LAVORO ED ENERGIA
INTRODUZIONE L introduzione dei concetto di lavoro, energia cinetica ed energia potenziale ci perettono di affrontare i problei della dinaica in un odo nuovo In particolare enuncereo il principio di conservazione dell energia eccanica, il prio dei tre principi di conservazione in eccanica Il principio di conservazione dell energia eccanica, coe gli altri principi di conservazione, non è indipendente dalle leggi di Newton perché coe vedreo può essere diostrato a partire da queste
LAVORO DI UNA FORZA (1) Consideriao una forza F applicata ad un punto ateriale in oviento. Il lavoro copiuto dalla forza F, o lavoro della forza F, è definito coe: L = F s = F s cos (F,s) = F s cos θ dove F è la forza e s è il percorso del punto ateriale F θ s! Questa forula è valida se la forza F è costante durante il oviento del punto ateriale e se il percorso è rettilineo
LAVORO DI UNA FORZA (2) Nel caso generale, in cui la traiettoria del punto ateriale è curva, e la forza non è costante, si suddivide la traiettoria del punto in piccoli eleenti assiilabili a segenti rettilinei e lungo i quali la forza è approssiativaente costante Poi si calcola il lavoro della forza in ogni eleento di traiettoria e si fa la soa algebrica del lavoro in tutti gli eleenti che costituiscono la traiettoria
LAVORO DI UNA FORZA (3) F B A s L A B = Σ F s
LAVORO DI UNA FORZA (4) F θ s Se θ < 90 allora L > 0 (lavoro otore ) F F θ θ s s Se θ > 90 allora L < 0 (lavoro resistente ) Se θ = 90 allora L = 0 (il lavoro è nullo se la forza è ortogonale alla direzione del oto)
LAVORO DI UNA FORZA (5) Il lavoro ha diensione ML 2 /T 2 L unità di isura nel sistea MKS è il joule (J)
LAVORO DI UNA FORZA (6) Nel caso in cui agiscano diverse forze conteporaneaente, il lavoro della forza risultante è uguale alla soa algebrica del lavoro delle singole forze F 1 s F 2 F 1 + F 2 Il lavoro della forza risultante è dato da: L ris = (F 1 + F 2 ) s = F 1 s + F 2 s = L 1 + L 2
LAVORO DI UNA FORZA (7) Se il percorso viene descritto nel verso opposto, cabia il segno del lavoro F θ s π - θ - s F θ L = F s L = F (- s) = - (F s) L = F s cos θ L = F s cos (π - θ) = - F s cos θ
LAVORO DI UNA FORZA (8) Questo risultato è valido anche per un percorso non rettilineo F B A -s L B A = Σ F (- s) = - (Σ F s) = - L A B
LAVORO DI UNA FORZA (9) Se cabia il segno della forza, cabia il segno del lavoro F θ s - F π - θ θ s L = F s L = (- F) s = - (F s) L = F s cos θ L = F s cos (π - θ) = - F s cos θ
LAVORO DI UNA FORZA (10) Questo risultato è valido anche per un percorso non rettilineo B A - F s L A B = Σ(-F ) s = - (Σ F s) = - L A B
LAVORO DI UNA FORZA (11) Si chiaa potenza di una forza il lavoro copiuto da quella forza nell unità di tepo L = F s F v θ s = v t s L = F v t P = L / t = F v P = F v cos θ La potenza ha diensione ML 2 /T 3 L unità di isura nel sistea MKS è il watt (W) 1W = 1 J/s
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (1) B A v Si chiaa energia cinetica di un punto ateriale di assa con velocità v la seguente grandezza: E c = (1/2) v v = (1/2)v 2 L energia cinetica ha diensione ML 2 /T 2 L unità di isura nel sistea MKS è il joule (J)
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (2) F B A v TEOREMA: Il lavoro copiuto dalla forza risultante su di un punto ateriale nel percorso da un punto A ad un punto B è uguale alla variazione di energia cinetica del punto ateriale tra i punti A e B, ovvero è uguale alla differenza tra l energia cinetica del punto ateriale nel punto B e l energia cinetica del punto ateriale nel punto A L A B = E c (B) - E c (A)
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (3) A F x B -x A B x DIMOSTRAZIONE: (Caso del oto rettilineo uniforeente accelerato) L A B = F AB = F (x B x A ) Utilizzando la seconda legge di Newton F = a, e la legge oraria del oto rettilineo uniforeente accelerato x B x A = (1/2)at 2 + v A t, ottengo: L A B = a [(1/2)at 2 + v A t]
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (4) DIMOSTRAZIONE (segue): L A B = a [(1/2)at 2 + v A t] Per il oto rettilineo uniforeente accelerato vale anche: (v B v A ) = at da cui otteniao: t = (v B v A ) / a che possiao sostituire nell espressione precedente: L A B = a [(1/2)a[(v B v A ) / a] 2 + v A [(v B v A ) / a] ] L A B = (1/2) v B 2 (1/2)v A 2 L A B = E c (B) - E c (A)! Il calcolo cha abbiao svolto è valido solo se la forza F è la forza risultante, infatti abbiao fatto la sostituzione F = a
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (5) OSSERVAZIONE: Il lavoro e l energia cinetica hanno la stessa diensione: ML 2 /T 2 Questo è necessario poiché nel teorea dell energia cinetica un lavoro è uguale ad una variazione di energia cinetica
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (6) ESEMPIO: Un corpo di assa in caduta libera da un altezza h con velocità iniziale nulla. Calcolare la velocità con cui esso tocca il suolo 1 Dalla seconda legge di Newton otteniao la legge oraria: x B x A = h = (1/2)gt 2 v B = gt dalla seconda otteniao t = v B /g, che sostituita nella seconda dà: h = (1/2)v B2 /g, da cui: v B = (2gh) h A v A = 0 g B x
TEOREMA DELL ENERGIA CINETICA (7) 2 Dal teorea dell energia cinetica: E c (A) = 0 ; E c (B) = (1/2)v 2 B L A B = gh a L A B = E c (B) E c (A) da cui: gh = (1/2)v 2 B v B = (2gh) Osserviao che entre il etodo che usa la seconda legge di Newton ci dà aggiori dettagli, il etodo che usa il teorea dell energia cinetica è più seplice h A v A = 0 g B x
FORZE CONSERVATIVE (1) Una forza F, che agisce su di un punto ateriale in una data regione dello spazio, si dice conservativa se il lavoro che copie da un punto A ad un punto B non dipende dal percorso seguito, a solo dal punto A e dal punto B F F 2 B A 1 L 1 A B = L 2 A B Si intende che il lavoro ha lo stesso valore se viene calcolato, fissati i punti A e B, lungo qualsiasi percorso che si possa iaginare tra A e B
FORZE CONSERVATIVE (2) Una definizione equivalente di forza conservativa è la seguente: una forza F, che agisce su di un punto ateriale in una data regione dello spazio, si dice conservativa se il lavoro che copie lungo qualsiasi percorso chiuso è uguale a zero F L = 0
FORZE CONSERVATIVE (3) Mostriao che le due definizioni di forza conservativa sono equivalenti 1 Supponiao che il lavoro L A B non dipenda dal percorso seguito. Un percorso chiuso può essere diviso in due ediante due punti A e B coe in figura. Il lavoro lungo il percorso chiuso si può espriere per coe: L chiuso = L 1 A B L 2 A B = 0 1 B F A 2
FORZE CONSERVATIVE (4) 2 supponiao che il lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso sia nullo e consideriao due percorsi che congiungono A e B L chiuso = L 1 A B L2 A B = 0 da cui si ricava che L 1 A B = L2 1 A B B F A 2
FORZE CONSERVATIVE (5) ESEMPI: Si può diostrare che le forza di gravità, la forza elettrostatica, la forza elastica, la forza peso sono forze conservative Mostriaolo per la forza peso C A θ g Serve un risultato preliinare: L A B = g AB cos θ L A C = 0 perché g AC L C B = g CB = g AB cos θ Quindi, L A B = L C B = g BC B
FORZE CONSERVATIVE (6) Consideriao adesso il caso più generale C A g c b a B Possiao sostituire il percorso AB con un percorso a scalini lungo il quale il lavoro è uguale a quello lungo il percorso originario perché L a b = L c b La lunghezza totale dei segenti verticali è uguale a BC Quindi, L A B = L C B = g BC
ENERGIA POTENZIALE (1) Ad ogni forza conservativa possiao associare un energia potenziale definita coe segue: Dato un punto ateriale sul quale agisce, in una certa regione dello spazio, una forza F conservativa, fissiao un punto O arbitrariaente e definiao energia potenziale del punto ateriale nel punto A la grandezza: U(A) = - L O A F A O
ENERGIA POTENZIALE (2) La definizione precedente è coerente in quanto il lavoro della forza conservativa non dipende dal percorso dal punto O al punto A (non sarebbe stata coerente se la forza non fosse stata conservativa) Tuttavia l energia potenziale nel punto A non è definita in odo univoco perché dipende dalla scelta del punto O (origine o zero dell energia potenziale) Con un origine diversa, ad esepio O, il valore dell energia potenziale nel punto A è diverso
ENERGIA POTENZIALE (3) Calcoliao la differenza tra U O (A) = - L O A e U O (A) = - L O A U O (A) U O (A) = - L O A (-L O A ) = = L O A -L O A = L O A + L A O = L O O U O (A) U O (A) = costante (non dipende da A) L energia potenziale è definita a eno di una costante additiva A O O
ENERGIA POTENZIALE (4) Invece la differenza, o variazione, di energia potenziale tra un punto B ed un punto A è definita in odo univoco perché non dipende dalla scelta dell origine: U O (B) U O (A) = - L O B (-L O A ) = = - L O B + L O A = L O A + L B O O B = L B A = - L A B A Osserviao che la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro da A a B cabiato di segno U(B) U(A) = - L A B
ENERGIA POTENZIALE (5) La relazione precedente: U(B) U(A) = - L A B tra variazione di energia potenziale e lavoro copiuto dalla forza ci suggerisce due osservazioni: 1) la differenza di energia potenziale tra A e B è una grandezza fisica isurabile, entre l energia potenziale in A o in B (o in un altro punto) non lo è 2) il segno eno al ebro di destra indica che se la forza copie un lavoro positivo da A a B, l energia potenziale diinuisce, entre se il lavoro copiuto è negativo, l energia potenziale auenta
ENERGIA POTENZIALE (6) ESEMPIO: l energia potenziale associata alla forza peso (energia potenziale gravitazionale sulla superficie terrestre) Abbiao già ostrato che la forza peso è una forza conservativa, adesso vogliao trovare un espressione per l energia potenziale di un punto ateriale di assa soggetto alla forza peso in funzione della sua posizione vicino alla superficie terrestre
ENERGIA POTENZIALE (7) Osserviao in prio luogo che se il punto ateriale si uove orizzontalente, la sua energia potenziale non varia. Infatti se A e B sono due punti che si trovano sullo stesso piano orizzontale, U(B) U(A) = - L A B = - g AB = 0 Questo ostra che l energia potenziale gravitazionale del punto ateriale è costante su di un piano orizzontale A B g
ENERGIA POTENZIALE (8) Per calcolare l energia potenziale del punto ateriale in un punto A, pria fissiao arbitrariaente un piano orizzontale sul quale l energia potenziale è nulla (ad esepio la superficie terrestre o il paviento della stanza) Poi applichiao la definizione di energia potenziale U(A) = - L O A, per fare questo dobbiao calcolare il lavoro della forza peso in un percorso (qualsiasi) da O ad A
ENERGIA POTENZIALE (9) U(A) = - L O A = - g OA U(A) = -( -g OA ) U(A) = gh A! I vettori g e OA hanno versi opposti g h U = 0 O
ENERGIA POTENZIALE (10) Questo esepio ci suggerisce un interpretazione dell energia potenziale U(A) = - L O A = - g OA U(A) è uguale al lavoro della forza -g che devo applicare per sollevare il punto ateriale da O ad A L energia potenziale della assa nel punto A è pari al lavoro che devo copiere (contro la forza peso) per portarla in A da un punto in cui essa ha energia potenziale nulla A -g g O h U = 0
ENERGIA POTENZIALE (11) Questa interpretazione dell energia potenziale è generale e non liitata al caso dell energia potenziale gravitazionale sulla superficie terrestre L energia potenziale di un punto ateriale in un punto A è pari al lavoro che devo copiere (contro la forza conservativa F) per portarlo in A da un punto in cui esso ha energia potenziale nulla U(O) = 0 O -F F A
ENERGIA POTENZIALE (12) Riprendiao l esepio precedente alla luce del teorea dell energia cinetica La forza risultante è uguale a zero quindi la variazione di energia cinetica è uguale a zero (infatti v O = v A = 0) Il lavoro copiuto dalla forza g, è iagazzinato sotto fora di energia potenziale del punto ateriale A -g g h O U = 0
ENERGIA POTENZIALE (13) ESEMPIO: l energia potenziale associata alla forza elastica di una olla In questo caso aettiao senza diostrazione il fatto che la forza elastica sia conservativa k L F = - k x - F = k x O x A
ENERGIA POTENZIALE (14) Per calcolare l energia potenziale del punto ateriale in un punto A, fissiao l origine dell energia potenziale nel punto di equilibrio, ovvero il punto in cui la olla è nella sua posizione di riposo Poi, calcoliao l energia potenziale coe il lavoro che dobbiao copiere contro la forza elastica per portare il punto ateriale da O ad A In questo caso incontriao una difficoltà: la forza elastica non è costante, dipende dall allungaento della olla, ovvero dalla posizione del punto ateriale
ENERGIA POTENZIALE (15) Suddividiao il percorso OA in piccoli segenti nei quali la forza può essere considerata costante, poi calcoliao il lavoro per ciascun segento, e infine calcoliao il lavoro totale O F = - k x - F = k x A x x
-F kx A kx ENERGIA POTENZIALE (16) -F = k x L area tratteggiata è uguale a kx x che è il lavoro copiuto nel tratto tra x e x+ x 0 x x+ x x A x
ENERGIA POTENZIALE (17) Il lavoro totale è la soa del lavoro corrispondente a tutti i segenti di lunghezza x nei quali è suddiviso il segento OA di lunghezza x A Il lavoro totale è quindi uguale all area copresa tra la curva F = kx, l asse x e la retta verticale x = x A
-F kx A 0 ENERGIA POTENZIALE (18) -F = k x x A x L area tratteggiata è uguale a (1/2)kx A x A = (1/2)kx A 2 Energia potenziale elastica = (1/2)kx 2
ENERGIA POTENZIALE (19) Avrei ottenuto lo stesso risultato se avessi ragionato sulla copressione della olla piuttosto che sull allungaento. Infatti nella copressione la forza elastica ha counque verso opposto al oviento, e la forza che si deve opporre alla forza elastica è nello stesso verso del oviento. Quindi anche in questo caso il lavoro della forza che si oppone alla forza elastica è positivo Quindi, sia nell allungaento che nella copressione, l energia potenziale elastica della olla auenta
ENERGIA POTENZIALE (20) U 0 U = (1/2)kx 2 x Osserviao che la posizione di equilibrio della olla corrisponde ad un inio della energia potenziale Questa proprietà è caratteristica di una posizione di equilibrio stabile
ENERGIA POTENZIALE (21) Relazione tra forza ed energia potenziale U(x+ x) U(x) = - L x x+ x = - F x F = - [U(x+ x) U(x)] / x F = - U / x U U = (1/2)kx 2 U(x+ x) U/ x = kx U(x) 0 x x+ x x
ENERGIA MECCANICA TOTALE (1) Si chiaa energia eccanica totale di un punto ateriale la soa algebrica della sua energia cinetica e di tutte le energie potenziali associate alle forze conservative agenti sul punto ateriale stesso (un energia potenziale per ogni forza conservativa) E T = E C + U 1 + U 2 + = (1/2)v 2 + U 1 + U 2 + Se vi è una sola forza conservativa E T = E C + U = (1/2)v 2 + U Se questa forza è la forza peso E T = (1/2)v 2 + gh Osserviao che anche l energia eccanica totale è definita a eno di una costante additiva
ENERGIA MECCANICA TOTALE (2) F B A Consideriao il caso in cui su di un punto ateriale agisca solo una forza conservativa F
ENERGIA MECCANICA TOTALE (3) Applichiao il teorea dell energia cinetica al oto da A a B: E C (B) E C (A) = L A B dove L A B è il lavoro copiuto da F nel percorso da A a B Ma poiché F è conservativa L A B = U(A) U(B) Dalle due espressioni precedenti otteniao E C (B) E C (A) = U(A) U(B) da cui E C (B) + U(B) = E C (A) + U(A) ovvero E T (B) = E T (A)
ENERGIA MECCANICA TOTALE (4) Osserviao che i punti A e B non sono stati in alcun odo specificati: sono dei punti qualsiasi della traiettoria del punto ateriale Il precedente risultato diostra che l energia eccanica totale in un punto della traiettoria è uguale all energia eccanica in qualsiasi altro punto della traiettoria stessa L energia eccanica totale è costante lungo la traiettoria. Si dice anche che l energia eccanica totale è una costante del oto
ENERGIA MECCANICA TOTALE (5) F 1 B A F 2 Consideriao adesso il caso in cui sul punto ateriale agiscano solo due forze conservative F 1 e F 2
ENERGIA MECCANICA TOTALE (6) Applichiao il teorea dell energia cinetica al oto da A a B: E C (B) E C (A) = L 1 A B+ L 2 A B dove L 1 A B è il lavoro copiuto da F 1, e L 2 A B è il lavoro copiuto da F 2, nel percorso da A a B Ma poiché F 1 e F 2 sono conservative, L 1 A B = U 1 (A) U 1 (B) e L 2 A B = U 2 (A) U 2 (B) Dalle tre espressioni precedenti otteniao E C (B) E C (A) = U 1 (A) U 1 (B) + U 2 (A) U 2 (B) da cui E C (B) + U 1 (B) + U 2 (B) = E C (A) + U 1 (A) + U 2 (A) ovvero E T (B) = E T (A)
ENERGIA MECCANICA TOTALE (7) Anche nel caso di due forze conservative, l energia eccanica totale è una costante del oto. Questo risultato si generalizza ad un nuero qualsiasi di forze conservative IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA affera che, se su di un punto ateriale agiscono solo forze conservative o forze che copiono un lavoro nullo, allora l energia eccanica totale del punto ateriale è una costante del oto ( si conserva )
ENERGIA MECCANICA TOTALE (8) A R h A g B h B ESEMPIO: La assa scivola senza attrito vincolata alla curva. Su di essa agiscono la forza peso che è conservativa e la reazione vincolare che non copie lavoro. L energia eccanica totale si conserva
ENERGIA MECCANICA TOTALE (9) E T (B) = E T (A), ovvero (1/2) v B2 + gh B = (1/2) v A2 + gh A (abbiao scelto lo zero dell energia potenziale sul piano orizzontale indicato in figura) Supponiao di conoscere la velocità nel punto A e le altezze dei punti A e B; l espressione precedente diventa un equazione che ci perette di calcolare la velocità nel punto B v B2 = v A2 + 2g(h A h B ) Se v A = 0 v B = (2g(h A h B )) notiao che è la stessa velocità del caso della caduta libera
ENERGIA MECCANICA TOTALE (10) Piano inclinato. Il corpo scivola senza attrito e parte con velocità nulla dal punto A. Vogliao calcolare la sua velocità quando arriva nel punto B A P N θ B La forza peso è conservativa e la reazione vincolare non copie lavoro quindi possiao applicare il principio di conservazione dell energia eccanica
ENERGIA MECCANICA TOTALE (11) E T (A) = g AB sen θ = gh E T (B) = (1/2) v B 2 Per il principio di conservazione dell energia eccanica E T (A) = E T (B) A h P N gh = (1/2) v 2 B v 2 B = 2gh v B = (2gh) θ B
ENERGIA MECCANICA TOTALE (12) Il grafico dell energia potenziale in funzione della posizione è olto utile per avere delle inforazioni qualitative sul oto di un punto ateriale -x A U 0 E T E C U = (1/2)kx 2 x x A x La differenza tra l energia eccanica totale e l energia potenziale è l energia cinetica ed è rappresentata dalla distanza tra i due grafici I valori di x per i quali la curva dell energia potenziale è al di sopra della energia eccanica totale non sono peressi
ENERGIA MECCANICA TOTALE (13) Ad esepio nell interazione descritta dal seguente grafico dell energia potenziale le posizioni peresse al punto ateriale sono date da x A x x B e x x C U E T E C x A x B x c x x