Guarda prima di saltare

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1 Guarda prima di saltare Marco LiCalzi Dipartimento di Matematica Applicata Università Ca Foscari di Venezia Liceo Scientifico Benedetti Venezia, 21 aprile 2008

2 Un calcio al pallone

3 Un calcio al pallone Lucy promette a Charlie Brown che non tirerà via il pallone. Charlie Brown può tentare il calcio o rinunciare. Lucy può tenere fermo il pallone o tirarlo via. Ciascuno valuta diversamente i possibili esiti: +1, 0, 1. Charlie tenta Lucy 1 toglie rinuncia lascia C L C L Guarda prima di saltare = Pensa prima di calciare! C L -1 +1

4 Rapimento e riscatto Anna ha rapito Ben per chiedere un riscatto. Dopo il pagamento del riscatto, deve decidere se liberarlo o ucciderlo. Se lo libera, Ben potrebbe rivelare la sua identità. Ciascuno valuta diversamente i possibili esiti: +1, 0, 1. Anna A B 0-1 uccide libera Ben 1 A B +1 0 tace rivela A B Nel film Ransom (1986) Mel Gibson stravolge l albero.

5 L albero del tris

6 L albero del mini-tris Esito Regole 1. Si gioca come il tris. 2. Vince chi mette due segni sulla stessa linea (orizz./vert.). Bart X Lisa X 0 X 0 Bart Bart X 0 X X 0 X X X 0 X X 0 Vince Bart Patta Vince Bart Vince Bart

7 La mappa di Zermelo Il tris è un gioco di pura abilità, come dama, scacchi, hex, nim, etc. Una giocata è perfetta se conduce al miglior risultato possibile per un giocatore. Zermelo (1913): Tutti i giochi di pura abilità si possono giocare in modo perfetto. Osservazioni: 1. Giocare in modo perfetto non vuol dire vincere: se giocate tris in modo perfetto, finisce patta. 2. Per giocare perfettamente bisogna risolvere il gioco: i bambini non sanno risolvere l albero del tris. I programmi di scacchi moderni non riescono ancora a risolvere il gioco, ma sono già più bravi dei migliori umani.

8 Rubamonete Regole 1. Ci sono 21 monete. 2. A turno, uno dei due giocatori scarta da 1 a 3 monete. 3. Vince (e si prende tutte le monete) chi scarta l ultima moneta. Come si gioca in modo perfetto? Domanda Risposta [...]

9 Come si gioca in modo perfetto? Partiamo dal fondo. (Stiamo per fare induzione retrograda!) Se al tuo turno restano 1/2/3 monete, hai vinto: Primo, non prenderle! : non lasciar mai giù 1/2/3 monete. Se ci sono 4 monete e tocca a te muovere, hai perso: 4 Se ci sono 5 monete e tocca a te muovere, che fai? 5 Se ci sono 6/7 monete, che fai? 6 7 Se ci sono 8 monete, hai perso. 8 Se ci sono 9/10/11 monete, che fai? Se sono 12? 12 Quali sono le posizioni da evitare? Chi inizia il gioco vince: basta mandare l avversario in rosso.

10 Il giudizio di Re Salomone Due donne si contendono un bambino, sostenendo di esserne la vera madre. Salomone deve decidere a chi assegnare il bambino. Salomone propone di dare a ciascuna donna metà del bambino, dopo averlo tagliato in due. Anna accetta l offerta, mentre Beth preferisce lasciare il bambino alla rivale. Salomone riconosce nella scelta di Beth l amore materno e le assegna il bambino. In questo caso, la reputazione di saggezza di Salomone ha rischiato grosso. Che cosa sarebbe successo se anche Anna avesse rifiutato?

11 Il disegno dei meccanismi La teoria del disegno dei meccanismi studia problemi analoghi: sappiamo cosa vorremmo (dare il bimbo alla vera madre); ma l esito dipende da altri (anche Anna vuole il bimbo) che possono mentire a proprio vantaggio (come fa Anna); bisogna trovare il modo di non farci fregare. Nel 2007 il premio Nobel per l Economia è andato a Hurwicz, Maskin e Myerson per avere costruito le basi di questa teoria. Ma torniamo al nostro esempio: come scoprire la vera madre senza rischiare la reputazione.

12 Un miglior giudizio per re Salomone Salomone deve scoprire chi è la vera madre. (Noi sappiamo che è Beth.) Ecco uno schema che funziona, se Salomone usa la sua saggezza per scegliere multe adeguate. Salomone chiede a turno alle due donne: Sei tu la madre? Prima donna si Seconda donna si Seconda ottiene il bambino; entrambe sono multate no no Seconda ottiene il bambino Prima ottiene il bambino

13 Come funziona? Salomone deve scoprire chi è la vera madre. (Noi sappiamo che è Beth.) Supponiamo che la prima donna a parlare sia Anna. Anna si Beth si Beth ottiene il bambino; entrambe sono multate no no Beth ottiene il bambino Anna ottiene il bambino Se la prima donna a parlare è Anna, il bimbo va a Beth.

14 Come funziona? Salomone deve scoprire chi è la vera madre. (Noi sappiamo che è Beth.) Adesso supponiamo che la prima donna a parlare sia Beth. Beth si Anna si Anna ottiene il bambino; entrambe sono multate no no Anna ottiene il bambino Beth ottiene il bambino Se la prima donna a parlare è Beth, il bimbo va a Beth.

15 Preferenze in conflitto Tre persone (Anna, Ben, Chris) devono scegliere insieme quale fra le tre politiche a, b, c adottare. Le loro preferenze sono: Anna: a b c Ben: b c a Chris: c a b In un confronto a coppie, a batte b per 2 voti a 1. Analogamente, b batte c e c batte a per 2 a 1. Scegliamo fra a e b e poi mettiamo a confronto il vincitore con c. Come pensate che andrà a finire? Risposta ingenua Al primo turno, a batte b per 2 voti a 1. Al secondo turno, c batte a per 2 voti a 1. Vince c.

16 Pensa prima di votare! Anna: a b c Ben: b c a Chris: c a b Scegliamo fra a e b e poi mettiamo a confronto il vincitore con c. Se al primo turno passa a, al secondo turno vince c. Se al primo turno passa b, al secondo turno vince b. Prendete il punto di vista di Anna: se Anna vota a, al primo turno passa a e vince c; se invece vota b, al primo turno passa b e vince b. Anna preferisce b a c: le conviene votare b al primo turno (non a).

17 Indovina il numero Regole 1. Ognuno scrive un numero intero fra 1 e Si calcola la media di questi numeri. 3. Vince chi si avvicina di più ai 2/3 della media. Come giochereste? Domanda Qualcuno non è perfettamente razionale... E inutile scrivere un numero maggiore di (2/3) 90 = 60. Allora è inutile anche un numero maggiore di (2/3) 60 = e anche uno maggiore di (2/3) e quindi uno maggiore di (2/3) 27 = 18...

18 Metto all asta un euro Regole 1. Chiunque può fare offerte. 2. Ogni offerta deve essere al rialzo. 3. L asta termina se trascorre un minuto senza rialzi. 4. L euro va al più alto offerente, che paga la sua offerta. 5. Anche il secondo più alto offerente paga la sua offerta. Come giochereste? Domanda Risposta [...]

19 Riferimenti bibliografici K. Binmore, Game theory: A very short introduction, Oxford University Press, A. Dixit e B. Nalebuff, Io vinco, tu perdi, Il Sole 24 Ore Pirola, R. Gardner, Games for business and economics, Wiley R. Lucchetti, Passione per Trilli: Alcune idee dalla matematica, Springer Italia R. McAfee, Competitive solutions: The strategist s toolkit, Princeton University Press. A.D. Taylor, Mathematics and politics, Springer (Capp. 1 e 6) (Vedi in particolare Pop culture )