In Action with Math. Competizione e Strategia: Teoria dei Giochi. Giulia Bernardi, Roberto Lucchetti. 15 ottobre / 20

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1 In Action with Math Competizione e Strategia: Teoria dei Giochi Giulia Bernardi, Roberto Lucchetti 15 ottobre / 20

2 Cos'é un gioco? Gioco (dizionario) pratica consistente in una competizione fra due o più persone, regolata da norme convenzionali, e il cui esito, legato spesso a una vincita in denaro (posta del gioco), dipende in maggiore o minor misura dall'abilità dei singoli contendenti e dalla fortuna. Quindi? 2 / 20

3 Il gioco è una cosa seria Figura: Matteo 3 / 20

4 Cos'è un gioco? Gioco I giochi sono una situazione in cui più persone (detti giocatori): interagiscono, seguendo delle regole dopo un certo numero di mosse arrivano a uno stato nale, che dipende dalle scelte di tutti hanno delle preferenze su tutti gli esiti possibili del gioco Il gioco è un modello per rappresentare le situazioni della vita quotidiana. 4 / 20

5 Chi sono i giocatori? Ipotesi sul comportamento dei giocatori: razionali egoisti capiscono le regole del gioco sanno ordinare gli esiti del gioco esprimendo preferenze coerenti costruiscono una funzione di utilità associata alle loro preferenze sanno fare l'analisi completa del gioco utilizzano le regole della probabilità... l'obiettivo è massimizzare la propria funzione di utilità preferenze altrui considerate solo per studiare le loro scelte 5 / 20

6 Esempio 1 Gioco del matrimonio In un villaggio ci sono tre ragazzi e tre ragazze in età da matrimonio. Il capovillaggio deve scegliere quali coppie sposare, il suo obiettivo è creare delle coppie stabili, ovvero assicurarsi che dopo aver celebrato i matrimoni non ci saranno tradimenti e tutti i giovani saranno felici. Come può fare? Razionalità = ogni ragazzo riesce ad ordinare in ordine di preferenza le tre ragazze presenti nel villaggio e viceversa. Egoismo = ogni giocatore vuole ottenere il meglio per sé. 6 / 20

7 Esempio 1 A: D E F B: E D F C: F E D D: C A B E: A C B F: B A C 7 / 20

8 Esempio 1 A: D E F B: E D F C: F E D D: C A B E: A C B F: B A C Soluzione (A, D) (B, E) (C, F ) oppure (A, E) (B, F ) (C, D) 8 / 20

9 Esempio 2 Beauty Contest Ognuno deve scrivere su un foglio un numero qualsiasi da 1 a 100. Per vincere il gioco bisogna aver scritto il numero che più si avvicina alla metà della media di tutti i numeri che sono stati scritti. Quale numero dovete scrivere per vincere? 9 / 20

10 Esempio 2 Beauty Contest Ognuno deve scrivere su un foglio un numero qualsiasi da 1 a 100. Per vincere il gioco bisogna aver scritto il numero che più si avvicina alla metà della media di tutti i numeri che sono stati scritti. Quale numero dovete scrivere per vincere? Analisi completa del gioco = la risposta è 1 10 / 20

11 Esempio 3 Lotteria In un negozio vengono venduti i biglietti per due diverse lotterie, la prima la lotteria Arrischio promette: Premio con probabilità 2500 euro 33% 2400 euro 66% 0 1% Mentre la lotteria Bario garantisce una vincita di 2400 euro sempre. Per quale delle due lotterie vorreste farvi regalare il biglietto? 11 / 20

12 Esempio 3 Lotteria In un negozio vengono venduti i biglietti per due diverse lotterie, la prima la lotteria Arrischio promette: Premio con probabilità 2500 euro 33% 2400 euro 66% 0 1% Mentre la lotteria Bario garantisce una vincita di 2400 euro sempre. Per quale delle due lotterie vorreste farvi regalare il biglietto? Saper utilizzare le regole della probabilità = calcolare il valore atteso dalla vincita delle due lotterie. Lotteria A: , , , 01 = / 20

13 Tipi di giochi Gioco non cooperativo: non esiste collaborazione tra i giocatori. dilemma del prigioniero scacchi, dama... Gioco cooperativo: accordi vincolanti tra i giocatori. dividere delle spese comuni organi di governo / 20

14 Giochi non cooperativi Dilemma del prigioniero Due persone vengono sospettate di aver commesso un reato molto grave. Il giudice fa ad entrambi questa proposta: se entrambi confesseranno avranno 5 anni in prigione per scontare la pena. Se confessa solo uno solo dei due, il primo sarà libero e il secondo sconterà una pena di 9 anni. Se nessuno dei due confessa, veranno accusati di reati minori e staranno in carcere per 2 anni. Rappresentare i giochi con una bimatrice: le righe rappresenano le strategie del primo giocatore; le colonne le strategie del secondo giocatore. ( (5, 5) ) (0, 9) (9, 0) (2, 2) 14 / 20

15 Giochi non cooperativi Giochi Nim Sul tavolo ci sono quattro ammiferi divisi in due gruppetti. due amici fanno un gioco: a turno ognuno può togliere dal tavolo uno o due ammiferi dallo stesso gruppo. Perde chi toglie l'ultimo ammifero. Rappresentare i giochi con un grafo: ogni nodo rappresenta una possibile situazione del gioco; i rami rappresentano le possibili scelte dei giocatori; ai nodi nali sono associate le utilità dei giocatori. 15 / 20

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17 Esempi di giochi cooperativi Due venditori e un compratore Ci sono due persone che vogliono vendere lo stesso tipo di macchina e una persona disponibile ad acquistarla. Nessuna vendita: v( ) = 0 v({1, 2}) = 0,, v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0 L'aare è fatto: v({1, 3}) = v({2, 3}) = v({n}) = 1 17 / 20

18 Esempi di giochi cooperativi Bancarotta Una industria fallisce lasciando dei debiti con tre fornitori. Al primo fornitore si devono 100 euro, al secondo 200 euro e al terzo 300. Sfortunatamente il patrimonio a disposizione per saldare i debiti è pari a 300 euro. L'insieme dei giocatori è l'insieme dei fornitori N = {1, 2, 3}. Ad ogni gruppo di fornitori la funzione v associa la quantità che possiamo assegnare al gruppo: v( ) = 0 v(n) = 300 v(1) = 0 v(2) = 0 v(3) = 0 v({1, 2}) = 0 v({1, 3}) = 100 v({2, 3}) = / 20

19 Esempi di giochi cooperativi Consiglio di sicurezza dell'onu Nel consiglio di sicurezza dell'onu ci sono i rappresentanti di 15 Nazioni. Questi 15 rappresentanti sono divisi tra 5 nazioni permanenti, ed altre dieci che cambiano ogni due anni. Una proposta viene approvata se riceve 9 voti favorevoli di cui 5 delle nazioni permanenti. L'insieme dei giocatori è rappresentato dalle 15 Nazioni. La funzione v vale 1 per le coalizioni che ottengono la maggioranza, 0 per le coalizioni che non hanno la maggioranza. 19 / 20

20 Un po' di storia Problema del Talmud Teorema di Zermelo Strategie miste (Borel, von Neumann) 1944 Theory of Games and Economic Behaviour Nobel: 1994 Harsanyi, Nash, Selten 2005 Aumann, Schelling 2007 Hurwicz, Maskin, Myerson 2012 Shapley, Roth 2014 Tirole 20 / 20