Corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici

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1 Introduzione al corso Fabrizio Caccavale Università degli Studi della Basilicata

2 Informazioni generali sul corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici Contatti e informazioni Docente: Fabrizio Caccavale. Informazioni e contatti: fabrizio.caccavale@unibas.it, , Ricevimento: V piano edificio Ingegneria, Mercoledi 10:30-12:30 oppure su appuntamento (concordare via ) Pagina web del corso (calendario sedute d esame, avvisi, risultati, materiale didattico, etc) Informazioni pubblicate anche su

3 Informazioni generali sul corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici Iscriversi al corso su entro il 15 aprile

4 Informazioni generali sul corso di Fondamenti di Sistemi Dinamici Esame Verifiche in itinere Per partercipare alle verifiche in itinere è obbligatoria l iscrizione al corso su Moodle Valutazioni espresse in fasce: A, B, C, D, E, F (sufficienza=d) Una valutazione F preclude la partecipazione alla II verifica e/o alla discussione orale I verifica: nel periodo didattico dedicato alle prove intermedie, II verifica: immediatamente dopo la fine del corso Dopo la II verifica: discussione orale In alternativa, si può sostenere l esame completo: scritto+orale Valutazione finale relativa all intero insegnamento=media delle valutazioni dei singoli moduli

5 Oggetto del corso Cosa studieremo in questo corso? I Sistemi (alcune tipoplogie) Una prima definizione qualitativa: Sistema = oggetto, fenomeno o processo di cui si vuole studiare il comportamento L obiettivo dello studio può essere molteplice: è essenziale la capacità di riprodurre gli aspetti del comportamento del sistema direttamente legati all oggetto di studio Principali finalità dello studio dei sistemi Predizione evoluzione futura (analisi) Verifica di caratteristiche e modifica (progetto) Correzione del comportamento agendo dall esterno (controllo)

6 Oggetto del corso Come affronteremo lo studio dei sistemi? Secondo l approccio tipico della Teoria dei Sistemi Molteplicità di campi applicativi e di tipologie di fenomeni/oggetti/processi da studiare: esigenza di un approccio unificante Obiettivo: individuare metodologie generali per la formulare e risolvere problemi relativi ai sistemi Descrizione dei sistemi basata su modelli comportamentali astratti problemi formulati e risolti in termini astratti Nulla di strano (o spaventoso): è l approccio adottato dal pensiero scientifico moderno, che ha portato al (conseguente) avanzamento tecnologico di cui siamo testimoni

7 Oggetto del corso Quali sono i problemi fondamentali affrontati dalla Teoria dei Sistemi? Costruzione del modello astratto a partire dal sistema reale e/o da misure: problema della modellistica e/o dell identificazione Studio del comportamento del sistema mediante il modello astratto che lo descrive: problema dell analisi Determinazione del modello astratto di un sistema che presenti caratteristiche di comportamento assegnate e traduzione del modello sintetizzato in un sistema reale: problema della sintesi e problema della realizzazione

8 Costruzione del modello astratto per passi 1. Isolare l oggetto, fenomeno o processo che si intende studiare dall ambiente ad esso esterno 2. Definire l insieme di elementi che lo costituiscono 3. Individuare un insieme di grandezze atte a descriverne il comportamento NB: Questi passi non sono univoci

9 Grandezze caratteristiche Fra le grandezze descrittive del comportamento di un sistema si possono individuare le grandezze terminali, che caratterizzano l interazione sistema ambiente esterno Grandezze di ingresso (o ingressi) del sistema (interazione ambiente sistema), che, agendo dall esterno sul sistema, influenzano l evoluzione delle uscite Grandezze di uscita (o uscite) del sistema (interazione sistema ambiente), che caratterizzano l evoluzione del sistema in relazione agli obiettivi dello studio Gli ingressi possono essere pensati come cause o sollecitazioni/forzamenti, mentre le uscite rappresentano gli effetti indotti dalle cause o le risposte alle sollecitazioni/forzamenti A queste si aggiungono le grandezze interne, che caratterizzano lo stato interno del sistema

10 Sistemi con più ingressi e più uscite (MIMO, Multiple Input Multiple Output) Ingressi: U 1,..., U m Uscite: Y 1,..., Y p Sistemi con 1 ingresso e 1 uscita (SISO, Single Input Single Output) Ingresso: U Uscita: Y Il corso si concentrerà soprattutto sui sistemi SISO

11 Definizione di Sistema Astratto Orientato Un possibile modo per associare un modello astratto (basato solo sul comportamento terminale) ad un sistema reale S = insieme di tutte le coppie ordinate {U, Y}, ottenute assegnando un evoluzione per l ingresso (tra quelle ammissibili) ed osservando la corrispondente evoluzione dell uscita Tale insieme viene detto Sistema Astratto Orientato (SAO) associato al sistema reale L aggettivo orientato evidenzia il legame di causa-effetto che il sistema stabilisce fra ingresso e uscita U S Y

12 L associazione di un sistema astratto orientato ad un sistema reale non è univoca! Dipende da Scelta delle grandezze terminali Insieme degli andamenti nel tempo ritenuti ammissibili per l ingresso In altri termini, ad uno stesso sistema reale possono corrispondere diversi SAO e allo stesso (in un senso da precisare) SAO possono corrispondere diversi sistemi reali

13 Un primo semplice esempio: il resistore elettrico Fattori da tener conto nel determinare il modello astratto Scopo dello studio scelta delle variabili terminali. Ad esempio: se il resistore viene alimentato da un generatore di tensione, si ha U = i R, ma per l uscita sono possibili sempre diverse scelte: Y = v R oppure Y = R ir 2 (potenza dissipata)... Ambito di funzionamento rappresentazione astratta del legame ingresso-uscita (i-u). Ad esempio: a bassa frequenza si può adottare la legge di Ohm (v R = R i R ), che porta al legame i-u Y = R U... ma in alta frequenza non si possono trascurare fenomeni induttivi e capacitivi, in alta tensione si potrebbero avere fenomeni di scarica, etc...

14 Il SAO come modello matematico di un sistema La definizione di SAO come collezione sistematica di tutte le possibili coppie i-u non risulta accettabile Contraddice uno degli scopi principali per cui si adotta l approccio basato su modelli astratti (predizione del comportamento del sistema reale) Impossibile effettuare una serie esaustiva di esperimenti Lo stesso ingresso può dar luogo a diverse evoluzioni dell uscita (in dipendenza dalle diverse condizioni in cui il sistema si trova all atto dell applicazione dell ingresso)

15 Approccio alternativo: Modellistica Interna 1. Considerare la struttura interna del sistema reale, individuandone gli elementi costitutivi, le loro connessioni/interazioni e le grandezze (terminali e interne) che descrivono il suo comportamento 2. Individuare i legami/vincoli strutturali fra grandezze, stabiliti dagli elementi costitutivi e dal modo con cui questi ultimi interagiscono fra di loro 3. Rappresentare in maniera astratta sia le grandezze ( grandezze matematiche) che i vincoli ( equazioni matematiche) Grandezze matematiche = funzioni matematiche di variabili indipendenti (tempo, t T, spazio, p P...), legami/vincoli strutturali = equazioni che legano le grandezze matematiche SAO=Modello matematico del sistema

16 Le equazioni del modello derivano da leggi generali e relazioni costitutive, utilizzabili in determinati ambiti di validità Ad uno stesso sistema reale possono corrispondere diversi modelli matematici (in relazione agli ambiti di funzionamento che si intendono analizzare) La struttura dei legami tra grandezze relative a sistemi di natura diversa è similare quando espressa in forma di equazioni (analogie) Uno stesso modello matematico può descrivere differenti sistemi reali (con diversa interpretazione fisica delle grandezze matematiche)

17 Dunque, l analisi del comportamento del sistema si traduce in quello della ricerca delle soluzioni di un insieme di equazioni Soluzione analitica in forma chiusa: utile per la descrizione puntuale della risposta del sistema, spesso laboriosa, talvolta non perseguibile Emulazione analogica: realizzazione di un diverso sistema fisico (meno costoso e/o tecnologicamente più semplice) che effettua l emulazione del sistema assegnato Simulazione numerica: metodi numerici per la soluzione (approssimata) delle equazioni In alternativa: caratterizzazione delle proprietà di risposta del sistema intese in senso più generale (in dipendenza dalla struttura delle equazioni e dal valore dei parametri che in esse compaiono) valutazione qualitativa del comportamento del sistema

18 Esempio: sistema massa-smorzatore Se Y = ν (velocità della massa), U = f (forza esterna applicata alla massa) Seconda legge della dinamica: M a(t) = f (t) f B (t), a(t) = ν(t) Caratteristica dello smorzatore: f B (t) = B ν(t) M ν(t) + B ν(t) = f (t) Modello ingresso-uscita (implicito) M Ẏ(t) + B Y(t) = U(t)

19 Se Y = s (posizione della massa), U = f (forza esterna applicata alla massa) Seconda legge della dinamica: M a(t) = f (t) f B (t), a(t) = s(t) Caratteristica dello smorzatore: f B (t) = B ν(t) = B ṡ(t) M s(t) + B ṡ(t) = f (t) Modello ingresso-uscita (implicito) M Ÿ(t) + B Ẏ(t) = U(t) Allo stessa sistema fisico corrispondono 2 SAO

20 Esempio: circuito RL Se Y = i L (corrente nell induttore), U = v (tensione impressa dal generatore ideale) Prima e seconda legge di Kirchoff: i L (t) = i R (t), v L (t) + v r (t) = v(t) Caratteristiche del resistore e dell induttore ideali: v R (t) = R i R (t), v L (t) = L d i L(t) dt L d i L(t) + R i L (t) = v(t) dt Modello ingresso-uscita (implicito) L Ẏ(t) + R Y(t) = U(t)

21 Si noti che i due sistemi (massa-smorzatore con Y = ν e circuito RL) sono, da un punto di vista matematico, rappresentati dalla stessa equazione (ma con diversa interpretazione fisica delle grandezze e dei parametri) M Ẏ(t) + B Y(t) = U(t) e L Ẏ(t) + R Y(t) = U(t) a 1 Ẏ(t) + a 0 Y(t) = b 0 U(t) Lo stesso SAO rappresenta 2 sistemi reali diversi