ANALISI DEL COMPORTAMENTO A TAGLIO DI ELEMENTI IN C.A. PREFABBRICATI IN PARETE SOTTILE

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1 Estratto dagli atti del 15 Congresso C.T.E. Bari, novembre 2004 ANALISI DEL COMPORTAMENTO A TAGLIO DI ELEMENTI IN C.A. PREFABBRICATI IN PARETE SOTTILE GIOVANNI DI LUZIO e LIBERATO FERRARA Politecnico di Milano SUMMARY In this work shear failure tests on a thin web roof element has been analysed by means of finite element modelling. A microplane constitutive model has been employed for concrete and a complete 3D modelling of the Π roof element has been provided. Results confirmed the reliability of the model in properly capturing the complex phenomena featuring the investigated structural behaviour, thus allowing for further interesting development of the research. 1. INTRODUZIONE La precipua finalità cui deve tendere la formulazione e calibrazione dei modelli numerici per la simulazione del comportamento costitutivo dei materiali di interesse ingegneristico, non ultimo il calcestruzzo, è quella di rendere disponibili strumenti di calcolo affidabili per l analis del comportamento degli elementi strutturali e delle strutture. Il grado di raffinatezza di tal modelli, che certamente deve essere calibrato anche in funzione del livello di conoscenza che si mira a raggiungere con l analisi numerica, spesso contrasta con l onere computazionale da essi richiesto, talchè il loro utilizzo si è spesso limitato alla simulazione di prove sperimental di caratterizzazione dei materiali, realizzate ovviamente su provini di piccola dimensione. In questi ultimi anni si sono avute numerose significative applicazioni nel campo della analis numerica del comportamento delle strutture in calcestruzzo armato; modelli quali quello basato sulla teoria della compressione diagonale modificata (Modified Compression Field Theory MCFT) [01], che vanta una più che ventennale tradizione, sono ormai disponibil anche in numerosi codici di calcolo commerciali utilizzati per la progettazione strutturale [02]. Grande attenzione è stata dedicata all analisi del comportamento a taglio degli element strutturali in calcestruzzo armato [03,04], certamente per la complessità dell argomento e l interesse che esso riveste, anche per le possibili ricadute in campo normativo. Interessant contributi sono venuti da ricercatori italiani [05], con significative estensioni al caso de calcestruzzo fibrorinforzato [06], tematica che pure riveste notevole interesse in vista della possibile sostituzione delle tradizionali armature trasversali con fibre metalliche e della attuale carenza di riferimenti normativi per la progettazione di siffatti elementi strutturali. Nell ambito della modellazione numerica del problema particolare cura deve essere posta nella descrizione dei fenomeni di interazione fra armatura e calcestruzzo che costituiscono carattere connotante del comportamento a taglio degli elementi strutturali in c.a., specie nella corretta descrizione della loro natura tridimensionale attraverso la discretizzazione della struttura, operata facendo uso di elementi finiti mono- e bidimensionali (e.f. di barra, di trave, d membrana, di lastra). Ciò è ancor più vero nel caso di elementi strutturali di forma non convenzionale, quali gli elementi precompressi in parete sottile a profilo aperto, largamente impiegati per le coperture ed i solai degli edifici prefabbricati [07, 08]. Il presente lavoro vuole riferirsi proprio ad una tipologia di tali elementi, il classico tegolo nervato a π, prendendo in esame i risultati di una campagna sperimentale condotta al fine d verificare l attendibilità della sostituzione dell armatura trasversale con le fibre di acciaio. La campagna sperimentale, come verrà brevemente illustrato al capo successivo, è consistita in prove sia su elementi in calcestruzzo non armati trasversalmente sia su elementi provvisti d armatura trasversale, sia ancora su elementi in cui tale armatura era stata sostituita con un equivalente quantitativo di fibre metalliche. Gli elementi sono stati tutti provati in maniera tale da indurre una rottura per taglio ad una estremità. I risultati di analisi numerica presentati in questo lavoro si riferiscono agli elementi in conglomerato cementizio non armati trasversalmente, il cui studio è servito anche per la calibrazione delle scelte di modellazione da adottare nel prosieguo della ricerca. Il problema è stato studiato discretizzando la struttura mediante elementi finiti tridimensionali ed adottando, quale modello costitutivo non-lineare per il calcestruzzo, il modello dei micropian non-locale M4 [09,10,11]. I risultati mostrano la attendibilità della modellazione nonché la sua capacità di riprodurre chiaramente i diversi meccanismi resistenti e costituiscono quindi un significativo punto di partenza per il prosieguo dell indagine

2 2. SINTESI DELLA CAMPAGNA SPERIMENTALE Come specificato al capo precedente sono stati provati elementi di copertura nervati, aventi la sezione trasversale mostrata in Figura 1, sia sprovvisti sia provvisti della tradizionale armatura trasversale (rispettivamente indicati con le sigle PC - plain concrete - e RC - reinforced concrete), sia, ancora, elementi (FRC) in cui tale armatura era stata sostituita con un quantitativo equivalente (in termini di rapporto meccanico del rinforzo ) di fibre metalliche [12]. Sono state utilizzate fibre d acciaio a basso contenuto di carbonio, uncinate alle estremità, lunghe 30 mm e con rapporto di aspetto pari a 45, aggiunte nel quantitativo di 50 kg per m 3 ad una matrice di calcestruzzo ad alta resistenza. Figura 1. Sezione trasversale dei tegoli a π e dettagli delle armature trasversali Gli elementi sono stati dapprima provati in flessione su luce di 15 m, caricandoli con fasci di barre posati sulla soletta e portandoli fino a rottura, Sulle due metà ottenutesi sono state eseguite le prove di taglio, secondo i due schemi di carico rappresentati in Figura 2: le due situazioni si differenziano sostanzialmente per la diffusione della precompressione nella zona della luce di taglio, che può ritenersi completamente realizzata negli elementi provati secondo lo schema 2, contrariamente a quanto accade per gli elementi provati secondo lo schema 1. La Figura 3 mostra la disposizione della strumentazione di misura utilizzata, che prevedeva, fra l altro, la misura dell abbassamento del punto all intradosso in corrispondenza del carico applicato, nonché le deformazioni nei puntoni inclinati di calcestruzzo e delle deformazioni tangenziali nel pannello d anima, conformemente a quanto illustrato

3 Figura 2. Schemi di carico: tipo 1 (a) e tipo 2 (b) prova età f ccm c f P cr P max [gg] [MPa] [kg/m 3 ] [Kn] [Kn] 1 FRC FRC PC PC RC RC Tabella 1. Sintesi risultati sperimentali In Tabella 1 sono sintetizzati i valori della resistenza a compressione del calcestruzzo, quale misurata per ciascun elemento provato sui provini cubici di riferimento all atto della prova, assieme ai valori misurati per il carico di prima fessurazione e per il carico ultimo. In questa sede si daranno solo alcuni essenziali aspetti della campagna seprimentale, rimandando a quanto già pubblicato per il dettaglio dei risultati [07,12] - 3 -

4 Figura 3. Schema strumentazione di misura: prova tipo 1 (a) e tipo 2(b). Figura 4. Curve taglio-scorrimento I diagrammi taglio-scorrimento (Fig. 4), confermando l'efficacia delle fibre quale rinforzo diffuso a taglio, altresì consentono di apprezzare l'influenza della armatura di testata, quando compresa entro la luce di taglio, come nelle prove di carico secondo lo schema 1. E' opportuno sottolineare come in tutte le prove si sia avuta una crisi per taglio dell'elemento strutturale, fuorchè nella prova secondo lo schema 2 sull'elemento provvisto di armatura trasversale, che si è invece rotto per flessione. 3. IL MODELLO DEI MICROPIANI M4 Il comportamento meccanico non-lineare del calcestruzzo è stato numericamente riprodotto attraverso il legame costitutivo noto come Modello dei Micropiani M4. Tale modello è in grado di descrivere adeguatamente il comportamento del materiale soggetto ad una qualsiasi storia - 4 -

5 di deformazione. Il modello dei Micropiani M4 è stato implementato in un codice ad elementi finiti in grado di simulare la propagazione della frattura e il collasso di elementi strutturali in calcestruzzo [13]. Il modello dei micropiani si distingue dagli approcci classici per la modellazione del calcestruzzo, nei quali il legame costitutivo per il materiale è formulato direttamente attraverso relazioni tra i tensori di deformazione e di sforzo ed i loro invarianti. L idea alla base del modello è di definire delle relazioni tra le deformazioni e gli sforzi su ciascun micropiano, indipendentemente dalla loro orientazione. Il prefisso micro non implica una simulazione microstrutturale della geometria, ma esprime il fatto che questi piani sono rappresentativi del comportamento microstrutturale. I tensori di sforzo e deformazione rappresentanti il comportamento macroscopico si ottengono sovrapponendo gli effetti di tutti i micropiani. Le relazioni tra le componenti di sforzo e deformazione di micropiano e le corrispondenti quantità macroscopiche, consentono di definire dei modelli costitutivi tridimensionali partendo da semplici leggi (monodimensionali) a livello di micropiano. La formulazione che viene usata per la modellazione del calcestruzzo si basa sul vincolo cinematico. Esso implica che il vettore di deformazione sul micropiano considerato è ottenuto dalla proiezione del tensore delle deformazioni macroscopico εij sul micropiano stesso (Fig. 5). Questo approccio consente di riprodurre in modo stabile il comportamento di tipo strainsoftening del calcestruzzo. Ottenute le componenti di deformazione di micropiano è possibile definire attraverso le leggi costitutive di micropiano le corrispondenti componenti di sforzo. Noti gli sforzi di micropiano, si può quindi calcolare il tensore di sforzo macroscopico attraverso un principio variazionale quale il principio dei lavori virtuali [14]. Una rappresentazione schematica dei passaggi riportati sopra è definita in Figura 6. Figura 5. Rappresentazione delle componenti di deformazione di micropiano. Figura 6. Diagramma di flusso del modello dei micropiani con approccio cinematico

6 Le leggi costitutive di micropiano nel caso elastico-lineare sono definite come: σ v = E v ε v, σ D = E D ε D e σ Tr = E tr ε Tr (1) dove E V, E D e E Tr rappresentano le costanti elastiche di micropiano. Sostituendo tali relazioni nell espressione degli sforzi macroscopici e confrontando i risultati ottenuti con la matrice di rigidezza elastica, lineare e isotropa, si ricavano i valori delle costanti elastiche di micropiano: dove E è il modulo di Young, ν rappresenta il coefficiente di Poisson ed il parametro χ può essere considerato come una terza costante elastica. La scelta di questo parametro potrebbe essere libera, ma è stato dimostrato che assumere un valore di χ =1 assicura un modello dei micropiani elastico-lineare in cui vale il doppio vincolo cinematica-statico. Per simulare il comportamento inelastico del materiale, a livello di micropiano vengono introdotte delle superfici limite che rappresentano il legame tra sforzo e deformazione di micropiano. Tali superfici limite manifestano generalmente un andamento di tipo decrescente o softening. La risposta del materiale all interno delle superfici è di tipo incrementale elastico, sebbene il modulo elastico subisca una progressiva degradazione dovuta al danneggiamento del materiale. I punti esterni alla superficie non possono essere mai raggiunti, mentre è possibile spostarsi lungo la superficie limite solo se l incremento di deformazione ha lo stesso segno dell incremento di sforzo. Altrimenti si verifica uno scarico elastico. Queste regole consentono di ottenere a livello macroscopico la corretta simulazione del fenomeno dell isteresi dovuto ai carichi di tipo ciclico. Quando si raggiunge la superficie limite si ha una brusca caduta del livello di sforzo che segue il ramo di softening. Questo non si verifica a livello macroscopico, dove la risposta varia gradualmente grazie al fatto che i diversi micropiani raggiungono la superficie limite in tempi diversi. La caratteristica principale delle leggi di micropiano è che la componente di sforzo dipende solo dalla deformazione a essa coniugata. Così lo sforzo limite σn dipende solo dalla deformazione normale di micropiano εn, lo stesso discorso vale per la componente deviatorica e per quella volumetrica. Discorso a parte va fatto per il legame tra la componente normale e tangente di micropiano, infatti, in tal caso la superficie limite è funzione dello sforzo normale e di quello tangente di micropiano. Gli effetti anelastici tra componenti di deformazione e di sforzo non coniugate, a livello macroscopico, sono catturati adeguatamente dalla interazione del comportamento su i diversi micropiani Figura 7. Mesh di elementi finiti della sezione del manufatto TT

7 Figura 8. Vista assonometrica della mesh di elementi finiti tridimensionali del manufatto TT MODELLAZIONE PER ELEMENTI FINITI La geometria dell elemento di copertura nervato oggetto del presente studio, descritto nel paragrafo 2, è stato modellato attraverso elementi finiti tri-dimensionali (elementi brick a 8 nodi). La simmetria del manufatto studiato ci consente di considerare soltanto metà sezione, come mostrato in Figura 7. È stata scelta una modellazione tridimensionale (Fig. 8) sia per una caratterizzazione più realistica possibile del manufatto, infatti una modellazione bidimensionale non sarebbe in grado di cogliere gli effetti trasversali, sia per l uso di un legame costitutivo tri-dimensionale. Per ridurre l onere computazionale la mesh di elementi finiti è stata infittita nella zona compresa tra il primo appoggio e il punto di applicazione del carico, zona in cui ci aspettiamo che avvenga la rottura della trave (Fig. 9). La mesh di elementi finiti utilizzata è costituita da elementi e da nodi per un totale di gradi di libertà. Figura 9. Schema di carico del tipo 2 del manufatto TT50 con la vista laterale della mesh di elementi finiti utilizzata. Soltanto due cavi di precompressione sono stati riprodotti nel modello numerico: un cavo posizionato nel bulbo inferiore di area equivalente ai 7 trefoli posti nella zona tesa della voltina e passante nel baricentro di precompressione da essi individuato, l altro di area inferiore e coincidente con l area dell unico trefolo superiore passante nel punto d incontro delle nervature. Tali cavi sono stati modellati con elementi finiti tridimensionali perfettamente aderenti agli elementi circostanti di calcestruzzo. Il legame costitutivo adottato per i trefoli di compressione è stato di tipo elasto-plastico con modulo elastico di 199 GPa e sforzo ultimo di 1921 MPa. La precompressione è stata inserita imponendo una deformazione in-elastica ai cavi di precompressione in modo tale che la voltina sia soggetta ad una forza di precompressione di valore assegnato

8 Figura 10. Particolare di testata della mesh. Figura 11. Legame costitutivo in trazione e compressione uniassiale. Inoltre, è stata anche modellata l armatura lenta inserita nelle zone di testata. Come mostrato in Figura 10, essa è costituita da 4 staffe del diametro di 6 mm poste ogni 15 cm per una lunghezza di 60 cm. Esse sono state modellate con elementi monodimensionali e collegate agli elementi di calcestruzzo attraverso il penalty method [15] legando gli spostamenti delle due estremità di ciascuna staffa con i nodi adiacenti della mesh. Il legame costitutivo dell acciaio è stato assunto elasto-perfettamente plastico con modulo elastico di 210 GPa ed un sforzo di snervamento di 440 MPa. Al fine di ottenere risultati indipendenti dalla geometria della mesh di elementi finiti utilizzati, è stato utilizzato un approccio del tipo crack band [16], in cui il legame costitutivo adottato dipende dalle dimensioni degli elementi finiti utilizzati. Sono state assegnate le seguenti proprietà meccaniche al modello costitutivo del calcestruzzo: modulo di Young di 35 GPa, coefficiente di Poisson di 0.18, resistenza a compressione di circa 60 MPa e resistenza a - 8 -

9 trazione di 3.7 MPa come mostrato nelle prove monoassiali riportate in Figura 11. L analisi numerica della voltina è suddivisa in due fasi: in una prima fase viene applicato il peso proprio e la precompressione, nella Figura 8 si possono osservare gli spostamenti alla fine di questa fase di carico; nella seconda fase, invece, viene applicato il carico che porta al collasso della struttura per taglio come illustrato nel precedente paragrafo. 5. ANALISI DEI RISULTATI NUMERICI Le simulazioni numeriche sono state eseguite in controllo di spostamento, come le prove sperimentali, imponendo nella seconda fase di carico uno spostamento crescente sulla soletta superiore soltanto nei nodi posti in corrispondenza della nervatura verticale. La forte nonlinearità dell analisi per elementi finiti è causa di problemi di convergenza e di stabilità nell algoritmo numerico usato. Questo problema è stato superato usando un algoritmo del tipo Newton-Raphson modificato in cui la matrice di rigidezza non viene calcolata ad ogni iterazione ma viene calcolata all inizio della analisi e tenuta costante per tutta la durata della simulazione numerica. Ciò consente di evitare i problemi legati al cattivo condizionamento ed alla perdita di definizione positiva della matrice di rigidezza tangente quando il materiale in alcune zone assume un comportamento non-lineare con softening. Con questo algoritmo numerico si riesce a seguire la risposta strutturale anche quando essa collassa cioè la capacità portante decresce al crescere degli spostamenti imposti. In Figura 12 sono riportati i diagrammi caricospostamento ottenuti nella simulazione numerica e nella prova sperimentale. Le rigidezze delle due curve sembrano mediamente in buon accordo, così come il carico massimo, mentre il comportamento post-picco sembra essere più fragile nelle simulazione numerica, rispetto a quanto riscontrato sperimentalmente. Per quanto riguarda il carico di prima fessurazione possiamo considerare che la fessurazione diventi significativa per una massima deformazione principale di nel pannello d anima. Questo valore viene raggiunto per un carico di circa 386 KN, con una sovrastima di circa il 20% rispetto al dato sperimentale, imputabile alla distribuzione casuale della resistenza del materiale nell'elemento strutturale. In Figura 13 è rappresentata l evoluzione della massima deformazione principale che consente di seguire l evoluzione della fessurazio- ne durante la prova. In corrispondenza del carico di prima fessurazione, non si osserva alcuna fessura (Fig. 13a-punto (a)). In corrispondenza del carico di picco, (Fig. 13b - punto (b)), il pannello d anima presenta una larga zona di concentrazione delle deformazioni, che conduce alla crisi del pannello stesso (Figg. 13c-d). Figura 12. Confronto numerico-sperimentale. In Figura 14 sia la massima deformazione principale sia gli spostamenti ottenuti al termine dell analisi numerica sono confrontati con il panorama fessurativo a rottura osservato nelle prove sperimentali. Si osserva come la modellazione numerica adottata sia in grado di riprodurre il comportamento dell'elemento strutturale soggetto ad un carico di taglio per quanto riguarda sia la risposta complessiva sia la modalità di rottura

10 Figura 13. Evoluzione della massima deformazione principale per diversi valori dello spostamento applicato. 6. CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI Le analisi numeriche presentate in questo lavoro, seppur limitate ad un unico esempio, hanno mostrato la potenzialità del modello costitutivo impiegato nel riprodurre in maniera attendibile il comportamento a taglio di elementi strutturali in calcestruzzo armato. Il livello di dettaglio che si è in grado di ottenere con una analisi quale quella qui presentata consente certamente di ottenere significative informazioni circa i molteplici meccanismi che intervengono nell'ambito del comportamento globale a taglio dell'elemento strutturale, evidenziandone i singoli contributi alla portanza complessiva. Tale aspetto costituisce certamente il più significativo aspetto fra i possibili futuri sviluppi della ricerca, che prenderà in considerazione l'intera campagna sperimentale di cui qui si è dato sintetico resoconto. Le analisi potranno portare anche ad interessanti informazioni circa il comportamento a taglio del calcestruzzo fibrorinforzato, anche in vista delle possibili ricadute in termini progettuali (e normativi)

11 Figura 14. Spostamenti e deformazioni principali al termine dell'analisi (a,b) e panorama fessurativo a rottura (c). RINGRAZIAMENTI Gli autori desiderano ringraziare il professor Giandomenico Toniolo per il supporto e l'incoraggiamento fornito durante la stesura di questo lavoro. Inoltre, il primo autore ringrazia il professor Luigi Cedolin per la collaborazione ed i consigli. BIBLIOGRAFIA [01] F.J. VECCHIO, M.P. COLLINS, The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear, ACI Journal, 83,2 1986, pp [02] F.J. VECCHIO, E.C. BENTS, M.P. COLLINS, Tools for forensic analysis of concrete structures, Computers and Concrete, 1,1, 2004, pp [03] A. PIMANMAS, K. MAEKAWA: "Finite element analysis and behaviour of precracked reinforced concrete members in shear", Magazine of Concrete Research, 53, 4, August 2001, pp [04] H.O. KOKSAL, G. ARSLAN, Damage analysis of RC beams without web reinforcement Magazine of concrete research, 56,4, 2004, pp [05] B. BELLETTI, R. CERIONI, I. IORI, A Physical Approach for Reinforced Concrete (PARC) membrane elements, ASCE Journal of Structural Engineerings, 127,12, 2001, pp [06] B. BELLETTI, P. BERNARDI, A. MEDA, Shear behaviour of prestressed beams reinforced with steel fibres, Proc. BEFIB 2004, Varenna, September 2004, M. di Prisco et al. eds., RILEM Pubs., pp [07] M. di PRISCO, L. FERRARA, HPFRC pre.stressed thin-web elements: some results on shear resistance, Proc. FraMCoS-4, Cachan, France, 28 May-1 June 2001, R. de Borst et al. eds. Balkema, Rotterdam, pp [08] L. COMINOLI, F. MINELLI, P. RIVA, Numerical modelling of full scale prestressed fiber-reinforced concrete thin webbed open section roof elements, Proc. BEFIB 2004, Varenna, September 2004, M. di Prisco et al. eds., RILEM Pubs., pp [09] Z.P. BAZANT, G. DI LUZIO, Nonlocal microplane model with strain-softening yield limits, International Journal of Solids and Structure 41, 24-25, 2004, pp [10] Z.P. BAZANT, F. CANER, I. CAROL, M. ADLEY, S.A. AKERS, Microplane Model M4 for Concrete. I: formulation with workconjugate deviatoric stress, ASCE Journal of

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