Università degli Studi della Calabria

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1 Università degli Studi della Calabria FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Matematica Tesi di Laurea Teoria dei Giochi ed Equilibrio di Nash CANDIDATA Francesca SPOSATO Anno Accademico 2004/2005 1

2 INTRODUZIONE L obiettivo di questa tesi è quello di analizzare la teoria dei giochi. Iniziamo col dire che la Teoria dei Giochi è una disciplina matematica che si occupa di interazioni strategiche fra decisori razionali (un soggetto lo si considera razionale se agisce in modo da giungere ad un massimo di utilità o di guadagno, oppure, viceversa, ad un minimo di sforzo o di costo). In particolare, della teoria dei giochi, analizzeremo La teoria dell equilibrio di Nash. La tesi sarà suddivisa in tre capitoli. Nel primo capitolo si parlerà della nascita della teoria dei giochi, di come i giochi possono essere classificati ed in particolare analizzare i cosiddetti giochi non cooperativi. Nel secondo capitolo si farà riferimento a von Neumann ed al suo teorema del minmax, che rappresenta il primo teorema più importante della teoria dei giochi che è applicabile nel caso di giochi non cooperativi a somma zero e a due giocatori. Nel terzo ed ultimo capitolo si parlerà della teoria dell equilibrio di Nash che ha dato un impulso notevole alla teoria dei giochi estendendo il teorema del minmax a giochi non cooperativi a somma non zero e ad n giocatori. 4

3 CAPITOLO 1: LA TEORIA DEI GIOCHI 1.1 CENNI STORICI I matematici hanno sempre trovato i giochi intriganti. Così come i giochi d azzardo portarono alla teoria della probabilità, il poker e gli scacchi hanno interessato i matematici di Princeston, facendo nascere la teoria dei giochi. La nascita della teoria dei giochi viene convenzionalmente fissata con l uscita del famoso libro di von Neumann-Morgenstern Teoria dei giochi e comportamento economico (Università di Princeton, 1944). Naturalmente questo non significa che prima del 1944 non ci siano stati importanti contributi allo studio matematico dei giochi, ma il libro di von Neumann e Morgenstern è il primo a proporre questo programma in maniera sistematica e soprattutto in relazione allo studio delle scienze sociali. Von Neumann stesso, nel 1928, scrisse l articolo Zur Teorie der Gesellschaftspiele nel quale diede una descrizione matematica completa di un gioco, e dimostrò un risultato fondamentale: il teorema del minmax; l articolo suggeriva che la teoria dei giochi possa trovare applicazioni nell economia, ma l interesse centrale della teoria rimaneva sostanzialmente lo studio di giochi di società come il poker e gli scacchi. Fu solo quando, nel 1938, von Neumann incontrò Morgenstern che iniziò a 5

4 nascere l dea di un libro che avrebbe rivoluzionato la storia della teoria dei giochi, e quando nel 1944 venne pubblicato, von Neumann e il suo libro ottennero quel tipo di attenzione pubblica che nessuna altra opera accurata di matematica aveva mai ricevuto. Il libro di von Neumann e Morgenstern suscitò, dunque, enormi attese ed ebbe un fortissimo impatto ma, dopo alcuni anni di successo, subentrò un periodo di sfiducia nella teoria dei giochi, che è diventata strumento importante per l analisi economica solo dagli anni CLASSIFICAZIONE DEI GIOCHI Una prima classificazione all interno della teoria dei giochi distingue fra: - Giochi cooperativi; - Giochi non cooperativi. La teoria cooperativa studia il formarsi di coalizione con la possibilità di sottoscrivere accordi vincolanti che siano di vantaggio ai singoli componenti; questi tipi di giochi sono stati studiati, in particolare, da von Neumann. Nella teoria non cooperativa, invece, le decisioni vengono prese singolarmente, sulla base di ragionamenti individuali; a dare un impulso notevole a questa teoria è stato John Nash. 6

5 Come accennato nell introduzione, in questa tesi analizzeremo i Giochi non Cooperativi. E necessario sapere che nella teoria dei giochi per esserci un gioco vero devono esserci almeno due giocatori. Gli esempi che faremo rappresentano giochi finiti a due giocatori: l estensione al caso di più giocatori è più complicata, sebbene non concettualmente diversa. Prima di fare qualche esempio di gioco non cooperativo ci avvaliamo di alcune definizioni. Definizione 1 Un gioco a due giocatori si dice a somma zero se in ogni possibile risultato l utilità di ogni giocatore è uguale all opposto dell utilità dell altro. I giochi che stiamo per rappresentare si dicono essere rappresentati in forma estesa, ovvero attraverso un grafo che, partendo dalla radice, descriva il gioco mossa per mossa, fino ad arrivare a presentare tutte le situazioni finali. Questo tipo di rappresentazione è stata introdotta da von Neumann e Morgenstern nel