L'analisi monovariata

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1 L'analisi monovariata Prof. Stefano Nobile Corso di Metodologia della ricerca sociale

2 Concetti introduttivi: analisi mono-, bi- e multivariata ANALISI MONOVARIATA Una tecnica di analisi di dice monovariata se si occupa soltanto della distruzione dei dati di un vettore fra le modalità della corrispondente variabile (detto sinteticamente: della distribuzione di una variabile), e delle principali caratteristiche di questa distribuzione ANALISI BIVARIATA Una tecnica di analisi si dice bivariata se si occupa della distribuzione di due variabili congiuntamente considerate (distribuzione doppia o congiunta) ANALISI MULTIVARIATA Una tecnica di analisi si dice multivariata se si occupa della distribuzione congiunta di tre o più variabili Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 2

3 A cosa serve l analisi monovariata L analisi monovariata serve a studiare la distribuzione di singole variabili. Rappresenta il primo risultato empirico del lavoro di ricerca, le sue funzioni sono: descrivere la distribuzione della variabile: cioè descrivere come una singola caratteristica è distribuita fra i casi, anche utilizzando misure di tendenza centrale o di variabilità; propedeutiche ad analisi successive, cioè l analisi monovariata permette di compiere una serie di operazioni preliminari come: controllare la plausibilità dei valori; individuare squilibri nella distribuzione; valutare la possibilità di aggregare diverse modalità della variabile (tramite operazioni di ricodifica); valutare le possibilità di costruzione di indici sintetici. Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 3

4 Le distribuzioni di frequenza La distribuzione di frequenza di una variabile è una rappresentazione in cui ad ogni valore (modalità) della variabile viene associato il numero di casi che lo presenta (la sua frequenza). La distribuzione di frequenza può presentare: le frequenze assolute: il conteggio del numero dei casi che presenta ciascuna modalità della variabile; le frequenze relative: che relativizzano ciascun valore assoluto per permettere il confronto tra diverse distribuzioni, si tratta in genere di proporzioni, le più comunemente utilizzate sono le percentuali; Inoltre può essere utile, nel caso di variabili ordinali o cardinali, presentare la distribuzione cumulata di frequenza, che per ciascun valore/modalità della variabile presenta la somma delle frequenze (assolute o relative) corrispondenti a quel valore/modalità e a tutti quelli inferiori. Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 4

5 Frequenze assolute, relative e cumulate Frequenze relative Frequenze cumulate Frequenze assolute Relative Proporzioni Percentuali Assolute (%) Senza titolo 30 0,025 2,5 30 2,5 Licenza elementare 509 0,424 42, ,9 Licenza media 342 0,285 28, ,4 Diploma 264 0,220 22, ,4 Laurea 55 0,046 4, ,0 Totale , ,0 Proporzione = 30/1200 Percentuale= (30*100)/1200 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 5

6 Le distribuzioni di frequenza: accuratezza fittizia Confessione religiosa dei membri del governo (Libano 1963) Confessione religiosa V.A. % Cristiani Maroniti Cristiani Ortodossi Cristiani Copti Musulmani Sciiti Musulmani Drusi Musulmani Sunniti Musulmani Alauiti Totale Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 6

7 Le caratteristiche di una distribuzione L analisi monovariata è dunque un analisi puramente descrittiva (e completa) di come una variabile si distribuisce nella popolazione. Le distribuzioni delle variabili possono essere riportate integralmente (come nella tabella appena presentate e/o sotto forma di grafici) o attraverso misure sintetiche: i valori caratteristici della distribuzione. Si tratta di indici, espressi in forma numerica, utili ad una rappresentazione sintetica delle caratteristiche fondamentali della distribuzione di una variabile. Le principali caratteristiche che descrivono una distribuzione di dati sono due: le misure di tendenza centrale, che mirano ad individuare quale valore sintetizza meglio la distribuzione, le misure di variabilità, che mirano a rendere conto del modo in cui le altre modalità si collocano attorno ai valori individuati dalle misure di tendenza centrale. Naturalmente tali misure differiscono in relazione al tipo di variabile che si sta analizzando. Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 7

8 Operazioni e misure per tipo di variabile Tipo di variabile Operazioni che è possibile compiere fra le modalità Misure di tendenza centrale Nominale = Moda Ordinale Cardinale = > < = > < + - ( ) Moda Mediana Moda Mediana Media Misure di dispersione Indice di omogeneità Indice di omogeneità Differenza interquartile Indice di omogeneità Differenza interquartile Deviazione standard Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 8

9 Le misure di tendenza centrale VARIABILI NOMINALI Moda: è la modalità che presenta la frequenza maggiore, è la modalità prevalente nella distribuzione. VARIABILI ORDINALI Mediana: è la modalità del caso che occupa il posto di mezzo nella distribuzione ordinata dei casi secondo la variabile: se i casi sono dispari il caso centrale è quello che occupa la posizione (N+1)/2; se i casi sono pari ci sono due casi centrali (nelle posizioni N/2 e (N/2)+1, e se non presentano la stessa modalità la distribuzione può avere due mediane. VARIABILI CARDINALI Media aritmetica: è data dalla somma dei valori assunti dalla variabile su tutti i casi divisa per il numero dei casi Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 9

10 Le misure di tendenza centrale: la moda (variabili nominali) Religione V.A. % Cristiano cattolica ,7 Cristiano protestante ,2 Ebraica ,0 Musulmana ,5 Altro 55 4,6 Totale Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 10

11 Le misure di tendenza centrale: la mediana (variabili ordinali) Titolo di studio n. % f.c. (n.) f.c. (%) Senza titolo 30 2,5 30 2,5 Licenza elementare , ,9 Licenza media , ,4 Diploma , ,4 Laurea 55 4, Totale Moda: Licenza elementare Mediana: Licenza media Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 11

12 Le misure di tendenza centrale: limiti della mediana (variabili ordinali) Gruppi M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 Media A B Gruppi M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 Media A B Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 12

13 Le misure di tendenza centrale: la media aritmetica (variabili metriche) La media aritmetica non è altro che la somma di tutti i valori divisa per il numero di casi: X m = x 1 +x 2 + +xn N = N i=1 N x i Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 13

14 Voto in matematica Le misure di tendenza centrale: la media (variabili metriche) Media= [(3*23)+(4*67)+(4,5*188)+ (5*128)+(5,5*244)+(6*312)+(6,5*117)+(7*95)+(8*64)+ (8,5*32)]/1200= 5,77 n. % f.c. (n.) ,9 23 1, ,6 90 7,5 4, , , , ,0 5, , , , ,3 Moda 6, , , , , , ,3 8,5 32 2, ,0 Totale ,0 Mediana Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 14 f.c. (%)

15 Le misure di variabilità Le misure di variabilità ci informano su quanto i valori della distribuzione mutano/sono dispersi, e sono diverse a seconda del tipo di variabile che si sta analizzando. Indicano dunque la tendenza di una distribuzione a essere più o meno eterogenea (o, pertanto, omogenea) Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 15

16 Le misure di variabilità (variabili nominali) Una variabile nominale ha una distribuzione massimamente omogenea quando tutti i casi presentano la stessa modalità, massimamente eterogenea quando i casi sono equidistribuiti tra le modalità. Indicando con p i le proporzioni di una distribuzione di frequenza, l indice di omogeneità è dato da: cioè dalla somma dei quadrati delle proporzioni. Varia tra un minimo pari a 1/k (dove k è il numero delle modalità) e un massimo di 1. Il complemento a 1 dell indice di omogeneità è detto indice di eterogeneità: k å i=1 O = p p p k 2 = p i 2 k å i=1 E =1- p i 2 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 16

17 Le misure di variabilità (variabili nominali) Religione V.A. Propor zione Cristiano cattolica 560 0,47 46,7 Cristiano protestante 194 0,16 16,2 Ebraica 156 0,13 13,0 Musulmana 264 0,19 19,5 Altro 55 0,05 4,6 Totale ,00 100,0 % k å i=1 O = p p p k 2 = p i 2 O= (0,47) 2 +(0,16) 2 +(0,13) 2 + (0,19) 2 +(0,05) 2 = 0,302 k E =1- p i 2 å E= 1-0,302=0,698 i=1 In alcuni casi può essere utile normalizzare l indice di omogeneità o di eterogeneità, per neutralizzare l influenza del numero delle modalità: O rel =(k*o-1)/(k-1) E rel =1-[(k*O-1)/(k-1)] Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 17

18 Religione N P % Cristiano cattolica Cristiano protestante 560 0,47 46, ,16 16,2 Ebraica 156 0,13 13,0 Musulmana 264 0,19 19,5 Altro 55 0,05 4,6 Totale ,00 100,0 Settore lavorativo N P % Primario 237 0,20 19,8 Secondario 276 0,23 23,0 Terziario 687 0,57 57,3 Totale ,00 100,0 Le misure di variabilità (variabili nominali) O= 0,302 E= 0,698 O rel =(k*o-1)/(k-1) O rel =(5*0,302-1)/(5-1) = 0,128 E rel =1-[(k*O-1)/(k-1)]=1-O rel E rel =1-0,128 = 0,872 O= 0,419 E= 0,581 O rel =(k*o-1)/(k-1) O rel =(3*0,419-1)/(3-1) = 0,128 E rel =1-[(k*O-1)/(k-1)]=1-O rel E rel =1-128 = 0,872 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 18

19 Le misure di variabilità per variabili ordinali Dividendo la distribuzione ordinata di una variabile in quattro parti, possiamo individuare i valori sui casi che segnano i confini tra i quarti, detti quartili. La differenza tra i valori del primo e del terzo quartile definiscono un indice di dispersione: la differenza interquartile. Se infatti questa differenza è piccola, la distribuzione sarà molto concentrata attorno alla mediana, se è molto grande la distribuzione sarà dispersa: Q= Q3 Q1 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 19

20 Le misure di variabilità per variabili ordinali n. % C(N) C(%) ,5 30 2, , , , , , , , Totale ,0 n. % C(N) C/%) , , , , , , , , , ,1 Totale ,0 Mediana=3 Q=4-2=2 Mediana=1 Q=2-1=1 Q 1 Q 3 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 20

21 L importanza delle misure di variabilità: conseguenze della ridotta autonomia semantica delle categorie Titolo di studio in Nigetania in Gercovia nessuno 17% 1% licenza elementare 24% 12% licenza media 29% 19% licenza media superiore 23% 23% laurea 7% 45% Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 21

22 L importanza delle misure di variabilità: conseguenze della ridotta autonomia semantica delle categorie Classe sociale in Svirlandia in Somakistan alta borghesia 10% 10% media borghesia 35% 10% piccola borghesia 30% 10% operai e contadini 25% 70% Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 22

23 Le misure di variabilità per variabili cardinali La media aritmetica degli scarti dalla media (in valore assoluto) di una variabile è una prima misura di variabilità: lo scostamento semplice medio. ssm= å X i - X Il valore assoluto serve ad evitare che il risultato dell operazione sia zero: infatti è una caratteristica propria della media aritmetica che la somma degli scarti dei singoli valori da essa sia pari a zero. N Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 23

24 Le misure di variabilità per variabili cardinali Se, invece di considerare i valori assoluti, per annullare il segno degli scarti li si eleva al quadrato, si calcola la media e di estrae dalla radice quadrata, ottenendo lo scarto quadratico medio, detto anche deviazione standard o scarto-tipo: S= å(x i - X) 2 L elevare al quadrato gli scarti dalla media dei singoli valori permette di conferire un peso maggiore agli scarti maggiori, oltre che di annullamento il segno degli scarti negativi. N Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 24

25 Le misure di variabilità per variabili cardinali La varianza è il quadrato della deviazione standard: S 2 = å(x i - X) 2 Per l analisi monovariata si utilizza la deviazione standard perché ha lo stesso ordine di grandezza dei valori della variabile, ma la varianza è una misura centrale nella statistica: tutta l analisi dei dati gira intorno al concetto di varianza spiegata. N Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 25

26 Le misure di variabilità per variabili cardinali: scostamento semplice medio, deviazione standard e varianza Voto in mate matica n. % f.c. (n.) f.c. (%) ,9 23 1, ,6 90 7,5 4, , , , ,0 5, , , , ,3 6, , , , , , ,3 8,5 32 2, ,0 Totale ,0 Media=5,77 å X i - X ssm= N ssm={[23*(3-5,77)]+[67*(4-5,77)]+ + [64*(8-5,77)]+[32*(8,5-5,77)]}/1200 =1000,2/1200=0,83 å(x S 2 i - X) 2 = N S 2 ={[23*(3-5,77) 2 ]+[67*(4-5,77) 2 ]+ + [64*(8-5,77) 2 ]+[32*(8,5-5,77) 2 ]}/1200 =1449,72/1200=1,21 å(x i - X) 2 S= N S= {[23*(3-5,77) 2 ]+[67*(4-5,77) 2 ]+ + [64*(8-5,77) 2 ]+[32*(8,5-5,77) 2 ]}/1200 = (1449,72/1200)= 1,21=1,1 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 26

27 Le misure di variabilità per variabili cardinali: il coefficiente di variazione Il coefficiente di variazione di dice in quale misura la deviazione standard supera la media aritmetica, attutendo l effetto prodotto da medie molto diverse in un eventuale confronto tra due distribuzioni. C v = S X m Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 27

28 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni monovariate 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Nigetania Gercovia Laurea Superiori Medie Elementari Nessuno Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 28

29 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni monovariate Nigetania Gercovia Nessuno Elementari Medie Superiori Laurea Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 29

30 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni monovariate Gercovia Nigetania Laurea Superiori Medie Elementari Nessuno Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 30

31 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni monovariate Gercovia Nigetania 10 0 Nessuno Elementari Medie Superiori Laurea Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 31

32 Rappresentazioni grafiche di distribuzioni monovariate Nigetania Nessuno Elementari Medie Superiori Laurea Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 32

33 Confronto tra due distribuzioni: la standardizzazione Classe di Lucio Italiano Matematica Inglese Storia Media Lucio 7,000 6,000 6,000 7,000 6,500 Arduino 7,000 6,000 6,000 4,000 5,750 Basilio 5,000 6,000 5,000 5,000 5,250 6,333 6,000 5,667 5,333 5,833 Classe di Lucia Italiano Matematica Inglese Storia Media Lucia 8,000 6,000 6,000 6,000 6,500 Raniera 4,000 5,000 6,000 6,000 5,250 Calliope 4,000 5,000 4,000 5,000 4,500 5,333 5,333 5,333 5,667 5,417 Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 33

34 Media m = Media f = Scarto Lucio = Scarto Lucia = Scarto tipo della classe di Lucio = Scarto tipo della classe di Lucia = Indice standardizzato di Lucio = = Indice standardizzato di Lucia = = Prof. Stefano Nobile L'analisi monovariata 34