Automazione dei Sistemi Industriali

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1 Automazione dei Sistemi Industriali Luca Sani Dipartimento di Sistemi Elettrici e Automazione Università di Pisa tel luca.sani@dsea.unipi.it Luca Sani Laboratorio informatico per l ingegneria elettrica 3 Et n A.A Luca Sani DSEA Università di Pisa

2 Sommario Introduzione a Simulink Costruzione del modello Simulazione Le librerie Esempi 2

3 Introduzione Simulink è l acronimo di Simulation e Link. Simulink è un toolbox di Matlab per la simulazione dei sistemi dinamici (da qui la parola simulation). Volendo studiare con Simulink un sistema è sufficiente disegnare il relativo schema collegando (da qui la parola link) opportunamente i vari blocchi che realizzano le diverse funzioni elementari e quindi lanciare la simulazione. 3

4 Introduzione Il risultato della simulazione di uno schema che Simulink può fornire è quasi sempre esatto. Il risultato è esatto nel senso che è la conseguenza del modello adottato per la schematizzazione del fenomeno in esame. Un simulatore, comunque sofisticato, non potrà mai verificare se il modello è congruente con la realtà. Spetta all utente valutare la bontà dei risultati. Il termine quasi è legato al fatto che il simulatore risolve le equazioni differenziali in cui viene descritto il modello con tecniche di integrazione numerica. Quindi il risultato è affetto da errori. Simulink mette a disposizione una serie di metodi numerici. Spetta all utente indicare a Simulink quale utilizzare e specificare in modo opportuno i parametri. 4

5 Introduzione La simulazione di un sistema dinamico con Simulink avviene in due passi: Si costruisce lo schema a blocchi del modello del sistema utilizzando il model editor di Simulink. Il modello descrive in forma grafica le relazioni tra gli ingressi, gli stati e le uscite del sistema. Si definiscono i parametri della simulazione e si avvia la routine di integrazione numerica. 5

6 Diagrammi a blocchi Un diagramma a blocchi di Simulink è una rappresentazione grafica del modello del sistema da analizzare. Consiste in un insieme di simboli detti blocchi, interconnessi da linee. Ogni blocco rappresenta un sistema dinamico elementare. y 1 + F 1 F 2 F 3 + y 2 y 3 y3=f3*y2 y2=f2*(y1+y3) y3=f3*f2*(y1+y3) -> y3=[(f3*f2)/(1-f3*f2)]*y1 6

7 Ogni blocco rappresenta un sistema dinamico elementare. Un blocco comprende le seguenti grandezze (non sempre sono tutte presenti): un insieme di ingressi un insieme di stati un insieme di uscite Blocco elementare u(t) f(u(t),x(t),y(t)) y(t) Le grandezze di uscita sono una funzione del tempo e delle grandezze di ingresso e degli stati del sistema. y(t) = f(u(t),x(t),t) Si parla di blocco continuo se l uscita è una funzione continua del tempo. Si parla di blocco discreto se il segnale di uscita è valutato solo in specifici istanti. 7

8 Uno stato x(t) di un sistema è una variabile che determina l uscita del blocco è il cui valore corrente dipende dai valori precedenti di tutti gli altri stati e di tutti gli ingressi del sistema. x(t)=f(x(t 0, t - ),u(t 0,t - )) Che cosa è uno stato Un esempio di blocco con stato è quello integratore y t () () t = u t dt t 0 Il valore corrente dell uscita dipende dai valori dell ingresso u(t) nell intervallo [t 0, t ]. In questo caso x(t) è e l uscita y(t)=u(t). xt () () t t = utdt 0 8

9 Che cosa è uno stato Un blocco con stati è detto con memoria perchè appunto deve memorizzare i valori precedenti degli stati stessi per poter calcolare il valore corrente degli stati stessi. Ci sono sistemi dinamici senza stati. Un esempio è il blocco Gain (guadagno) y t ( ) ( ) In ogni istante l uscita dipende solo dal valore corrente dell ingresso. = Au t 9

10 Rappresentazione del modello Per la simulazione di sistemi dinamici continui, il blocco elementare fondamentale è l integratore. Data una generica equazione differenziale:,,, y, u, = t 1 dt dt dt n n 1 d y d y dy f n n Lo schema a blocchi che la rappresenta mediante solo integratori (modello di Kelvin) è: y (n-1) y (n) y (n-2) y y ( ) (,,,, n 1,, ) f y y y y u t u t 10

11 Rappresentazione del modello La rappresentazione con integratori offre i seguenti vantaggi: non è necessario eseguire operazioni di derivazione. Tale operazione non è fattibile nel caso di segnali affetti da rumore. l integrazione numerica è più stabile. 11

12 Metodi di integrazione numerica I metodi numerici per la soluzione di una generica equazione differenziale ( ) ( ) x = f xt, t T, Tf x T = x individuano all interno dell intervallo di integrazione un certo numero di istanti di integrazione T 0 =t 1 < t 2 < t n =T f e calcolano la soluzione x(t i ) in corrispondenza di questi punti. La soluzione all istante t i+1 è determinata sulla base delle soluzioni calcolate negli istanti precedenti, con una formula del tipo: ( ) ( ) ( ) x ti+ 1 = x ti + hi ti, x, h, f con h i = t i+1 -t i è il passo di integrazione è un opportuna funzione 12

13 Metodi di integrazione numerica ( ) ( ) ( ) x ti+ 1 = x ti + hi ti, x, h, f I vari metodi di integrazione si distinguono per una diversa funzione e un opportuna scelta di h. Metodi a passo fisso: h è costante Metodi a passo variabile: h è scelto in modo opportuno ad ogni passo. Trovata la soluzione x i+1, viene valutato l errore nei confronti della soluzione esatta. Se questo supera il limite prefissato si riduce h e si ricalcola la soluzione. Se l errore è inferiore al passo successivo H viene incrementato. In questo modo i tempi di calcolo si riducono. 13

14 Metodi di integrazione numerica Simulink possiede diversi metodi di integrazione, sia a passo fisso che a passo variabile. Metodi a passo variabile ode45 (default) non appropriato per sistemi stiff (Runge Kutta 4,5) ode23 più veloce, ma meno preciso di ode45, anche per stiff ode113 ode15s ode23s per soluzioni accurate, ma più lento efficiente per sistemi stiff meno preciso, ma più efficente del precedente ode23t per sistemi moderatamente stiff ode23tb meno preciso di ode15s discrete (default) per sistemi discreti 14

15 Metodi di integrazione numerica Metodi a passo fisso ode5 ode4 ode3 ode2 ode1 (default) versione a passo fisso della ode45 Metodo di Runge Kutta del 4 ordine versione a passo fisso della ode23 metodo di Eulero 15

16 Schema di lavoro Una sessione di lavoro con Simulink consiste nei seguenti passi: si crea graficamente il modello del sistema da analizzare nel Simulink editor si sceglie l algoritmo di integrazione e si fissano i corrispondenti parametri si avvia la simulazione si analizzano i risultati 16

17 Avvio Si può avviare il toolbox Simulink in due modi: dal prompt di Matlab nella command window digitando simulink dalla toolbar di Matlab, selezionando l icona corrispondente. 17

18 Il Browser Library di Simulink Si avvia il Browser Library di Simulink Si tratta della libreria dei blocchi elementari. E organizzata per categorie. 18

19 Si può creare un nuovo modello in tre modi: dal menu File->New->Model con i tasti Ctrl+N Creazione di un nuovo modello dall icona New nella toolbar Simulink apre una finestra bianca, che rappresenta il foglio di lavoro su cui disegnare il modello. 19

20 Creazione di un nuovo modello Simulink mette a disposizione un elevato numero di sistemi (blocchi) elementari. Il modello di un qualunque sistema complesso si può sempre vedere come composizione di modelli più semplici. Quindi creare un modello in Simulink significa: individuare nella libreria i blocchi elementari necessari inserirli nel foglio di lavoro creare gli opportuni collegamenti scegliere i parametri di ogni blocco 20

21 Inserimento dei blocchi dalla libreria Una volta individuato il blocco, si può inserire nel foglio di lavoro in due modi: si seleziona con il mouse e tenendo premuto il tasto sinistro del mouse e si trascina sul foglio si seleziona con il mouse e si preme il tasto destro del mouse. Dal menu a discesa si seleziona la voce add to 21

22 Creazione dei collegamenti logici Per creare un collegamento tra un uscita di un blocco e l ingresso di un altro si può fare in due modi: Con il mouse si seleziona il primo blocco Si tiene premuto il tasto Ctrl Si seleziona il secondo blocco Simulink crea un collegamento tra la prima porta di uscita del primo blocco con la prima porta di ingresso del secondo blocco. 22

23 Creazione dei collegamenti logici Metodo alternativo Si porta il mouse in corrispondenza della porta di uscita del primo blocco. Il puntatore diventa una croce. Si tiene premuto il tasto destro e si trascina il collegamento fino alla porta di ingresso desiderata del secondo blocco 23

24 Modificare l aspetto di un blocco Per modificare l aspetto di un blocco (colore, orientazione, ) si seleziona con il mouse e poi si preme il tasto desto. Dal menù a discesa è possibile: copiare, il blocco accedere alla finestra dei parametri accedere al sottomenù Format cambiare i colori del blocco 24

25 Modificare l aspetto di un blocco Dal sottomenù Format è possibile: cambiare i font spostare il nome nascondere il nome ruotare o invertire il blocco aggiungere l ombra al blocco 25

26 Modificare l aspetto di un blocco Per modificare l etichetta di un blocco è sufficiente fare un click con il mouse sull etichetta stessa. L etichetta diventa editabile e si può modificare. 26

27 Modificare i parametri di un blocco Si accede alla finestra dei parametri di un blocco con un doppio click del mouse quando il puntatore è sul blocco. Ogni blocco ha una propria finestra specifica. I parametri di un blocco possono essere: valori numerici selezione da menu opzione di attivazione di parametri. I parametri numerici possono essere variabili definite nel workspace di Matlab. 27

28 Modificare l aspetto di un blocco Per aggiungere un etichetta ad un segnale è sufficiente cliccare con il mouse sul segnale e poi editare il testo. Per aggiungere un commento nel modello è sufficiente un doppio click con il mouse in uno spazio bianco e poi inserire il testo. 28

29 Parametri della simulazione Una volta che è stato costruito il modello e scelto il metodo di integrazione occorre definire i parametri della simulazione. Si accede alla finestra relativa dal menu Simulation -> Configuration Parameters... 29

30 Parametri della simulazione Start time Stop time Type istante di inizio istante di fine metodo a passo fisso o a passo mobile In presenza di un metodo a passo variabile Max step size: è la massima ampiezza del passo di integrazione. Se è auto allora è 1/50 dell intervallo di integrazione. Occorre fissarlo minore di 0.1 τ max (costante di tempo più grande). Min step size: è la minima ampiezza del passo di integrazione. Occorre fissarlo minore di 0.01 τ min (costante di tempo più piccola). Relative tolerance e Absolute tolerance: definiscono il massimo errore relativo e assoluto. 30

31 Parametri della simulazione In presenza di un metodo a passo fisso Fixed step size: è l ampiezza del passo di integrazione. Il valore di default auto è pari ad un cinquantesimo dell intervallo di integrazione. 31

32 Simulink Salvataggio di un modello Si salva il modello costruito da l menu File->Save (o Save as...). Il file viene salvato con il nome indicato e con l estensione.mdl Simulink Modificare un modello Per modificare un modello esistente è necessario caricarlo nell editor grafico. Si realizza ciò: dal menu File->Open del browser library dall icona open del browser library digitando il nome del file (senza estensione) nella command window 32

33 Avvio della simulazione Per avviare la simulazione: dal menu Simulation->Start dall icona Start della toolbar 33

34 Una volta lanciata la simulazione Simulink esegue due fasi: Inizializzazione Controlla l integrità dello schema a blocchi Verifica che esista una corrispondenza numerica ad ogni variabile presente nei parametri dei blocchi Per ogni blocco si costruisce la relazione che esprime gli stati e le uscite in funzione degli ingressi Stabilisce l ordine con il quale dovrà aggiornare ad ogni passo gli stati e le uscite dei vari blocchi Simulazione Avvio della simulazione Ad ogni passo di integrazione Simulink aggiorna gli stati e le uscite di ogni blocco e acquisisce gli ingressi per il passo successivo 34

35 Durante la simulazione è possibile: Simulazione modificare i parametri di ogni blocco. La simulazione prosegue con i nuovi valori lo stato di avanzamento della simulazione è indicata nella barra di stato della finestra (è specificato anche il metodo di integrazione) l icona di Start ha cambiato aspetto e adesso permette di sospendere l esecuzione della simulazione. Con l icona Stop è possibile arrestare l esecuzione. Stop Sospensione Barra di stato 35

36 Simulink mette a disposizione un ampia libreria di blocchi elementari organizzati per tipologia sistemi continui discontinuità sistemi discreti look up table operazioni matematiche porte e sottosistemi manipolazione segnali uscite ingressi blocchi definiti dall utente La libreria 36

37 Sistemi dinamici continui E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono rappresentare i sistemi continui. Il sistema associato al blocco viene rappresentato con la L trasformata 37

38 Blocco Integrator Il blocco Integrator realizza l integrale del segnale di ingresso. E il blocco fondamentale per la simulazione dei sistemi tempo continui. Parametri: Segnale di reset Condizione iniziale (esterna o interna) Variabile stato 38

39 Blocchi non lineari E l insieme dei blocchi elementari per modellare discontinuità di tipo statico tra il segnale di ingresso e quello di uscita. 39

40 Sistemi dinamici discreti E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono rappresentare i sistemi discreti. Il sistema associato al blocco viene rappresentato con la Z trasformata 40

41 Look up Table E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono rappresentare sistemi statici di cui si conosce solo un insieme dei valori degli ingressi e i corrispondenti valori delle uscite. 41

42 Look up Table Il blocco Look Up Table permette di realizzare una relazione matematica statica y=f(x) a partire da un set di valori dell uscita valutati in corrispondenza di un insieme di valori dell ingresso. La funzione y=f(x) è realizzata per interpolazione lineare. La funzione interpolante è tracciata in modo automatico sul blocco. 42

43 Operazioni matematiche E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono rappresentare operazioni matematiche. 43

44 Blocco Gain Il blocco Gain amplifica l ingresso per un fattore specificato. 44

45 Blocco Sum Esegue la somma algebrica dei segnali di ingresso. Il parametro è una stringa di simboli + (o -), uno per ogni ingresso. 45

46 Vincoli sulla simulazione E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono rappresentare vincoli sui range delle variabili del sistema. 46

47 Porte e sottositemi E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono rappresentare sistemi condizionati, cicli, sottosistemi. 47

48 Trasmissione dei segnali E l insieme dei blocchi elementari con cui si possono trattare i segnali del modello. 48

49 Esportazione dei segnali (Sinks) E l insieme dei blocchi elementari che consentono l esportazione dei risultati di una simulazione. Questi blocchi non hanno ingressi. 49

50 Blocco To Workspace Permette di salvare l andamento di un segnale in una variabile che diventa disponibile nel workspace alla fine della simulazione. Parametri nome variabile dimensione vettore decimazione campionamento formato della variabile 50

51 Blocco Scope E un oscilloscopio: permette di visualizzare durante la simulazione l andamento di uno o più segnali 51

52 Sorgenti di segnali (Sources) E l insieme dei blocchi elementari che permettono di generare i segnali di ingresso. 52

53 Blocco Step Genera un segnale a gradino 53

54 Blocco Sine Wave Genera un segnale di tipo sinusoidale 54

55 Blocco Clock Rende disponibile il valore corrente del tempo di simulazione. Si usa per realizzare sistemi tempo varianti. 55

56 Blocco Signal Builder Permette all utente di costruire uno specifico segnale utilizzando una GUI. 56

57 Funzioni utenti E l insieme dei blocchi elementari che permettono creare blocchi che descrivono una generica espressione matematica. 57

58 Blocco Fcn Il blocco Fcn permette di implementare un legame ingresso-uscita descrivibile da una generica espressione matematica. Nell espressione l ingresso del blocco va sempre indicato con la u. Se l ingresso è un vettore di segnali, il j-esimo segnale si indica con u[j]. 58

59 Esempio: carica di un condensatore Si vuole analizzare la carica di un condensatore, inserito in un circuito in corrente continua di tipo RC. i R E 0 C V c x Nella versione base di Simulink, non è presente la libreria dei componenti dei circuiti elettrici e quindi non è possibile disegnare nell editor direttamente il circuito elettrico. Quello che può fare Simulink è risolvere per via numerica le equazioni differenziali di equilibrio del circuito. 59

60 Esempio: carica di un condensatore R i E 0 C V c x Applicando il secondo principio di Kirchhoff si ha: E0 = Ri+ Vc Il legame costitutivo del condensatore (relazione tensione-corrente): i = dv C c dt 60

61 Esempio: carica di un condensatore Sostituendo la seconda nella prima equazione si ottiene un equazione differenziale di primo grado: L equazione da integrare è: dv c E0 = RC + Vc dt dv dt c 1 = E0 V RC ( ) c e i = dv C dt c Vc t = E e Di tale equazione è nota la soluzione esatta: () 0 1 t RC 61

62 Esempio: carica di un condensatore Si crea un nuovo schema Simulink e si prelevano dalla libreria i blocchi elementari: Si è introdotto anche un blocco To Workspace per memorizzare i valori della tensione e della corrente. 62

63 Esempio: carica di un condensatore Si rinominano i vari blocchi, assegnando come parametri i nomi di variabili. Si modifica il nodo sommatore. Le grandezze sono memorizzate come variabili struttura comprensive del campo time. 63

64 Esempio: carica di un condensatore Si assegnano le variabili nel workspace: E0=10 V; R=25 Ohm; C=1 mf Si fissa un intervallo di simulazione di 0.25 s. 64

65 Esempio: carica di un condensatore Si lancia la simulazione: Tensione al condensatore Corrente di carica 65

66 Esempio: carica di un condensatore Nel workspace sono state create due variabili di tipo struttura di nome i e Vc. 66

67 Esempio: impianto di riscaldamento Si vuole simulare il comportamento di un impianto di riscaldamento di un abitazione, regolato da un termostato di tipo ON/OFF. Uno schema a blocchi possibile è il seguente: Contatore energia E spesa Temperatura di riferimento + - Termostato Pc Modello termico della casa θ casa Temperatura esterna θ esterno 67

68 Esempio: impianto di riscaldamento Analizziamo i singoli elementi Temperatura di riferimento. E la temperatura che l impianto di riscaldamento deve mantenere all interno della casa con una certa banda, ossia: θ rif /2 < θ casa < θ rif + /2 Termostato. Regola la potenza termica Pc fornita alla casa. E di tipo on/off e quindi: se θ casa < θ rif /2 l impianto è acceso se θ casa > θ rif + /2 l impianto è spento Si può realizzare tale dispositivo con un relay con uscite 0 e 1. Temperatura ambiente. Per tenere conto dell alternanza del giorno e della notte si adotta il seguente modello: θ ambiente = θ medio + θ sin(2*π*f*t) 68

69 Esempio: impianto di riscaldamento Modello termico della casa. Si considera un modello semplificato del primo ordine (corpo omogeneo e isotropo): C dθ casa dt dove: C = la capacità termica R eq = la resistenza termica P c = potenza termica fornita 1 + ( θ θ ) = R Il modello corrispondente da integrare è: eq casa ambiente c θ 1 1 = P + C R θ + θ eq P ( ) casa c casa ambiente 69

70 Esempio: impianto di riscaldamento Contatore energia. E l integrale della potenza termica fornita all impianto E spesa = Pdt c 70

71 Esempio: impianto di riscaldamento Si definisce un nuovo modello in Simulink e si prelevano dalla libreria i blocchi elementari necessari. Discontinuites Sources Continuous Math operations 71

72 Esempio: impianto di riscaldamento Si realizzano i vari collegamenti 72

73 Esempio: impianto di riscaldamento Si definiscono i parametri dei vari elementi Temperatura di riferimento = 25 C 73

74 Esempio: impianto di riscaldamento Si modifica il nodo sommatore in modo da realizzare la differenza tra la temperatura di riferimento e quella effettiva. 74

75 Esempio: impianto di riscaldamento Temperatura ambiente. Si fissa un valor medio pari a 8 C. 75

76 Esempio: impianto di riscaldamento Temperatura ambiente. Si fissa un escursione giornaliera di 5 C 76

77 Esempio: impianto di riscaldamento Termostato. Si ha una banda di regolazione di 4 C 77

78 Esempio: impianto di riscaldamento Termostato. Si imposta la potenza termica dell impianto Pc=30000 W 78

79 Esempio: impianto di riscaldamento Modello termico della casa. Si costruisce graficamente l equazione che governa la temperatura della casa. Si assume C=1.78 MJ/K e R eq = W/K 79

80 Esempio: impianto di riscaldamento Modello termico della casa. Si aggiusta il nodo sommatore. 80

81 Esempio: impianto di riscaldamento Si completa il modello inserendo uno Scope a tre canali per monitorare la temperatura esterna, quella della casa e l energia spesa. Si aggiungono le etichette ai segnali. 81

82 Esempio: impianto di riscaldamento Si fissano i parametri della simulazione: si fissa il tempo finale pari a 2 giorni (è espresso in secondi). 82

83 Esempio: impianto di riscaldamento Si avvia la simulazione Energia spesa Temperatura casa Temperatura ambiente 83

84 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si vuole analizzare il comportamento di un sistema meccanico costituito da una massa M, una molla con costante di rigidezza K e uno smorzatore viscoso con costante C, sottoposto ad una forza F(t). F(t) MASSA (m) Mg x C K Applicando il secondo principio della dinamica si ha: Mx = Mg F t Kx Cx ( ) 84

85 Esempio: Massa-molla-smorzatore Il modello corrispondente da integrare è: 1 x= Mg F t Kx Cx M ( () ) Si ipotizza una sollecitazione F(t) di tipo sinusoidale. Per costruire il modello Simulink, occorre un blocco Constant, un nodo sommatore, tre Gain e due Integrator. 85

86 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si rinominano le etichette dei vari elementi e si realizzano i collegamenti modificando in modo opportuno il nodo sommatore. 86

87 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si assegnano ai parametri dei vari blocchi i nomi delle variabili corrispondenti che saranno presenti nel workspace. Blocco Mg Blocco 1/M 87

88 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si assegnano ai parametri dei vari blocchi i nomi delle variabili corrispondenti che saranno presenti nel workspace. Blocco K Blocco C 88

89 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si assegnano ai parametri dei vari blocchi i nomi delle variabili corrispondenti che saranno presenti nel workspace. Blocco F(t) 89

90 Si creano nel workspace le variabili, assegnando i seguenti valori: M=10 kg K=5 N/m C=0.5 N*s/m F = 20 N f = 40 Hz g=9.8 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si completa lo schema inserendo uno Scope per visualizzare l andamento della posizione della massa M. 90

91 Esempio: Massa-molla-smorzatore Si fissano i parametri della simulazione: tempo finale = 20 s Max step size = 0.2 s 91

92 Esempio: Massa-molla-smorzatore Spostamento x con f = 20 Hz Spostamento x con f = 2 Hz Il sistema si comporta come un filtro passa basso 92

93 Esempio: Urto anelastico Si vuole analizzare il comportamento di una biglia che venga fatta cadere da un altezza di 10m in presenza della sola forza di gravità e nell ipotesi che impatto con il suolo sia schematizzabile con un urto non perfettamente elastico (con fattore di attenuazione pari a 0.2). x Mg Ogni volta che x=0 la velocità si inverte e si riduce del 20%. 93

94 Esempio: Urto anelastico In base alla seconda legge della dinamica si ha: Mx = Mg L equazione differenziale da integrare è: x= g Si crea un nuovo schema Simulink e si prelevano dalla libreria i blocchi elementari: 94

95 Esempio: Urto anelastico Si rinominano in modo opportuno i vari blocchi. Per poter modellare l urto anelastico, nell istante in cui la quota della biglia va a zero si deve resettare l uscita dell integratore di velocità e impostare come valore iniziale di tale blocco la velocità raggiunta in quel punto, decurtata del 20% e cambiata di segno. Si utilizza allora un blocco Integrator con due opzioni: reset da segnale esterno, sul fronte di discesa di questo ultimo; condizione iniziale da segnale esterno. Tale segnale è l uscita stessa dell integratore. Per evitare loop-algebrici si utilizza la porta state. Il blocco Hit Crossing va messo sul segnale posizione e ha la funzione di ridurre il passo di integrazione quando la quota x diventa nulla. Questo per poter valutare con miglior precisione l istante di inversione della velocità. 95

96 Esempio: Urto anelastico 96

97 Esempio: Urto anelastico Si fissano i parametri della simulazione: Tempo finale = 12 s Max step size = 0.1 s 97

98 Si lancia la simulazione. Automazione dei Sistemi Industriali Ingegneria Elettrica II Anno Esempio: Urto anelastico In figura è riportato l andamento della posizione della biglia in funzione del tempo. 98