Analisi delle serie storiche parte III Medie mobili

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1 Analisi delle serie storiche parte III Medie mobili a.a. 206/207

2 Metodo delle medie mobili Obiettivo: Stimare una componente della serie (tipicamente il ciclotrend (TC)) attraverso trasformazioni ( filtri ) lineari della serie, che hanno lo scopo di annullare l effetto delle altre componenti; La trasformazione di una serie temporale Y t in un altra, che possiamo denominare Z t, avviene mediante una operazione lineare del tipo: In questo caso si dice che la serie Z t è stata ottenuta da Y t mediante un filtro lineare con coefficienti w s. Le serie Y t e Z t vengono usualmente chiamate l input e l output del filtro. Il valore della nuova variabile al tempo t, Z t, è quindi funzione dei valori della serie originaria al tempo t, Y t, dei valori relativi a m periodi precedenti a t, Y t-,.., Y t-m, e dei valori relativi a m 2 periodi successivi, Y t-+,.., Y t+m 2. 3

3 Definizione di media mobile Se la somma dei coefficienti w s è pari a, la Z t è la media aritmetica degli m +m 2 + valori Y t, media semplice se sono tutti uguali, ponderata se diversi. Possiamo pertanto stabilire la seguente definizione: Data una serie temporale Y t, possiamo definire media mobile un filtro lineare in cui la somma dei pesi è uguale a : con 0< α s <, Σα s =. La media mobile viene calcolata su un numero di termini pari a L = m + m 2 +. L viene chiamato ordine o periodo della media mobile. 4

4 Definizione di media mobile Si può quindi definire media mobile di ordine (o periodo) L una serie di medie aritmetiche (semplici o ponderate) di sequenze consecutive di L valori della serie temporale originaria. Si noti che se la serie originaria Y t, con t=, T, comprende T osservazioni, nella media mobile MM t, l indice t può variare solo tra m + e T-m 2. Pertanto la media mobile ha un numero di osservazioni minore rispetto alla serie originaria, di cui si perdono le prime m e le ultime m 2 osservazioni. 5

5 Effetto delle medie mobili L effetto di una media mobile è quello di ridurre la variabilità della serie, smorzandone i picchi ed innalzandone le valli. La media mobile svolge un azione spianante, ossia rende più liscia la serie originale (smoothing = lisciamento). Maggiore è il numero dei termini su cui si calcola la media mobile maggiore sarà l effetto lisciante, ma anche maggiore la perdita di osservazioni rispetto alla serie originaria. 6

6 Serie originaria MM MM

7 Media mobile semplice Esempi di medie mobili Se m = m 2 = m si ha una Media mobile centrata - semplice - ponderata MM MM 2 = m t Yt + s LS= m = m t Yt + s 2m+ S= m Si noti che nelle medie mobili centrate l ordine della media mobile è in genere dispari e il valore MM t si riferisce all istante centrale dell intervallo su cui la media mobile è calcolata, ossia al tempo t. Se invece l ordine fosse pari, il valore calcolato andrebbe a collocarsi a cavallo di due periodi. 8

8 Quindi, se L è dispari, la media mobile centrata di ordine L è data da: MM( L) ( L = ) L i= ( L ad es. per L=3 (m=), si ha: / 2 t Y t + i ) / 2 Y ( 3) = t Yt Yt MM t Yt+ i = 3i= 3 Se invece L è pari per ottenere una media mobile centrata occorre applicare la cosiddetta composizione di media mobili 9

9 Composizione di medie mobili Se, dopo aver calcolato la serie delle medie mobili MMt si riapplica l operazione di media mobile alla serie ottenuta il risultato è ancora una media mobile. Questa operazione si chiama composizione o prodotto di medie mobili. L ordine in cui vengono applicate le due medie mobili non incide sul risultato. 0

10 Immaginiamo allora di avere delle medie mobili semplici di ordine L, con L pari. Consideriamo le due medie mobili e MM MM ( L) ( L) t, t t, t + L/ 2 = Y L i= L/ 2 t+ i L/ 2 = Y L t+ i i= = L / 2 + Per ottenere una media mobile centrata occorre applicare una media mobile a 2 termini alle due medie mobili a L termini, ottenendo: MMc L/ 2 = Yt+ i + 0,5 t L/ 2 t+ L i= L/ 2+ ( Y + Y ) ( L) t L/ 2

11 Ad es. per L=4 possiamo definire due serie di medie mobili semplici non centrate e Yt 2 + Yt + Yt + Yt+ MM( 4) t, t= 4 Yt + Yt + Yt+ + Yt + 2 MM( 4) t, t+ = 4 Applicando alle due medie mobili una media mobile a 2 termini ( centratura ) si ottiene la media mobile centrata a 5 termini: 0,5Yt 2+ Yt + Yt + Yt+ + 0,5Yt + 2 MMc( 4) t = 0,5( 2 + 2) = 4 Yt i + Yt + Yt i= 4 2

12 Stima del trend-ciclo La componente stagionale si compensa nell arco di 2 mesi, per cui una media di 2 valori mensili consecutivi non ne è più influenzata; la componente accidentale, tende a compensarsi in una media di un congruo numero di termini successivi della serie. una stima dei valori attribuibili al trend-ciclo può allora essere ottenuta calcolando medie mobili centrate di 3 termini: con MM(3) α s 6 = ( TC) = s= t α s 6 = 2 s 24 = s = Yt+ s, t= 7,..., T 5, 4,..., 6, + 6 4,5 6 3

13 Stima del trend-ciclo Se la frequenza della serie originaria è trimestrale invece di mensile, la stima dei valori attribuibili al trend-ciclo può essere ottenuta calcolando medie mobili centrate di 5 termini: con MM(5) 2 = ( TC) = s= t α s 2 Yt+ s, t= 3,..., T 2 α s = s =,0, 4 s = 2,

14 Applicazione in finanza (analisi tecnica) Le medie mobili trovano applicazione in finanza, per ridurre al minimo le fluttuazioni dei prezzi dei titoli al fine di depurare le quotazioni dalle distorsioni derivanti dal nervosismo dei mercati, rendendo la tendenza più regolare e, quindi, di più chiara interpretazione. L utilizzo delle medie è estremamente semplice: viene, infatti, generato un segnale di acquisto nel momento in cui i prezzi del titolo sfondano al rialzo la linea della media mobile; viene, viceversa, generato un segnale di vendita quando la linea della media viene perforata dall alto verso il basso. 5

15 Feb 203: FTSEMIB.MI 6529,90 SMA(50) 6.703,37 7 mia 6 mia 5 mia 4 mia 3 mia 203 Yahoo! Inc. 202 Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic 203 Feb Mar g 5g m YTD 3m 6m a 2a 5a Max DA:9 Mar 202 A: 8 Mar 203 -,67%

16 Applicazione in finanza (analisi tecnica) La cosa importante da decidere è la "velocità" della media (il dominio L). Una media veloce (L basso) genererà molti segnali di intervento che aumentano le probabilità di errore, ma avrà il vantaggio della tempestività nell interpretare ogni minima variazione di tendenza. Medie più lunghe danno meno falsi positivi/negativi ma hanno lo svantaggio di ritardare gli interventi. A parità di altri fattori il dominio della media mobile dovrebbe essere tanto più lungo quanto più è alta la volatilità dell attività finanziaria analizzata, al fine di ridurre il numero di falsi segnali. In alternativa si possono utilizzare due medie semplici, una più "veloce" ed una più "lenta": quando la media più veloce taglia dal basso verso l alto quella più lenta si ha un segnale di acquisto; quando, invece, la media più veloce taglia dall alto verso il basso quella più lenta si ha un segnale di vendita. In generale, le medie mobili funzionano bene quando la tendenza del mercato è chiaramente rialzista o ribassista. Non si possono invece utilizzare le medie mobili nelle altre fasi perché darebbero luogo a continui incroci fra di loro e con il grafico dei prezzi generando confusione e falsi segnali. 6

17 4 Dic 202: FTSEMIB.MI 604,50 SMA(50) 5.568,05 SMA(00) 5.26,50 7 mia 6 mia 5 mia 4 mia 3 mia 203 Yahoo! Inc. 202 Apr Mag Giu Lug Ago Set Ott Nov Dic 203 Feb Mar g 5g m YTD 3m 6m a 2a 5a Max DA:9 Mar 202 A: 8 Mar 203 -,67%

18 Problemi nell uso delle medie mobili L uso di medie mobili di lunghezza non corrispondente alla vera durata del ciclo/stagionalità crea cicli spuri (effetto Slutzky-Yule) e non c è modo di sapere se i cicli identificati sono tali. Non è possibile calcolare le medie mobili centrate agli estremi della serie. Pertanto è necessario effettuare estrapolazioni e/o applicare medie mobili non simmetriche che utilizzano osservazioni ai tempi t k. Le ipotesi di identificazione, come tali, non possono essere sottoposte a verifica: ricercatori diversi possono ottenere a partire da ipotesi diverse (forma del trend, lunghezza del ciclo, ordine in base al quale si procede alle stime) scomposizioni diverse in concorrenza ma non confrontabili. L unico modo per valutare la bontà del complesso della identificazione è la casualità della componente accidentale. 7

19 Livellamento esponenziale Metodi di smoothing : sono metodi di previsione basati su medie mobili (asimmetriche) in cui le osservazioni utilizzate per la previsione vengono ponderate in modo da attribuire una maggiore importanza a quelle più recenti. ipotesi di partenza: il valore osservato della serie al tempo t è formato da un valore di tendenza, determinato dalla storia passata della serie (valore perequato), e da una componente irregolare puramente casuale. Il valore di tendenza (o valore perequato) segue una logica di aggiornamento sequenziale secondo cui il dato successivo è la risultante di un comportamento generale (funzione del passato) e di un contributo specifico fornito dalla nuova osservazione Y t. 8

20 Livellamento esponenziale Il valore perequato al tempo t è dato da: ES t = WY t + (-W)ES t- ES = Y Valori bassi di W hanno un maggior potere di lisciamento, valori alti di W attribuiscono maggior peso ai movimenti più recenti della serie. In genere W è compreso tra 0,7 e 0,95. Per sostituzioni successive, si dimostra che il valore ES t è una media mobile ponderata di tutte le osservazioni precedenti della serie originaria Y t. 9

21 Livellamento esponenziale Importante: Ciascun valore della serie dipende da tutti i valori precedenti I pesi attribuiti alle osservazioni più lontane nel tempo sono decrescenti 20

22 Previsione La previsione al tempo t per i periodi successivi è uguale al valore perequato calcolato al tempo t Il metodo dà buoni risultati per serie non caratterizzate da trend costanti 2