. 212 5.2.11 Linee con perdite: modi quasi TEM............ 214 6 Guide metalliche e dielettriche 217 6.1 Onde TE e TM e guide d onda................... 217 6.1.1 Componenti trasversi e componenti longitudinali..... 217 6.2 Proprietà generali: ortogonalità dei modi.............. 221 6.2.1 Sviluppo in serie di modi.................. 224 6.2.2 Legge di dispersione.................... 227 6.3 Riassunto riguardante la propagazione guidata TE e TM..... 228 6.4 Esempi di propagazione guidata.................. 229 6.4.1 Guide Metalliche...................... 229 6.4.2 Onde guidate da due piani paralleli conduttori....... 233 6.4.3 La guida rettangolare.................... 237 6.5 Lastra piana simmetrica indefinitamente estesa.......... 249 6.5.1 Modi guidati di tipo TE.................. 253 6.5.2 Modi guidati di tipo TM.................. 256 6.5.3 Risoluzione grafica dei parametri della guida....... 258 6.5.4 L equazione caratteristica come condizione di congruenza della fase.......................... 261 6.5.5 Conteggio dei modi guidati................. 263

xii Indice 6.5.6 Modi irradianti....................... 263 7 Teoria dei potenziali 267 7.1 Potenziali elettromagnetici..................... 267 7.1.1 La regolarità delle sorgenti................. 268 7.1.2 Il potenziale vettore magnetico e il potenziale scalare elettrico............................. 269 7.1.3 Scelta Φ=0........................ 271 7.1.4 Scelta di Coulomb..................... 272 7.1.5 Scelta di Lorentz...................... 272 7.1.6 Potenziale vettore elettrico di Fitzgerald.......... 273 7.1.7 Il potenziale di Hertz Π................... 275 7.2 La teoria dei potenziali e il problema omogeneo.......... 276 7.3 La risoluzione del problema non omogeneo............ 276 7.3.1 Funzione di Green per l equazione di Helmholtz scalare. 276 7.3.2 La funzione di Green nello spazio libero: dominio infinito 278 7.3.3 Estensione al caso vettoriale................ 281 7.3.4 La funzione di Green nello spazio libero: dominio finito. 282 7.4 Potenziali nel dominio del tempo: potenziali ritardati....... 286 7.4.1 Condizioni di quasi stazionarietà.............. 288 7.4.2 Radiazione prodotta da una carica in movimento..... 290 7.4.3 Potenziali di Liénard-Wiechert............... 290 7.4.4 I campi di una carica in movimento............ 292 8 Fondamenti di teoria delle antenne 297 8.1 Applicazioni della teoria dei potenziali............... 297 8.1.1 Elemento di corrente elettrica o sorgente puntiforme... 297 8.1.2 Campo vicino e campo lontano............... 301 8.1.3 Sorgente estesa: momento equivalente........... 302 8.2 Fondamenti di teoria delle antenne................. 306

xiii 8.2.1 Grandezze caratteristiche delle antenne.......... 307 8.2.2 Adattamento in potenza.................. 312 8.2.3 Antenne in ricezione.................... 313 8.2.4 Il dipolo corto........................ 314 8.2.5 Formula di trasmissione nello spazio libero o formula di Friis............................. 317 8.2.6 Formula del radar...................... 318 8.2.7 Schiere d antenne...................... 319 Formule vettoriali 327 Bibliografia 331 Indice Analitico 334