Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f è definita da f ( ) = appartenenti all intervallo chiuso [, 9]. t dt + cos per tutti i numeri reali. Si calcolino f'(p) e f'(p) ove f' indica la derivata di f.. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico S di f'() e da esso si deduca per quale o per quali valori di, f() presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l andamento di f() deducendolo da quello di f'().. Si trovi il valor medio di f'() sull intervallo [, p].. Sia R la regione del piano delimitata da S e dall asse per ; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all asse hanno, per ciascun, area A ( ) = sen π. Si calcoli il volume di W. Sia f la funzione definita, per tutti gli reali, da f ( ) = + 8. Si studi f e se ne disegni il grafico F in un sistema di coordinate cartesiane O. Si scrivano le equazioni delle tangenti a F nei punti P( ; ) e Q(; ) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette OP e OQ. Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.. Sia G la circonferenza di raggio e centro (; ). Una retta t, per l origine degli assi, taglia G oltre che in O in un punto A e taglia la retta di equazione = in un punto B. Si provi che, qualunque sia t, l ascissa di B e l ordinata di A sono le coordinate (; ) di un punto di F.. PROBLEMA 9
ARTICOLO Archimede. Si consideri la regione R compresa tra F e l asse sull intervallo [, ]. Si provi che R è equivalente al cerchio delimitato da G e si provi altresì che la regione compresa tra F e tutto l asse è equivalente a quattro volte il cerchio.. La regione R, ruotando attorno all asse, genera il solido W. Si scriva, spiegandone il perché, ma senza calcolarlo, l integrale definito che fornisce il volume W. 9 Questionario. Un triangolo ha area e due lati che misurano e. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.. Si calcoli il dominio della funzione f ( ) =.. Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A(; ) e B( 6; 8). Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A.. Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, giustificando il ragionamento seguito. 5. In un libro si legge: «Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del % (oppure del % o del 5%) corrispondono aumenti di capacità (volume) di circa % (oppure 75% o %: raddoppio)». È così? Si motivi esaurientemente la risposta. 6. Con le cifre da a 7 è possibile formare 7! = 5 numeri corrispondenti alle permutazioni delle 7 cifre. Ad esempio i numeri 567 e 567 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 7-esima posizione? 7. Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area m e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b? 8. La funzione f ha il grafico in figura. Se g( ) = f ( t) dt, per quale valore positivo di, g ha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito. sen cos sen 9. Si calcoli: lim.
. Se la figura a lato rappresenta il grafico di f (), quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di f'()? Si giustifichi la risposta. f () Archimede ARTICOLO f'() f'() A) C) f'() f'() B) D) Durata massima della prova: 6 ore. È consentito l uso della calcolatrice non programmabile. È consentito l uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. risoluzione del problema. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha f '( ) = cos ; + π quindi f '( π) = cos, + = mentre f '( π) = cos π + =. 9
ARTICOLO Archimede. Il grafico S è deducibile da quello di = cos, mediante una dilatazione π orizzontale di rapporto (infatti il periodo di f' è T = = π ), composta con una traslazione di vettore v ; /, come in figura. : = cos + = cos() π 8 p π 5 6 7 = cos 8 9 Figura La funzione f' è definita e continua in R, dunque f è sempre derivabile e continua; perciò f può presentare massimi o minimi locali interni al dominio solo nei valori in cui la derivata prima si annulla: cos da cui k + = = ± π + π e quindi = ± π + kπ, k Z. 8 Soltanto i valori p e p appartengono all intervallo [, 9]. A questi aggiungiamo come punto di minimo e 9 come punto di massimo in quanto, in base al segno di f', la funzione f è crescente in 8, π π, 9. Deduciamo dal grafico S altre proprietà di f(): la funzione è decrescente in 8 π, π, ha un massimo in p ed un minimo in 8 p ; tenendo conto delle aree comprese tra S e l asse, si può affermare che f () =, mentre 8 8 f π f π, e f (9) sono valori positivi, con f π f 9 f π < ( ) <. 9
Archimede Dalla crescenza o decrescenza di f' segue che f ha la concavità rivolta verso il basso in ], p[, verso l alto in ]p, 9] e presenta un flesso a tangente obliqua in = p. Ciò è sufficiente per tracciare il grafico di f (figura ); per essere più accurati, possiamo calcolare le immagini dei punti più significativi: sapendo che ARTICOLO si trova ( ) = f t dt + cos = sen + f 8 f π π π f π π = +,8; ( ) =, ; 9 9 π,6 ; f 9 sen +,5. = + ( ) =,8 p,5,6 f() π 5 6 p 7 8 8 π 9. La funzione f'() è continua in [, p], e dunque il valor medio è m = ( ) = ( ) + Figura Ricordiamo che f ' dt f c ; dunque: π ( ) f ' dt π. m = π ( ) f ' dt π + sen = π π = + π π =. 95
ARTICOLO Archimede. Possiamo calcolare il volume del solido di rotazione W mediante il metodo delle sezioni normali: VW = A( ) d = sen d co π π = π s. = π Il fatto che la base di W sia R non ha alcuna importanza per il calcolo richiesto. risoluzione del problema. La funzione è definita per tutti i reali (D = R), è positiva e continua in tutto il suo dominio, ed è pari in quanto f() = f( ): quindi il suo grafico F è simmetrico rispetto all asse. L unica intersezione con gli assi è il punto M(; ); per quanto riguarda il comportamento agli estremi del dominio, la 8 funzione ha l asse come asintoto orizzontale, essendo lim =. La + 6 derivata prima f '( ) = si annulla in =, è positiva in ], [ + ( ) e negativa in ], + [ ; pertanto M è l unico massimo assoluto di F. La 6( ) derivata seconda f "( ) = si annulla in = ± ( + ), mentre è positiva nell insieme +,,. In questi intervalli la funzione f rivolge la concavità verso l alto, mentre la rivolge verso il basso in, ; nei punti D ; e E ; vi sono flessi a tangente obliqua (figura ). M E D F 5 5 Figura 96
Archimede La retta s tangente a F in Q(; ) ha equazione = f'()( ) +, cioè = + e, analogamente, la retta t tangente in P( ; ) ha equazione = + + ; le due tangenti s intersecano in M(; ). Dunque il quadrilatero convesso da considerare è MPOQ (figura ). ARTICOLO s M t P a Q F t b 5 O 5 Figura Per dimostrare che MPOQ è un rombo possiamo calcolare le lunghezze dei lati e verificare che sono tutte uguali a 5, oppure osservare che i vertici del quadrilatero sono simmetrici rispetto alle rette = ed =, e quindi dedurre la congruenza tra i lati. Per determinare l ampiezza dell angolo acuto a ms mt (figura ) usiamo la formula nota dalla geometria analitica: tg α = ; + ms mt si trova α = arctg '. 5 8 L angolo b è supplementare di a e quindi b 6 5'. In alternativa, possiamo determinare l ampiezza di a mediante la trigonometria applicata al triangolo OQM: OQ + MQ OM α = arccos arccos OQ MQ = 5 8 5 '.. La circonferenza G ha equazione + ( ) =, ovvero + =, mentre la retta t ha equazione = m, con m, oppure =. Nel primo caso determiniamo le coordinate di A ponendo a sistema le equazioni di G 97
ARTICOLO Archimede m m e t, ottenendo A ; + m + m. Analogamente determiniamo le coordinate di B intersecando t ed = : troviamo B ;. m Pertanto il punto cercato è P ;, m m + m ed è facile verificare che le sue coordinate soddisfano l equazione di F, il che significa che P appartiene a F. Se t coincide con l asse, i punti A e B hanno coordinate (; ), e lo stesso il punto P: possiamo nuovamente concludere che P appartiene a F (figura 5). t = B A P G F Figura 5. La circonferenza G ha raggio unitario, e quindi il cerchio corrispondente ha area uguale a p. Determiniamo l area di R mediante l integrale definito di f nell intervallo [, ]: Area R ( ) = 8 + d 8 = + d = arctg = π = π + e la prima affermazione è così dimostrata. Se S è l area della regione compresa tra F e l asse, allora S = 8 + d ; poiché la funzione f è pari risulta S = 8 + + d. Si tratta di un integrale in senso improprio, e il calcolo fornisce il valore 98
b 8 S d = lim = lim arctg b + b + + = = b = π lim arctg b + = π, b Archimede ARTICOLO 8 W + d. pari a volte l area del cerchio.. Per esprimere il volume di W usiamo il metodo dei gusci cilindrici. Consideriamo il cilindro in figura 6, avente raggio di base e altezza f(); la sua superficie laterale è S l = p f(). Il volume del guscio cilindro di spessore d è pertanto dv = p f () d. Quindi il volume del solido di rotazione W è V = π f ( ) d = π f () W F Figura 6 risposte al questionario. Siano a =, b = e c i lati del triangolo, e sia S = la sua area. ab L area S di un triangolo qualsiasi è S = sen γ, ove g è l angolo compreso tra a e b. Sostituendo i dati, otteniamo γ =. Quindi il triangolo è π rettangolo e a e b sono i suoi cateti. Per determinare la misura del terzo lato c basta applicare il teorema di Pitagora: c = a + b =. Si arrivava più rapidamente alla stessa conclusione osservando che l area è la metà del prodotto delle lunghezze dei due lati noti, il che è sufficiente per affermare che i due lati sono i cateti di un triangolo rettangolo. 99
ARTICOLO Archimede ( ) =. Per calcolare il dominio della funzione f consideriamo il sistema formato dalle condizioni di esistenza relative ai tre radicali: e quindi il dominio cercato è D = [, ].. Sia AH la distanza di A di una generica retta r passante per B. Il triangolo AHB è rettangolo in H e quindi l ipotenusa AB è maggiore o uguale ad AH. Pertanto AH è massimo quando H coincide con B e la retta t cercata è la perpendicolare al segmento AB passante per B. A B Il coefficiente angolare di AB è mab = = 7 A B 8 e dunque m t = 8 7. La generica retta r passante per B ha equazione + 8 = m( + 6); concludiamo che l equazione richiesta è 8 + 7 + =.. Consideriamo il tronco di piramide avente per basi il quadrato ABCD di lato a ed il quadrato EFGH di lato b (con b < a), e per altezza il segmento PQ = h (figura 7). Come noto, le piramidi VABCD e VEFGH sono simili e vale la proporzione a : b = VP : VQ. Applicando la proprietà dello scomporre, otteniamo (a b) : b = h : VQ e dunque VQ = bh a b ; in modo ah analogo otteniamo VP = a b. Il volume del tronco di cono è la differenza tra i volumi delle due piramidi, ovvero ah VTronco = VVABCD VVEFGH = VP a VQ b = a b a bh a b b = = h a b a b = h( a + ab + b ). Per una risoluzione per via analitica si veda l articolo sul tema PNI.
V Archimede ARTICOLO E H b Q F G h D P C A a Figura 7 B 5. Immaginando che le valigie abbiano la forma di parallelepipedo rettangolo, siano a, b, c le dimensioni del primo, che dunque ha volume V = abc, ed a', b', c' le dimensioni del secondo, avente volume V'. Aumentando a del K% otteniamo a' = a + K% a = ( + K%)a e analogamente per b' e c'; quindi V' = a'b'c' = ( + K%) V. Dunque l aumento di volume è DV K = V' V = ( + K%) V V = [( + K%) ] V = = [(K% + K% + K% ] V. Sostituiamo i valori indicati nel testo e verifichiamo se le conclusioni sono corrette: ( ) se K% = % otteniamo V = + % V =, V, che corrisponde ad un aumento di capacità di circa il %; ( ) se K% = % otteniamo V = + % V =, 78 V, che corrisponde ad un aumento di capacità di circa il 7%; ( ) se K% = 5% otteniamo V5 = + 5% V, 95 V, che corrisponde a quasi il raddoppio del volume. 6. Tra tutti i 5 numeri che si ottengono permutando le cifre da a 7, il minimo è 567; se fissiamo le prime quattro cifre () e permutiamo le ultime otteniamo! = 6 numeri, che, in ordine crescente, sono i primi 6 ed esauriscono tutte le possibilità che iniziano con. Dunque il 7 numero è quello immediatamente successivo, cioè il minimo tra i numeri che iniziano con
ARTICOLO Archimede la sequenza 5, ovvero 567. Analogamente, i numeri che hanno per cifra iniziale sono esattamente 6! = 7, e quindi quello che occupa la 7-esima posizione è il minimo tra i numeri che iniziano con, cioè 567. D a E a C b A F a B Figura 8 7. Per ipotesi a b = m con a > e b > ; inoltre, con riferimento alla figura 8, i rettangoli ABCD e BCEF sono simili: dunque a : b = b : a. Dalla condizione ab = (in m ) si ricava a = /b. Dalla precedente proporzione segue allora: b a = = e quindi b = b m e a = m. Approssimando, si trovano come dimensioni del foglio a = 89 mm e b = 8 mm. 8. Per determinare il minimo della funzione g, studiamo la sua derivata; per il teorema fondamentale del calcolo integrale g'() = f(). Questa funzione è continua, e dunque il minimo va cercato tra i punti stazionari di g, cioè fra i punti in cui g' = f si annulla: {; ; }, come risulta dal grafico. Sempre dal grafico deduciamo che f è negativa a sinistra di e positiva alla sua destra, cioè g è decrescente a sinistra di e crescente alla sua destra, e tanto basta per affermare che g ha un minimo in. Notiamo altresì che il valore è escluso a priori dal testo, mentre in la funzione g ha un massimo. 9. Il limite proposto si presenta nella forma indeterminata e può essere calcolato mediante l uso di limiti notevoli. Ricordando che lim cos =, otteniamo: sen cos sen cos lim = lim sen = =.
Archimede sen In alternativa è possibile usare i limiti notevoli lim lim cos = e =, ottenendo: ARTICOLO cos lim sen sen = lim sen cos = =.. Studiando il grafico di f(), si osserva che per ], [ ]+, + [ la funzione è crescente, e dunque f'() >, mentre per ], +[ la funzione è decrescente e quindi f'() <. L unico grafico che soddisfa questa condizione è l A. commenti Nel complesso, il tema proposto è alla portata degli studenti del Liceo Scientifico di Ordinamento. Nella prova di quest anno è molto presente il calcolo integrale (integrale definito e in senso improprio, calcolo di superfici e volumi, funzione integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale, media integrale), ma vengono toccati molti fra gli argomenti principali del triennio: la geometria analitica del III anno, la trigonometria del IV anno e, naturalmente, lo studio di funzione ed il calcolo differenziale del V anno. I punti più discutibili di questo tema si manifestano nei problemi, nei quali viene chiesto di determinare aree o volumi mediante procedimenti che non sono necessariamente in programma. Viceversa, un aspetto positivo ed interessante è il tentativo di inserire quesiti pratici e concreti, risolvibili anche con ragionamenti abbastanza semplici, alla portata di studenti anche prima del V anno. Vediamo nel dettaglio i problemi e i quesiti. Il primo problema non è molto impegnativo dal punto di vista dei calcoli, ma lo è dal punto di vista teorico, anche solo per il fatto di proporre fin dall inizio una funzione integrale: ciò ha fatto propendere la maggior parte dei maturandi per il secondo problema. A parte la presenza delle funzioni goniometriche, aspetto che spesso intimidisce gli studenti, le richieste vertono sul programma del V anno, in modo originale e completo: calcolo della derivata, studio di funzione, ricerca di massimi e minimi, integrale definito, volume di un solido. In particolare è interessante la richiesta di dedurre il grafico di f da quello di f', anche se f è calcolabile e si potrebbe rappresentare per altra via; ciò rende il punto il più articolato del problema. Il punto è interessante, ma richiede il metodo delle sezioni normali, argomento che spesso non viene approfondito e si incontra solo nello svolgimento di temi già assegnati. Inoltre è completamente slegato dal problema, tanto che poteva costituire un quesito a parte: la risposta rimane invariata se S è una qualunque curva continua in [, ]! A tal proposito si veda il punto del primo problema del tema d Ordinamento, che è invece perfettamente integrato nel problema.
ARTICOLO Archimede Il secondo problema ruota attorno ad una funzione razionale fratta, che rappresenta un caso particolare della «versiera di Agnesi». L esercizio si caratterizza per la richiesta di dimostrare una proprietà specifica della versiera di Agnesi mediante un integrale in senso improprio, argomento spesso non svolto e addirittura assente in alcuni libri di testo. Si sarebbe potuto evitare questa richiesta e pretendere nel quarto punto di calcolare l integrale che rappresenta il volume del solido W, invece di limitarsi a scriverlo: probabilmente questa scelta è stata fatta per aumentare il «tasso teorico» del problema. Come già accennato, i quesiti risultano nel complesso stimolanti e soprattutto vari, in particolare se confrontati con quelli del, maggiormente incentrati sul programma di V. Il quesito, già presente nel tema d Ordinamento in forma quasi identica, e il quesito 6, hanno spiazzato molti studenti che, in preparazione all esame, hanno semplicemente memorizzato formule di geometria solida e di calcolo combinatorio, o si sono esercitati nelle loro applicazioni più dirette. I quesiti 5 e 7 riguardano entrambi le proporzioni e non risultano particolarmente difficili; va sottolineato il loro carattere estremamente pratico, in quanto si parla di oggetti reali (valigie e fogli) e situazioni concrete: nel primo caso la falsa percezione che l uomo comune ha del rapporto tra lunghezza e volume, nel secondo caso la ricerca delle dimensioni del foglio di carta capostipite dei formati della serie A, ovvero l A (per inciso: un problema analogo sul formato dei fogli era stato assegnato pochi mesi prima per i concorsi a cattedra della classe A59; si veda alle pagine 8-8 di questo fascicolo). Il quesito 8 è ridondante, in quanto ricalca il problema : chiede infatti di dedurre informazioni su una funzione integrale a partire dalla sua derivata. I restanti quesiti trattano di argomenti diversi, sono semplici e adatti allo scopo, anche se non presentano aspetti rilevanti. Enrico Menara Istituto Don Bosco Padova emenara76@alice.it