Didattica delle Telecomunicazioni: i Mezzi Trasmissivi ESERCIZI DI VERIFICA

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1 Didattica delle Telecomunicazioni: i Mezzi Trasmissivi ESERCIZI DI VERIFICA 1. Materiali dielettrici e conduttori 1.1. Sulla base del diverso comportamento rispetto ai fenomeni elettrici, i corpi vengono distinti in: Conduttori: sostanze nelle quali le cariche elettriche possono muoversi liberamente sotto l'azione di un campo elettrico (elettroni di conduzione nei metalli, ioni nelle soluzioni acquose) Dielettrici: gli elettroni sono vincolati non potendo muoversi liberamente sotto l azione di un campo elettrico (es.: vetro, ebanite)., La corrente totale in un mezzo è data dalla somma della corrente di conduzione e della corrente di spostamento. Tali correnti dipendono solo dal mezzo trasmissivo Tali correnti dipendono solo dalla frequenza del segnale che attraversa il mezzo 1.3. Negli isolanti un onda E.M. incidente provoca il moto armonico degli elettroni che oscillano intorno ai rispettivi nuclei e viene riemessa alla stessa frequenza senza essere assorbita (fenomeno della diffusione). Nei conduttori l onda E.M. viene rapidamente assorbita (fenomeno della dispersione per il quale tanto maggiore è la frequenza dell onda incidente tanto maggiore è l indice di rifrazione).,....

2 1.4. Un mezzo di trasmissione con una bassissima conducibilità consente un ottima propagazione delle onde elettromagnetiche un ottima propagazione della corrente elettrica 3. La trasformata di Steinmetz 3.1 Un numero complesso nella forma cartesiana è esprimibile come: A = A R + jai (AR ed AI sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso) mentre nella forma polare come: ( A = A e A = A R + A I rappresenta il modulo del numero complesso ed α=arctg A I /A R la fase) jα,.. 3. Steinmetz studia la rappresentazione simbolica dei sistemi lineari in regime sinusoidale. La trasformata di Steinmetz associa ad una funzione sinusoidale a(t) = A M *cos(ωt+α) un numero complesso, il cui modulo è uguale al valore efficace di a(t) e l argomento è pari alla fase di a(t). Tale numero complesso viene detto fasore di a(t), e si indica con A, pari a jα A = Aeff e, infatti poiché risulta che: A = A jα eff e = Aeff + (cosα jsenα) A M * cos (ωt+α) = R [ j( ω t + α ) A M e ] = R [ jωt jα Aeff e e ] = R [ jωt A e ], l argomento del fasore è pari a ωt 3.3 Il dominio dei fasori è comodo in quanto le operazioni riguardano numeri complessi riguardano funzioni temporali, purchè isofrequenziali

3 4. La legge di Snell 4.1 Un onda incidente, con angolo di incidenza α rispetto alla normale, provoca un raggio riflesso, con un angolo di riflessione β, ed un raggio rifratto con angolo di rifrazione γ. Tra gli angoli che i raggi formano e gli indici di rifrazione n1 ed n dei due mezzi, esistono le seguenti relazioni: legge di riflessione β = α legge di rifrazione (di Snell) raggio incidente n1 raggio riflesso senα = n sen γ n 1 =cost n raggio rifratto,.. 4. Se il mezzo 1 è più denso rispetto al mezzo α > γ, poiché n = με, per i mezzi più densi n è più elevato e quindi γ > α 4.3 Nella propagazione di un raggio da un mezzo più denso ad uno meno denso esiste un valore di α, detto angolo di incidenza limite, per il quale l angolo di rifrazione vale 90. Se l angolo di incidenza supera l angolo limite si ha la riflessione totale del raggio e decade la legge si Snell., è il principio sfruttato nelle fibre ottiche nelle quali l indice di rifrazione del core è più alto dell indice di rifrazione del cladding

4 , in quanto nelle fibre ottiche vale la legge di Snell 4.4 La velocità di propagazione, v m, di un onda elettromagnetica è direttamente proporzionale all indice di rifrazione n del mezzo trasmissivo., poiché quanto più un mezzo è denso tanto più l indice è più basso e quindi la velocità è più bassa, in quanto v m = c/n (c è la velocità nel vuoto). Nei mezzi più densi, l indice di rifrazione è più alto e quindi la velocità di propagazione è più bassa. 4.5 Qual è il mezzo trasmissivo con l indice di rifrazione più basso, n1 o n? n1 n

5 4. La velocità di fase delle onde elettromagnetiche 4.1 La velocità di propagazione dell onda, v =λ*f, è anche la velocità di fase in quanto rappresenta la velocità con la quale un osservatore deve muoversi lungo la direzione di propagazione per osservare sempre la stessa fase dell onda,.. 4. Nel vuoto tutte le frequenze si propagano con la stessa velocità C, in tutti gli altri casi la velocità decresce con il crescere della frequenza, la velocità cresce con la frequenza secondo v=ω/β 4.3 La lunghezza d onda λ, esprime le caratteristiche del materiale, mentre la frequenza f, le proprietà del campo, a parità di f, la lunghezza d'onda varia passando da un mezzo a un altro con indice di rifrazione diverso, In condizioni ideali la velocità di fase è uguale per tutte le armoniche trasmesse, l attenuazione è la stessa per tutte le armoniche α = RG e la costante di fase β = ω LC varia linearmente con la frequenza,..

6 5. Il bilancio energetico in elettromagnetismo 5.1 Per il principio di conservazione dell energia (teorema di Poynting) l energia che forniamo nell unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma della Potenza dissipata nei conduttori per effetto Joule; Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione; Potenza netta portata via attraverso la superfice di bordo S della regione V dalle onde elettromagnetiche 5. Il vettore di Poynting (in W/m) misura la quantità di energia trasportata dall onda attraverso la superficie unitaria, ed è il prodotto vettoriale del campo elettrico per il campo magnetico nella materia : ρ ρ ρ S = E H = 1 ρ ρ E B μ (μo, permeabilità magnetica relativa = 1,56*10-7 H/m) 0 Con E e B ortogonali alla direzione di propagazione S 1 μ = EeffBeff = Eeff Con: Z = μ c = 377Ω cμ 0 S = Eeff S = E max Il valore medio temporale di S è chiamato intensità (del campo elettromagnetico) ed è misurato in W/m.

7 5.3 Nel caso di un'onda sferica il fronte d'onda è una superficie sferica e la velocità è radiale. L'intensità d'onda dipende da r:, l intensità d onda è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, l intensità d onda è inversamente proporzionale alla distanza 5.4 Se i campi devono essere rappresentati in termini quantistici le considerazioni sull'energia, la quantità di moto e il momento angolare vengono meno e interviene la meccanica quantistica, dove l'energia dipende dalla frequenza ν: dove h è la costante di Planck = 6,6 * Js,

8 6. La potenza attiva e la potenza reattiva 6.1. In un circuito RLC in serie in cui fluisce una corrente sinusoidale, parte delle potenza è immagazzinata (e scambiata) in L e in C, e si definisce potenza reattiva, mentre parte è effettivamente dissipata da R e si definisce potenza attiva, la potenza attiva è la potenza elettrica media che viene trasformata in calore, a differenza della potenza reattiva che viene soltanto scambiata tra gli elementi reattivi, Le componenti in fase di tensione e corrente contribuiscono alla potenza attiva P reatt = V eff *I eff *cosφ (φ è l angolo di sfasamento tra tensione e corrente) mentre le componenti in quadratura danno la potenza reattiva P reatt = V eff *I eff *senφ (φ è l angolo di sfasamento tra tensione e corrente), infine c è la potenza apparente P a = V eff *I eff che non tiene conto di eventuali sfasamenti tra tensione e corrente, infine c è la potenza apparente P a = V eff *I eff che tiene conto di eventuali sfasamenti tra tensione e corrente La potenza attiva si misura in Watt, la potenza reattiva in Volt Ampere reattivi e la potenza apparente in Volt Ampere 6.3. La potenza attiva è uguale alla potenza media che si ha in un periodo. Indicando con v = v m cos t ( ω + φ ) Il valore medio di potenza risulta: v P att i = i m cos t ( ω + φ ), e se il circuito è puramente resistivo P att T 1 = P T, e se il circuito è puramente resistivo m v i m m = cos( φ φ ) v m Fattore di potenza dt I R = = R att 0 I Δ = RI efficace P att T 1 = P T dt I R = = R att 0 I Δ = RI m

9 6.4. In termini di fasori la potenza complessa è definita come: (i* è il coniugato del favore della corrente) costituita da una parte reale ed una parte immaginaria. P cmplx = vi ˆ ˆ * E verificato che la potenza attiva è la parte reale della potenza complessa P att = Re { P cmplx} vi ˆˆ = Re * Non è verificato che la potenza attiva è la parte reale della potenza complessa P att = Re { P cmplx} vi ˆˆ = Re *

10 7. Attenuazione e sfasamento nella propagazione elettromagnetica 7.1. L attenuazione nello spazio libero, nel caso che le antenne siano isotropiche e reali (G=1 e quindi tutta la potenza all antenna è irradiata, Pin), dipende solo dal fatto che l energia irradiata si distribuisce su sfere sempre più grandi e quindi la densità di energia diminuisce con il quadrato della distanza. La potenza Pu fornita in uscita dall antenna isotropa ricevente, P u è pari a: P u = P in λ (4πr) In conclusione l attenuazione è proporzionale al quadrato della distanza ed al quadrato della frequenza., infatti l attenuazione Pin/Pu in db risulta pari a A sl = 10*log 10 (4πr/λ), l attenuazione Pin/Pu in db risulta pari a A sl = 0*log 10 (4πr/λ) 7.. Con la frequenza espressa in Mhz e la distanza in Km, e supposto c = 3*10 8 m/sec l attenuazione nello spazio libero è pari a: A sl = 3,5 + 0log f Mz + 0log r Km Valori tipici di attenuazione di,5 db/km nel caso delle fibre ottiche e di 0 db/km nel caso di cavi coassiali...

11 7.4. In condizioni reali di propagazione i percorsi di propagazione sono multipli. Ciò implica che la fase, variabile con la distanza e con la frequenza, introduce il fenomeno del fading, che si riflette in picchi di attenuazione con conseguente degrado dell intensità del segnale ricevuto., e la diversità di spazio e di frequenza sono le tecniche adottate per ridurre tale fenomeno. cammino diffratto cammino diretto cammino riflesso

12 8. L interferenza tra onde elettromagnetiche 4.4 La presenza di ostacoli tra il trasmettitore ed il ricevitore dà luogo a cammini multipli e provoca interferenza. 8. Le condizioni per l interferenza tra due onde risultano: 1) stessa lunghezza d onda ) ritardo di fase costante tra le due onde 8.3 La matematica dell interferenza porta alla distinzione riportata in figura. Ti sembra corretta? Interferenza costruttiva Interferenza distruttiva I 1 = h 1, I = h I 1 = h 1 + h = h 1 + h + h 1 h cos θ Si No 8.4 Si ha interferenza costruttiva se la differenza di cammino ottico percorso dalle onde è un multiplo intero della lunghezza d onda (comune); l interferenza è distruttiva se la

13 differenza di cammino ottico percorso dalle onde è un multiplo dispari di semi-lunghezze d onda r1 r mλ; r1 r (m+1) λ/ r1 r mλ ; r1 r (m+1) λ

14 9. Condizione di Heaviside 9.1. La condizione di Heaviside, di non distorsione dei mezzi di trasmissione a parametri distribuiti, è data dalla relazione RC = LG. Tali condizioni valgono per una linea ideale senza perdite non distorcente (R,C,L,G sono le costanti primarie della linea). 9.. La costante di propagazione di un mezzo trasmissivo è uguale a γ = α + jβ. La funzione di trasferimento del mezzo può essere descritta dalla costante di attenuazione α, e dalla costante di fase β. Se la costante di attenuazione di una linea è indipendente dalla frequenza (ossia è una costante), e se la costante di fase varia linearmente con la frequenza (condizione di Heaviside) siamo in presenza di un mezzo trasmissivo che distorce Nelle linee reali CR>>LG di circa 3 ordini di grandezza. Per ottenere la condizione di Heaviside si deve: diminuire R (sezione più grossa) aumentare G (aumentare l isolamento) aumentare L (Metodo di Pupin prevede l inserimento di bobine di induttanza concentrata lungo la linea)

15 9. Antenne Moduli Didattici per le Scuole Secondarie di Grado 9.1. La potenza erogata da un trasmettitore alla frequenza di 7 MHz è di 100 W. La distanza tra l antenna trasmittente, Hertziana, e ricevente, Marconiana, è di 3 Km. Se la sensibilità del ricevitore è pari a 416 nw, è garantita una corretta ricezione? Si, poiché il valore della potenza in ingresso al ricevitore coincide con la sensibilità del ricevitore Si, poiché la potenza in ingresso al ricevitore è ben al di sopra della sensibilità del ricevitore No, poiché la potenza in ingresso al ricevitore è bel al di sotto della sensibilità del ricevitore No, sebbene la potenza in ingresso al ricevitore coincida con la sensibilità del ricevitore non è garantita la corretta ricezione poiché non si è tenuto conto delle attenuazioni dei cavi a RF che collegato RX e TX alle antenne e non si tenuto ancora conto del rendimento delle antenne, a causa delle resistenze di dissipazione. Asl = (4*π*d)/λ = 1,31*10 9 Asl = 91 dbw P Tx = 100 W 0 db w ,1 + 5,1 = -63,8 dbw Prx = 416 nw

16 10. Propagazione in fibra ottica Una fibra multimodale di lunghezza L = 100 Km ha n1 = 1,495 ed n = 1,485. Calcolare il n.ro max di canali telefonici a 64 Kb/s che riesce a trasmettere A causa della dispersione modale (si trascuri la dispersione cromatica): t = L/c * n 1 /n *(n 1 -n ) = 33,5 nsec/km La larghezza di banda è legata a t dalla relazione B = 0,44/ t B= 13,13 Mb/s/Km Su 100 Km la banda disponibile risulta pari a 131 Kb/s e quindi in grado di supportare la trasmissione di due canali a 64 Kb/s

17 11. Adattamento in un circuito a costanti distribuite Una linea in cavo ha le seguenti caratteristiche: perdite trascurabili impedenza caratteristica R0 = 300 Ώ costante dielettrica dell isolante ε r =,5 frequenza di lavoro f = 00 MHz carico ohmico R L = 75 Ώ Dimensionare l adattatore delle impedenze, da realizzare tramite un trasformatore a λ/4. λ = 50 cm, Ro = 150 Ώ λ = 50 cm, Ro = 15 Ώ λ = 5 cm, Ro = 150 Ώ λ = 5 cm, Ro = 150 Ώ μ = c / ε r = *10 8 m/s λ = μ/f = *10 8 / 00*10 6 = 1 m l = λ/4 = 5 cm Ro = R o *R L = 300*75 = 150 Ώ