Forbici e Scotch (scissors)

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1 Forbici e Scotch () Giorno 2 Lingua Italiano Limite di tempo 1 secondo Limite di memoria 1024 megabyte Ti viene dato un pezzo di carta della forma di un singolo poligono S. Il tuo compito è di convertirlo in un poligono semplice T che ha la stessa area di S. Puoi utilizzare due strumenti: forbici e scotch. Le forbici possono essere utilizzate per tagliare qualsiasi poligono in poligoni più piccoli. Lo scotch serve a unire più poligoni in poligoni più grandi. Puoi utilizzare ogni strumento molteplici volte (2 000 al massimo), in ogni ordine. I poligoni dati in input hanno coordinate intere, ma è consentito a produrre forme con coordinate non intere come output. Segue una descrizione formale del problema. Una forma Q = (Q 0,..., Q n 1 ) è una sequenza di tre o più punti nel piano tali che: La polilinea chiusa Q 0 Q 1 Q 2... Q n 1 Q 0 non tocca o interseca se stessa, e quindi forma il contorno di un poligono semplice. La polilinea gira attorno al contorno del poligono in senso antiorario. Il poligono il cui contorno è la forma Q sarà identificato con P (Q). Due forme sono considerate equivalenti se una può essere traslata e/o ruotata per diventare identica all altra. Nota che specchiare la forma non è consentito. Inoltre nota che l ordine dei punti è importante: la forma (Q 1,..., Q n 1, Q 0 ) non è equivalente alla forma (Q 0,..., Q n 1 ). U 0 U 2 U 1 U 3 V 0 V 3 V 2 W 1 V 1 W 0 W 3 W 2 Nella figura a sinistra: Le forme U e V sono equivalenti. La forma W non è equivalente a loro perchè i punti di W sono dati in un ordine differente. Anche ignorando l ordine dei punti, la quarta forma non è equivalente con le precedenti visto che specchiare una forma non è consentito. Sia in input che in output, una forma con n punti è rappresentata come una singola linea che contiene 2n + 1 interi separati da spazi. Il primo di questi numeri è n. I rimanenti sono le coordinate dei punti: Q 0,x, Q 0,y, Q 1,x,... Le forme hanno numeri identificativi (IDs). La forma data in input S ha ID 0, le forme che produrrai nella tua soluzione avranno indici crescenti 1, 2, 3,..., nell ordine in cui sono prodotti. Le forme B 1,..., B k formano una suddivisione della forma A se: The union of all P (B i ) is exactly P (A). L unione di tutte le P (B i ) è esattamente P (A). Per ogni i j, l area di intersezione tra P (B i ) e P (B j ) è zero. L operazione forbici distrugge una forma esistente A e produce una o più forme B 1,..., B k che siano una suddivisione di A. (6, 4) Nella figura a sinistra: La forma A (quadrato) è suddivisa nelle forme B 1, B 2, B 3 (tre triangoli). Uno dei modi vaidi per descrivere una forma B i è (3, 1) Pagina 1 di 5

2 L operazione scotch distrugge una o più forme esistenti A 1,..., A k e produce una nuova forma B. Per eseguire questa operazione, devi prima specificare le forme C 1,..., C k e solo successivamente la forma finale B. Queste forme devono soddisfare le seguenti condizioni: Per ogni i, la forma C i è equivalente alla forma A i. Le forme C 1,..., C k formano una suddivisione della forma B. In modo informale, puoi scegliere una forma B e mostrare come muovere ogniuna delle forme esistenti A i nella loro corretta posizione C i contenuta in B. Nota che solo la forma B ottiene un nuovo ID, le forme C i non lo ottengono. Dati di input La prima linea contiene la forma di partenza S. La seconda linea contiene la forma finale T. Ogni forma ha tra 3 e 10 punti, estremi inclusi. Entrambe le forme sono date nel formato specificato sopra. Tutte le coordinate in input sono interi compresi tra 10 6 e 10 6, inclusi. In ogni forma, non esistono tre punti qualsiasi che formano un angolo inferiore di 3 gradi. (Questo quindi include punti non consecutivi, ed implica che non esistono tre punti collineari). I poligoni P (S) e P (T ) hanno la stessa area. Dati di output Ogni qualvolta usi l operazione forbici scrivi in output un blocco di righe nella seguente forma: id(a) k B_1 B_2... B_k dove id(a) è l ID della forma che vuoi distruggere, k è il numero di nuove forme da produrre, e B 1,..., B k sono queste forme. Ogni qualvolta usi l operazione scotch scrivi in output un blocco di righe nella seguente forma: k id(a_1)... id(a_k) C_1 C_2... C_k B dove k è il numero di forme che vuoi attaccare insieme, id(a 1 ),..., id(a k ) sono i loro ID, C 1,..., C k sono forme equivalenti che mostrano la loro posizione in B, e B è la forma finale ottenuta attaccandole assieme. È consigliabile scrivere in output le coordinate dei punti con almeno 10 cifre decimali. L output deve soddisfare i seguenti requisiti: Tutte le coordinate di punti nell output devono essere comprese fra 10 7 e 10 7, inclusi. Ogni forma dell output deve avere alpiù 100 punti. In ogni operazione il numero k di forme deve essere compreso fra 1 e 100, inclusi. Il numero totale di operazioni non può eccedere Il numero totale di punti in tutte le forme nell output non deve eccedere Alla fine deve esserci esattamente una forma (che non è stata distrutta), e tale forma deve essere equivalente a T. Pagina 2 di 5

3 Tutte le operazioni devono risultare valide al correttore. Soluzioni con piccoli errori di arrotondamento saranno accettate(internamente tutti i confronti controllano per un errore assoluto o relativo fino a 10 3 quando viene verificata ogni condizione). Handouts Istruzioni su come stampare i numeri a virgola mobile sono disponibili negli appunti del tuo linguaggio di programmazione. Puoi scaricare il binario -checker, renderlo eseguibile (chmod a+x -checker) e usarlo in locale per controllare la correttezza del tuo output (./-checker input your_output). Assegnazione del punteggio Una forma è chiamata un bel rettangolo se ha la forma ((0, 0), (x, 0), (x, y), (0, y)) con x e y interi positivi. Una forma è chiamata un bel quadrato se aggiuntivamente x = y. Una forma A è chiamata strettamente convessa se tutti gli angoli interni del poligono P (A) sono meno ampi di 180 gradi. Subtask 1 (5 punti): S e T sono bei rettangoli. Tutte le coordinate di tutti i punti sono comprese fra 0 e 10, inclusi. Subtask 2 (13 punti): S è un bel rettangolo con x > y, e T è un bel quadrato. Subtask 3 (12 punti): S e T sono bei rettangoli. Subtask 4 (14 punti): S è un triangolo e T è un bel rettangolo. Subtask 5 (10 punti): S e T sono triangoli. Subtask 6 (16 punti): S è un poligono strettamente convesso e T è un bel rettangolo. Subtask 7 (11 punti): T è un bel rettangolo. Subtask 8 (19 punti): nessuna ulteriore restrizione. Pagina 3 di 5

4 Esempi di input ed output standard input standard output Pagina 4 di 5

5 standard input standard output Note La figura sulla sinistra mostra l output del primo esempio. Sulla sinistra c è la figura originale alterata usando le forbici, sulla destra ci sono i corrispondendi C i quando attacchiamo questi pezzi insieme con lo scotch. 4 3 Nel secondo output di esempio, nota che è sufficiente che la figura finale sia equivalente a quella voluta, non è necessario che siano uguali. La figura sotto mostra tre stadi del terzo output di esempio. Prima tagliamo il rettangolo di input in due rettangoli più piccoli, dopo di che tagliamo i più grandi di questi due rettangoli in ulteriori due rettangoli. Lo stato dopo aver effettuato questi tagli è mostrato in alto a sinistra nella figura. Continuando attacchiamo i due nuovi rettangoli assieme con il nastro adesivo per formare un poligono di sei lati, e quindi tagliamo quel poligono in tre rettangoli 2 per 1 ed in un rettangolo più piccolo. Questo è mostrato in basso a sinistra nella figura. Infine prendiamo il rettangolo che ancora abbiamo dal primo passaggio ed i quattro nuovi rettangoli, e li assembliamo insieme nel quadrato 3 per 3 desiderato Pagina 5 di 5