Calcolo dell n-esimo numero di Fibonacci

Transcript

1 Calcolo dell n-esimo numero di Fibonacci

2 Formulazione F n F F F 0 1 n 0 1 F, n 2 1 n2

3 Algoritmo numerico F n 1 5 n n , 1

4

5

6 Algoritmo ricorsivo

7 Complessità T ( n) 2 T ( n 1) T ( n 2) T ( n) 3F 2 O n n

8 F 7 F 6 F 5 F 5 F 4 F 4 F 3 F 4 F 3

9 Algoritmo dinamico 0 1 +

10

11 Complessità: numero di operazioni T ( n) 4 n ( n 1) 2n 3 S ( n) O( n)

12 Algoritmo dinamico ottimo 0 1 a b +

13

14

15 Complessità: numero di operazioni T ( n) 3 n 3( n 1) 4n S ( n) O(1)

16 Programmazione dinamica La soluzione di alcuni pb. richiede di risolvere i medesimi sottoproblemi (dipendenza) in tutto o in parte 1.Iterativa 2.Utilizza spazio di memoria ausiliario 3.Approccio bottom-up Ambito: pb. di ottimizzazione

17 Definizione ricorsiva della soluzione del pb. Decomposizione del pb. originario in sottopb. Inizializzazione valori array Costruzione dinamica array Restituzione soluzione dall array

18 Caratterizzazione della struttura di una soluzione ottimale Definizione di una regola ricorsiva per il calcolo di una soluzione ottimale Riempimento iterativo della tabella di programmazione dinamica tramite regola ricorsiva Inizializzazione Definizione dell ordine di riempimento della tabella di programmazione dinamica Costruzione della soluzione

19 Il problema del resto

20 Formulazione Siano r, resto, un numero naturale e c=(c 0,..., c d-1 ) i valori delle monete disponibili. Calcolare il numero di monete minimo, per ciascun valore, per fare il resto. d 1 i0 d 1 i0 n c n i i i r sia minimo

21 Esempio Sia r = 77, c1 = 7, c2 = 3, c3 = 1 Ottimo cambio per 77 deve essere Ottimo per 76 più 1 moneta c3 Ottimo per 75 più 1 moneta c3 Ottimo per 73 più 1 moneta c2 Ottimo per 69 più 1 moneta c1 Ottimo per 74 più 1 moneta c2 Ottimo per 70 più 1 moneta c1 Hp.: il numero di monete per ciascun valore è illimitato

22 Stesso pb. risolto più volte

23 In generale, per ogni r e per ogni c 0,..., c d-1 resto( r) 1 resto( r c0 ) min... 1 resto( r cd 1 ) resto(0) 0

24 Algoritmo ricorsivo

25 Meglio resto( r) 0, r 0, c i 1 min j r,0 i d 1 resto( r c ) r : c j j

26 Algoritmo dinamico Array di valori ottimi per ogni i, 0 apple i apple r Soluzione ottima in posizione r Riempimento della tabella da 0 a r

27 Esempio Siano r=4 e c=(1,2) indice = resto =

28

29 Esempio Siano r=6 e c=(2,5) indice = resto =

30 Esempio Siano r=3 e c=(2,5) indice = resto =

31 Complessità O(rd): non polinomiale se r è esponenziale rispetto a d

32 Costruzione della soluzione Quante e quali monete restituire? scelto il minimo per resto[i] si memorizza in monete[i] che i ha dato luogo al minimo prima di restituire resto[r] si nota che la moneta usata è i = moneta[r] e quindi si ricostruisce la soluzione all indietro considerando come resto intermedio j = r c[i] porre i = moneta[j] come moneta successiva, etc.

33

34 Quando restituisce il resto?

35 Esempio Siano r=15 e c=(1,5,11) indice resto monete indice= n=

36 È invariata Complessità

37 Problema del rappresentante o dei turisti

38 Formulazione La mappa di una città è schematizzata con strade orizzontali e parallele che si incrociano con strade verticali parallele. I turisti devono andare dall incrocio in alto a sx a quello in basso a dx potendo muoversi solo verso sud e ovest massimizzando il numero di attrattive visitate.

39 Modello Partenza: (0,0) Passi: (i,j-1) s(i,j) (i-1,j) a(i,j) (i,j) Destinazione: (n-1,m-1)

40 2,3 1,3 2,2 0,3 1,2 1,2 2,1 0,2 1,1 0,2 1,1 1,1 2,0 Stesso pb. risolto più volte

41 cammino(0,j) = somma archi orizzontali da (0,0) a (0,j) cammino(i,0) = somma archi verticali da (0,0) a (i,0) cammino( i, j) cammino( i 1, j) max cammino( i, j 1) peso(( i 1, j), ( i, peso(( i, j 1), ( i, j)) j))

42 Algoritmo ricorsivo

43 Tabella di programmazione dinamica con valori ottimi per ogni (i, j) Ottimo in indice (n-1,m-1) n: numero di righe m: numero di colonne Riempimento dall alto verso il basso e da sinistra verso destra Complessità: O(nm)

44

45 Algoritmo dinamico

46 Costruire una soluzione Si procede ricorsivamente partendo dalla destinazione Complessità è O(n+m)

47

48

49 Prodotto di una sequenza di matrici

50 Associatività del prodotto tra matrici M = (M0 M1) M2 = M0 (M1 M2) for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < m; j++) { c[i][k] = 0; for (k = 0; k < p; k++) { c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } } }

51 M0 = ; M1 = ; M2 = (M0 M1) M2 = ( ) + ( ) = 6600 M0 (M1 M2) = ( ) + ( ) =

52 Formulazione Determinare una parentesizzazione del prodotto di n matrici (M0,,Mn-1) in modo da minimizzare il numero di prodotti effettuati

53 Algoritmo di forza bruta Scegliere il valore minimo tra tutte le possibili parentesizzazioni di n matrici 1, n 1 k 1 par( n) n 1 par( k) par( n k) O(4 n ), n 1

54 Sia m[i][j] il minimo numero di prodotti necessari per calcolare Mi. Mj e Mi = p i p i+1 j i p p p j m k k m i i j i j m i j k i j k i, ] 1][ [ ] ][ [ min, 0, ] ][ [ 1 1

55 min 4 1 p p p m m p p p m m p p p m m m

56 Un algoritmo ricorsivo basato sulla precedente relazione per calcolare m[0][n-1] è esponenziale. Nei diversi cammini nell albero di ricorsione richiede di ricalcolare più volte gli stessi sottopb.

57 Algoritmo ricorsivo

58 min 4 1 p p p m m p p p m m p p p m m m Approccio bottom-up: calcolo per diagonali da sx a dx

59 Approccio bottom-up: calcolo per diagonali da sx a dx

60 Algoritmo dinamico

61 Esempio

62 m 1 4 m min m m m m m p 1 p p 1 1 p p p p p p *15* *5* *10 * m =

63 Complessità T ( n) n 1 ( n d ) d O( n 3 ) d 1 S ( n) O( n 2 )? S ( n) O( n)

64 Costruzione della soluzione Ci si avvale di una matrice di appoggio s t.c. s[i][j] memorizza l indice k per cui m[i][j] ha costo ottimo

65

66 m 1 4 m min m m m m m p 1 p p 1 1 p p p p p p *15* *5* *10* s 1 4 2

67 Esempio s[0][5] = 2 M0..M5 = M0 M2 M3 M5 s[0][2] = 0 M0..M2 = M0 (M1 M2) s = s[3][5] = 4 M3..M5 = (M3 M4) M5

68 Algoritmo ricorsivo M0. Mn-1 = M0. Ms[0][n-1] Ms[0][n-1]+1. Mn-1 M0. Ms[0][n-1]= M0. Ms[0][s[0][n-1]] Ms[0][s[0][n-1]] +1. Ms[0][n-1] Ms[0][n-1]+1. Mn-1= Ms[0][n-1]+1. Ms[s[0][n-1]+1][n-1] Ms[s[0][n-1]+1][n- 1] +1. Mn-1 La ricorsione termina quando la sequenza di matrici da moltiplicare è ridotta a una sola matrice

69

70 Il problema dello zaino 0-1

71 Formulazione Massimizzare il valore degli oggetti trasportati di uno zaino

72 max w peso massimo in Kg sopportato dallo zaino i oggetti :1 i n x v i w i i 0, l'oggetto i - esimo non è incluso 1, l'oggetto i - esimo è incluso w i peso in Kg dell'oggetto i - esimo v i 1 1 valore dell'oggetto i - esimo n i1 x i w i max w n i1 x v i i maxvalore

73 Algoritmo di forza bruta 1. Calcolare peso e valore totale di tutte le possibili combinazioni di n oggetti 2. Selezionare la combinazione di massimo valore T ( n) n k 1 n k 2 n

74 Definizione ricorsiva del valore di una soluzione ottima m[ i][ j] valore massimo degli oggetti scelti tra i primi i e capacità residua j m[ i][ j] 0, j 0, i 0, i 0, j m[ i 1][ j], j wi maxm [ i 1][ j], m[ i 1][ j w i ] v i, j w i

75 Algoritmo ricorsivo

76 Algoritmo dinamico

77 Esempio m = v[i-1] è il valore dell oggetto i-esimo w[i-1] è il peso dell oggetto i-esimo

78 Complessità T ( n) S( n) ( n 1)(max w 1)

79 Costruzione di una soluzione Ricorsivamente: partenza da m[n][maxw] (i=n,j=maxw) Se m[i-1][j]!= m[i][j] allora l oggetto i concorre a formare la soluzione e j = j-w[i-1]

80

81 maxw =

82 Massima sottosequenza comune a due stringhe

83 Confronto di sequenze di DNA Scoperto un gene, ci si domanda a cosa serva Approccio comunemente usato Trovare similitudini con geni di cui sono note le funzioni Esempi Scoperto il gene ν-sis che causa il cancro Simile a un gene coinvolto nella crescita Cancro causato dall attivazione di tale gene al momento sbagliato Scoperto il gene della fibrosi cistica Regione intorno al gene sequenziata Trovate similitudini tra qualche segmento della regione e un gene gi`a scoperto e che produce specifiche proteine Comprensione del meccanismo danneggiato nei geni della fibrosi cistica Problema: scoprire similitudini tra diverse sequenze di DNA

84 Quando due stringhe sono simili? code vs. doce algoritmi vs. mitraglia programmi vs. marpioni L ordine è importante!

85 Sottosequenza più lunga Sottosequenza di una sequenza X: sequenza ordinata di caratteri di X (non necessariamente consecutivi) Esempio AGCA e ATTA sono sottosequenze di ATTGCTA TGTT e TCG non sono sottosequenze di ATTGCTA Sottosequenza comune di due sequenze X e Y: sottosequenza di entrambe Esempio: TCTA `e sottosequenza comune di ATCTGAT e TGCATA Problema: date X e Y, trovare una sottosequenza comune più lunga Osservazione s(x,y) è lunghezza di LCS di X e Y d(x,y): distanza di edit con sole inserzioni e cancellazioni No discrepanze d(x,y) = n + m 2 s(x,y) Esempio A T - C - T G A T - T G C A T - A -

86 Definizione m j i Y j Z n i i i Y Z n m n Y m Z j m ],1 [ ] [ t.c.... se esistono 1 è una sottosequenza di allora,, Y : e Z : Dato 2 1 Esempio: serafico è sottosequenza di supercalifragilistichespiralitoso

87 Definizione Date due stringhe comune a X e Y X e Y diciamo che la stringa se è contempora neamente Z è una sottoseque nza Esempio: X=algoritmiestrutturedati, Y=grafidirettiaciclici, Z=grida X=ATTGCTA, Y=TGCATA, Z=TGT sottosequenza di X e Y

88 Definizione Date due stringhe ottosequenza e Y comune a diciamo e Y Esempio: X=marinaio, Y=malaria, W=maria X che la sew X=ATTGCTA, Y=TGCATA, W=TGCTA X stringa max W è una Z sottoseque nza di massima X e Y Z

89 Proprietà Siano X t.c X =m e Y t.c Y =n due stringhe e W t.c W =k una massima sottosequenza comune a X e Y 1. se X[1]=Y[1] allora W[1]=X[1]=Y[1] e W[2 k] è una sottosequenza di lunghezza massima comune a X[2 m] e Y[2 n] 2. se X[1]!=Y[1] allora W[1]!=X[1] implica che W è una sottosequenza di lunghezza massima comune a X[2 m] e Y[1 n] 3. se X[1]!=Y[1] allora W[1]!=Y[1] implica che W è una sottosequenza di lunghezza massima comune a X[1 m] e Y[2 n]

90 Algoritmo ricorsivo public int LCSR(int r, int c) { if ((r==n) (c=m)){ return 0; }else{ if (x[r]==y[c]){ return 1+LCSR(r+1,c+1); }else{ return massimo(lcsr(r+1,c),lcsr(r,c+1)); } } }

91 Complessità T T worst worst ( m, n) ( m, n) le stringhe non hanno caratteri in comune T ( m, n) T ( m 1, n) T ( m, n 1) Il costo esponenziale è dovuto al fatto che si ricalcolano ripetutamente gli stessi sottopb.

92 Definizione ricorsiva del valore di una soluzione ottima 1] [ 1] [, 1] ][ [ ], 1][ [ max 1] [ 1] [ 1], 1][ [ 1 ] ][ [ 1 0 e 1 0 prefissi comune ai sottosequenza massima della lunghezza ] ][ [ c Y r X c r s c r s c Y r X c r s c r s ]..c Y[ ]..r X[ c r s

93 Esempio s Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

94

95

96 Esempio: priorità ( ) s Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

97

98 Da dx a sx

99

100 Esempio: priorità ( ) s A T C G T A C indici A T G T T A T

101 Complessità T ( n, m) S ( n, m) O( nm) S(n,m) può essere ridotto a O(n+m) dato che per calcolare s[r][c] sono sufficienti la riga (r-1) e la colonna (c-1)

102 Costruzione della soluzione b[ r][ c] 0, se X 1, se 1, se r 1 Yc 1 è incluso nella soluzione Partendo da b[n][m] si procede a ritroso in modo ricorsivo.

103 Esempio b Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

104

105

106 Esempio b Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

107

108 Matrice di allineamento Matrice di due righe e al più n + m colonne t.c. Prima riga contiene caratteri della prima sequenza in ordine Seconda riga contiene caratteri della seconda sequenza in ordine -- possono apparire sia nella prima che nella seconda riga Nessuna colonna contiene due -- Esempio: stringhe ATGTTAT e ATCGTAC A T - G T T A T - A T C G T - A - C Corrispondenza: colonna che contiene lo stesso carattere Discrepanza: colonna che contiene caratteri diversi Inserzione: colonna che contiene -- in seconda riga Cancellazione: colonna che contiene -- in prima riga Numero di corrispondenze, discrepanze, inserzioni e cancellazioni al più n + m

109 Una matrice di allineamento di X e Y corrisponde a cammino di punti nella griglia n m che include archi sud-est t.c. i -esimo punto: (h, k) se h-esimo carattere di X appare in colonna non successiva all i-esima e (h + 1)- esimo carattere di X appare in colonna successiva all i-esima k-esimo carattere di Y appare in colonna non successiva all i-esima e (k + 1)- esimo carattere di Y appare in colonna successiva all i-esima Esempio: data la precedente matrice di allineamento A T - G T T A - T A T C G T - A C - Allora il cammino di punti (esteso a sinistra con il punto (0, 0)) (0, 0) (1, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 4) (4, 5) (5, 5) (6, 6) (6, 7) (7, 7)

110 Il cammino da (0, 0) a (n,m) nel grafo di edit corrisponde alla matrice di allineamento t.c. arco diagonale che termina in (r, c) colonna arco orizzontale che termina in arco verticale che termina in (r, c) (r, c) colonna colonna X r -1 Y c -1 Y X r -1 - c -1

111 Esempio b Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

112 Con priorità tra 1, -1 e 0 ( ) si ha che: corrisponde a: X= A T - G T T A - T Y= A T C G T - A C -

113 Invertendo le priorità tra 1, -1 e 0 Esempio (1,-1,0)(0,1,-1) ( ) che corrisponde a: X= A T - G T T A - T Y= A T C G - T A C -

114 Volendo portare Y=ATCGTAC in X=ATGTTAT con sole operazioni di inserimento e cancellazione allora ATCGTTACT X= A T - G T T A - T Y= A T C G - T A C -

115 Esempio: priorità in caso di non coincidenza ( ) s Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

116 Volendo portare Y=ATCGTAC in X=ATGTTAT con operazioni di inserimento, cancellazione e sostituzione (ossia mutazione) con priorità 0, 1, -1 ( ) se i caratteri coincidono -2, 1, -1 ( ) se i caratteri non coincidono allora corrisponde a: X= A T - G T T A T Y= A T C G T - A C per cui ATCGTTA(CT)

117 Definizione di distanza Distanza di Hamming: numeri di caratteri diversi nelle stesse posizioni Assume che i -esimo simbolo di una sequenza sia allineato con i -esimo simbolo di altra sequenza Errori nella replicazione del DNA comportano sostituzioni, inserimenti e cancellazioni Raramente si sa se i -esimo simbolo di una sequenza corrisponde a i -esimo simbolo di altra sequenza Esempi Stringhe ATATATAT e TATATATA Distanza di Hamming: 8 Molto simili se allineiamo il secondo carattere della prima al primo carattere della seconda Stringhe ATATATAT e TATAAT Distanza di Hamming: 4 Più simili se inseriamo uno spazio vuoto tra il quarto e il quinto carattere della seconda Distanza di edit Minimo numero di operazioni di inserimento, cancellazione e sostituzione necessarie per trasformare una sequenza nell altra Consente il confronto di sequenze di lunghezza diversa

118 Minimizzazione della distanza di edit 1] [ 1] [, 1] ][ [ ], 1][ [ 1], 1][ [ min 1 1] [ 1] [, 1] 1][ [ 1], ][ [ ],1 1][ [ 1 min,, ][0] [,, ] [0][ ] ][ [ 1 0 e 1 0 prefissi edit dei di distanza minima ] ][ [ c Y r X c r s c r s c r s c Y r X c r s c r s c r s r Y r r s c X c c s c r s ]..c Y[ ]..r X[ c r s

119 Esempio: priorità ( ) = priorità ( )!= s Y= A T C G T A C indici X= A T G T T A T

120 La minima distanza di edit tra Y=ATCGTAC e X=ATGTTAT considerando operazioni di inserimento, cancellazione e sostituzione (ossia mutazione) con priorità 0, 1, -1 ( ) se i caratteri coincidono -2, 1, -1 ( ) se i caratteri non coincidono è ATCGTTA(CT) X= A T - G T T A T Y= A T C G T - A C

121 Funzioni di punteggio La bontà di un allineamento equivale alla bontà del corrispondente cammino Funzione di punteggio Assegna punteggi più alti ad allineamenti con più corrispondenze Le più semplici assegnano punteggio positivo a corrispondenze e punteggio non positivo al resto Miglior allineamento corrisponde a cammino più lungo Esempio: 1 a corrispondenze, 0 ad altro Sottosequenza comune più lunga

122 LCS e cammini più lunghi Lasciamo nel grafo di edit solo archi diagonali corrispondenti a corrispondenze Discrepanze non sono permesse Peso 1 ad archi diagonali e 0 ad altri Vogliamo massimizzare corrispondenze Cammino più lungo corrisponde a sottosequenza comune più lunga Esempio