Statistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016

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1 Statistica Sociale e Criminale (12 CFU) A.A. 2015/2016 CdL Sociologia e Criminologia Simone Di Zio

2 Dove siamo MODULO 2. La Statistica descrittiva 2.1 La rilevazione del dato statistico 2.2 La rappresentazione dei dati statistici 2.3 Le misure di tendenza centrale 2.4 Le misure di variabilità 2.5 Le Misure delle relazioni tra variabili

3 Le misure di variabilità Il concetto di variabilità di una distribuzione Le misure di tendenza centrale riassumono la distribuzione con un valore, ma non forniscono nessuna informazione di come le altre modalità si dispongono attorno a tale valore. A tal fine serve il concetto di variabilità. In un collettivo, più le unità statistiche sono distanti fra loro e maggiore è la variabilità. La variabilità è definita come l attitudine di una variabile ad assumere modalità diverse.

4 Esempio Si hanno due distribuzioni unitarie riguardanti lo stesso gruppo di 10 studenti Id. Alunni Voto in Economia Id. Alunni Voto in Statistica 1 Alessandro Alessandro Dario Dario Fulvio Fulvio Giuseppe Giuseppe Marilena Marilena Noemi Noemi Osvaldo Osvaldo Paride Paride Valentina Valentina Valerio Valerio 7.0 Sappiamo calcolare la media aritmetica. Media voti in Economia = 7.0 Media voti in Statistica = 7.0. In termini di media, le due distribuzioni sono IDENTICHE

5 Le due distribuzioni sono uguali in media ma sono completamente diverse per quanto riguarda la variabilità. Id. Alunni Voto in Economia Id. Alunni Voto in Statistica 1 Alessandro Alessandro Dario Dario Fulvio Fulvio Giuseppe Giuseppe Marilena Marilena Noemi Noemi Osvaldo Osvaldo Paride Paride Valentina Valentina Valerio Valerio 7.0 Variabilità 0 Variabilità > 0 Economia: i valori sono addensati sulla media; Statistica: i voti variano attorno alla media.

6 Rappresentazione grafica 9 8 Variabilità >0 linea con continue variazioni Variabilità 0: linea costante Economia Statistica Dobbiamo quantificare, cioè misurare, con opportuni indici la variabilità.

7 CONDIZIONI Qualunque indice di variabilità deve soddisfare almeno due condizioni: Deve assumere valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione assumono la stessa modalità della variabile (come nell esempio dei voti in Economia); Deve aumentare all aumentare della diversità fra le modalità della distribuzione. Ancora una volta dobbiamo distinguere le scale: Scale nominali Scale ordinali Scale a intervalli indici di omogeneità ed eterogeneità indici di dispersione indici di variabilità in senso stretto

8 Misure di variabilità per variabili nominali Si ricorre ai concetti di eterogeneità e omogeneità di una distribuzione. Massima omogeneità: quando tutte le unità statistiche presentano la stessa modalità. Minima omogeneità: quando le unità sono equidistribuite fra le modalità della variabile (si parla anche di massima eterogeneità). Religione Frequenze assolute Religione Frequenze assolute Anglicana 0 Anglicana 20 Buddista 100 Buddista 20 Cattolica 0 Cattolica 20 Ortodossa 0 Ortodossa 20 Taoista 0 Taoista 20 Totale 100 Totale 100 Massima OMOGENEITA Minima OMOGENEITA

9 Questi sono due casi teorici limite, mentre in situazioni reali ci sarà sempre una condizione intermedia, più o meno vicina ai due estremi. O 1 L indice di omogeneità più semplice è dato dalla somma dei quadrati delle frequenze relative: O 1 = f f f k 2 = f i 2 Frequenze Frequenze Frequenze Frequenze Religione assolute Relative Religione assolute Relative n i f i n i f i Anglicana 0 0 Anglicana Buddista Buddista Cattolica 0 0 Cattolica Ortodossa 0 0 Ortodossa Taoista 0 0 Taoista Totale Totale O 1 = = 1 O 1 = = = 0. 2 k i=1

10 Valore massimo e minimo dell indice O 1 L indice O 1 ha massimo sempre pari a 1 L indice O 1 ha minimo che dipende dal numero delle modalità: 1 k, (dove come di consueto k indica il numero delle modalità). O 2 Sfrutta il logaritmo delle frequenze relative: k O 2 = f i log(f i ) i=1 Valore massimo e minimo dell indice O 2 L indice O 2 ha massimo sempre pari a 0 L indice O 2 ha minimo che dipende dal numero delle modalità: log(k), (dove come di consueto k indica il numero delle modalità).

11 Calcolo di O 2 per le due distribuzioni precedenti (Per poter effettuare i calcoli dobbiamo assumere che log(0) = 0). k O 2 = f i log(f i ) i=1 Religione n i f i log(f i ) f i log(f i ) Religione n i f i log(f i ) f i log(f i ) Anglicana Anglicana Buddista Buddista Cattolica Cattolica Ortodossa Ortodossa Taoista Taoista Totale Totale Massima OMOGENEITA Minima OMOGENEITA O 2 = 0 O 2 = log(k)

12 INDICI DI ETEROGENEITÀ Sottraendo da 1 il primo indice di omogeneità, si ottiene l indice di eterogeneità di Gini (dal nome del suo ideatore): Che ha minimo pari a 0 e massimo pari a 1 1 k. E 1 = 1 O 1 = 1 f i 2 k i=1 Dal secondo indice di omogeneità, semplicemente cambiando il suo segno, si ottiene invece l indice di Entropia: Che ha valore minimo pari a 0 e massimo pari a log(k). E 2 = O 2 = f i log(f i ) k i=1

13 INDICI RELATIVI In statistica è spesso utile ottenere degli indici che varino fra 0 e 1 perché sono più facili da interpretare perché si possono fare i confronti fra indici diversi. Quando un indice viene trasformato in modo da avere minimo 0 e massimo 1 si dice che si ha un indice relativo ,33 0,8

14 Indici di eterogeneità relativi Gli indici di eterogeneità relativi che derivano da E 1 e E 2 sono i seguenti (che indichiamo con la e minuscola): e 1 = k k 1 E 1 e 2 = E 2 log(k) Come più volte detto in precedenza, essendo questi indici calcolabili per variabili nominali, si possono ovviamente calcolare per qualunque tipo di variabile. Per il calcolo di questi indici si utilizzano solo ed esclusivamente le informazioni contenute nelle frequenze.

15 I valori estremi di un indice E sempre molto importante, quando si calcola un indice, sapere qual è il valore massimo e minimo che può assumere. Nella vita quotidiana, senza che ce ne rendiamo conto, quando valutiamo una misura facciamo sempre un confronto automatico con dei valori di riferimento. Quando abbiamo a che fare con gli indici statistici è lo stesso. Se ad esempio abbiamo un indice di variabilità pari a 11 cosa possiamo dire su di esso? E alto o basso? Se minimo = 0 e massimo = 12 allora possiamo affermare che 12 è molto alto. Se minimo = 0 e massimo = 3000 allora lo stesso numero 11 è bassa variabilità. Quindi, non bisogna mai cercare di interpretare un indice senza conoscerne i valori minimo e massimo (campo di variazione).

16 Esempio di calcolo e interpretazione Calcoliamo gli indici di omogeneità O 1 e O 2 sulla seguente distribuzione e interpretiamo i risultati. Frequenze Frequenze Condizione lavorativa Assolute Relative calcolo calcolo calcolo x i n i f i 2 f i log(f i ) f i log(f i ) Operaio = Impiegato = Dirigente = Libero Professionista = Disoccupato = Altro = TOTALE O 1 = k 2 i=1 f i = min = 1 6 = max = 1 omogeneità BASSA O 2 = k i=1 f i log(f i ) = min = log(6) = max = 0 omogeneità BASSA (ovviamente non possiamo avere due risultati contrastanti).

17 Indici di eterogeneità Indice di Gini: E 1 = 1 O 1 = = Eterogeneità ALTA Indice di entropia: E 2 = O 2 = Eterogeneità ALTA Indici di eterogeneità relativi e 1 = k E k 1 1 = = Eterogeneità ALTA e 2 = E 2 = log(k) = Eterogeneità ALTA Sapendo che il massimo e il minimo di tali indici sono sempre zero e uno, l interpretazione è immediata.

18 Misure di variabilità per variabili ordinali Bisogna sfruttare l informazione che deriva dall ordinamento delle modalità. Abbiamo gli indici di dispersione. Per una variabile almeno ordinale si possono individuare le modalità estreme, cioè la prima e l ultima. Una distribuzione ha dispersione minima quando tutte le unità presentano la stessa modalità della variabile. Una distribuzione ha dispersione massima quando metà delle unità presentano la modalità più bassa e metà presentano la modalità più alta.

19 Esempio dei due casi estremi Titolo di studio Frequenze assolute Titolo di studio Frequenze assolute Licenza elementare 0 Licenza elementare 20 Licenza media 40 Licenza media 0 Diploma 0 Diploma 0 Laurea 0 Laurea 20 Totale 40 Totale 40 Minima DISPERSIONE Massima DISPERSIONE L indice di dispersione D sfrutta le frequenze relative cumulate (indicate con F i ) k 1 D = 2 F i (1 F i ) i=1

20 Esempio di calcolo: CASO 1: MINIMA DISPERSIONE k 1 D = 2 F i (1 F i ) i=1 Frequenze Frequenze Freq. Rel. Titolo di studio assolute Relative Cumulate calcolo calcolo n i f i F i 1 F i F i (1 F i ) Licenza elementare Licenza media Diploma Laurea Totale Per calcolare D basta fare la somma dei valori ottenuti e moltiplicare per 2. D = 2 0 = 0

21 Esempio di calcolo: CASO 2: MASSIMA DISPERSIONE k 1 D = 2 F i (1 F i ) i=1 Frequenze Frequenze Freq. Rel. Titolo di studio assolute Relative Cumulate calcolo calcolo n i f i F i 1 F i F i (1 F i ) Licenza elementare Licenza media Diploma Laurea Totale D = = 1. 50

22 Esempio di calcolo: CASO 3: DISPERSIONE INTERMEDIA k 1 D = 2 F i (1 F i ) i=1 Frequenze Frequenze Freq. Rel. Titolo di studio assolute Relative Cumulate calcolo calcolo n i f i F i 1 F i F i (1 F i ) Licenza elementare Licenza media Diploma Laurea Totale D = = Come ci aspettavamo è un valore intermedio fra il minimo (0) e il massimo (1.5). Interpretazione: è molto vicino al massimo, per cui si tratta di una distribuzione con dispersione molto alta.

23 Misure di variabilità per variabili a intervalli Ricordiamo che possiamo calcolare la media aritmetica. Possiamo quindi fare operazioni algebriche sulle modalità della variabile.

24 Campo di Variazione Un indice di variabilità molto semplice da calcolare è dato dalla differenza fra la modalità più grande e quella più piccola: si chiama campo di variazione. Id. Alunni Voto in Economia Id. Alunni Voto in Statistica 1 Alessandro Alessandro Dario Dario Fulvio Fulvio Giuseppe Giuseppe Marilena Marilena Noemi Noemi Osvaldo Osvaldo Paride Paride Valentina Valentina Valerio Valerio 7.0 Variabile voto Economia: 7 7 = 0 Variabile voto Statistica: = 4.5 La seconda distribuzione ha un campo di variazione maggiore.

25 Possibile commento I voti in Economia e Statistica di questo gruppo di studenti sono mediamente uguali e pari a 7, ma mentre in Economia non c è variabilità fra gli alunni, nel caso di Statistica i voti sono più variabili, con un campo di variazione pari a 4.5 voti. Tali indici sembrano mostrare una preparazione mediamente buona per entrambe le materie ma in Economia appare esserci maggiore equilibrio nella preparazione degli studenti. Il campo di variazione ha il privilegio della semplicità di calcolo ma, per contro, risulta troppo grezzo, perché tiene conto solo dei valori estremi. Pertanto viene usato solo come prima approssimazione della variabilità Varianza e scarto quadratico medio Questi indici si basano sulla diversità fra le modalità assunte da ogni unità statistica e la media aritmetica.

26 Scarti dalla media aritmetica In simboli queste differenze si indicano con x i x dove, al solito, x i sono le modalità della variabile. Id. Alunni Voto in Statistica Scarti dalla media aritmetica 1 Alessandro = Dario = Fulvio = Giuseppe = Marilena = Noemi = Osvaldo = Paride = Valentina = Valerio = +0.0 Totale 0.0 Gli scarti indicano in che modo le modalità si disperdono attorno alla media aritmetica, quindi rappresentano, in prima approssimazione, la variabilità di questa distribuzione.

27 Per ottenere un unico numero, la cosa più semplice sarebbe fare la somma. Ma la somma vale sempre 0 (proprietà della media aritmetica) Dobbiamo fare in modo di eliminare i segni delle differenze. Ad esempio possiamo elevare al quadrato ogni differenza Voto in Scarti dalla Quadrati Id. Alunni Statistica media aritmetica degli Scarti i x i x i x (x i x ) 2 1 Alessandro (-2.5) 2 = Dario (+1.0) 2 = Fulvio (0.0) 2 = Giuseppe (-2.5) 2 = Marilena (+1.0) 2 = Noemi (+2.0) 2 = Osvaldo (+1.0) 2 = Paride (-0.5) 2 = Valentina (+0.5) 2 = Valerio (0.0) 2 = 0.00 Totale

28 Somma degli scarti al quadrato N i=1 (x i x ) 2, otteniamo un unico valore e abbaino risolto anche il problema dei segni (nell esempio questa somma è 20.00). Ma non siamo ancora arrivati a un indice di variabilità, perché il risultato dipende dalla numerosità del collettivo. Un indice di variabilità deve invece misurare la dispersione indipendentemente dalla numerosità del collettivo. Soluzione: dividere la somma così ottenuta per la numerosità del collettivo N = = 2 Questo indice è noto come varianza 2 Varianza σ 2 = (x i x ) 2 N i=1 N

29 Interpretazione Ma come interpretiamo il valore 2? Si tratta di due voti? La risposta è no, perché essendo il risultato di una somma di quadrati, la varianza è espressa nel quadrato dell unità di misura della variabile. Per questa ragione si usa fare la radice quadrata della varianza σ 2 Si ottiene un indice di variabilità con la stessa unità di misura della variabile. Scarto quadratico medio Questo indice prende il nome di scarto quadratico medio (noto anche come deviazione standard o scostamento quadratico medio) e si indica con la lettera greca sigma minuscola:. σ = N i=1 (x i x ) 2 N e 2 valgono 0 in assenza di variabilità e cresce all aumentare della variabilità.

30 Nel nostro esempio abbiamo: σ = 2 = 1.41 Possiamo ora affermare che nella distribuzione dei voti in Statistica si ha uno scarto quadratico medio di 1.41 voti. Devianza Corrisponde al numeratore della varianza. Quindi la formula della devianza è: N Dev = (x i x ) 2 i=1 Formule per le distribuzioni di frequenze k Devianza Dev = (x i x ) 2 i=1 n i Varianza σ 2 = k i=1 ( x i x ) 2 n i N Scarto quadratico medio σ = k i=1 ( x i x ) 2 n i N = Dev N = σ 2

31 Esempio di calcolo Utilizzando la tecnica delle colonne affiancate calcoliamo ora questi indici di variabilità per la distribuzione delle ore di studio (Tabella MV13), la cui media ricordiamo è x = Ore di studio Frequenze Assolute Scarti dalla media Quadrati degli scarti Prodotto per le frequenze x i n i x i x (x i x ) 2 (x i x ) 2 n i = = = = = = = = = = = = = = = Totale Devianza Dev = Varianza σ 2 = Dev = = N 13 Scarto quadratico medio σ = σ 2 = = 3.67

32 Caso particolare: modalità suddivise in classi Anche in questo caso si usa il valore centrale della classe c i come modalità. Prospetto riassuntivo sulle misure di variabilità TIPO DI VARIABILE Operazioni consentite Misure di variabilità calcolabili Variabili su scala nominale = Omogeneità O 1, O 2 Variabili su scala ordinale = > < Omogeneità e Dispersione D Variabili su scala a intervalli = > < + - Omogeneità, Dispersione, Campo di variazione, Scarto Quadratico Medio, Varianza, Differenze medie Indici di variabilità suggeriti Scarto Quadratico Medio: σ Varianza: σ 2 Devianza: Dev Diff. medie: Δ, Δ 2, Δ 2, Δ R 2

33 Variabilità relativa alla media e al massimo Problema: confronto della variabilità di due diverse distribuzioni. Vi sono situazioni in cui gli indici di variabilità precedentemente visti non sono adatti al confronto della variabilità di due o più distribuzioni: 1 2 Fenomeni che sono misurati in unità di misura diverse Fenomeni che pur avendo la stessa unità di misura hanno valori medi molto diversi Indici percentuali di variabilità Indici relativi di variabilità In entrambi i casi si ottengono dei numeri puri, cioè indipendenti dall unità di misura della variabile, consentendo pertanto i confronti.

34 Esempio 1: unità di misura diverse Giorno Modello A (Litri) Modello B (Galloni) Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Totale Le medie aritmetiche sono x A = e x B = La varianza e la deviazione standard sono: Modello A: σ 2 A = σ A = Modello B: σ 2 B = σ B = C è maggiore variabilità di consumo nel modello A? Non possiamo dirlo ancora! Si tratta infatti di un fenomeno in due diverse unità di misura

35 Coefficiente di variazione Il più noto indice percentuale di variabilità. E dato dal rapporto fra deviazione standard e media aritmetica: CV = σ x Come gli indici di variabilità assoluta anche il CV ha sempre minimo pari a zero e massimo non definito. Nel nostro esempio: CV A = σ A x A CV B = σ B x B = = = = Le due misure di variabilità sono identiche.

36 Esempio 2: valori medi molto diversi Animale Peso Cavalli Peso Cani Animale kg kg Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Unità Totale Le medie delle due distribuzioni sono kg e 2.73kg La varianza e la deviazione standard sono: Cavalli: σ 2 = σ = Cani: σ 2 = σ = C è maggiore variabilità di peso fra i cavalli? Non possiamo dirlo ancora! Si tratta infatti di un fenomeno con intensità media troppo diverse.

37 Deviazione standard kg. Va confrontata con un peso medio di kg Una variabilità di circa 30 chilogrammi su un animali di circa mezza tonnellata. Deviazione standard 283g. Va confrontata con un peso medio di 2.5kg Qualunque distribuzione dei pesi dei cavalli è sempre più variabile del peso dei cani, semplicemente perché questi ultimi sono più piccoli. Dobbiamo allora calcolare i coefficienti di variazione. CV Cavalli = = CV Cani = = Nella distribuzione del peso dei cani la variabilità è quasi il doppio di quella della distribuzione dei cavalli, ribaltando completamente le iniziali conclusioni.

38 La Concentrazione: concetto e misure Variabile quantitativa trasferibile. Si tratta di variabili per le quali ha senso pensare che una parte o tutto l ammontare della variabile possa essere ceduto da una unità statistica ad un altra. Variabili quantitative trasferibili Reddito Dipendenti di un impresa N automobili di una famiglia Variabili quantitative non trasferibili Titolo di studio Età Genere La concentrazione è un concetto statistico che misura come una variabile quantitativa trasferibile è ripartita fra le unità statistiche di un collettivo. L esempio classico è la misura della concentrazione del reddito.

39 Massima CONCENTRAZIONE Se la maggior parte del reddito è posseduto da poche famiglie ricche, si dice che il reddito è concentrato. Esempio: reddito delle famiglie italiane Situazioni intermedie Ci sono infinite situazioni intermedie che si possono misurare con opportuni indici. EQUIDISTRIBUZIONE Se l ammontare complessivo del reddito è posseduto in parti uguali da tutte le famiglie, si dice che c è equidistribuzione. Collettivo di N unità statistiche ordinate secondo la variabile x Indichiamo l ammontare complessivo della variabile x con la lettera A: N A = x i i=1 Si ha equidistribuzione quando ogni unità statistica ha la stessa quantità della variabile: Ogni famiglia possiede la stessa frazione di reddito totale disponibile Es. tutto il reddito posseduto dalle famiglie italiane x i = A N per i = 1,2,, N

40 Situazione opposta, cioè la massima concentrazione, si ha quando una sola unità (l ultima, cioè la N-esima) possiede tutto l ammontare della variabile (A): x 1 = 0 x 2 = 0 x n = A Quindi le possibili situazioni sono: Massima CONCENTRAZIONE x 1 = 0 x 2 = 0 x N = A Situazioni intermedie? EQUIDISTRIBUZIONE x 1 = A N x 2 = A N x N = A N

41 Situazioni intermedie Si ordinano le unità statistiche in modo non decrescente: Si definiscono le seguenti grandezze: x 1 x 2 x N A i = x 1 + x x i ammontare della variabile posseduto dalle prime i unità più povere (cioè posseggono meno). Q i = A i A F i = i N frazione di questo ammontare sul tutto. Quanta parte della variabile, rispetto al totale disponibile, è posseduto dalle prime i unità; frazione di unità fino alla i-esima rispetto alla numerosità del collettivo. Si tratta di una frequenza relativa cumulata.

42 Massima CONCENTRAZIONE x N = A Quindi Q 1 = A 1 A = 0 Q 2 = A 2 A = 0 Q N 1 = A N 1 A = 0 Situazioni intermedie F i Q i EQUIDISTRIBUZIONE F i = Q i 10% delle famiglie possiede il 10% del reddito totale 20% delle famiglie possiede il 20% del reddito totale 30% delle famiglie possiede il 30% del reddito totale Q N = A N A = 1 La concentrazione si può misurare proprio partendo dal confronto fra le Q i e le F i (F 1 Q 1 ) = F 1 (F 1 Q 1 ) = 0 (F 2 Q 2 ) = F 1 (F i Q i ) 0 (F 2 Q 2 ) = 0 sono sempre valori (F N Q N ) = 0 non negativi. (F N Q N ) = 0

43 Pertanto, si fa la somma di queste differenze N 1 C = (F i Q i ) i=1 Si noti che la somma va da i fino a N 1 proprio perché è sempre (F N Q N ) = 0. Massima CONCENTRAZIONE C assume valore Massimo N 1 C max = F i i=1 Situazioni intermedie 0 C C max EQUIDISTRIBUZIONE C assume valore minimo C min = 0 La grandezza C risulta pertanto essere un indice di concentrazione.

44 Indice relativo Come al solito però è più utile lavorare con un indice di concentrazione relativo, cioè una grandezza che varia da 0 (minima concentrazione) a 1 (massima concentrazione). Se il minimo di un indice è 0, un indice relativo si ottiene dividendo l indice stesso per il suo massimo. Rapporto di concentrazione di Gini R = N 1 C = i=1 (F i Q i ) C max N 1 i=1 F i Massima CONCENTRAZIONE Situazioni intermedie EQUIDISTRIBUZIONE R = 1 0 R 1 R = 0

45 Esempio per il calcolo di R Siano dati i redditi annui (in migliaia di euro) percepiti da un campione di 10 famiglie: i x i famiglie reddito A i F i Q i (F i Q i ) Totale A = 419 C = A i = x 1 + x x i ammontare della variabile posseduto dalle prime i unità. F i = i N frazione di unità fino alla i-esima rispetto alla numerosità del collettivo. Q i = A i A frazione dell ammontare sul tutto. N 1 C = (F i Q i ) i=1

46 i x i famiglie reddito A i F i Q i (F i Q i ) Totale Il 40% delle famiglie (F 4 ) possiede il 13.4% del totale della ricchezza (Q 4 ) oppure Il 70% delle famiglie (F 7 ) possiede il 32% della ricchezza (Q 7 ) Già da queste semplici osservazioni si capisce come non c è assolutamente equidistribuzione, anzi il reddito sembra essere concentrato nelle mani delle famiglie più ricche.

47 Calcolo di R Per calcolare il rapporto di concentrazione del Gini manca solo il valore di C max N 1 C max = F i i=1 = 4.5 Pertanto risulta: R = C = C max 4.5 = Si tratta di un rapporto di concentrazione apprezzabile, come ci aspettavamo.

48 Qi Curva di Lorenz Utilizzando i valori F i e Q i è possibile disegnare un grafico chiamato spezzata di concentrazione o curva di Lorenz Si fa un piano cartesiano: ascisse, valori delle F i ordinate, valori di Q i Per ogni coppia di valori (F i, Q i ) si rappresenta un punto. Tutti i punti vengono collegati con segmenti di retta a formare una linea spezzata Area di concentrazione Fi Curva di Lorenz Si rappresenta un segmento di retta che passa per l origine e per il punto di coordinate (1,1). Ogni punto di questa linea ha la peculiarità di avere F i = Q i, quindi è una linea che rappresenta la situazione di equidistribuzione.

49 Qi Area di concentrazione Fi Curva di Lorenz Siccome vale la disuguaglianza F i Q i, i punti della curva di Lorenz giacciono tutti al di sotto della linea di equidistribuzione. Più la curva di Lorenz si allontana dalla linea di equidistribuzione, maggiore è la concentrazione. L area che si forma tra la linea di equidistribuzione e la spezzata di concentrazione si chiama area di concentrazione, e fornisce una misura geometrica della concentrazione. Più grande è l area e maggiore è la concentrazione.

50 Il Box plot Il box plot (o grafico a scatola) è una particolare rappresentazione grafica basata su misure di tendenza centrale e variabilità. Su un diagramma sono visualizzati: il campo di variazione alcuni percentili o quartili la mediana. Si costruisce un rettangolo, con base qualunque e altezza pari all intervallo interquartile (differenza fra il terzo e primo quartile) W = Q 3 Q 1.

51 Massimo Q 3 Mediana Minimo Q 1 Il lato inferiore del rettangolo parte dal primo quartile (Q 1 ) Il lato superiore si arriva al terzo quartile (Q 3 ). Una linea orizzontale ad un livello pari alla mediana (ovvero Q 2 ). Le linee verticali che escono fuori dal rettangolo rappresentano l estensione della distribuzione al di fuori dell intervallo interquartile, quindi sono delimitate dal minimo e massimo valore della distribuzione.

52 Dentro la scatola sono rappresentati il 50% dei valori della distribuzione. Ogni baffo rappresenta il 25% dei valori più bassi e più alti. Esempio: Distr. A Distr. B Minimo 0 5 Q Mediana Q Massimo A B Il box plot è utile per rappresentare una distribuzione in modo sintetico.