Maximumsprinzip im Finite-Elemente- Rahmen

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1 LMU München Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente- Rahmen Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 1/17

2 Laplace-Gleichung: Maximumprinzip Satz (Maximumprinzip für die Laplace-Gleichung) Sei Ω R n oen, beschränkt und sei f : Ω R Lösung der Laplace-Gleichung, d. h. f(x) = 0, x Ω. Dann gilt max f( Ω) = max f( Ω) bzw. für alle x Ω: f(x) [min f( Ω), max f( Ω)] conv hull( Ω) 3 1 f(x, y) = x y Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen /17

3 Beweis Mittelwerteigenschaft: f(x) = ffl B(x,r) f(y)dy. Sei x Ω sodass f(x) / [min f( Ω), max f( Ω)] globales Maximum (Minimum) ist, dann folgt aus der Mittelwerteigenschaft dass f konstant ist in B(x, r) Ω. Wiederholtes Anwenden liefert, dass f im gesamten zusammenhängenden Gebiet um x konstant ist, Widerspruch! Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 3/17

4 Convex Hull Property Verallgemeinerung auf nicht-homogenes Problem: f(x) = h(x) 0 x Ω (Maximumprinzip) Verallgemeinerung auf weitere (z. B. elliptische o. nicht-lineare) PDG's, z. B. p-laplace-gleichung: { p f = 0 in Ω f = g in Ω ˆ 1 p f p min in g + W 1,p 0 (Ω) (1) mit p f := ( f p f ). Verallgemeinerung auf vektorwertige Lösungen: Convex Hull Property: Satz (Convex Hull Property für die p-laplace-gleichung) Sei f (vektorwertige) Lösung zu (1). Dann gilt f(x) conv hull (f( Ω)) x Ω (CHP) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 4/17

5 Warum die konvexe Hülle? Lemma Sei K R n abgeschlossen und konvex. Deniere die orthogonale Projektion Π K : R n K durch Π K x := arg min y K x y. Für alle x R n und alle z K gilt (x Π K x) (z Π K x) 0 () Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 5/17

6 Warum die konvexe Hülle? Lemma Sei K R n abgeschlossen, konvex und f : R m R n. Dann gilt x R m : Π K f(x) f(x) Π K f(x) Π K f(y) = (Π K f(x) f(x) + f(x) f(y) + f(y) Π K f(y)) (Π K f(x) Π K f(y)) (f(x) f(y)) (Π K f(x) Π K f(y)) C S f(x) f(y) ΠK f(x) Π K f(y) Π K f(x) Π K f(y) f(x) f(y) lim lim y x x y y x x y Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 6/17

7 Beweis: CHP für p-laplace Existenz einer eindeutigen schwachen Lösung (ohne Beweis) Wähle K = conv hull ( Ω), dann gilt für J [f] 1 p f p J [f] J [Π K f] Wegen Monotonität von J [f] in f und (Π K f) f : J [Π K f] J [f] Π K f f Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 7/17

8 Verallgemeinerung des CHP Benutzt: Existenz und Eindeutigkeit der Lösung Monotonität von F in J [f] = Ω F (x, f(x) ) im zweiten Argument Satz (Convex Hull Property) Sei f eindeutiger Minimierer der Energie J [f] = Ω F (x, f(x) ) wie oben. Dann gilt f(x) conv hull( Ω), x Ω R n (3) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 8/17

9 Finite Elemente Sei T eine konforme Triangulierung von Ω in n-simplexe T. Sei N die Menge der Ecken in T. Sei P 1 (T ) der Raum der an-linearen Funktionen auf T T. Denition (Finite Lagrange Elemente) Der Raum der niten Lagrange Elemente ist deniert als V(T ) := { V C ( Ω ) V T P 1 (T ) für alle T T }. (4) V(T ) wird aufgespannt von der nodalen Lagrange Basis ϕ z, z N : für alle y, z N gilt ϕ z (y) = δ yz z N ϕ z 1 Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 9/17

10 Finite Elemente Sei T eine konforme Triangulierung von Ω in n-simplexe T. Sei N die Menge der Ecken in T. Sei P 1 (T ) der Raum der an-linearen Funktionen auf T T. Denition (Finite Lagrange Elemente) Der Raum der niten Lagrange Elemente ist deniert als V(T ) := { V C ( Ω ) V T P 1 (T ) für alle T T }. (4) V(T ) wird aufgespannt von der nodalen Lagrange Basis ϕ z, z N : für alle y, z N gilt ϕ z (y) = δ yz z N ϕ z 1 Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 9/17

11 Triangulierung, nodale Basis Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 10/17

12 CHP für nite Elemente I. A. gilt für V V m (T ), dass Π K V / V(T )! Deniere den Projektionsoperator P K : V(T ) m V(T ) m mit (P K V)(Ω) K durch (P K V)(z) := Π K V(z), z N (5) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 11/17

13 CHP für nite Elemente I. A. gilt für V V m (T ), dass Π K V / V(T )! Deniere den Projektionsoperator P K : V(T ) m V(T ) m mit (P K V)(Ω) K durch (P K V)(z) := Π K V(z), z N (5) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 11/17

14 Nicht-Stumpfwinkligkeit Denition (nicht-stumpfwinkligkeit) Ein Simplex T T heiÿt nicht-stumpf wenn die Winkel zwischen allen Paaren von Seiten kleiner oder gleich π/ sind. Eine konforme Triangulierung T von Ω heiÿt nicht-stumpf, wenn alle Simplexe T T nicht-stumpf sind. Mit anderen Worten: Lemma Ein n-simplex T T ist nicht-stumpf genau dann wenn ϕ z T ϕ y T 0 z, y T N mit z y (6) Eine konforme Triangulierung T von Ω ist nicht-stumpf genau dann wenn ϕ z ϕ y 0 fast überall in Ω, z, y N mit z y (7) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 1/17

15 Nicht-Stumpfwinkligkeit Denition (nicht-stumpfwinkligkeit) Ein Simplex T T heiÿt nicht-stumpf wenn die Winkel zwischen allen Paaren von Seiten kleiner oder gleich π/ sind. Eine konforme Triangulierung T von Ω heiÿt nicht-stumpf, wenn alle Simplexe T T nicht-stumpf sind. Mit anderen Worten: Lemma Ein n-simplex T T ist nicht-stumpf genau dann wenn ϕ z T ϕ y T 0 z, y T N mit z y (6) Eine konforme Triangulierung T von Ω ist nicht-stumpf genau dann wenn ϕ z ϕ y 0 fast überall in Ω, z, y N mit z y (7) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 1/17

16 Lemma Lemma Sei T eine nicht-stumpfe, konforme Triangulierung von Ω und sei K R m abgeschlossen und konvex. Für alle V V(T ) m und fast überall in Ω gilt d.h. unter diesen Bedinungen gilt (CHP) V : P K V P K V und (8) V P K V, (9) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 13/17

17 Beweis V : P K V P K V : V T = V T : P KV T = = Lemma 1 ϕ i ϕ j 0 n V(z i)ϕ i T i=1 n i=1 j=1 n i=1 j=1 n i=1 j=1 mit {z i} i=1...n = N n ( ) ϕi T ϕ j T (V(zi) Π KV(z j)) n ( ) ϕi T ϕ j T V(zi) (Π ) KV(z j) Π KV(z i) }{{} j 0 n ( ) ϕi T ϕ j T ΠKV(z i) (Π ) KV(z j) Π KV(z i) }{{} j 0 = (P KV) T : (P KV) T = (P KV) T V P K V : Cauchy-Schwarz: V P K V V : P K V Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 14/17

18 Beweis V : P K V P K V : V T = V T : P KV T = = Lemma 1 ϕ i ϕ j 0 n V(z i)ϕ i T i=1 n i=1 j=1 n i=1 j=1 n i=1 j=1 mit {z i} i=1...n = N n ( ) ϕi T ϕ j T (V(zi) Π KV(z j)) n ( ) ϕi T ϕ j T V(zi) (Π ) KV(z j) Π KV(z i) }{{} j 0 n ( ) ϕi T ϕ j T ΠKV(z i) (Π ) KV(z j) Π KV(z i) }{{} j 0 = (P KV) T : (P KV) T = (P KV) T V P K V : Cauchy-Schwarz: V P K V V : P K V Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 14/17

19 Existenz&Eindeutigkeit (p-laplace FE) Satz ˆ J [V] = Hat eine eindeutige Lösung. Ω 1 p V p min in G + V 0 (T ) m J ist durch 0 nach unten beschränkt und eine inmale Folge {V k } k N durch C > 0 nach oben V(T ) m endlich-dimensional {V k } k N ist präkompakt in V(T ) m Es gibt V kl U G + V 0 (T ) m, Minimierer Angenommen, es gibt mehrere Minimierer U V, dann U+ V p < U p + V p für p > 1 J [ U+V ] < J [U] + J [V] = J [U], Widerspruch! Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 15/17

20 Existenz&Eindeutigkeit (p-laplace FE) Satz ˆ J [V] = Hat eine eindeutige Lösung. Ω 1 p V p min in G + V 0 (T ) m J ist durch 0 nach unten beschränkt und eine inmale Folge {V k } k N durch C > 0 nach oben V(T ) m endlich-dimensional {V k } k N ist präkompakt in V(T ) m Es gibt V kl U G + V 0 (T ) m, Minimierer Angenommen, es gibt mehrere Minimierer U V, dann U+ V p < U p + V p für p > 1 J [ U+V ] < J [U] + J [V] = J [U], Widerspruch! Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 15/17

21 Existenz&Eindeutigkeit (allgemein) Satz Sei das Funktional J : V(T ) m R stetig und sei F : Ω R R (1) streng konvex im zweiten Argument, d. h. für alle θ (0, 1) und s, t 0, s t gilt fast überall in Ω F (, θs + (1 θ)t) < θf (, s) + (1 θ)f (, t) () koerzitiv, d. h. es gibt eine stetige, monotone Funktion F : R R mit g(t) für t, sodass fast überall in Ω gilt: F (, t) g(t) für alle t 0. Dann existiert ein eindeutiges U G + V 0 (T ) m sodass J (U) = min {J (V) : V G + V 0 (T ) m } Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 16/17

22 Diskussion Ob ein Mensch klug ist, erkennt man an seinen Antworten. Ob ein Mensch weise ist, erkennt man an seinen Fragen. (Nagib Mahfuz) Andreas Swoboda Maximumsprinzip im Finite-Elemente-Rahmen 17/17