L DIGONLIZZZIONE DI UN ENDOMORFISMO goosestes Queste note sono un comlemento alla lezione del 5 feraio.. utovalori e autovettori di un endomorfismo lineare Sia T : V! V un endomorfismo lineare dello sazio vettoriale V sul camo K. Definizione.. Un vettore v V {O} si dice un autovettore di T se T (v) = v er un certo K. In altre arole un autovettore di T è un vettore diverso da O dello sazio V che ha la seguente rorietà: la T lo manda in un multilo di sé stesso. Definizione.. Se v V {O} è un autovettore di T tale che T (v) = allora lo scalare K si dice autovalore di T relativo a v (e viceversa si dirà che v è un autovettore relativo all autovalore ). Si noti che l autovalore uò essere K: seeresemiot non è iniettiva, ossia Ker T ) {O}, tutti gli elementi w (Ker T) {O} soddisfano v T (w) =O =w ossia sono autovettori relativi all autovalore. Definizione.. Dato autosazio relativo a. K chiamiamo l insieme V = {v V T (v) = v} nche se aiamo definito l autosazio V er qualunque K, inrealtàv è semre uguale a {O} amenoche non sia un autovalore di T.Questoèdunqueil caso interessante: se è un autovalore di T allora V è costituito da O edatutti gli autovettori relativi a. Esercizio.4. Verificare che un autosazio V è un sottosazio vettoriale di V. Osservazione.5. In articolare aiamo notato che V = Ker T. Perché er noi sono imortanti autovettori e autovalori? Suoniamo che V aia dimensione n e ensiamo a cosa succederee se riuscissimo a trovare una ase di V, {v,v,...,v n }, comosta solo da autovettori di T. vremmo, er ogni i =,,...,n, T (v i )= i v i
er certi autovalori i (sui quali non aiamo informazioni, er esemio otreero anche essere tutti uguali = = n ). ome saree fatta la matrice [T ] v,v,...,v n v,v,...,v n associata a T risetto a questa ase? Ricordandosi come si costruiscono le matrici osserviamo che la rima colonna conterree il vettore T (v ) scritto in termini della ase {v,v,...,v n }, ossia T (v )= la seconda il vettore T (v )=v + matrice saree diagonale: [T ] v,v,...,v = n v,v,...,v n v +v +v +v 4 + +v n B @ v +v + +v n e così via. Quindi la.............................. n... n Ora, una matrice diagonale è er noi leggiilissima ; a colo d occhio ossiamo saere tutto di T : il suo rango (dunque anche la dimensione del nucleo), quali sono esattamente i vettori di Ker T, quali sono (se esistono) i sottosazi in cui T si comorta come l identità, ossia i sottosazi costituiti dai vettori di V che T lascia fissi, eccetera. Dunque studiamo gli autovalori e gli autovettori di T nella seranza di trovare asi uone che ci ermettano di conoscere ene il comortamento di T. Ma esistono semre queste asi uone, ossia asi costituite solo da autovettori di T? NO, non semre. Se er un certo endomorfismo T esiste una ase uona si dice che T è diagonalizzaile, altrimenti T è non diagonalizzaile. Esemio.6. onsideriamo l endomorfismo R : R! R dato da una rotazione di angolo con centro l origine. Si verifica immediatamente che, risetto alla ase standard di R, questo endomorfismo è raresentato dalla matrice cos sin [R =] @ sin cos Per esemio, nel caso di una rotazione di 6 (ovvero ), aiamo: [R ]= B @ Nel caso in cui < <, non ci sono vettori v 6= O che vengono mandati in un multilo di se stessi, visto che tutti i vettori vengono ruotati di un angolo che non è nullo e non è di 8. Dunque non ci sono autovettori e autovalori. Nel caso = la rotazione è l identità, dunque tutti i vettori v 6= O sono autovettori relativi all autovalore, e V = R.
Nel caso = la rotazione è uguale a I, dunque tutti i vettori v 6= O sono autovettori relativi all autovalore -, e V = R. Esemio.7. onsideriamo l endomorfismo T :! che, risetto alla ase standard di, è raresentato dalla matrice [T ]= B @ Si tratta della stessa matrice che nell esemio recedente era associata alla rotazione di nel iano reale ma stavolta, visto che stiamo considerando uno sazio vettoriale comlesso, riusciamo a trovare autovettori e autovalori er T. Si verifica infatti ı (esercizio!) che il vettore è un autovettore relativo all autovalore +ı e ı che il vettore è un autovettore relativo all autovalore ı. Poiché i due vettori sono linearmente indiendenti sul camo, costituiscono una ase. Dunque T è diagonalizzaile e ossiamo facilmente verificare che ı V +ı =< > ı V ı =< > = V ı V +ı.. Il olinomio caratteristico di un endomorfismo Vogliamo trovare dei criteri semlici che ci ermettano di decidere se un endomorfismo è diagonalizzaile o no. Un uon rimo asso è quello di avere un metodo che, dato un endomorfismo T : V! V e osto n = dim V,ciermettadidecidere se uno scalare K è o no un autovalore di T. Entrano qui in gioco i olinomi e le loro radici. Innanzitutto osserviamo che, a nché K sia un autovalore, secondo la definizione isogna che esista un v V {O} tale che T (v) = v. Questa equazione si uò riscrivere anche come T (v) I(v) =O dove I : V! V è l identità (qui e nel seguito indicheremo con I sia l alicazione identità sia la matrice identità). Riscriviamo ancora: (T I)(v) =O iamo scoerto che, se T ossiede un autovalore, allora l endomorfismo T I non è iniettivo: infatti manda il vettore non nullo v in O. Dunque, se scegliamo una ase qualunque er V e costruiamo la matrice [T ] associata a T, la matrice [T I] =[T ] I dovrà avere determinante uguale a : det([t ] I) =.
Osserviamo che il nucleo di [T ] I equellodi I [T ] coincidono e allora vale anche det( I [T ]) =. Questa osservazione è la remessa er la seguente definizione: Definizione.. Dato un endomorfismo lineare T : V! V con n = dim V, scegliamo una ase er V e costruiamo la matrice [T ] associata a T risetto a tale ase. Il olinomio caratteristico P T (t) K[t] dell endomorfismo T è definito da: P T (t) =det(t[i] [T ]). Osservazione.. ) Perché la definizione data aia senso innanzitutto isogna verificare che det(t[i] [T ]) sia veramente un olinomio. Utilizzando la definizione di determinante P n... si mostra facilmente che P T (t) è un olinomio di grado n con coe ciente direttore : P T (t) =t n +... ) È fondamentale inoltre che la definizione aena data non dienda dalla ase scelta di V : non saree una definizione uona se con la scelta di due asi diverse ottenessimo due olinomi caratteristici diversi. Questo rolema in e etti non si verifica. Infatti, se scegliamo due asi e di V, come saiamo le due matrici [T ] e[t ] sono legate dalla seguente relazione: esiste una matrice [B] invertiile tale che [T ] =[B] [T ] [B] Usando il teorema di Binet a questo unto verifichiamo che B det @ti [T ] B = det @ti [B] [T ] B [B] = det @[B] = det [B] B B det @ti [T ] det ([B]) = det @ti [T ] iamo dunque mostrato che P T (t) =det (ti della ase. B @ti [T ] [B] = [T ]) non diende dalla scelta lcuni di voi avranno notato che aiamo usato il teorema di Binet, che avevamo dimostrato er matrici con coe cienti in un camo. In questo caso alcuni dei coe cienti sono olinomi di grado, dunque non aartengono a K. Inrealtàossiamoensarecheicoe cientiaartengano al camo K(t) dellefunzionirazionali(ossiailcamoicuielementisonofrazioniconunolinomio al numeratore e un olinomio non nullo al denominatore) e dunque ossiamo alicare il teorema di Binet senza rolemi. Un modo alternativo di aggirare l oiezione sull uso del teorema di Binet è i l s e g u e n t e : i a s s a g g i c h e a i a m o f a t t o v a l g o n o q u a n d o a l o s t o d i t oniamo un qualunque elemento a K. SeilcamoK ha almeno n elementi (er esemio se è infinito), questo significa che iolinomidet B @ ti [T ] e det B @ ti [T ] danno lo stesso valore su n diversi elementi di K. Dunque devono coincidere (erché? Imostate un sistema, e troverete una matrice di Vandermonde!). 4
Esercizio.. Grazie all osservazione recedente, saiamo in articolare che i coe cienti di T (t) non diendono dalla ase scelta. hiamiamo dunque r : End(V )! K la funzione che, ad ogni endomorfismo T associa il coe ciente di t r in P T (t). Dimostrare che n è uguale a meno la traccia ossia n (T ) = T (T )(dove T indica la traccia) e che è uguale, a meno del segno, al determinante ossia (T )=±Det(T ). Il olinomio caratteristico ci fornisce dunque l esemio di altre funzioni che, come il determinante e la traccia, coinvolgono i coe cienti di una matrice [T ] ma in realtà non diendono dalla ase scelta. Possiamo a questo unto enunciare il teorema rinciale che siega l utilità del olinomio caratteristico ai fini del rolema della diagonalizzazione. Teorema.4. onsiderato T come sora, vale che uno scalare K è u n autovalore di T se e solo se è u n a r a d i c e d i P T (t), ossiaseesolosep T ( )= Dimostrazione. iamo già visto (l osservazione rima della definizione del olinomio caratteristico) che se è un autovalore di T allora det( I [T ]) = P T ( ) =. Resta dunque da dimostrare il viceversa. Suoniamo che det( I [T ]) = P T ( )= : allora l alicazione lineare I T non è iniettiva. Dunque esiste v V {O} tale che ( I T )(v) =. Questo si uò riscrivere anche come T (v) = iamo trovato un autovettore che ha autovalore e quindi aiamo mostrato, come volevamo, che è un autovalore di T. Esemio.5. onsideriamo l endomorfismo T dell Esemio.7. Il suo olinomio caratteristico risulta P T (t) =t t+ (verificare!). Questo olinomio ha due radici in, ovvero ı e +ı, che in e etti, come saiamo, sono gli autovalori di T. Notiamo che t t+ non ha invece radici in R, coerentemente col fatto, osservato nell Esemio.6, che la rotazione R del iano reale non ammette autovettori. Esercizio.6. Sia F : R! R l alicazione lineare definita, nella ase standard di R, dalla matrice: [F ]= alcolare P F (t). Esercizio.7. Sia F :! l alicazione lineare definita, nella ase standard di, dalla matrice: [F ]=@ i i alcolare P F (t). Esercizio.8. Sia F : 4! 4 l alicazione lineare definita, nella ase standard di 4, dalla matrice: [F ]= B i @ alcolare P F (t). 5 v
. Una strategia er scorire se un endomorfismo è diagonalizzaile In questo aragrafo descriviamo una strategia in quattro assi che ci ermette di scorire se un endomorfismo T : V! V,doveV è uno sazio vettoriale sul camo K di dimensione n, è diagonalizzaile, e, in caso sia diagonalizzaile, di trovare una ase che lo diagonalizza (ossia una ase di V fatta tutta da autovettori di T )e di scrivere la matrice diagonale che raresenta T risetto a tale ase. La nostra strategia sarà la seguente: PSSO. Data T, troviamo gli autovalori di T utilizzando il olinomio caratteristico. PSSO. Suoniamo di aver trovato gli autovalori,,..., k: a questo unto scoriamo chi sono i relativi autosazi V,V,...,V k. PSSO. Un teorema (vedi Teorema.) ci assicurerà che gli autosazi V,V,...,V k sono in somma diretta. Quindi se V V V k = V allora è ossiile trovare una ase uona, fatta da autovettori di T e T è diagonalizzaile. Per scrivere una ase uona asta scegliere una ase er ogni V i e oi fare l unione. ltrimenti, se T non è diagonalizzaile. V V V k ( V PSSO 4. Se T è risultata diagonalizzaile, usando la ase trovata si scrive la matrice diagonale [T ]. Vediamo i dettagli asso er asso... Passo. Di questo ci siamo già occuati nel aragrafo recedente: er saere quali sono gli autovalori di un endomorfismo T ossiamo calcolare il olinomio caratteristico P T (t) e trovare le sue radici in K... Passo. Suoniamo dunque di aver scoerto che T ha i seguenti autovalori:,,..., k, tutti distinti fra loro. Vogliamo individuare gli autosazi V,V,...V k. Per questo asterà risolvere dei sistemi lineari: er ogni i =,,...,k, l autosazio V i è costituito er definizione dai vettori v V tali che T (v) = i v, ossia, scelta una ase di V e dunque trovata la matrice [T ], dalle soluzioni del sistema 6
lineare ([T ] ii) B @ x x...... x n x n = B @........ Passo. ominciamo col dimostrare il seguente teorema. Teorema.. Dato un endomorfismo lineare T : V! V,siano,,..., k degli autovalori di T distinti fra loro. onsideriamo ora degli autovettori v V,v V,...,v k V k. llora {v,v,...,v k } è un insieme di vettori linearmente indiendenti. Osservazione.. Sesso ci si riferisce a questo teorema con la frase: autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indiendenti. Dimostrazione. Procediamo er induzione su k. Per k = l enunciato è anale erché {v } è un insieme di vettori linearmente indiendenti (c è un vettore solo... ed è diverso da O erché è un autovettore). Suoniamo di aver dimostrato che l enunciato è vero fino al caso di k vettori e cerchiamo di dimostrarlo er k. Suoniamo allora di avere un insieme di vettori {v,v,...,v k } come nelle iotesi e che valga: (.) a v + a v + + a k v k = O Per mostrare che {v,v,...,v k } è un insieme di vettori linearmente indiendenti doiamo mostrare che questo uò accadere solo quando a = a = = a k =. Dalla equazione scritta ne ricaviamo due in due modi diversi. Prima alichiamo T ad entrami i memri e er linearità otteniamo che svolgendo il calcolo diventa a T (v )+a T (v )+ + a k T (v k )=O a v + a v + + a k k v k = O Poi invece moltilichiamo l equazione er k ottenendo: a k v + a k v + + a k k v k = O Per sottrazione da queste due equazioni ricaviamo: a ( k )v + a ( k )v + + a k ( k k )v k = O Ma questa è una cominazione lineare dei k vettori {v,v,...,v k } uguale a O: er iotesi induttiva tutti i coe cienti devono essere uguali a. Visto che gli scalari k i sono tutti diversi da zero (gli autovalori in questione sono distinti fra loro er iotesi) questo imlica che a = a = = a k =. Sostituendo nella equazione iniziale (.), notiamo che deve essere anche a k =. Il seguente teorema è un ra orzamento del recedente. Teorema.. Dato un endomorfismo lineare T : V! V,siano,,..., k degli autovalori di T distinti fra loro. llora gli autosazi V,V,...,V k sono in somma diretta. 7
Dimostrazione. Ricordiamo che dire che gli autosazi V,V,...,V k sono in somma diretta vuol dire che se ne rendiamo uno qualunque, diciamo V tanto er fissare la notazione, la sua intersezione con la somma di tutti gli altri è anale, ossia V \ (V + + V k )={O}. Suoniamo er assurdo che non sia così, e che ci sia un vettore w 6= O tale che llora ossiamo scrivere w in due modi: erché w V,e w V \ (V + + V k ) w = v V {O} w = v + v + + v k (dove i v j V j er ogni j) vistochew V + + V k. lcuni dei vettori v j otreero essere uguali a O, ma non tutti (se fossero tutti uguali a O allora anche w saree uguale a O). Diciamo che, a meno di riordinamenti, i vettori diversi da zero siano v,...,v s, con s ale k. Dunque vale: v = w = v + v + + v s Da questa uguaglianza ricaviamo la relazione v v v v s = O che rivela che gli autovettori {v,...v s } sono linearmente diendenti, assurdo erché contraddice il Teorema. (si tratta di autovettori relativi ad autovalori distinti). Osservazione.4. Il teorema che aiamo aena dimostrato è un caso articolare del seguente fatto iù generale. Suoniamo che in uno sazio vettoriale V ci siano dei sottosazi,,..., k con la seguente rorietà: ogni insieme {v,...,v k } di vettori non nulli scelti in modo che, er ogni i, v i i, è un insieme di vettori linearmente indiendenti. llora i sottosazi,,..., k sono in somma diretta. Provate a dimostrarlo (la dimostrazione è del tutto analoga a quella del teorema sora). Nelle iotesi del teorema recedente saiamo allora (riguardate il Paragrafo 4 delle disense L FORMUL DI GRSSMNN PER SOTTOSPZI E IL ONET- TO DI SOMM DIRETT ), che la dimensione della somma degli autosazi è la massima ossiile, ossia dim (V V V k )=dim V + dim V + + dim V k Osserviamo che aiamo dunque già ottenuto un criterio er dire se T è diagonalizzaile o no. Infatti, se allora dim V + dim V + + dim V k = n = dim V V V V k = V e quindi è ossiile trovare una ase uona, fatta da autovettori di T, insomma T è diagonalizzaile. Per scrivere una simile ase uona, come saiamo dal Paragrafo 4 delle disense citate sora, asta scegliere una ase er ogni V i e oi fare l unione. 8
ltrimenti, se (.) dim V + dim V + + dim V k <n= dim V T non è diagonalizzaile. Infatti non è ossiile trovare una ase di autovettori: se la trovassimo contraddiremmo la (.)..4. Passo 4. Se l endomorfismo T è diagonalizzaile, scegliamo dunque una ase di autovettori nel modo descritto al Passo, e avremo una matrice associata [T ] che risulterà diagonale. Manteniamo le notazioni introdotte al Passo : allora sulla diagonale troveremo dim V coe cienti uguali a, dim V coe cienti uguali a,...,dim V k coe cienti uguali a k. Il rango di T sarà uguale al numero dei coe cienti non zero che troviamo sulla diagonale di [T ], la dimensione del nucleo sarà uguale al numero dei coe cienti uguali a zero che troviamo sulla diagonale di [T ]. 4. Il criterio della moltelicità algerica e della moltelicità geometrica Nel aragrafo recedente aiamo descritto un algoritmo che ci ermette di decidere se un endomorfismo è diagonalizzaile o no. In questo aragrafo faremo una osservazione che ci ermetterà di riformulare questo algoritmo e di individuare alcune scorciatoie. onsideriamo come al solito un endomorfismo T : V! V,doveV è uno sazio vettoriale sul camo K con n = dim V. alcoliamo il suo olinomio caratteristico e fattorizziamolo in K[t]. Otterremo una esressione del tio: P T (t) =(t ) a (t ) a (t k) a k f(t) dove,,..., k sono gli autovalori di T in K e sono tutti distinti fra loro, e f(t) o è oure è un olinomio di grado > che non ha radici in K. Se la T è diagonalizzaile, allora esiste una ase di V in cui la matrice associata [T ] ha forma diagonale e sulla diagonale comaiono,,..., k. Più esattamente, er ogni i =,,...,k, i comare dim V i volte. Dunque in questo caso ossiamo ricalcolare il olinomio caratteristico P T usando [T ] : P T (t) =Det (ti [T ] ) Si tratta di calcolare il determinante di una matrice diagonale e si osserva allora che P T si fattorizza come rodotto di fattori lineari (cioè olinomi di grado ): P T (t) =(t ) dim V (t ) dim V (t k) dim V k il che dimostra che il fattore f(t) è. In sintesi: Proosizione 4.. Se l endomorfismo T è diagonalizzaile sul camo K, allora il suo olinomio caratteristico P T (t) si fattorizza come rodotto di fattori lineari in K[t]: P T (t) =(t ) dim V (t ) dim V (t k) dim V k 9
Dunque se P T non si fattorizza come rodotto di olinomi di grado in K[t] ossiamo concludere che T non è diagonalizzaile. Ma cosa ossiamo dire del viceversa? Se P T si fattorizza come rodotto di fattori lineari in K[t] allora T è diagonalizzaile? NO, in generale non è vero. Basta considerare er esemio l alicazione lineare L : R! R che nelle asi standard è raresentata dalla matrice Il olinomio caratteristico è P L (t) = (t ) ma l alicazione non è diagonalizzaile: ossiamo verificarlo alicando il criterio del aragrafo recedente, infatti L ha il solo autosazio V e se ne calcoliamo la dimensione scoriamo che dim V =< =dim R. Prima di enunciare il nuovo criterio diamo qualche definizione: Definizione 4.. Data T come sora con olinomio caratteristico P T (t) =(t ) a (t ) a (t k) a k f(t) dove f(t) o è oure è un olinomio di grado > che non ha radici in K, diremo che, er ogni i =,,...,k, a i è l a moltelicità algerica dell autovalore i. hiameremo invece moltelicità geometrica dell autovalore i il numero intero ositivo dim V i. Proosizione 4.. Dati T : V! V e P T (t) =(t ) a (t ) a (t k) a k f(t) come sora, er ogni autovalore i vale che la sua moltelicità geometrica è minore o uguale alla sua moltelicità algerica: dim V i ale a i Dimostrazione. Nella roosizione recedente aiamo già visto che se l alicazione T è diagonalizzaile, allora vale dim V i = a i 8i =,,...,k Se invece T non è diagonalizzaile, ricordando che gli autosazi sono in somma diretta V V V k ossiamo cominciare a costruire una ase di V rendendo una ase er ogni V i facendo l unione, che chiameremo. Poiché in questo caso e dim V V V k <dimv l insieme non è ancora una ase di V, ma è solo un insieme di vettori linearmente indiendenti; ossiamo allora, er il teorema di comletamento, scegliere degli elementi s,...,s r tali che = [{s,...,s r } sia una ase. Risetto a questa ase
la matrice di T ha la seguente forma:.................................................................................................................................................................................. [T ] =............................................................................ k........................ k.......................... B...................... @.................................... ossia ha una arte diagonale, dove troviamo rietuto dim V volte, rietuto dim V volte... k rietuto dim V k volte, e oi sulle ultime r colonne, che corrisondono a T (s ),T(s ),...,T(s r ) non saiamo dire nulla. Osserviamo erò che, sviluando il determinante di ti [T ] a artire dalla rima colonna, oi dalla seconda, oi dalla terza, e così via otteniamo: P T (t) =Det (ti [T ] )=(t ) dim V (t ) dim V (t k) dim V k Det M dove M è il minore r r che sta nell angolo in asso a destra di ti [T ]. Ricordiamo ora la fattorizzazione er P T P T (t) =(t ) a (t ) a (t k) a k f(t) dove f(t) è un olinomio di grado > che non ha radici in K. Da questa fattorizzazione si ricava suito che la otenza massima di (t ) chedividep T (t) èa. Dunque, qualunque olinomio sia Det M, ossiamo dire che, er ogni i =,,...,k, dim V i ale a i. Le disuguaglianze aena dimostrate imlicano suito il risultato rinciale di questa sezione: Teorema 4.4 (riterio delle moltelicità algerica e geometrica.). Dato un endomorfismo lineare T : V! V di uno sazio vettoriale V (di dimensione finita n) sul camo K, siano,,..., k gli autovalori (distinti fra loro) di T in K. llorat è diagonalizzaile se e solo se P T si fattorizza come rodotto di fattori lineari e, er ogni autovalore i, la sua moltelicità algerica e quella geometrica sono uguali. Dimostrazione. iamo già visto, nelle dimostrazioni delle roosizioni recedenti, che se T è diagonalizzaile allora P T si fattorizza come rodotto di fattori lineari e, er ogni i vale moltelicità algerica di i = dim V i.
Viceversa, se P T si fattorizza come rodotto di fattori lineari P T (t) =(t ) a (t ) a (t k) a k e, er ogni autovalore i, la sua moltelicità algerica a i e quella geometrica sono uguali, allora calcoliamo dim V V V k Tale dimensione è uguale a kx ma er la nostra iotesi i= dim V i kx dim V i = i= che è uguale al grado del olinomio caratteristico P T,edunquean = dim V. llora dim V V V k = V kx i= e T è diagonalizzaile come volevamo dimostrare. Esercizio 4.5. Dato un endomorfismo lineare T : V! V di uno sazio vettoriale V sul camo K, dimostrare che se un autovalore di T ha moltelicità algerica uguale a allora anche la sua moltelicità geometrica è uguale a. 5. Esemi Esemio 5.. Sia T : R! R un endomorfismo lineare la cui matrice risetto alla ase standard è: [T ]=@ Vogliamo caire se è diagonalizzaile o no, e, se lo è, vogliamo trovare una ase comosta da autovettori. Innanzitutto calcoliamo il olinomio caratteristico: t P T (t) =det @ti @ = det @ t + =(t ) (t+) t Gli autovalori sono dunque e. La moltelicità algerica di è uguale a e coincide con la sua moltelicità geometrica. Rietiamo infatti in questo caso articolare il ragionamento che alcuni lettori avranno già utilizzato er risolvere l Esercizio 4.5: infatti la moltelicità geometrica di è (visto che è autovalore ), e er la Proosizione 4. deve essere minore o uguale alla moltelicità algerica, quindi è esattamente e coincide con la moltelicità algerica. Dunque, volendo alicare il criterio del Teorema 4.4, doiamo studiare l autovalore, che ha moltelicità algerica, e controllare se la sua moltelicità a i La moltelicità geometrica di una autovalore è semre, visto che, er definizione, l autosazio relativo a tale autovalore non è anale.
geometrica è uguale a o no. La moltelicità geometrica di è la dimensione dell autosazio V = Ker (I T ), dunque doiamo calcolare la dimensione di: Ker @I @ = Ker @ Si osserva suito che la matrice ha rango uguale a, di conseguenza la dimensione del Ker è uguale a. nche er quel che riguarda l autovalore la moltelicità geometrica risulta uguale alla moltelicità algerica, dunque l alicazione T è diagonalizzaile. Per trovare una ase formata da autovettori, doiamo scegliere una ase di V e una ase di V e fare l unione. ominciamo col trovare una ase di V, ossia una ase di Ker (I T )=Ker @ Risolvendo ilsistema a occhio, si vede suito che una ossiile ase è data dai vettori @, @. Per trovare una ase di V che, come saiamo, ha dimensione, asta individuare un vettore non nullo in V = Ker @ I @ = Ker @ 4 nche in questo caso il sistema associato si risolve immediatamente: è facile osservare che il vettore @ costituisce una ase di V. Dunque una ase che diagonalizza l endomorfismo T è data dai vettori v = @,v = @,v = @. La matrice di T risetto a tale ase è data da [T ] v,v,v = v,v,v @ Esemio 5.. Si consideri l alicazione lineare F a ase standard, ha matrice: a [F a ]=@ a : R! R che, risetto alla
Vogliamo studiare, al variare del arametro a R, la diagonalizzailità di F a.per rima cosa calcoliamo il olinomio caratteristico P Fa (t): a t a P Fa (t) =det @ti @ a = det @ t a = t Ora osserviamo che il olinomio t =(t a)(t (a + )t +a + ) (a + )t +a + ha radici a +± a Tali radici sono reali se e solo se a 4a ovvero se e solo se a 4 oure a ale. Visto che il camo in cui stiamo cercando gli autovalori è R, er il Teorema 4.4 ossiamo intanto concludere che: se < a < 4 l endomorfismo F a non è diagonalizzaile. Se invece a 4 oure a ale, aiamo tre autovalori reali: a + a 4a a ++ a, 4a, a e la rima cosa che ci conviene fare è calcolare le loro moltelicità algeriche, ossia caire se er qualche valore di a questi autovalori coincidono. Infatti, er i valori di a er cui questi tre autovalori sono a due a due distinti ossiamo suito dire, in ase al Teorema 4.4, che F a è diagonalizzaile: gli autovalori hanno moltelicità algerica uguale a, e dunque (vedi Esercizio 4.5), anche moltelicità geometrica uguale a. rontiamo il rolema della coincidenza studiando searatamente le tre ossiili uguaglianze: a + a 4a = a ++ a 4a a + a 4a = a a ++ a 4a = a La rima di queste uguaglianze è vera se e solo se a 4a = a 4a ovvero se e solo se a 4a = ovvero se e solo se a = oure a = 4. Invece si verifica suito che le uguaglianze a + a 4a = a a ++ a 4a = a non sono mai vere, qualunque sia il valore di a. Dunque i casi che richiedono attenzione sono solo a =ea = 4; ossiamo trarre una seconda conclusione: se a > 4 oure a < l endomorfismo F a è diagonalizzaile. 4 4a
Studiamo infine i due casi rimasti: er quel che riguarda a =, gli autovalori di F sono e e il olinomio caratteristico P F (t) èt(t ). Per caire se F è diagonalizzaile isogna calcolare la moltelicità geometrica di, ossia calcolare dim V = dim Ker @I @ = dim Ker @ La matrice ha rango, dunque il Ker ha dimensione. La moltelicità geometrica dell autovalore è uguale a, mentre la moltelicità algerica è uguale a : l endomorfismo F non è diagonalizzaile. Per quel che riguarda a = 4, gli autovalori di F 4 sono 4 e e il olinomio caratteristico P F4 (t) è(t 4)(t ). Per caire se F 4 è diagonalizzaile isogna calcolare la moltelicità geometrica di, ossia calcolare dim V = dim Ker @I @ 4 4 = det @ come nel caso recedente, il Ker ha dimensione e risulta che l endomorfismo F 4 non è diagonalizzaile. 6. ltri esercizi Esercizio 6.. Sia : R 4! R 4 l alicazione lineare che nella ase standard è raresentatata dalla matrice [] = B @ Dire se è diagonalizzaile. Descrivere gli autovalori e gli autosazi di. Esercizio 6.. Sia F :! l alicazione lineare definita, nella ase standard di, dalla matrice: [F ]=@ i Dire se F è diagonalizzaile e, se lo è, trovare un ase di autovettori [nota: ricordate che stiamo lavorando sul camo ]. Esercizio 6.. onsideriamo l endomorfismo lineare L a di R diendente dal arametro reale a e definito da: L a (x, y, z) =(ax + y + z,x + ay + z, x + y + az) () Discutere la diagonalizzailità di L a al variare del arametro reale a. () Determinare, se esiste, una ase di R di autovettori er L. Esercizio 6.4. Sia T : R! R l endomorfismo la cui matrice risetto alla ase standard è @ 9 6 9 9 6 5 Dire se T è diagonalizzaile e, se lo è, trovare una ase fatta da autovettori. 5
Esercizio 6.5. a) Si consideri l endomorfismo :! a cui nella ase standard è associata la matrice Trovare gli autovettori di edirese è diagonalizzaile. ) Si consideri l endomorfismo B : R! R a cui nella ase standard è associata la matrice i) Per quali valori di R è diagonalizzaile? ii) Sia k un intero ositivo. Si trovino, in funzione di k e del arametro, gli autovalori dell endomorfismo B k. Esercizio 6.6. onsideriamo l alicazione lineare a : R 4! R 4 definita risetto alla ase standard dalla seguente matrice: [ a ]= B @ a Dire se esistono, e in caso a ermativo trovare quali, valori del arametro a R er cui a è diagonalizzaile. Determinare inoltre gli autovettori di. Esercizio 6.7. Sia F a : R! R l alicazione lineare la cui matrice associata risetto alla ase canonica è la seguente: [F a ]=@ a + () Determinare er quali valori del arametro a la matrice [F a ]èinvertiile. () Trovare i valori di a er i quali F a è diagonalizzaile. () Trovare, se esiste, una ase di autovettori di F a quando a =/. Esercizio 6.8. Sia T a : R! R l endomorfismo lineare che, risetto alla ase standard di R, è raresentato dalla seguente matrice: a @ a 7a a Per quali valori di a R l endomorfismo T a è diagonalizzaile? Esercizio 6.9. Sia T a : R! R l endomorfismo lineare che, risetto alla ase standard di R, è raresentato dalla seguente matrice: @ a a) Per quali valori di a R l endomorfismo T a è diagonalizzaile? ) Trovare, er ogni a er cui T a è diagonalizzaile, una ase di R costituita da autovettori di T a. 6
Esercizio 6.. Sia T a : R! R l endomorfismo lineare che, risetto alla ase standard di R, è raresentato dalla seguente matrice: a a @ 4a a + Per quali valori di a R l endomorfismo T a è diagonalizzaile? Esercizio 6.. Sia T k : R! R l alicazione lineare che, risetto alla ase standard di R, è raresentata dalla seguente matrice: @ k a) Per quali valori di k R T k è diagonalizzaile? ) Nei casi in cui T k è diagonalizzaile, trovare una ase fatta da autovettori. Esercizio 6.. Sia T a : R 4! R 4 l endomorfismo lineare che, risetto alla ase standard di R 4, è raresentato dalla seguente matrice: a B a @ a a a) Per quali valori di a R l endomorfismo T a è diagonalizzaile? ) Trovare, er ogni a er cui T a è diagonalizzaile, una ase di R 4 costituita da autovettori di T a. Esercizio 6.. Sia V uno sazio vettoriale di dimensione finita n sul camo K e sia T : V! V un endomorfismo lineare. Dimostrare che esiste in K[t] un olinomio di grado minore o uguale a n tale che è l endomorfismo nullo. f(t) =a n t n + + a t + a f(t )=a n T n + + a T + a I Esercizio 6.4. Un endomorfismo lineare T : V! V si dice nilotente se er un certo intero ositivo n vale che T n = T T T T è l endomorfismo nullo. Dimostrare che se T è nilotente allora ha un unico autovalore: =. Esercizio 6.5. Nel caso in cui V sia uno sazio vettoriale sul camo dimostrare il viceversa dell enunciato dell esercizio recedente, ossia che se T ha un unico autovalore, uguale a, allora T è nilotente. Se il camo è R esisachet ha un unico autovalore reale, uguale a, allora si uò concludere che T è nilotente? nalogamente, una matrice quadrata si dice nilotente se er un certo intero ositivo n vale che n è l a m a t r i c e n u l l a. 7
Esercizio 6.6. Sia V uno sazio vettoriale di dimensione 4 sul camo K esia T : V! V un endomorfismo lineare che, risetto ad una certa ase, è raresentato dalla matrice: [T ]= B @ L endomorfismo T è nilotente? È diagonalizzaile? Esercizio 6.7. Sia T : V! V un endomorfismo lineare e sia un autovalore. Dimostrare che, er un ogni intero ositivo n, n è un autovalore di T n. Esercizio 6.8. Sia V uno sazio vettoriale di dimensione finita sul camo K esia T : V! V un endomorfismo lineare diverso da I eda I. Suoniamo che valga T = I. Individuare gli autovalori di T e dimostrare che T è diagonalizzaile. Esercizio 6.9 (Proiezione lineare su un sottosazio). Sia V uno sazio vettoriale di dimensione finita sul camo K esiat : V! V un endomorfismo lineare diverso da I e dall endomorfismo nullo. Suoniamo che valga T = T. Dimostrare che T è diagonalizzaile e ha due autovalori, e. Osservare che questo equivale a dire che T è u n a roiezione lineare di V su V : T manda V surgettivamente su V e lascia fissi tutti i vettori di V.Siav,v,...,v n una ase che diagonalizza T, con V =<v,v,...,v i > e V =<v i+,...,v n >: scrivendo i vettori risetto a questa ase, la T è l alicazione tale che [T ] B @ a.. a i a i+.. a n = B @ Esercizio 6. (Diagonalizzazione simultanea di endomorfismi che commutano). Sia V uno sazio vettoriale di dimensione finita n sul camo K e siano T ed S due endomorfismi lineari diagonalizzaili. Dimostrare che, se vale T S = S T allora esiste una ase di V che diagonalizza S e T simultaneamente. Dimostrare che è vero anche il viceversa, ossia che se esiste una ase di V che diagonalizza S e T simultaneamente allora T ed S commutano. Suggerimento. ominciare con l osservare che, se è un autovalore er S e V è i l s u o a u t o s a z i o, a l l o r a T (V ) V. Esercizio 6.. Trovare, se ossiile, una ase di R che diagonalizza simultaneamante gli endomorfismi T ed S che, nella ase standard, sono raresentati risettivamente dalle matrici: [T ]= [S] = a.. a i.. 5 6 8