La Talpa del Perú. G. Mezzetti 27 novembre 2004

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1 La Talpa del Perú G. Mezzetti 27 novembre 2004 Quello che viene qui presentato è un gioco non nuovo e abbastanza noto, descritto sia in libri di giochi matematici, sia in libri per ragazzi (se non ricordo male, era descritto anche in una delle prime edizioni del Manuale delle Giovani Marmotte ). Nonostante sia un gioco da bambini, esso presenta dei risvolti matematici interessanti e non sempre del tutto banali (p.e., implica questioni non del tutto banali di topologia algebrica). Per noi ha interesse come esercizio per abituarsi a dimostrare proposizioni di carattere astratto. 1 Descrizione del gioco Il gioco comincia segnando a caso un numero finito di punti su un foglio di carta. Questi punti rappresentano altrettanti pozzi che la Talpa del Perú ha scavato in un campo (vedi fig. 1). Figura 1: Situazione di partenza Il gioco prevede due giocatori che si alternano nel fare le mosse. Ciascuna mossa consiste nel tracciare una linea tra due pozzi, che rappresenta una galleria scavata dalla Talpa. Le gallerie (che possono benissimo essere curve) devono essere scavate rispettando le regole di seguito elencate. 1. Ogni galleria deve essere tracciata tra due pozzi già esistenti; è consentito scavare una galleria che inizia e termina nello stesso pozzo, purché siano rispettate tutte le altre regole. 2. Una galleria non può incrociare una galleria già scavata, né attraversare un pozzo già scavato: se una galleria passa per un pozzo già scavato, deve terminare lì. 1

2 3. Tutte le volte che scava una galleria, la Talpa scava anche un nuovo pozzo lungo la galleria stessa. 4. In un pozzo non possono confluire più di tre gallerie. Attenzione: s intende che un pozzo scavato in base alla regola 3 parte già con due gallerie che confluiscono in esso (le due mezze gallerie che formano la galleria lungo la quale esso è stato scavato). Per facilitare il rispetto della regola 4, quando un giocatore scava la terza galleria che confluisce in un pozzo, ha anche cura di tracciare un circoletto attorno al pozzo stesso per indicare che esso è pieno e non può più essere usato per far partire o terminare una galleria. Vediamo di illustrare le regole con qualche esempio. Supponendo di partire dalla situazione indicata dalla fig. 1, il primo giocatore disegnerà una galleria e scaverà un nuovo pozzo lungo di essa, ottenendo, ad esempio, la situazione mostrata nella fig. 2. Figura 2: Situazione dopo la 1 a mossa del 1 o giocatore Il secondo giocatore potrebbe rispondere con la mossa mostrata nella fig. 3. Si noti sempre il nuovo pozzo scavato lungo la nuova galleria. Figura 3: Situazione dopo la 1 a mossa del 2 o giocatore Il primo giocatore potrebbe poi giocare la mossa mostrata nella fig. 4; si noti che, con questa mossa, egli completa un pozzo. Il pozzo pieno così creato è segnalato da un cerchietto disegnato intorno. Il secondo giocatore potrebbe rispondere con la mossa il cui effetto è mostrato nella fig. 5; si noti che anche in questo caso viene creato un pozzo pieno. 2

3 Figura 4: Situazione dopo la 2 a mossa del 1 o giocatore Figura 5: Situazione dopo la 2 a mossa del 2 o giocatore Può essere utile, a questo punto, dare un paio di esempi di mosse illegali: la mossa mostrata nella fig. 6 è illegale perché la nuova galleria incrocia una galleria già scavata; la mossa mostrata nella fig. 7 è illegale perché si viene a creare un pozzo in cui confluiscono 4 gallerie. Torniamo ora alla situazione mostrata nella fig. 5. Dopo altre quattro mosse (due del primo e due del secondo giocatore), il campo potrebbe presentarsi come in fig. 8. Dopo altre sette mosse (quattro del primo e tre del secondo giocatore), il secondo giocatore, che ha il turno, non riesce più a tracciare una nuova galleria rispettando le regole (vedi fig. 9). Quando ciò accade, il giocatore che è rimasto bloccato perde il gioco. Così, in questo caso, il primo giocatore ha vinto. NO! Figura 6: Mossa illegale: la nuova galleria incrocia una galleria già scavata. 3

4 NO! Figura 7: Mossa illegale: si viene a creare un pozzo con 4 gallerie. Figura 8: Situazione dopo la 4 a mossa del 2 o giocatore Figura 9: Non ci sono più mosse legali possibili e pertanto il gioco è terminato. 4

5 2 Questioni Abbiamo detto che perde il gioco il giocatore che per primo rimane bloccato, nel senso che non riesce più a tracciare una nuova galleria rispettando le regole. La prima domanda nasce allora spontanea: Domanda 1. È vero oppure no che il gioco ha sempre termine, quale che sia il numero di pozzi con cui si è cominciato? In altre parole: è vero oppure no che si raggiunge sempre una situazione nella quale è impossibile tracciare nuove gallerie rispettando le regole, quale che sia il numero (magari grandissimo, ma comunque finito) di pozzi con cui il gioco è cominciato? Se è vero, dimostrarlo; se non è vero, dare un esempio di una partita della quale si è in grado di dimostrare che può continuare all infinito (magari anche, se necessario, supponendo che i due giocatori facciano mosse stupide, purché legali). L esempio che abbiamo fatto noi, comunque, fa vedere che esistono partite che terminano in un numero finito di mosse. (Chissà, forse dipende dal numero di pozzi con cui si inizia: forse, se questo numero non è troppo alto la partita termina, altrimenti... ) Ora, se si guarda la situazione finale mostrata in fig. 9, si nota che ci sono ancora tre pozzi non pieni, i quali potrebbero, quindi, ricevere nuove gallerie, ma che essi non possono essere collegati perché sono completamente circondati da gallerie già scavate, che li isolano l uno dall altro. Dunque esistono partite che terminano senza che tutti i pozzi siano pieni. D altra parte, se nel corso di una partita si raggiungesse una situazione in cui tutti i pozzi fossero pieni, è chiaro che, a quel punto, la partita terminerebbe. Ci chiediamo allora: Domanda 2. Fra le partite che terminano, ne esistono alcune che terminano con tutti i pozzi pieni? Se sì, dare un esempio di una partita che termina avendo tutti i pozzi pieni ; se no, dimostrare che ogni partita che termina termina con almeno un pozzo non pieno. Si può anche pensare di modificare le regole del gioco; così, per esempio, alla regola 3 si potrebbe stabilire che la Talpa scavi due nuovi pozzi, anziché uno, su ogni nuova galleria scavata. Ci si potrebbe allora chiedere: Domanda 3. Si modifica la risposta alla domanda 1 se la Talpa scava due nuovi pozzi, anziché uno, lungo ogni nuova galleria? Un altra possibile modifica potrebbe riguardare il numero di gallerie che possono confluire in un pozzo: Domanda 4. Si modifica la risposta alla domanda 1 se si ammette che in un pozzo possano confluire fino a 4 gallerie (invece che 3)? Il matematico, a questo punto, tenderà a generalizzare: Domanda 5. Si modifica la risposta alla domanda 1 se la Talpa scava p nuovi pozzi (p 1) lungo ogni nuova galleria, e se si ammette che in un pozzo possano confluire fino a g gallerie (g 3)? Domanda 6. Si modifica la risposta alla domanda 2 se la Talpa scava p nuovi pozzi (p 1) lungo ogni nuova galleria, e se si ammette che in un pozzo possano confluire fino a g gallerie (g 3)? 5

6 3 Questioni più esotiche Dopo avere giocato un po di partite, chiunque si accorge che scegliere con cura come tracciare le gallerie è fondamentale per riuscire a vincere una partita. Per esempio, partendo dalla situazione della fig. 8, la partita poteva evolvere diversamente, facendo vincere il secondo giocatore invece del primo (vedi fig. 10). Figura 10: Un altro possibile sviluppo della partita, in cui vince il 2 o giocatore Bisogna cercare di far sì che l avversario si trovi in una situazione in cui tutti i pozzi non pieni siano circondati da gallerie, evitando però di porre sé stessi nella medesima situazione. Si può cercare di definire una strategia di gioco che consenta sempre di giocare al meglio, e magari di programmarla su un calcolatore. Le domande esposte qui sotto propongono alcune questioni la cui comprensione è utile alla formulazione di una strategia del genere. La fig. 10 mostra un esempio in cui una partita si conclude con due pozzi non pieni. Nella fig. 9, invece, la partita terminava con tre pozzi non pieni. Alcune domande si suggeriscono spontaneamente: Domanda 7. È possibile che una partita termini con un solo pozzo non pieno? (Questa è facile.) Domanda 8. È possibile che una partita termini con k pozzi non pieni, con k > 0 numero intero fissato a piacere? (Anche questa non è difficile.) Domanda 9. C è una relazione fra il numero n di pozzi con cui si inizia una partita, il numero k di pozzi non pieni con cui la partita termina e il giocatore che vince? Per rispondere affermativamente alle domande 7 e 8 è sufficiente trovare degli esempi di partite che soddisfino le condizioni richieste (per la domanda 8 occorrerà costruire una famiglia infinita di esempi, generati in base a una qualche regola); nel costruire tali esempi, si è liberi di scegliere nel modo più opportuno il numero dei pozzi con cui fare iniziare la partita-esempio. Si pone allora la seguente domanda più stringente: 6

7 Domanda 10. È vero oppure no che, per ogni n N, n > 0 e per ogni k N, k > 0, esiste una partita che inizia con n pozzi e termina con k pozzi non pieni? In effetti, la richiesta contenuta nella domanda 10 sembra molto forte: forse bisogna imporre a k di non essere troppo grande rispetto a n. Detto meglio: forse esiste una funzione f: N N tale che per ogni n N, n > 0 e per ogni k N tale che 0 < k f(n) esiste una partita che inizia con n pozzi e termina con k pozzi non pieni. È vero questo? E se sì, come si calcola la funzione f? 7