Relazione tra le variabili: regressione lineare e coefficienti di correlazione

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1 Relazione tra le variabili: regressione lineare e coefficienti di correlazione 1

2 Indice Stima della relazione tra le variabili di un campione Migliore retta che può essere tracciata a partire dai dati Errori standard dei coefficienti di regressione IC retta di regressione IC per singola osservazione Confronto di due rette di regressione test globale Correlazione e coefficienti di correlazione Coefficiente dei ranghi di Spearman Metodo di Bland-Altman per il confronto tra due misure diverse di una grandezza

3 Obiettivo 1. Stimare in quale misura una variabile MEDIAMENTE cresce/decresce al variare di un altra variabile RETTA DI REGRESSIONE Procedimento parametrico I campioni sono tratti da popolazioni caratterizzate da una risposta media che varia in modo continuo al variare dell entità del trattamento (test precedenti: valutare l efficacia di un trattamento discreto). Quantificare la FORZA dell associazione tra due variabili COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE 3

4 Statura / Peso Tutta la popolazione (00 us) è accessibile all osservazione, misuriamo: variabile dipendente peso (kg) OSSERVAZIONI: pesof(statura) Statura (cm) yf(x) Statura ~ N(40,5) Peso ~ N(1,.5) 1. Il peso cresce LINEARMENTE con l altezza. Non si può predire il peso di una singola us essendo nota l altezza perché c è VARIABILITA yx 1 nei pesi di us con uguale statura variabile indipendente 4 DS dei pesi di us FISSATA certa statura

5 Variabile dipendente/indipendente 1 CASO, associazione tra variabili: Osservare la variabile indipendente e Predire la variabile dipendente CASO, legame casuale: Agire sulla variabile indipendente e Stimare, anche se con incertezza, la variabile dipendente (esperimenti controllati) 5

6 La retta delle medie Fissato x, calcolo la MEDIA di tutti i possibili valori di y, µ y.x Queste medie si dispongono lungo una linea retta di eq: µ y.x + x nel nostro caso intercetta coefficiente angolare il peso medio aumenta di 0.5Kg quando la statura aumenta di 1cm: µ y.x 8Kg + (0.5Kg/ cm)x Esiste una VARIABILITA intorno alla retta delle medie: y 1Kg.x y.x valuta quanto la RETTA delle MEDIE sia utile a predire i valori della variabile dipendente 6

7 La retta delle medie peso (kg) µ y.x + x Statura (cm) µ y.x 8Kg + (0.5Kg/ cm)x Esiste una VARIABILITA intorno alla retta delle medie: y.x 1Kg 7

8 Ipotesi per la retta di regressione La media della popolazione della variabile DIPENDENTE corrispondente ad un certo valore della variabile indipendente CRESCE/DECRESCE linearmente al crescere della variabile indipendente Fissato un valore della variabile INDIPENDENTE, i possibili valori della variabile dipendente si distribuiscono NORMALMENTE La deviazione standard della popolazione della variabile dipendente intorno alla sua media NON VARIA al variare della variabile indipendente 8

9 Statura / Peso Ho accesso solo a 10 campioni dell intera popolazione: peso (kg) Statura (cm) Il peso aumenta all aumentare della statura Problema: Il campione è significativo di ciò che accade nella popolazione? Risoluzione: Stimare i parametri della popolazione: (intercetta) e (coeff. angolare) della retta delle medie 9

10 Retta di regressione per statura / peso peso (kg) I: non passa tra i dati I II III II: passa tra i dati, IV ma ha coefficiente angolare più elevato Statura (cm) III e IV: ok! Qual è la migliore? Migliore è quella retta che rende minima la variabilità totale tra i dati osservati e la retta stessa si misura con la varianza o DS Metodo dei minimi quadrati: La somma dei quadrati degli scarti tra i valori della variabile dipendente osservati e quelli individuati dalla retta deve essere MINIMA 10

11 Retta dei minimi quadrati L equazione della retta detta RETTA DI REGRESSIONE è: ŷ a + bx l intercetta (a) e il coefficiente angolare (b) sono: a ( Y)( n( X X ) ( ) ( X)( X) XY) dove X e Y sono le coordinate dei punti b n( n( XY) ( X ) ( X)( X) Y) 11

12 s X 5cm Statura / Peso s Y.4Kg Statura osserv.(cm) TOT369 Peso osserv.(kg) TOT103.8 X (cm ) XY(Kg.cm) X XY (103.8kg)(13841cm 10(13841cm ) (369cm)(3930.1Kg a 10(3930.1Kg 10(13841cm ) (369cm) cm) (369cm)(103.8Kg) b ) (369cm) La retta di regressione: cm) 0.44Kg ŷ 6Kg + 6Kg cm stima di stima di (0.44Kg/ cm) x 1

13 Stima della variabilità della popolazione y.x Si calcola la radice quadrata degli scarti tra i dati e la retta di regressione: s y x [ ] Y Ŷ [ Y (a bx) ] n n 1 (s Y b s X ) n n Per rendere più piccolo il denominatore e compensare la tendenza alla sottostima della variabilità della popolazione Nell ES: s X 5cm s Y.4Kg 9 sy X ( ) 0.96Kg 8 è una stima della variabilità della popolazione y.x 1Kg 13

14 Errori standard dei coefficienti a, b Al variare dei campioni, VARIA la retta di regressione ovvero variano i coefficienti a e b Le distribuzioni di tutti i possibili valori a (rispettivamente b) hanno MEDIA (rispettivamente ), e DS (rispettivamente ) e si distribuiscono normalmente e sono utilizzati per la verifica delle ipotesi e per il calcolo di IC relativamente ai coefficienti di regressione e alla stessa retta deviazione standard dell intercetta deviazione standard del coefficiente angolare PROBLEMA: come si stimano? 14

15 Errori standard dei coefficienti a, b Dai campioni si stima la deviazione standard di tutti i possibili valori assunti dall intercetta: s a s y x 1 n + (n X 1)s X e la deviazione standard di tutti i possibili coefficienti angolari: s b 1 n 1 s y x s X ES: 1 (36.9cm) s (0.96Kg) + 10 (10 1)(5cm) a Kg s b 0.06Kg/cm cm.4Kg 15

16 Verifica di ipotesi Verificare che il COEFFICIENTE ANGOLARE0 equivale stimare la probabilità di osservare una relazione di forza uguale o maggiore a quella mostrata dai dati sotto ipotesi che NON C E RELAZIONE LINEARE tra la variabile indipendente e dipendente H 0 : non c è relazione lineare tra la variabile indipendente e dipendente t-test: test: t stima del parametro - valore reale del parame.nella popol. errore standard della stima del parametro Affinchè non esista relazione lineare: 0 t b s b b Questo t-empirico si confronta col t-teorico a n- GL che individua nella distribuzione i valori corrispondenti al 100% di errore nel caso di assenza di relazione 16 s b

17 Esempio: statura / peso Abbiamo calcolato b0.44kg/cm e s b 0.06Kg/cm 0.44 t Fissato 0.1%, t poichè 10-8 t > t c Conclusione: RIFIUTO H 0, ovvero questo campione è estratto da una popolazione nella quale vi è una relazione lineare tra variabile indipendente e dipendente 17

18 Esempio: statura / peso con IC Utilizzando la definizione di t, si definisce IC al 100(1-)% per il COEFFICIENTE ANGOLARE della retta delle medie: b t sb < < b + ts b Nell ES: essendo t , poichè 10-8, IC al 95% è: Kg/ cm < < < < Kg/ cm Conclusione: 0.06 Questo IC contiene il valore reale 0.5Kg/cm 0IC RIFIUTO H 0, ovvero questo campione è estratto da una popolazione nella quale vi è una relazione lineare tra variabile indipendente e dipendente 18

19 Analogamente per l INTERCETTA con la relazione: t-test: test: t Verifica di ipotesi e IC stima del parametro - valore reale del parame.nella popol. errore standard della stima del parametro a che segue la distribuzione normale con n- GL e IC è: Nell ES: 6.0 a t.306 sa < < a + ts a essendo t , poichè 10-8, IC al 95% è:.4 < < ,5 < < -0,5 Conclusione:.4 s a Questo IC contiene il valore reale -8Kg 0IC RIFIUTO H 0 19

20 IC per la retta di regressione Il grado di incertezza nella stima di COEFFICIENTE ANGOLARE e INTERCETTA della retta delle medie è quantificata da: s a.4kg, s b 0.06Kg peso (kg) La retta delle medie può trovarsi sopra/sotto la retta di regressione, oppure avere un coefficiente angolare leggermente diverso: in ogni caso si trova in un INTERVALLO che INCLUDE la Retta di Regressione Statura (cm) La regione è più ampia agli estremi perché la retta di regressione deve essere tracciata in linea retta e passare per la media delle due variabili 0

21 IC per la retta di regressione Fissata la variabile indipendente esiste la distribuzione di tutti i possibili valori della retta di regressione. E una distribuzione normale ERRORE STANDARD della RETTA DI REGRESSIONE (dipende dalla variabile indipendente) s ŷ s y x 1 n (x + (n X) 1)s E una distribuzione normale IC al 100(1-)%: ŷ t dove t ha n- GL e X s < y < ŷ + t s ŷ ŷ ŷ a + bx 1

22 ATTENZIONE! Errore frequente IC retta regressione IC della popolazione E analogo a quando per descrivere la VARIABILITA della popolazione si utilizza l ERRORE STANDARD DELLA MEDIA anzicchè la DEVIAZIONE STANDARD peso (kg) Statura (cm) IC retta di regressione: al 95% il peso medio per un altezza di 40cm è compreso in [11,1.5] NON è vero che al 95% il peso di ciascuna us con altezza 40cm è compreso in [11,1.5]

23 IC per una nuova osservazione COSA OCCORRE: Variabilità derivante dalla dispersione della popolazione intorno alla RETTA delle MEDIE, Variabilità derivante dall incertezza sulla posizione della retta delle medie, s ŷ La deviazione del valore predetto di una nuova osservazione è: 1 (x X) IC al 100(1-)%: sy sy x + s s ŷ y x 1 + nuovo n (n 1)s s ŷ s y x 1 n (x + (n X) 1)s X X ŷ t s y x sy < y < ŷ + t s nuovo Y nuovo A COSA SERVE? E l IC da usare quando si stima un nuovo valore della v.d. a partire dalla v.i. con una confidenza del 95% che il range 3 includa il valore reale

24 Confronto tra due rette di regressione TIPI DI TEST: 1. per cercare una differenza dei coefficienti angolari. per cercare una differenza delle intercette 3. test globale di coincidenza nel quale si chiede se le rette sono diverse i coefficienti angolari e le intercette seguono la distribuzione t 4

25 Confronto per i coefficienti angolari Ipotesi: i due campioni sono tratti da popolazioni con uguale coefficiente angolare della retta delle medie t-test: test: t differenza tra i coefficienti angolari errore standard della differenza tra i coefficienti angolari b 1 s b b 1 b dove s s + s b1 b b1 b (n n 1 n n 1 n (n s y x p 1 s y x p 1)s 1 x 1 + )s n y x 1 (n s y x p 1)s x + (n )s 1 + n 4 Si confronta questo valore con t c per n 1 +n -4 GL y x Ipotesi: i due campioni sono tratti da popolazioni con uguali intercette della retta delle medie t-test: test: t a 1 s a a 1 a con s s + s a1 a a1 a 5

26 Test globale Significato di metodo dei minimi quadrati Capire se approssimare i dati con DUE rette di regressione diverse produce RESIDUI minori rispetto all approssimazione con UNA sola retta METODO: 1. adattare ciascun insieme di dati ad una propria retta di regressione. calcolare la variabilità globale, s y x p, intorno a due rette di regressione differenti 3. adattare tutti i dati ad un unica retta di regressione e calcolare la variabilità globale, s, y x c COMUNE intorno ad essa 6

27 METODO: s Test globale 4. calcolare il miglioramento : y x migl (n 1 + n )s y x c (n 1 + n 4)s y x p Riduzione della somma totale dei quadrati delle differenze tra le osservazioni e la retta di regressione res SS c resp sotto l ipotesi che le due rette abbiano coefficienti ed intercette differenti con SS res somme dei quadrati dei residui intorno alle rette di regressione 5. quantificare i miglioramenti utilizzando il test s y x statistico F: migl F s y x 6. confrontare p F-empirico con F-teorico per n e d n 1 +n -4 GL 7. F>F c approssimazione migliore con DUE rette RIFIUTO H 0 ovvero i due insiemi di dati sono tratti da popolazioni con rette delle medie differenti SS 7

28 Esempio: relazione tra debolezza e riduzione massa muscolare in artrite reumatoide POBLEMA: La riduzione della forza con cui i pazienti affetti da artrite riescono a stringere oggetti fosse dovuto alle articolazioni artritiche o semplicemente fosse un riflesso della riduzione della massa muscolare. Forza di presa (N) senza artrite 400 con artrite Area della sezione trasversa del muscolo (cm ) Tesi: C è una relazione tra l area della sezione trasversa del muscolo e le diverse forze di presa per individui normali e quelli affetti da artrite? 8

29 Esempio: relazione tra debolezza e riduzione massa muscolare in artrite reumatoide Ampiezza del campione Intercetta a, (s a ) (N) Coefficiente angolare b, (s b ) (N/cm ) Errore standard della stima (N) Dati: Senza artrite (5.3) (00.789) 45.7 Con artrite (.4).41 (0.70) 40.5 Totale (50.5) 6.39(1.579) 19.1 Calcolo la stima combinata della varianza (n 1 )s n y x 1 + n + (n 4 )s y x (5 )45.7 (5 ) sy x p 1864N Approssimiamo tutti i dati ad una sola retta di regressione s y x migl (n 1 + n )s y x c (n 1 + n 4)s y x p (5 + 5 )16667 (5 + 5 ) N 9

30 Esempio: relazione tra debolezza e riduzione massa muscolare in artrite reumatoide Test F: s y x F sy x migl p Fissato 1%, F poichè n e d F < F c Conclusione: La relazione tra forza di presa e area della sezione trasversale è diversa per persone con e senza artrite Cosa determina la differenza? Cosa determina la differenza? Sono diverse le intercette o i coefficienti angolari? 30

31 Esempio: relazione tra debolezza e riduzione massa muscolare in artrite reumatoide Intercette: sa a sa sa (5.3) (.4) senza con senza con 33.8N t a s senza a a senza a con con ( 7.3) Fissato 5%, t poichè n 1 +n -446 t < t c le intercette NON sono significativamente differenti Coefficiente angolare: t Fissato 5%, t poichè 46 t > t c i coefficienti angolari sono significativamente differenti Conclusione: L aumento della forza di presa è minore nelle persone con artrite rispetto a quelle senza. 31

32 REGRESSIONE: Correlazione stima di come la v.d. varia al variare della v.i. stima della variabilità delle medie della v.d. intorno alla retta Quando due variabili pur variando CONGIUNTAMENTE non sono tali da individuare la v.d. e v.i. si cerca solo di descrivere LA FORZA della RELAZIONE tra le due variabili: COEFFICIENTE di CORRELAZIONE (CC) [-1,1] Pearson per variabili distribuite normalmente Spearman per variabili misurate su scala ordinale Stretta relazionecc1 Debole relazionecc 0 3

33 OSSERVAZIONE: Coefficiente di Pearson Invertendo il ruolo della v.i. con quello della v.d. si ottengono rette di regressione differenti (cambiano il coefficiente angolare e l intercetta). E necessario un indicatore indipendente da questa scelta: coefficiente di Pearson (X X)(Y Y) r (X X) (Y Y) SIGNIFICATO: Indica la FORZA dell associazione tra le due variabili r+1 le due variabili variano nello stesso senso r+1 le due variabili variano in senso opposto (una cresce, l altra decresce) 33

34 Coefficiente di Pearson (CP) r+1 r-1 r+0.8 r0 34

35 Stat.osserv. (cm) TOT369 Peso osserv. (Kg) TOT103.8 Statura / Peso X X (cm) TOT0 Y Y ( X )( ) (Kg) TOT0 ( ) X Y Y cmkg TOT99.9 ( ) X X Y Y cm TOT4.9 Kg TOT51.8 r 99.9Kg 4.9cm cm 51.8Kg 0.95 numero puro 35

36 r Regressione e correlazione 1. Legame con il significato di retta di regressione: Per definizione, la retta di regressione è quella che rende minima la somma dei quadrati degli scarti tra i punti sulla retta di regressione e il valore della v.d. in corrispondenza di ogni valore della v.i. osservato. Quindi si può definire 1 somma dei quadrati degli scarti dalla retta di regr. somma dei quadrati degli scarti dalla media SS res 0 r±1 la v.d. può essere definita senza incertezza dalla v.i. SS res SS tot r0 la v.d. NON può essere definita senza incertezza dalla v.i. (non esiste trend tra i dati) 1 36 SS SS res tot

37 Regressione e correlazione 1.1 Legame con il significato di retta di regressione: Calcolo il quadrato r DETERMINAZIONE Significato: 1 SS SS è il COEFFICIENTE di fornisce indicazione su quanto una retta sia adatta a descrivere la relazione tra le due variabili res tot 37

38 Regressione e correlazione. Legame con i risultati dell analisi di regressione: r Riprendendo le definizioni estese di SS res e SS tot 1 n n 1 s y x s y Maggiore è r, maggiore è la precisione con cui si può predire la v.d. dalla v.i. IC è più completo nella misura dell incertezza nella previsione di un fenomeno clinico 3. Legame con il coefficiente angolare della retta di regressione: s r b s X Y Quando la DS dei residui intorno alla retta di regresione s y x diminuisce diminuisce la variabilità totale della v.d. misurata da s s y y.x diminuisce r aumenta s y per la verifica delle ipotesi r0 (coeff. angolare retta di regressione0) 38

39 Verifica di ipotesi e correlazione t-test: test: t (1 r r con n- GL )/(n ) Questa formula deriva dall espressione del t-test per b coefficienti angolari, t Dimostrazione: n sy x r 1 s n 1 s Y y x n n s b 1 (1 r ) sy s b 1 s n 1 s s b y x x s s Y X 1 r n Ricordando che s b r s Y X sostituiamo in t b s b t r(s / s ) Y X c.v.d. (sy / sx ) (1 r )/(n ) (1 r )/(n ) r 39

40 Esempio: grassi nella dieta e tumore alla mammella PROBLEMA: La dieta influisce sull insorgenza di alcuni tumori (cancro alla mammella) in animali da esperimento. Per verificare un analoga tendenza nell uomo, sono stati raccolti dati relativi al tasso di mortalità per tumore alla mammella in funzione di ingestione quotidiana di GRASSI ANIMALI e VEGETALI in 39 nazioni. r+0.90 r

41 Esempio: grassi nella dieta e tumore alla mammella H 0 : Non c è relazione lineare tra tasso di mortalità per cancro e grassi alimentari animali t-test: test: t 1 (1 r r )/(n ) (1 0.90) /(39 ) Fissato 0.1%, t poichè 39-7 t > t c RIFIUTO H 0 ovvero c è correlazione tra grassi animali e cancro. H 0 : Non c è relazione lineare tra tasso di mortalità per cancro e grassi alimentari vegetali. 41

42 Esempio: grassi nella dieta e tumore alla mammella 0.14 t-test: test: t 0. 9 (1 r r )/(n ) (1 0.15) /(39 ) Fissato 0.1%, t poichè 39-7 t < t c ACCETTO H 0 ovvero non c è correlazione tra grassi animali e cancro. Conclusione: I grassi animali contribuiscono ad aumentare la probabilità di tumore alla mammella rispetto ai grassi vegetali. Ciò prova che un alimentazione ricca di grassi animali è causa del cancro? NO!!!! 4

43 Esempio: grassi nella dieta e tumore alla mammella Spiegazione: Il ricercatore non aveva modo di modificare le diete delle donne osservate studio di tipo osservazionale e non sperimentale CASI: AGIRE sulla v.i. e OSSERVARE come si modifica la v.d. OSSERVARE la contemporanea variazione delle variabili Trarre conclusioni su quanto tali MODIFICAZIONI nella v.d. sono CAUSATE da quelle verificatesi nella v.i. Si può definire solo un ASSOCIAZIONE tra le variabili evidenziata dalla loro contemporanea modifica 43

44 Coefficiente di Spearman IPOTESI per l applicazione del coefficiente di PEARSON: Dati con distribuzione gaussiana su scala ad intervalli Campione tratto da popolazione nella quale le variabili hanno entrambe una distribuzione normale Le due variabili devono essere legate da relazione lineare se queste ipotesi NON sono soddisfatte: COEFFICIENTE di CORRELAZIONE dei RANGHI di SPEARMAN Cos è? 44

45 Coefficiente di Spearman Indicatore NON PARAMETRICO dell associazione tra due variabili a partire dai RANGHI piuttosto che dai valori delle osservazioni. DEF: COME UTILIZZARLO? 1. Si ordinano i valori delle Numero variabili d ordine indi un modo valore in una serie crescente/decrescente ordinata di valori (ordine di arrivo di una corsa). Si assegna il rango (1, n). A valori uguali si assegna la media dei ranghi che sarebbero stati loro assegnati se fosse stato possibile distinguerli 3. Si calcola il coefficiente di correlazione 6d 1 n n r 3 dove d è la differenza tra i due ranghi corrispondenti a ciascuna osservazione 4. Fissato il valore di significatività, se r > r c le osservazioni sono compatibili con l ipotesi che non esiste associazione tra le variabili. 45

46 Pearson OK! RANGO statura Statura / Peso Stat.osserv. (cm) Peso osserv. (Kg) RANGO peso Differenza Ranghi (d) TOT369 TOT [( 1 ) + ( 1 ) ( 0.5 r ) Fissato 0.1%, r poichè n10 r > r c esiste un associazione tra peso e statura con una significatività dello 0.1%

47 Esempio: esami di laboratorio e qualità dell assistenza PROBLEMA: Il medico che fa largo uso di esami di laboratorio è un medico attento e meticoloso oppure uno che spreca il denaro del paziente? Medico migliore rango 1 Medico peggiore rango 1 (totale medici1) Costo più basso di esami rango 1 Costo più alto di esami rango 1 r-0.13 Fissato 5%, r poichè n1 r > r c non c è relazione tra competenza del medico e denaro speso per esami di laboratorio 47

48 Esempio: esami di laboratorio e qualità dell assistenza Osserviamo meglio il grafico: dati grezzi I medici meno capaci si trovano agli estremi dello spettro dei costi: richiedono molti/meno esami dei medici migliori c è RELAZIONE!!!!! Dov è l ERRORE? La curva ha forma ad U analisi della correlazione non può essere in grado di individuare l associazione! Pearson e Spearman si utilizzano quando l ASSOCIAZIONE tra le due variabili è crescente o decrescente 48

49 Potenza per regressione e correlazione Verificare che significativamente il coeff. angolare 0 coeff. di correlazione 0 Trasformiamo il coefficiente di correlazione: Z 1 1 ln 1 + r r distribuita normalmente con Z n 1 3 z Z ~N(0,1) z 49

50 PROBLEMA: Esempio Calcolare la POTENZA di un analisi di regressione per trovare una correlazione di 0.9 con un livello di confidenza del 95%, utilizzando un campione di 10 osservazioni. Risoluzione: Z ln ln 1.47 e Z n 3 Fissato 5%, z poichè n. 50

51 Potenza per regressione e correlazione H 0 VERA (non c è correlazione) H 0 FALSA (c è correlazione) La POTENZA del test è l area sottesa alla distribuzione di z a destra del valore critico z necessario per concludere che la correlazione è significativamente diversa da zero. La POTENZA è l area sotto la distribuzione reale della statistica z oltre z Z Se 0.9 la distribuzione di z sarà centrata su: z z valore inferiore al Ma Z z z POTENZA97% valore centrale della distribuzione Z 51

52 Esempio La potenza di un analisi della correlazione di 0.9 con livello di confidenza del 95% e ampiezza campionaria 10 è pari al 97% Grandezza campionaria per la retta di regressione e correlazione La grandezza campionaria necessaria per ottenere una correlazione prefissata con una potenza prefissata a un prefissato livello di confidenza è data da : n z z Z

53 Confronto tra due misure diverse della STESSA grandezza OBIETTIVO: Confrontare due modi diversi di misurare la stessa grandezza quando entrambi sono imprecisi (tecniche meno invasive ma altrettanto precise come le tradizionali?) OSSERVAZIONE 1. Confronto di due misure cliniche (non esistono valori standard di riferimento) Problema della taratura di laboratorio nel quale si confrontano valori misurati con valori standard 53

54 Confronto tra due misure diverse della grandezza OSSERVAZIONE. Confronto di due misure cliniche SOTTOINTENDE una relazione fra le due misure non ha senso verificare l ipotesi nulla che non ci sia relazione utilizzando l analisi di correlazione OSSERVAZIONE 3. La correlazione dipende dalla variabilità dei dati: più variano le osservazioni più alta sarà la correlazione non ha senso usare la correlazione per il confronto tra due misure diverse della grandezza 54

55 Metodo di Bland e Altman La DIFFERENZA è la misura più diretta della NON CONCORDANZA fra due osservazioni 1. Si calcola la differenza fra tutte le coppie di osservazioni.. Della differenza si calcola Media Deviazione Standard misura la DISTORSIONE fra le due osservazioni misura la VARIABILTA fra le due osservazioni 55

56 Metodo di Bland e Altman 3. La media delle due osservazioni (che sono ugualmente buone/cattive) è la MIGLIORE stima del valore vero della variabile 4. Rappresentare in un grafico differenzaf(media) in modo da evidenziare eventuali differenze sistematiche fra le due tecniche di misurazione 56

57 Esempio: valutazione del rigurgito mitralico mediante ecocardiografia PROBLEMA: Funzionamento della circolazione sanguigna! La valvola mitralica impedisce al sangue di rifluire nei polmoni quando la parte sinistra del cuore si contrae per spingere il sangue verso il corpo. Se la valvola è mal funzionante si verifica il rigurgito mitralico. La quantità di rigurgito si calcola con: fraz. di rigurgito flux mitralico(parte sinistra cuore) - flux aortico(verso il corpo) flux mitralico Valvola funzionante flux mitralico flux aortico fraz. rigurgito 0 Valvola NON funzionante fraz. rigurgito ~ 1 57

58 Esempio: valutazione del rigurgito mitralico mediante ecocardiografia I due metodi per la valutazione del rigurgito mitralico: 1. cateterizzazione cardiaca. ecocardiografia doppler Osservazioni Dati Doppler Cateterizzaz. Differenza Media

59 Dati continuazione Osservazioni Doppler Cateterizzaz Differenza Media Media della differenza-0.03! Non c è differenza sistematica fra i due diversi metodi DS della differenza ! È piccola se confrontata con i livelli di rigurgito osservati

60 Esempio: valutazione del rigurgito mitralico mediante ecocardiografia Fraz.rigurgito Doppler 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0-0,1 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Fraz.rigurgito cateterismo r0.89 e dimostra concordanza tra i metodi Differenza misure CONCLUSIONE: L ecocardiografia Doppler produce una misura del rigurgito mitralico altrettanto corretta del più invasivo metodo della cateterizzazione cardiaca 0,3 0,1-0,1-0,3 Media+DS Media-DS 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 Media misure Doppler/Catet. 60 Media ICMedia±DS dà misura del grado di disaccordo tra i due metodi

61 Conclusione Metodi per QUANTIFICARE le relazioni tra due variabili. Approccio analogo ai metodi precedenti: descrizione della popolazione con riferimento alla determinazione dei parametri caratteristici sviluppo dei metodi per la valutazione di tali parametri e loro errori standard in uno o più campioni. ATTENZIONE: Regressione SI ma solo quando la relazione attesa tra i dati è lineare (curva ad U ), in modo che le ipotesi alla base del metodo statistico siano 61 soddisfatte dai dati osservati.

62 Percentili della distribuzione normale standardizzata Es: Se si vuole ottenere una potenza dell 80% si trova z z

63 Tabella t-test 63

64 Tabella F-test 64

65 Tabella F-test 65

66 Tabella F-test 66

67 Tabella Spearman 67

68 Percentili della distribuzione normale standardizzata Es: Se si vuole ottenere una potenza dell 80% si trova z z