Le reazioni nucleari bilancio energetico: Q della reazione Le reazioni nucleari sono analizzate quantitativamente in termini di massa ed energia dei nuclei e delle particelle interessate (bilancio energetico). L analisi è simile a quella delle reazioni chimiche eccetto che per la relazione relativistica tra massa ed energia: Un acquisto di energia in una reazione deve essere accompagnata da una diminuzione di massa corrispondente. Un aumento di massa deve essere controbilanciato da un corrispondente apporto di energia (che può essere fornito per esempio bombardando un nucleo con proiettili di opportuna energia cinetica). Una reazione a due corpi in generale è rappresentata dall espressione: a + X Y + b dove X è il nucleo iniziale, Y il nucleo finale, a il proiettile e b la particella emessa.
a + X Y + b In fisica nucleare si usa anche la seguente simbologia: X(a,b)Y dove X è il nucleo bersaglio, Y il nucleo residuo, a il proiettile e b la particella emessa e rivelata. Se a è un fotone fotoreazione [es: 1 C(γ,p) 11 B, 17 O(γ,n) 16 O, 16 O(γ,α) 1 C ] se b è un fotone cattura radiativa; [es: 11 B(p,γ) 1 C, 3 He(n,γ) 4 He, 1 C(α,γ) 16 O ] se b=a (per la conservazione del numero barionico anche X=Y), la reazione è detta di diffusione (scattering). Se dopo il processo di diffusione lo stato energetico del nucleo finale Y=X è lo stesso del nucleo iniziale X il processo si dice di diffusione elastica (scattering elastico). [es: 1 C(p,p ) 1 C, 40 Ca(n,n ) 40 Ca ] Se Y si trova in uno stato eccitato (Y=X*) si parla di diffusione inelastica. es: 1 C(p,p ) 1 C*, 40 Ca(n,n ) 40 Ca*. Naturalmente: 1 C(p,p ) 1 C* C(p,p γ) 1 C
In generale si assume che il nucleo iniziale X, detto anche nucleo bersaglio (target) si trovi in quiete nel suo stato fondamentale, quindi solo a possiede energia cinetica T a. Per la conservazione dell energia: essendo X in quiete: E a + E X = E b + E Y T a + m a + m x = T b + m b + T y + m y Si definisce Q-valore della reazione la quantità: Q = (m x + m a - m y - m b ) Cioè Q è la differenza tra l energia a riposo iniziale e quella finale. Q può essere positivo negativo o nullo (nel caso di diffusione elastica). Dalla relazione che esprime la conservazione dell energia totale segue che: T b + T y = T a + Q
Il formalismo relativistico dei quadrivettori. Consideriamo un sistema di riferimento inerziale solidale con le stelle fisse. In questo sistema di riferimento il tempo sarà misurato con orologi ordinari e la posizione di un evento sarà descritta in termini delle coordinate cartesiane. Consideriamo gli orologi in quiete rispetto al sistema di riferimento: orologi in punti diversi saranno sincronizzati per mezzo di segnali luminosi. Come unità di misura della velocità scegliamo la velocità della luce nel vuoto (c=.99796 10 8 m/s 3 10 8 m/s) e poniamo c=1. La velocità è una grandezza adimensionale, pertanto lunghezza e tempo hanno le stesse dimensioni (1s 3 10 8 m e 1m 3.3 10-9 s). Inoltre, dalla relazione E=mc si vede che anche energia e massa hanno le stesse dimensioni: scegliamo come unità di misura per entrambe il MeV. Anche il momento p=mv ha le stesse dimensioni di m e di E, e sarà misurato anch esso in MeV. Ad ogni evento, contraddistinto da una posizione x e da un istante t, attribuiamo un 4- vettore x così costruito:
x µ = x 0 x 1 x x 3 = t x Si possono definire 4-vettori per molte grandezze fisiche. La somma di due 4-vettori e definita nel seguente modo: x µ + y µ = x 0 x + y 0 y = x 0 + y 0 x + y Il prodotto scalare tra due 4-vettori e definito come segue: x µ y µ = x 0 y 0 - x y
Il modulo quadro di un 4-vettore,dato dalla relazione: x µ = x 0 -x 1 -x -x 3 = x 0 -x x Il modulo dei 4-vettori è un invariante relativistico. Naturalmente x può variare nel tempo e per descrivere in forma generale una particella in movimento, scriveremo: x µ ( t) = t x( t) che esprime in forma parametrica la linea di universo della particella.
Vogliamo adesso definire il 4-vettore velocità. Come base di partenza, consideriamo il 3-vettore ordinario velocità v = dx/dt: poiché il tempo t non è una variabile invariante, v non si trasforma come le tre componenti spaziali di un 4-vettore e non può quindi essere preso come base di partenza per costruire il 4-vettore velocità. Per costruire la 4-velocità bisogna considerare la derivata di x µ rispetto a qualche variabile opportuna, certamente legata al tempo. Una scelta naturale è la seguente: al posto di t (tempo misurato nel sistema inerziale) introduciamo il tempo proprio τ della particella, cioè quello indicato da un orologio che si muove con la particella. Per trovare la relazione tra t e τ, consideriamo un sistema di riferimento inerziale nel quale la particella è istantaneamente in quiete. L elemento differenziale di linea di universo in questo sistema di riferimento è dato da: dx' µ = dτ 0, mentre nel nostro sistema inerziale abbiamo: dx µ = dt dx.
A causa della invarianza del modulo dei 4-vettori deve essere: dx µ = dx µ dx µ = dτ = dx µ = dt dx = dt 1 dx dt = dt (1-β ) (per c=1: v = β) pertanto dτ = dt 1 β = dt γ Il 4-vettore velocità è definito nel seguente modo: u µ = d dτ x ( t) = µ dt dτ dx dτ = dt dτ dx dt dt dτ = γ βγ = γ 1 β u µ = γ (1- β ) = 1
il 4-momento è quindi definito come: d p µ = m 0 u µ = m 0 dτ x ( t) = m 0 γ µ m 0 βγ = m m β = E p dove m 0 è la massa a riposo e abbiamo usato la relazione: E=mc, con c=1. Le componenti temporale e spaziale del 4-momento sono: p 0 = m 0 γ = m = E p = m 0 β γ da cui si ottiene l importante relazione: β = p/m 0 γ = p/e. Naturalmente, per β << 1 (ossia v << c) e quindi γ 1 si ottengono le usuali relazioni classiche: E = m 0 γ = m 0 1 β m 0 1 + 1 β ( ) = m 0 + 1 m 0 β e p = m 0 β
Il modulo quadro del 4-momento fornisce una importante relazione tra p ed E: p µ = E p = m 0 γ - m 0 β γ se scegliamo il sistema di quiete (β = 0, γ = 1): p µ = m 0. Dalla invarianza del 4-momento risulta: E p = m 0 e quindi: con la formula corrispondente: E = m 0 + p, E = p + m 0 p = E - m 0, p = E m 0 Se poi sostituiamo E=T+m 0, dove indichiamo con T l energia cinetica, otteniamo la relazione tra p e T: ( ) p = E - m 0 = T +m 0 T p = p = T T + m 0 che per il limite non relativistico T << m 0 diviene: p = m 0 T
Centro di massa e laboratorio Supponiamo di avere una reazione nucleare a due corpi del tipo: 1 + 3 + 4 dove con 1 indichiamo la particella incidente, con il bersaglio (di solito a riposo nel sdr del laboratorio) e con 3 e 4 i prodotti della reazione. La reazione può essere studiata nel sistema del centro di massa (CMS) o in quello del laboratorio (LS). I due sistemi sono visualizzati schematicamente in figura. a) m 3 b) P 3 * m 1 m p 1 p 3 ϑ 3 m 1 p 1 * m 3 ϑ 3 * m p 4 ϑ 4 ϑ 4 * =ϑ 3 * m 4 p * =-p * m 4 p 4 * =-p 3 * reazione a due corpi studiata: a) nel LS, e b) nel CMS
Il passaggio da un sistema di riferimento all altro avviene tramite le usuali trasformate di Lorentz. Scomponiamo i vettori quantità di moto secondo una componente parallela e una perpendicolare alla velocità relativa del sistema CMS rispetto al LS: p = p + p. Soltanto la componente parallela risente delle trasformazioni di Lorentz: E * p * = γ f γ f β f γ f β f γ f E p p * = p dove le grandezze asteriscate sono relative al CMS, quelle non asteriscate sono relative al LS, e β f e γ f rappresentano rispettivamente β ed γ del CMS rispetto al LS. β f = p tot E tot = p 1 E 1 + m γ f = 1 1 β f
La trasformazione che fa passare dal CMS al LS si ottiene cambiando il segno alla velocità relativa (β f -> - β f ) : E p = γ f γ f β f γ f β f γ f E * * * p p = p Le equazioni singole risultano allora per ciascuna particella i (esplicitando i rispettivi angoli di emissione): ( ) E i = γ f E i * + β f p i * cos θ i * p i cos θ i = γ ( f p * i cos θ * * i + β f E ) i (1) p i sin θ i = p i * sin θ i * Possiamo introdurre il beta della particella i nel CMS: * * β * i = p i * E e riscrivere la (1) come segue (sostituendo E * = p i i * i β ): i ()
p i cos θ i * = γ f p i cos θ * i + β f * β i (3) Dividendo la () per la (3) otteniamo la relazione tra l angolo di emissione nel CMS e quello nel LS: tan θ i = γ f * sin θ i cos θ * i + β f * β i (4) Mentre nel CMS l angolo θ i * può assumere qualsiasi valore tra 0 e π, nel LS in alcuni casi l angolo θ i può avere un valore massimo minore di π.
Per trovare questo valore massimo riscriviamo la (4) nel seguente modo: * sin θ θ i = tan 1 i γ f cos θ * i + β f * β i Per trovare il massimo della funzione poniamo: dθ i dθ i * = 0 Otteniamo: cos θ i * = β i * β f Pertanto vediamo che θ i ha un valore limite θ i lim < π solo se : β f β i *.
Sostituendo il valore di cos θ i * così ottenuto nella otteniamo l espressione dell angolo limite nel LS: tan θ lim = γ f 1 β f β 1, * i (con * β f β i )
limiti cinematici in momento ed angolo nel CMS e nel LS sistema del centro di massa (β CM = 0).
limiti cinematici in momento ed angolo nel CMS e nel LS sistema del laboratorio, con β CM < β* i
limiti cinematici in momento ed angolo nel CMS e nel LS sistema del laboratorio, con β CM > β* i
p = lab p* sin ( θ * ) tan θ lim = p lab p lab = γ f p lab = γ p * cos θ * sin θ * cos θ * + β f β * ( ) + β f β *
Cinematica delle reazioni nucleari (formalismo relativistico) Supponiamo di avere una reazione nucleare a due corpi del tipo: 1 + 3 + 4 Con il formalismo dei 4-vettori possiamo scrivere: p 1µ + p µ = p 3µ + p 4µ o anche: p 1µ p 3µ = p 4µ - p µ oppure: p 1µ p 4µ = p 3µ - p µ Definiamo i seguenti invarianti: s = (p 1µ + p µ ) = (p 3µ + p 4µ ) t = (p 1µ p 3µ ) = (p 4µ - p µ ) u = (p 1µ p 4µ ) = (p 3µ p 1µ ) In particolare s rappresenta l energia totale del sistema. Poichè s, t e u sono invarianti, possiamo per esempio scrivere: s LS = (p 1µ + p µ ) LS = s CMS = (p 1µ + p µ ) CMS Supponendo la particella in quiete (E =m, p =0), si ha l importante relazione: s = m 1 + m + E 1 m
Vediamo come si passa da un sistema di riferimento all altro con il formalismo dei 4- vettori. In genere sono utilizzati i sistemi di riferimento del laboratorio (LS) e del centro di massa (CMS). Indichiamo le variabili nel CMS con un asterisco (*). In genere nel laboratorio una delle due particelle interagenti (il bersaglio) è in quiete. Scegliamo l asse z nella direzione di volo del proiettile e indichiamo con i pedici 1 e rispettivamente il proiettile ed il bersaglio. In una reazione a due corpi indicheremo con 3 e 4 le particelle nello stato finale. I 4-momenti delle particelle 1 e nei due sistemi si scrivono nel seguente modo: * p 1µ = ( E * * 1, p ) 1 = ( E * * 1, 0, 0, p ) 1 p 1µ = ( E 1, p ) 1 = ( E 1, 0, 0, p ) 1 * p µ = ( E * *, p ) 1 = ( E * *, 0, 0, p ) 1 p µ = ( E, p ) = ( m, 0, 0, 0)
Le trasformazioni di Lorentz LS CMS danno: p * 1 = γ ( cm p 1 β cm E ) 1 e E * 1 = γ ( cm E 1 β cm p ) 1 dove, essendo β = p/e, γ = E/m, si ha: β cm = p 1 E 1 + m, γ cm = E 1 + m s, β cm γ cm = p 1 s Naturalmente per le trasformazioni CMS LS è sufficiente cambiare β in -β p 1 = γ ( cm p * * 1 + β cm E ) 1 e E 1 = γ ( cm E * * 1 + β cm p ) 1
Nel caso della reazione nucleare a due corpi del tipo: 1 + 3 + 4 (dove con 1 indichiamo la particella incidente, con il bersaglio a riposo nel sdr del laboratorio LS e con 3 e 4 i prodotti della reazione), la conservazione di energia e quantità di moto in un urto è sintetizzata nella conservazione del 4-momento. In maniera del tutto generale possiamo scrivere che: p 1µ + p µ = p 3µ + p 4µ ( Quadrando: p + p ) = ( p 1µ µ 3µ + p ) 4µ p 1µ + p µ + p 1µ p µ = p 3µ + p 4µ + p 3µ p 4µ, che si riscrive: m 1 + m + p 1µ p µ = m 3 + m 4 + p 3µ p 4µ Il 4-vettore p 4µ può essere eliminato, essendo: p 4µ = p 1µ + p µ p 3µ
m + m 1 + p 1µ p µ = m 3 + m 4 + p ( 3µ p 1µ + p µ p ) 3µ m 1 + m + p 1µ p µ = m 3 + m 4 + p 3µ p 1µ + p 3µ p µ Tenendo presente la definizione di prodotto di due 4-vettori: m 1 + m + ( E 1 E p 1 i p ) = m 3 + m 4 + ( E 3 E 1 p 3 i p ) 1 + ( E 3 E p 3 i p ). Supponiamo la particella in quiete (E = m, p = 0 ) e chiamiamo θ l angolo di emissione della particella 3 rispetto alla direzione della particella 1. Si ottiene: m 1 + m + E 1 m = m 3 + m 4 + E 3 E 1 p 1 p 3 cos θ + E 3 m. Noto l angolo θ, questa equazione permette di ricavare E 3 o p 3 ricordando che sono legati dalla relazione: E 3 = p 3 + m 3
Esempi di applicazioni del formalismo dei 4-vettori alle reazioni nucleari Come primo esempio di applicazione vediamo il caso in cui una particella decada in due frammenti (p. es. un nucleo che subisce un decadimento α. In questo caso avremo: N N + α. e, in termini di 4-momento, scriveremo: P µ = P µ + p µ. Indichiamo con le lettere maiuscole le grandezze relative al nucleo padre e figlio e con le lettere minuscole le grandezze relative alla particella α. Quadrando: P = P + p + E E α - P p Ma i moduli dei 4-vettori sono: P = M, P = M, e p = m Sappiamo poi che deve essere P = -p (il nucleo rincula nel verso opposto alla partic. α) e quindi: P p = -p Otteniamo: M = M + m + E E α + p
M = M + m + E E α + p M = E + E α (il nucleo padre è a riposo, quindi E=M) Quindi: E = M E α Inoltre: p = E α m M = M + m + E α M (E α - p ) = E α M - m E α = T α + m = M M' + m M T α = M M' + m mm M = ( M m) M' M
Come secondo esempio di applicazione studiamo l effetto Compton, cioè la diffusione elastica di un fotone da parte di un elettrone libero (si trascura cioè l energia di legame elettrone-atomo). 1 + 3 + 4 γ + e γ + e p γµ + p eµ = p' γµ + p' eµ ( ) Quadrando: p γµ + p ( ) eµ = p' γµ + p' eµ, che diviene: p γµ + p eµ + p γµ p eµ = p' γµ + p' eµ + p' γµ p' eµ Ma: p = 0 γµ (infatti m γ = 0; p γ = E γ ) e p eµ = p' eµ = m e. Inoltre, eliminando p' eµ = p γµ + p eµ p' γµ e considerando l elettrone bersaglio in quiete (p e = 0 ):
p + p γµ eµ + p γµ p eµ = p' γµ + p' eµ + p' γµ p' eµ diviene: m e + E γ m e = m e + p' γµ p' eµ = m e + p' ( γµ p γµ + p eµ p' ) γµ m e + E γ m e = m e + p' ( γµ p γµ + p eµ p' ) γµ = m e + E γ E' γ p γ p' γ cos θ + E' γ m e ossia, essendo per i fotoni: E γ = p γ e E γ = p γ : m e + E γ m e = m e + E γ E' γ ( 1 cos θ) + m e E' γ che risolta per E' γ da la nota formula dell effetto Compton: E' γ = 1 + E γ m e E γ ( 1 cos θ) E γ rappresenta l energia del fotone diffuso in funzione dell angolo di scattering ϑ.
relazione energia - angolo nell effetto Compton
Energia di soglia di una reazione nucleare Supponiamo di avere una reazione nucleare a due corpi del tipo: a + b 1 + + 3 +. Nella quale vengono materializzate n particelle nello stato finale. Vogliamo trovare il minimo valore di energia cinetica T a del proiettile che rende possibile la reazione. Tale valore di energia cinetica si chiama appunto energia di soglia e si indica con T thr (dall inglese: soglia = threshold). Il Q della reazione è dato dalla solita relazione: Q = m iniz ( i) m fin ( i). Utilizzando la proprietà di invarianza dei 4-vettori possiamo scrivere: (p aµ + p bµ ) LS = (p 1µ + p µ + p 3µ + p 4µ +...) LS = (p 1µ + p µ + p 3µ + p 4µ +.) CMS
Nel sistema del centro di massa, in soglia le particelle dello stato finale vengono prodotte in quiete. Allora: (p 1µ + p µ + p 3µ + p 4µ +.) CMS (m 1 + m + m 3 + m 4 +.) Risulta pertanto: (p aµ + p bµ ) LS = m a + m b + E a m b (m 1 + m + m 3 + m 4 +.) che riscriviamo, essendo E thr il minimo valore di energia possibile per la reazione: m a + m b + E a thr m b = (m 1 + m + m 3 + m 4 +.) m a + m b + (T thr + m a ) m b = (m a + m b ) + T thr m b = (m 1 + m + m 3 + m 4 +.) Nel caso generale, indicando con m bers la massa del bersaglio, si riscrive: ( m iniz ( i) ) + m bers T thr = m fin ( i) ( )
L energia di soglia T thr è data quindi dalla relazione: T thr = ( m fin ( i) ) m iniz ( i) ( ) m bers La relazione precedente si può riscrivere esplicitando il Q della reazione, dato da: Q = m iniz ( i) m fin ( i) Svolgendo i calcoli si ottiene: T thr = Q m ( i) + m iniz fin ( i) m bers Come c era da aspettarsi, un valore di Q > 0 implica T thr < 0, il che è assurdo poiché l energia cinetica è definita positiva. In questo caso la reazione, essendo esotermica, avviene spontaneamente anche con energia cinetica nulla del proiettile.
cinematica delle reazioni a due corpi Supponiamo ancora di avere una reazione nucleare a due corpi del tipo: 1 + 3 + 4 Nel sdr del laboratorio (LS ) lo stato iniziale è dato dai 4-vettori: p 1µ = (E 1,0,0,p 1 ); p µ = (m 1,0,0,0) Vogliamo calcolare momento p 3 (o energia E 3 ) della particella 3 in funzione della sua direzione di volo ϑ 3 rispetto alla direzione della particella incidente. Al solito scriviamo: ( p 1µ + p ) µ = ( p 3µ + p ) 4µ p 1µ + p µ + p 1µ p µ = p 3µ + p 4µ + p 3µ p 4µ m 1 + m + p 1µ p µ = m 3 + m 4 + p 3µ p 4µ Il 4-vettore p 4µ può essere eliminato, essendo: p 4µ = p 1µ + p µ p 3µ m 1 + m + p 1µ p µ = m 3 + m 4 + p ( 3µ p 1µ + p µ p ) 3µ
m + m 1 + p 1µ p µ = m 3 + m 4 + p 3µ p 1µ + p 3µ p µ Tenendo presente la definizione di prodotto di due 4-vettori: m 1 + m + ( E 1 E p 1 i p ) = m 3 + m 4 + ( E 3 E 1 p 3 i p ) 1 + ( E 3 E p 3 i p ). Supponiamo la particella in quiete (E = m, p = 0 ) e chiamiamo θ l angolo di emissione della particella 3 rispetto alla direzione della particella 1. Si ottiene: m 1 + m + E 1 m = m 3 + m 4 + E 3 E 1 p 1 p 3 cos θ + E 3 m. Noto l angolo θ, questa equazione permette di ricavare E 3 o p 3 ricordando che sono legati dalla relazione: E 3 = p 3 + m 3 Vediamo di risolvere l equazione, noto l angolo θ 3.
Se scriviamo: E T = E 1 + m (E T rappresenta l energia totale nello stato iniziale), arriviamo al seguente risultato finale: E 3 = ( ) ( ) A 3 E T ± p 1 cos θ 3 A 3 4m 3 E T p 1 cos θ 3 E T p 1 cos θ 3 con: A 3 = E T p 1 + m 3 - m 4 = s + m 3 - m 4 dove, al solito, s = (m 1 + m + m E 1 ) e s rappresenta l energia totale nel CMS. Infatti s è un invariante, e nel CMS, sapendo che p 1 * = p * e che p 1 * = p *, si scrive: s = ( p * * 1 + p ) = m 1 + m + E * 1 E * p * 1 p * = m 1 + m + E * 1 E * + p 1 s = m 1 + m + E * 1 E * + p 1 + p = E * 1 + E * + E * 1 E * = ( E * * 1 + E )
Analogamente si ricavano i valori di energia ed angolo per la particella 4: E 4 = ( ) ( ) A 4 E T ± p 1 cos θ 3 A 4 4m 4 E T p 1 cos θ 4 E T p 1 cos θ 4 dove: A 4 = E T p 1 + m 4 - m 3 = s + m 4 - m 3 La condizione che i radicandi (Δ 0) siano positivi fissa un limite agli angoli ϑ 3 e ϑ 4, e quindi alle direzioni di volo delle particelle uscenti: ( sin θ 3 s m m ) 3 4 4m 3 m 4 4m 3 p (5) 1 ( sin θ 4 s m m ) 3 4 4m 3 m 4 4m 4 p (6) 1 dove s = (m 1 + m + m E 1 )
Se prendiamo ϑ 3 = 0 (oppure ϑ 4 = 0), otteniamo il valore di soglia T thr della reazione calcolato precedentemente. Infatti, per annullare il numeratore deve essere: s m 3 m 4 = m 3 m 4 Esplicitando s: m 3 + m 4 + m T 1 + m 1 ( ) m 3 m 4 = m 3 m 4 ( m 1 + m ) + m T 1 = ( m 3 + m ) 4 ( ) ( m 1 + m ) T 1 = m 3 + m 4 m che concide con la formula ricavata nel caso generale: T thr = ( m fin ( i) ) m iniz ( i) ( ) m bers
Se i secondi membri delle (5) e (6) risultano maggiori di uno non esiste per la particella in questione alcun angolo limite, e può essere emessa nell intervallo 0 ϑ π Se, viceversa, risultano minori di uno, esiste un angolo limite ϑ lim che si ricava invertendo le (5) e (6). In questo caso l intervallo angolare vale: 0 ϑ ϑ lim. La particella presenta due valori di energia diversa allo stesso angolo, che corrispondono all emissione in avanti o all indietro dell altra particella.
Esempio: la reazione studiata è la fotoproduzione di un pione da un nucleone: γ + p n + π + relazione energia-angolo del π + nella reazione: γ + p n + π +
relazione energia-angolo del neutrone nella reazione: γ + p n + π
Un caso semplice si verifica quando la particella 3 o la particella 4 vengono prodotte ad un angolo ϑ 3 = 90 oppure ϑ 4 = 90 nel laboratorio, a patto che le disuguaglianze precedenti siano soddisfatte. Infatti, in questo caso i termini in cos svaniscono e si ha rispettivamente: E 3 = A 3 E T E T = A 3 E T = E T p 1 + m 3 m 4 E T = m 1 + m + m 3 m 4 + E 1 m ( E 1 + m ) (7) E 4 = m 1 + m + m 4 m 3 + E 1 m ( E 1 + m ) (8) Vediamo ora qualche esempio.
Calcolare Q ed T thresh per le seguenti reazioni. n + 14 N 14 C + p Q = m(n) + m( 14 N) - m(p) - m( 14 C) = 0.63 MeV Essendo Q > 0, T thresh = 0 n + 59 Co 59 Fe + p Q = m(n) + m( 59 Co) - m(p) - m( 59 Fe) = - 0.8 MeV T thr = ( m fin ( i) ) ( m iniz ( i) ) = m bers ( ) m Fe + m p ( m Co + m ) n m Co = 0.834 MeV Oppure: T thr = Q m ( i) + m iniz fin ( i) m n + m Co + m Fe + m p = Q m bers m Co = 0.834 MeV
p + 7 Li 7 Be + n Q = m(p) + m( 7 Li) - m(n) - m( 7 Be) = - 1.65 MeV T thr = ( ) ( m Be + m ) n m p + m Li m Li = 1.88 MeV p + 7 Li 4 He + 4 He Q = m(p) + m( 7 Li) m( 4 He) = 17.34 MeV Essendo Q > 0, E thresh = 0. Trovare il Q-valore delle seguenti reazioni: 4 He H + p + n Q = m( 4 He) m( H) m(p) m(n) = -6.06 MeV Significa che per rompere un nucleo di 4 He in un deutone, un protone ed un neutrone occorre fornire al sistema almeno 6.06 MeV. il nucleo di 4 He infatti è estremamente stabile
1 C 6 Li Q = m( 1 C) m( 6 Li) = -8.17 MeV Anche in questo caso bisogna fornire al sistema energia dall esterno in quanto si trova in una conformazione stabile. 8 Be 4 He Q = m( 8 Be) m( 4 He) = + 0.094 MeV Il valore positivo di Q sta a indicare che il nucleo di 8 Be spontaneamente si spezza in due particelle alfa (il Berillio 8 non esiste in natura) 40 Ca 36 Ar + 4 He Q = m( 40 Ca) m( 36 Ar) - m( 4 He) = - 7.04 MeV Il 40 Ca è un nucleo doppiamente magico, quindi estremamente stabile: per spezzarlo occorre fornire energia dall esterno. 6 Ra Rn + 4 He Q = m( 6 Ra) m( Rn) - m( 4 He) = + 4.87 MeV Infatti, come abbiamo visto, il 6 Ra decade alfa in Rn. Essendo inoltre: m( Rn) >> m( 4 He) il valore Q coinciderà praticamente con l energia cinetica della particella alfa.
Come ultimo esercizio valutiamo l energia cinetica del neutrone uscente ad un angolo ϑ=90 per la seguente reazione: γ + 17 O n + 16 O per una energia del fotone di 50 MeV Applicando la (7) : E 3 = m 1 + m + m 3 m 4 + E 1 m ( E 1 + m ) a questo caso (1=γ, = 17 O, 3=n, 4= 16 O), abbiamo: E n = m + m n 17 m 16 + E γ m ( ) 17 E γ + m 17 = 98.56 MeV Da cui si ricava l energia cinetica del neutrone : T n = E n m n =43.05 MeV Data la bassa energia il calcolo si può ovviamente fare anche in modo classico:
P 16 p γ = E γ y p n z la cinematica della reazione γ + 17 O n + 16 O Dalle leggi di conservazione di energia e quantità di moto: E γ + m 17 = E n + E 16 = T n + m n + T 16 + m 16 p γ = E γ = p 16 z p n = p 16 y Introducendo Q, la prima relazione può essere riscritta come: E γ + Q = T n + T 16
Quadrando e sommando la seconda e la terza: m 16 T 16 = p ( ) 16 = p 16z + p = E 16y + p γ n = E γ + m n T n Sostituendo T 16 = E γ + Q - T n si ricava: T n = m 16 m n + m 16 ( E γ + Q) E γ ( m n + m ) 16 Dai calcoli si ricava che Q = -4.14 MeV (negativo in quanto il nucleo 17 O è stabile, ma non elevato in quanto il nono neutrone è aggiunto ad un numero magico di neutroni ed è quindi relativamente poco legato). Inoltre, essendo E γ << m 16 si può trascurare il secondo termine e si ottiene: T n m 16 m n + m 16 ( E γ + Q) A 1 ( A E + Q ) 43 MeV γ dove A rappresenta il numero di massa del bersaglio (A=17). Per completare il problema, troviamo anche la quantità di moto e la direzione di volo del nucleo 16 O.
p n = m n T n = 85 MeV c che risulta molto maggiore del momento iniziale del fotone p γ = E γ = 50 MeV. Quanto al nucleo 16 O di rinculo (di massa m A = 14895.08 MeV ), esso avrà una quantità di moto di componenti: p = p n = 85 MeV/c e p = p γ = 50 MeV/c. Pertanto p A = ( p + p ) 1/ = 89 MeV/c e T = p A A m =.8 MeV A La direzione del nucleo di rinculo è: ϕ = atan(p / p ) 10
Energia di legame B di un nucleone in un nucleo Se si vuole separare un nucleone da un nucleo, le reazioni corrispondenti sono le seguenti: A X A 1 Z Z 1 Y + p nel caso di un protone A X Z A 1 X + n nel caso di un neutrone Z Avremo pertanto, in soglia: B p + M Z,A = M Z-1,A-1 + m p e quindi: B p = M Z-1,A-1 + m p - M Z,A B n + M Z,A = M Z,A-1 + m n e quindi: B n = M Z,A-1 + m n - M Z,A Nel caso della separazione di un protone, bisogna fare attenzione al fatto se le masse fornite sono atomiche o nucleari: nel primo caso infatti bisogna aggiungere la massa dell elettrone (0.511 MeV)
Come esempio, calcoliamo qualche energia di separazione. 16 O 15 N + p B p = 1.1 MeV 16 O 15 O + n B p = 15.6 MeV 17 O 16 O + n B p = 4.14 MeV 17 F 16 O + p B p = 0.60 MeV 0 Ca 39 K + p B p = 8.33 MeV 0 Ca 39 Ca + n B p = 15.7 MeV Se l energia per strappare un nucleone viene ceduta tramite un fotone: γ + A Z X A 1 Z 1 Y + p γ + A X Z A 1 Z X + n Dalla definizione di Q, essendo m 1 =0, si ottiene: Q = (m m 3 m 4 ) Nel caso di separazione di un protone: Q = (M Z,A m p M Z-1,A-1 ) = -B p Nel caso di separazione di un neutrone: Q = (M Z,A m n - M Z,A-1 ) = -B n Cioè l energia di separazione rappresenta proprio il Q della reazione cambiato di segno.
Ricordando la relazione tra energia di soglia e Q di una reazione, l energia di soglia del fotone dovrà essere rispettivamente: m Z,A + m Z 1,A 1 + m p T thr = Q m Z,A = B p m Z,A + m Z 1,A 1 + m p m Z,A = B p + B p m Z,A T thr = Q m Z,A + m Z,A 1 + m n m Z,A m = B + m + m Z,A Z,A 1 n p = B n + B n m Z,A m Z,A Poiché per tutti i nuclei B < 10 MeV e M Z,A > 10 3 MeV, in pratica, con ottima approssimazione, possiamo scrivere: E thr B
Diffusione elastica approfittiamo di questo capitolo per risolvere il problema delle reazioni a due corpi anche con il formalismo della meccanica classica. Supponiamo quindi in generale di avere una reazione del tipo: a + X Y + b P b P y ϑ p a Il diagramma dei momenti Con X in quiete, dalla conservazione della quantità di moto si ha: P y = P a + P b p a p b cosϑ
p y m y = p m a a + p m b b p p m a b a m b cos θ m a m y m b m y m y m a m b Ricordando che : Q = T b + T y T a si ricava l espressione: T y = Q T b + T a Pertanto, dopo qualche passaggio algebrico, si ottiene Q = T b 1 + m b m T 1 m a a y m T a T b m a m b cos θ y m y Da questa relazione si può ricavare T b in funzione di T a e di ϑ: T b = m a m b T a cos θ ± m a m b T a cos θ + m y + m b m y + m b ( ) m Q + ( m m ) T y y a a La formula si semplifica notevolmente nel caso di una diffusione elastica del tipo: a + X X + a
Avremo infatti: m b = m a ; m y = m x ; Q = 0 ; T b = T a. Sostituendo: T' a = ( ) m a T a cos θ ± m a T a cos θ + T a m x m a m x + m a T' a = m a T a cos θ ± T ( a m x m a sin θ) m x + m a Se a è un nucleone ed x un nucleo, si può scrivere: m a = m N e m x A m N Quadrando: T' N = T N cos θ ± T ( N A sin θ) A + 1 T' N = T N cos θ + A sin θ ( A + 1)
dove abbiamo tenuto solo il segno più, essendo l energia cinetica sempre positiva. In particolare: per ϑ = 0 T' N max = T N ( ( A + 1) 1 + A ) = T N per ϑ = π ( A 1) T' N min = T N ( A + 1) per A = 1 T N min = 0 per A > 1 T N min < T N Nella tabella e nel grafico che segue è riportato il valore (A-1) /(A+1) in funzione di A per vari nuclei.
Nuclide A (A-1) /(A+1) H 1 0 H 0.111 9 Be 9 0.640 1 C 1 0.716 16 O 16 0.779 3 Na 3 0.840 56 Fe 56 0.931 38 U 38 0.983
Reazioni senza proiettile (decadimento) Sono reazioni del tipo: A A W 1 Z Z X + 1 Z A Y dove: Z = Z 1 + Z e A = A 1 + A. Se si suppone che il nucleo iniziale sia in quiete, detta m 0 la sua massa, m 1 e m le masse dei due frammenti e T 1 e T le loro energie cinetiche, deve essere: p 1 + p = 0 m 0 = T 1 + m 1 + T + m Vediamo il caso non relativistico p 1 = p, e quindi: T 1 = T m m 1 ed essendo : Q = m 0 - m 1 - m = T 1 + T, risulta: T 1 + m 1 1 m = Q. E quindi: T 1 = Q m m 1 + m T = Q m 1 m 1 + m
Nel caso relativistico: p 1 + p = 0 m 0 = E 1 + E p 1 = p implica che: E 1 m 1 = E m e pertanto dal sistema: E 1 + E = m 0 E 1 m 1 = E m Si ricava: E 1 = m 0 + m 1 m m 0 E 1 = m 0 le corrispondenti energie cinetiche risultano essere: + m m 1 m 0 T 1 = ( m 0 m 1 ) m m 0 T = ( m 0 m ) m 1 m 0 Naturalmente se avessimo utilizzato il formalismo dei 4-vettori avremmo ottenuto le stesso risultato.
Nel caso di un decadimento possiamo scrivere: 0 1 + p 0µ = ( p 1µ + p µ ) m 0 = m 1 + m + E 1 E p 1 p che, essendo m 0 = E 1 + E e p = p 1, diventa: m 0 = m 1 + m + m 0 E 1 - E 1 + p 1 = m 0 E 1 + m - m 1 e quindi: E 1 = m 0 + m 1 m m 0
Come esempi valutiamo le energie cinetiche dei prodotti di reazione nei seguenti decadimenti: 8 Be α Q = 0.094 MeV; T α = ( m Be m ) α m α m Be = m m Be Be m α m Be = m Be m α = Q = 0.046 MeV 6 Ra Rn + α Q = 4.87 MeV; T α = m m + m α Q Q = 4.87 MeV
3 He + d 4 He + p
3 He + d 6 Li + γ
Massa invariante (invariant mass) Supponiamo di avere una particella che decade in n frammenti: 0 1 + +... + n Utilizzando il 4-momento: p 0 = m 0 = ( p 1 + p +... + p ) n m 0 = ( E ) i p i m 0 = E i ( ) p i Dalla precedente relazione, misurate tutte le E i e tutti i p i si può risalire alla massa della particella. Vediamo il caso di due frammenti: p 0 = m 0 = ( p 1 + p ) = m 1 + m + E 1 E p 1 p = m 1 + m + E 1 E p 1 p cos ( θ ) 1 m 0 = m 1 + m + E 1 E p 1 p cos ( θ ) 1 Tale relazione viene spesso utilizzata quando si ricostruiscono gli eventi di decadimento di una particelle neutra.
Massa mancante (missing mass) Spesso in un evento non si possono rivelare tutte le particelle. Ma, con la tecnica della missing mass si possono aver einformazioni sulla particella mancante In questo caso si confrontano energia (E in ) e momento (p in ) dello stato iniziale (noto) con quello dello stato finale (E, p), dove: E = p = p i E i Se tutte le particelle dello stato finale sono state identificate, deve essere: ( E in E) ( p in p) = 0 Altrimenti: X = ( E in E) ( p in p) dove X rappresenta la missing mass. Vediamo il caso di una reazione a due corpi quando nello stato finale è rivelata solo una particella (la particella 4 non è rivelata): ( p 1 + p p ) 3 = p 4 = m x
Al solito, supponendo la particella in quiete (E =, p =0): m 1 + m 3 + m 3 + E 1 m E ( 3 E 1 + m ) + p 1 p 3 cos ( θ ) 3 = m x Da cui si ricava la missing mass m x : m X = m 1 + m 3 + m 3 + E 1 m E ( 3 E 1 + m ) + p 1 p 3 cos ( θ ) 3 Vediamo un esempio: Un fascio di fotoni monocromatici di energia 1.5 GeV incide su un bersaglio di idrogeno provocando la reazione: γ + p p + π + + π Verificare se la produzione di pioni è diretta o se provengono dal decadimento del mesone ρ 0 (Il mesone ρ 0 decade in due pioni di carica opposta) secondo lo schema: γ + p p + ρ 0 ρ 0 π + + π
La ricostruzione dell evento fornisce le seguenti informazioni: angolo protone diffuso rispetto alla direzione del fascio: θ p = 30 ; momento del protone: p p = 871.3 MeV/c; momenti dei pioni: p π1 = 765 MeV/c, p π = 673 MeV/c; angolo tra i due pioni: θ ππ = 60. Dobbiamo prima verificare se la particella neutra non rivelata è un mesone ρ 0 : Con la solita notazione: 1 + -> 3 + 4 dove 1=γ, =p, 3=p, 4=X, calcoliamo la missing mass della particella X: m X = m 1 + m 3 + m 3 + E 1 m E ( 3 E 1 + m ) + p 1 p 3 cos ( θ ) 3 che nel nostro caso, con E p = p + m p, diventa: m X = m ( ) p + E γ m p E p E γ + m + E p p cos ( 30 ) = 770 MeV γ p
Dobbiamo ora verificare se la massa invariante dei due pioni corrisponde a 770 MeV. Questa volta si tratterebbe di un decadimento: m X = m 1 + m + E 1 E p 1 p cos ( θ ) 1 X -> 1 + che nel nostro caso, con E π = p + m π π, diventa: m X = m π + E π1 E π p π1 p π cos ( θ ) 1 = 770 MeV