a.a Codice corso: 21012

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1 Riepilogo sulla ricorsione Un algoritmo o una funzione matematica sono definiti ricorsivamente quando possono essere definiti facendo riferimento a se stessi. Si tratta cioè di un applicazione del principio di induzione matematica: Data una proprietà P, parametrica in n, 1. Si verifica che P è vera per n=n0 (CASO BASE) 2. Fatta l ipotesi che P sia valida per un (n-1) generico, se si può provare che P è vera anche per il caso n, allora P è vera per ogni n>n0. (PASSO DI INDUZIONE) Operativamente, risolvere un problema con un approccio ricorsivo comporta: 1. identificare un caso base la cui soluzione sia nota 2. e riuscire a esprimere la soluzione del caso generico (n) in termini dello stesso problema formulato su casi più semplici (n-1, n-2, ) Le chiamate ricorsive decompongono via via il problema. Un modo di procedere è quello di non calcolare nulla durante questa scomposizione, ma sintetizzare il risultato a partire dalla fine, dopo essere arrivati al caso banale. Il caso banale fornirà il valore di partenza con il quale sintetizzare (comporre), a ritroso, i successivi risultati parziali. Pagina 1 di 13

2 ESERCIZIO 1 Scrivere un programma C che, dato un numero calcola la somma dei primi N numeri pari positivi in maniera ricorsiva. Specifica Liv 1: La somma dei primi N numeri pari è data dalla seguente, Specifica Liv 2: S N = 2*1 + 2*2 + 2* *i + + 2*(N-1) + 2*N. se N =1, S N = 2, (CASO BASE) se N >1, S N = 2 * N + S N-1 (PASSO INDUTTIVO) (somma dell N-esimo numero pari + la somma dei primi N-1 numeri pari.) int somma_pari(int N){ if (N <= 1) return 2; else return 2*N + somma_pari(n-1); Pagina 2 di 13

3 ESERCIZIO 2 Scrivere una funzione che calcoli il valore M N, dove M è un numero in virgola mobile e N un numero intero. 1mo caso: Hp: M intero, N intero con N>=0 Specifica Liv 1: M N = M*M*M* *M; N volte. Specifica Liv 2: Se N = 0, allora M N = 1 (caso base) Se N è pari, allora M N = (M N/2 ) 2 (passo induttivo) Se N è dispari, allora M N = (M N-1 )*M (passo induttivo) per considerare anche il caso di potenze negative cosa occorrerebbe fare? Soluzione: double myexp(double M, int N) { if (N < 0) return myexp(1.0/m, -N); if (N == 0) return 1; if (N % 2 == 0) { long t = myexp(m, N/2); return t*t; if (N % 2 == 1) return M*myExp(M, N-1); Pagina 3 di 13

4 ESERCIZIO 3 Scrivere una funzione ricorsiva void BoomBang(int k) che stampa k volte la stringa Boom seguita dalla stampa della stringa Bang anche essa k volte. Esempio: BoomBang(3) output: Boom Boom Boom Bang Bang Bang void BoomBang(int k) { if (k == 0) return; cout << "Boom "; BoomBang(k-1); cout << "Bang "; Pagina 4 di 13

5 ESERCIZIO 4 Scrivere un sottoprogramma che restituisca il valore massimo di un vettore di interi con procedimento ricorsivo. Specifica Liv 1: Si pensi di assegnare il primo elemento dell array come massimo e confrontarlo con tutti gli altri cambiando il valore del massimo se questo è minore della cella corrente del vettore. Specifica Liv 2: Detta N la lunghezza del vettore array Se N = 1, allora max = array[0] (caso base) Se N > 1, allora il massimo del vettore di N elementi (max) sarà uguale al risultato del confronto tra array[0] e il massimo degli elementi del sottovettore che che va da array[1] a array[n]. (N.B.: quindi è lungo N-1) (passo induttivo) int mymaxarray(int v[], int N) { if (N <= 0) return 0; // valore massimo convenzionale! if (N == 1) return v[0]; else { int t = mymaxarray(&v[1], N-1); if (t > v[0]) return t; else return v[0]; Chiamata nel main(): int vett[3] = {18, 21, 27, lung = 3, m; m = mymaxarray(vett, lung); Pagina 5 di 13

6 Soluzione con prototipo alternative: main(): int mymaxarray(int v[], int indiceinizio, int indicefine) { if (indiceinizio > indicefine) return 0; // valore massimo // convenzionale! if (indiceinizio == indicefine) return v[indiceinizio]; else { int t = mymaxarray(v, 1+indiceInizio, indicefine); if (t > v[indiceinizio]) return t; else return v[indiceinizio]; Chiamata nel main(): int vett[3] = {18, 21, 27, lung = 3, m; m = mymaxarray(vett, 0, lung-1); Pagina 6 di 13

7 ESERCIZIO 5.1 Scrivere un sottoprogramma che inverta un vettore di interi con procedimento ricorsivo. Svolgere l esercizio, considerando i due prototipi alternativi, mostrati di seguito. void invertivettore(int v[], int n) { Chiamata nel main(): int vett[3] = {18, 21, 27, lung = 3, m; invertivettore(vett, lung); Prototipo alternativo: void invertivettore(int v[], int indiceinizio, int indicefine) { Chiamata nel main(): int vett[3] = {18, 21, 27, lung = 3, m; invertivettore(v, 0, lung-1); Pagina 7 di 13

8 ESERCIZIO 5.2 Scrivere un sottoprogramma ricorsivo che preso come parametro una stringa ritorni 1 se la stringa è palindroma e 0 altrimenti. Pagina 8 di 13

9 ESERCIZIO 6 Calcolo del coefficiente binomiale Scrivere un programma C/C++ che stampi sullo standard output tutti i valori del triangolo di Tartaglia per un certo ordine N, utilizzando una funzione ricorsiva per il calcolo dei coefficienti binomiali, avente il seguente prototipo: int cobin(int n, int k); La costruzione del triangolo di Tartaglia è mostrata di seguito. Si ricorda inoltre che ognuno dei coefficienti del triangolo prende il nome di coefficiente binomiale cobin(n, k) k= n = n = n = n = n = n = 5. Soluzione: Leggendo la figura del triangolo di Tartaglia riga per riga, è possibile dedurre come il calcolo di ognuna di esse sia funzione della riga precedente. Il calcolo dei coefficienti binomiali segue dunque le seguenti regole: calcolo dei coefficienti agli estremi di una riga: con k == 0 e k == n, cobin(n,k) == 1 (caso base) calcolo dei coefficienti per valori non validi dei parametri: con n < 0 e k < 0 e n < k, cobin(n,k) == 0 (caso base) Ogni coefficiente è la somma del suo "soprastante" e del predecessore di quest' ultimo. (passo induttivo) /* Nota: #include <iomanip> Larghezza campo di output (n colonne): cout << setw(n); Numero di cifre decimali dopo la virgola (n cifre): cout << setprecision(n); */ Pagina 9 di 13

10 Esercizio 7 memoria dinamica. Media Mobile Scrivere un programma che, data una sequenza arbitraria di numeri in virgola mobile immessi uno alla volta dall utente, stampi man mano la media degli ultimi n valori immessi, dove anche n viene immesso dall utente all avvio del programma. In ogni momento l'utente può scegliere se a) aggiungere un valore alla sequenza, b) modificare il valore di n, oppure c) terminare il programma. I numeri sono immessi fino all immissione del valore "sentinella" 0 che termina il programma. Ogni volta che è immesso un numero il programma mostra la media mobile aggiornata. Quando, all'inizio, sono stati inseriti meno di n numeri, o quando n viene aumentato, la media viene comunque calcolata sui valori disponibili. Si badi a trattare correttamente anche il caso in cui n viene diminuito. Suggerimenti: Si usi come "buffer circolare" un array di n elementi allocato dinamicamente per memorizzare gli ultimi n valori inseriti: i valori sono aggiunti uno dopo l altro, ripartendo dall inizio quando si raggiunge la fine dell array. Si scomponga il problema in sottofunzioni Pagina 10 di 13

11 Esercizio 8 Lista palindroma Sia data una lista semplicemente concatenata i cui nodi contengano un singolo carattere. Verificare se la parola rappresentata dalla lista sia palindroma o meno. Attenzione: esistono moltissimi modi di procedere, utilizzando variamente ogni combinazione di strutture dati ausiliarie o funzioni di supporto, magari combinando più scansioni della lista. Si cerchi di trovare una soluzione ragionevolmente semplice ed efficace. Pagina 11 di 13

12 Esercizio 9 Somma di interi (in lista) Dato un intero positivo espresso in base 10, possiamo convertirlo in una lista semplicemente concatenata, fatta di elementi che contengono solo interi compresi tra 0 e 9, che rappresentano le cifre decimali che lo codificano in modo che la cifra più significativa sia in coda alla lista e la meno significativa sia in testa: 1) Scrivere una funzione che converta un intero in una lista di cifre. 2) Scrivere una funzione che data una lista di cifre restituisce l'intero rappresentato 3) Scrivere una funzione di somma, che, date due liste, restituisca una terza lista, che rappresenti il numero ottenuto dalla somma delle prime due, simulando l algoritmo di addizione in colonna. 4) Scrivere un sottoprogramma che riporti in una riga vuota di un file il numero intero corrispondente a quanto memorizzato nella lista. 5) Scrivere un sottoprogramma che legge i numeri interi memorizzati ciascuno su una diversa riga di un file, il cui nome è passato come parametro, ed effettua la loro somma utilizzando i sottoprogrammi 1) e 3). NOTA: Non «vale» (se volete giocare a questo gioco ) una soluzione "easy" che converta le liste in intero, esegua la somma, e la converta nuovamente in lista! Pagina 12 di 13

13 Esercizio 10 Print(f)-a-Ring-o-Roses Dovendo intrattenere e tenere a bada dei bambini (un po selvaggi), organizzate un semplice girotondo: ogni bimbo che arriva deve prender posto nel cerchio in ordine alfabetico, dando una mano al bambino immediatamente precedente e l altra a quello immediatamente successivo. Quando un bambino se ne va, i suoi due vicini si danno la mano per chiudere il cerchio. I bambini guardano sempre verso il centro del cerchio. Nel momento in cui sono annunciati un nome e una direzione (destra/sinistra), tutti i bambini devono gridare (su stdout) il proprio nome, in ordine, a partire da quello chiamato e avanzando via via nel cerchio, passando di mano destra in mano destra (senso antiorario), o di mano sinistra in mano sinistra (senso orario). Scrivere un sotto-programma fun( ) che implementi questo scenario, assumendo che il gruppo di bambini sia rappresentato con una lista dinamica doppiamente concatenata in cui ciascun nodo contiene il nome del bambino, un puntatore per il nodo a sinistra e un puntatore per nodo a destra e che la funzione riceva come parametri: la lista, il nome del bambino che parla per primo, e un numero intero per indicare il verso in cui devono parlare gli altri bambini (0 sinistra, 1 destra). Pagina 13 di 13