Lezione 1. Liceo Scientifico G. Novello - Codogno (LO) Calcolo combinatorio. Riccardo Dossena. L arte del contare. Calcolo. combinatorio - Schema
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- Tommasina Giuliani
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1 - Liceo Scientifico G. Novello - Codogno (LO) Lezione 1
2 - 1 regola d oro (della somma) Se una raccolta di oggetti viene divisa in due o più parti che a due a due non si sovrappongono allora il numero di oggetti dell intera raccolta è dato dalla somma dei numeri di oggetti di ciascuna parte.
3 - 1 regola d oro (della somma) Se una raccolta di oggetti viene divisa in due o più parti che a due a due non si sovrappongono allora il numero di oggetti dell intera raccolta è dato dalla somma dei numeri di oggetti di ciascuna parte. 2 regola d oro (del prodotto) Se dobbiamo scegliere due o più oggetti in un certo ordine, ciascuno all interno di una certa raccolta, allora, se il numero di scelte per ogni oggetto non dipende dalla scelta degli oggetti precedenti, il numero complessivo di scelte possibili è dato dal prodotto del numero di scelte per ogni singolo oggetto. G. Goldoni, Persone che... contano!, Ilmiolibro.it, 2011
4 Esercizi di conteggio - 1. La combinazione di una cassaforte ha 5 lettere dell alfabeto inglese. Qual è il numero massimo di tentativi falliti che si possono fare per aprire la cassaforte ignorando la combinazione? 2. Nel codice Morse le lettere, i numeri e i segni di punteggiatura sono rappresentati da successioni di punti e linee. Alcuni caratteri richiedono un singolo segno, come la E (.), mentre altri possono richiederne fino a 5, come lo zero, 0 ( ). Perché proprio 5? Non si sarebbe potuto usarne di meno?
5 Esercizi di conteggio - 3. In quanti modi diversi è possibile scegliere due tessere di domino tra le 28 tessere in modo che essi possano essere collegati? Per esempio i pezzi e possono essere collegati, ma non i pezzi e
6 - -
7 - - con ripetizione
8 - - con ripetizione
9 - - con ripetizione con ripetizione
10 - - con ripetizione con ripetizione
11 - Problema Dato un insieme di 4 oggetti {A, B, C, D} contiamo quanti sono tutti i possibili raggruppamenti che possiamo formare prendendo 3 oggetti dall insieme di partenza in modo che ogni oggetto compaia al massimo una sola volta in ogni raggruppamento due raggruppamenti ordinati in modo diverso siano considerati raggruppamenti diversi
12 - Esempi validi ABC, ABD, BDC, BCD, DCB, BDA, BAC... Esempi non validi AAB, ABA, AAA, ACC, AD, ABDC,... Attenzione! ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA sono tutti raggruppamenti diversi, anche se formati dagli stessi elementi
13 - Come procedere al conteggio in modo ordinato, senza dimenticare nessun raggruppamento?
14 A ABC ABD Scriviamo tutti e 4 gli elementi dell insieme di partenza - B C D DCA DCB
15 - A B C AB AC AD BA BC BD CA CB CD ABC ABD Scriviamo tutti e 4 gli elementi dell insieme di partenza associamo a ogni elemento uno degli altri 3 rimasti, formando così 4 3 = 12 gruppetti da 2 DA D DB DC DCA DCB
16 - A B C D AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Scriviamo tutti e 4 gli elementi dell insieme di partenza associamo a ogni elemento uno degli altri 3 rimasti, formando così 4 3 = 12 gruppetti da 2 associamo ancora a ognuno di questi 12 gruppetti uno dei 2 elementi rimasti.
17 - A B C D AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Il numero dei raggruppamenti di 3 elementi è dunque = 24
18 - A B C D AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Il numero dei raggruppamenti di 3 elementi è dunque = 24 Chiamiamo ogni raggruppamento ottenuto disposizione semplice di 4 elementi di classe 3 e indichiamo il numero di tutti i possibili raggruppamenti di questo tipo col simbolo D 4,3 = 24
19 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le disposizioni di n elementi distinti di classe k (con n, k e k n) sono tutti i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati.
20 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le disposizioni di n elementi distinti di classe k (con n, k e k n) sono tutti i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati. Il numero delle disposizioni di n elementi di classe k è D n,k = n(n 1)(n 2)... (n k + 1) k fattori
21 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le disposizioni di n elementi distinti di classe k (con n, k e k n) sono tutti i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati. Il numero delle disposizioni di n elementi di classe k è D n,k = (n 0)(n 1)(n 2)... (n (k 1)) = n! (n k)! k fattori
22 Esercizi sulle disposizioni - 1. In quanti modi diversi 8 persone possono sedersi in 5 posti? 2. Calcola quanti numeri di 4 cifre diverse si possono formare con le nove cifre dell insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3. Quanti numeri di cinque cifre diverse si possono formare con le dieci cifre decimali? (Ricorda che i numeri non possono iniziare con lo 0) 4. In un torneo di calcio partecipano 16 squadre. Quante partite si devono effettuare fra girone di andata e di ritorno, sapendo che tutte le squadre si devono incontrare?
23 Esercizi sulle disposizioni - 5. In una gara di atletica vi sono 15 partecipanti che competono per la medaglia d oro, d argento e di bronzo. In quanti modi diversi possono essere distribuite le medaglie? 6. Una società scientifica conta 25 membri. Si devono eleggere un presidente, un vicepresidente, un segretario e un tesoriere. In quanti modi è possibile farlo se ciascun membro può assumere una sola carica?
24 Esercizi sulle disposizioni - 7. Calcola il valore delle seguenti espressioni 2 D 7,3 D 7,2 + D 5,2 D 5,1 D 8,4 D 7,3 7 D 7,2 27 ( D8,5 D 9,4 ) D5,2 D 5,3
25 Le disposizioni - Problema Dato ancora l insieme {A, B, C, D} considera, come prima, i raggruppamenti formati da 3 oggetti presi nell insieme di partenza, ma questa volta un elemento può essere anche ripetuto (ad esempio ABB, DAC, DDC, CAC, ABD,... ). Prova a determinare il numero di tutti i possibili raggruppamenti di questo tipo.
26 Formalizzazione - Definizione Le disposizioni di n elementi distinti di classe k (con n, k ) sono tutti i raggruppamenti di k elementi, anche ripetuti, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati.
27 Formalizzazione - Definizione Le disposizioni di n elementi distinti di classe k (con n, k ) sono tutti i raggruppamenti di k elementi, anche ripetuti, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati. Il numero delle disposizioni di n elementi di classe k è D n,k = n k
28 Formalizzazione - Definizione Le disposizioni di n elementi distinti di classe k (con n, k ) sono tutti i raggruppamenti di k elementi, anche ripetuti, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l ordine con cui gli elementi sono collocati. Il numero delle disposizioni di n elementi di classe k è D n,k = n k Nelle disposizioni non è più necessaria la condizione k n.
29 Esercizi sulle disposizioni - 1. Quanti sono i possibili risultati della schedina del totocalcio? 2. Quanti numeri di 3 cifre, anche ripetute, si possono formare con gli elementi dell insieme A = {3, 5, 6, 7, 8}. 3. Quanti numeri di 3 cifre, anche ripetute, si possono formare con gli elementi dell insieme A = {0, 3, 5, 6, 7, 8}. 4. In un urna abbiamo 10 palline numerate da 1 a 10. Per 3 volte si estrae una pallina, rimettendola ogni volta dentro l urna. Calcola le possibili terne ordinate che si possono ottenere. Calcola anche le possibili terne ordinate nel caso in cui la pallina estratta non venga rimessa nell urna. 5. Determina quante sigle di 5 elementi si possono formare con le 21 lettere dell alfabeto e le 10 cifre decimali, sapendo che i primi 3 posti devono essere occupati dalle lettere e gli ultimi 2 dalle cifre.
30 Gli anagrammi - Problema Quanti sono gli anagrammi (anche di senso non compiuto) della parola CIAO?
31 Gli anagrammi - C I A O CI CA CO IC IA IO AC AI AO OC OI OA CIA CIO CAI CAO COI COA ICA ICO IAC IAO IOC IOA ACI ACO AIC AIO AOC AOI OCA OCI OIC OIA OAC OAI CIAO CIOA CAIO CAOI COIA COAI ICAO ICOA IACO IAOC IOCA IOAC ACIO ACOI AICO AIOC AOCI AOIC OCAI OCIA OICA OIAC OACI OAIC Notiamo come sia possibile ricondursi al caso precedente partendo dall insieme {C, I, A, O} considerando le disposizioni di classe 4. Quindi gli anagrammi della parola CIAO sono D 4,4 = = 24
32 Gli anagrammi - C I A O CI CA CO IC IA IO AC AI AO OC OI OA CIA CIO CAI CAO COI COA ICA ICO IAC IAO IOC IOA ACI ACO AIC AIO AOC AOI OCA OCI OIC OIA OAC OAI CIAO CIOA CAIO CAOI COIA COAI ICAO ICOA IACO IAOC IOCA IOAC ACIO ACOI AICO AIOC AOCI AOIC OCAI OCIA OICA OIAC OACI OAIC Chiamiamo questi raggruppamenti permutazioni di 4 elementi.
33 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le permutazioni di n elementi distinti (con n ) sono tutti i raggruppamenti formati dagli n elementi che differiscono solo per il loro ordine.
34 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le permutazioni di n elementi distinti (con n ) sono tutti i raggruppamenti formati dagli n elementi che differiscono solo per il loro ordine. Il numero delle permutazioni di n elementi P n = D n,n = n(n 1)(n 2) = n! (per convenzione 0! = 1) n fattori
35 Esercizi sulle permutazioni - 1. In quanti modi si possono distribuire 9 premi a 9 bambini? 2. Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con le parole: MONTE, STORIA e RESIDUO. 3. Calcola quante sigle, di 7 elementi, tutti diversi, si possono scrivere con le cifre dell insieme A = {1, 2, 3} e le lettere dell insieme B = {a, b, c, d}, sapendo che le cifre precedono le lettere. 4. Sette bambini stanno facendo un girotondo. In quanti modi diversi possono disporsi in circolo?
36 Esercizi sulle permutazioni - 5. In quanti modi è possibile disporre otto torri su una scacchiera in modo che nessuna risulti attaccata? 8 0Z0Z0S0Z 7 ZRZ0Z0Z0 6 0Z0Z0ZRZ 5 S0Z0Z0Z0 4 0Z0S0Z0Z 3 Z0Z0Z0ZR 2 0ZRZ0Z0Z 1 Z0Z0S0Z0 a b c d e f g h 6. Quante collane diverse possiamo fare utilizzando 7 diverse perline?
37 Esercizi sulle proprietà della funzione fattoriale - Verifica le seguenti identità 1. n n! (n + 1)! = n! 2. (n + 1) 2 n! + (n + 1)! = (n + 2)! 3. n! = n (n 1) (n 2)! 4. n! + (n + 1)! + (n + 2)! = n! (n + 2) 2
38 - Problema Quanti sono gli anagrammi della parola TATTO? Cosa succede se alcune lettere si ripetono?
39 - Problema Quanti sono gli anagrammi della parola TATTO? Cosa succede se alcune lettere si ripetono? Proviamo a considerare comunque le lettere come se fossero tutte distinte e formiamo alcuni anagrammi: T 1 AT 2 T 3 O, AT 2 T 1 OT 3, OAT 3 T 1 T 2, AT 1 T 2 OT 3, OAT 2 T 1 T 3, OAT 1 T 2 T 3,...
40 - Problema Quanti sono gli anagrammi della parola TATTO? Cosa succede se alcune lettere si ripetono? Proviamo a considerare comunque le lettere come se fossero tutte distinte e formiamo alcuni anagrammi: T 1 AT 2 T 3 O, AT 2 T 1 OT 3, OAT 3 T 1 T 2, AT 1 T 2 OT 3, OAT 2 T 1 T 3, OAT 1 T 2 T 3,... Le parole dello stesso colore vanno identificate! Se fissiamo i posti che devono occupare le T, in quanti modi le T possono scambiarsi tra di loro?
41 - Problema Quanti sono gli anagrammi della parola TATTO? Cosa succede se alcune lettere si ripetono? Proviamo a considerare comunque le lettere come se fossero tutte distinte e formiamo alcuni anagrammi: T 1 AT 2 T 3 O, AT 2 T 1 OT 3, OAT 3 T 1 T 2, AT 1 T 2 OT 3, OAT 2 T 1 T 3, OAT 1 T 2 T 3,... Risposta Esattamente quante sono le permutazioni di 3 elementi (quante sono le T che si ripetono), cioè 3! = 6
42 - Dunque ogni parola, considerando le T indistinguibili, viene ripetuta 3! volte
43 - Dunque ogni parola, considerando le T indistinguibili, viene ripetuta 3! volte Gli anagrammi della parola TATTO si ottengono perciò col seguente calcolo 5! 3! = 5 4 3! = 20 3!
44 - Dunque ogni parola, considerando le T indistinguibili, viene ripetuta 3! volte Gli anagrammi della parola TATTO si ottengono perciò col seguente calcolo 5! 3! = 5 4 3! = 20 3! Chiamiamo questo tipo di raggruppamenti permutazioni con ripetizione
45 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le permutazioni di n elementi (con n ), di cui k 1, k 2,... ripetuti sono tutti i raggruppamenti formati dagli n elementi che differiscono per l ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti.
46 Formalizzazione - Generalizziamo il problema precedente Definizione Le permutazioni di n elementi (con n ), di cui k 1, k 2,... ripetuti sono tutti i raggruppamenti formati dagli n elementi che differiscono per l ordine in cui si presentano gli elementi distinti e la posizione che occupano gli elementi ripetuti. Il numero delle permutazioni di n elementi di cui k 1, k 2,... ripetuti è P (k 1,k 2,...) n = n! k 1! k 2!...
47 Esercizi sulle permutazioni - 1. Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con le parole: MENTE, STESSA e TRATTATIVA. 2. Una moneta viene lanciata 8 volte. In quanti modi si può presentare una successione di 6 teste e 2 croci? 3. Determina in quanti modi possono disporsi in fila 3 gettoni rossi e 4 gialli, se il primo gettone deve essere giallo. 4. Calcola in quanti modi si possono sistemare 6 oggetti non distinti in 9 scatole diverse, sapendo che in ogni scatola deve esserci al massimo 1 oggetto.
48 - Problema Dato l insieme {A, B, C, D} consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi di 3 elementi. Quanti sono?
49 - Problema Dato l insieme {A, B, C, D} consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi di 3 elementi. Quanti sono? Possiamo risolvere il problema se consideriamo le disposizioni di classe 3 e identifichiamo quelle con gli stessi elementi ABC, BCD, BAD, CAB, BAC, BDA, DCA, DBC,...
50 - Problema Dato l insieme {A, B, C, D} consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi di 3 elementi. Quanti sono? Possiamo risolvere il problema se consideriamo le disposizioni di classe 3 e identifichiamo quelle con gli stessi elementi ABC, BCD, BAD, CAB, BAC, BDA, DCA, DBC,... Se fissiamo gli elementi del sottoinsieme, quante altre disposizioni ci sono con gli stessi elementi?
51 - Problema Dato l insieme {A, B, C, D} consideriamo tutti i suoi sottoinsiemi di 3 elementi. Quanti sono? Possiamo risolvere il problema se consideriamo le disposizioni di classe 3 e identifichiamo quelle con gli stessi elementi ABC, BCD, BAD, CAB, BAC, BDA, DCA, DBC,... Risposta Esattamente quante sono le permutazioni di 3 elementi (quanti sono gli elementi del sottoinsieme), cioè 3!=6
52 - Possiamo allora calcolare il numero dei sottoinsiemi con 3 elementi dell insieme di partenza (4 elementi) mediante il calcolo D 4,3 = = 4 P 3 3!
53 - Possiamo allora calcolare il numero dei sottoinsiemi con 3 elementi dell insieme di partenza (4 elementi) mediante il calcolo D 4,3 = = 4 P 3 3! Chiamiamo questo tipo di raggruppamenti combinazioni
54 Formalizzazione - Definizione Le combinazioni di n elementi distinti di classe k (con n, k e k n) sono tutti i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento (ma non per l ordine).
55 Formalizzazione - Definizione Le combinazioni di n elementi distinti di classe k (con n, k e k n) sono tutti i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento (ma non per l ordine). Il numero delle combinazioni di n elementi di classe k è C n,k = = ( ) n = D n,k n(n 1)(n 2)... (n k + 1) = k P k k! n(n 1)(n 2)... (n k + 1) k! (n k)! (n k)! = n! k!(n k)!
56 Esercizi sulle combinazioni - 1. Quante cinquine si possono fare con i 90 numeri del lotto? 2. Calcola quante sono le cinquine che contengono due numeri prefissati. 3. In quanti modi posso formare un campione di 10 persone da intervistare in un gruppo di 30? 4. A una riunione partecipano 6 persone che si stringono la mano reciprocamente. Calcola quante strette di mano le persone si scambiano. 5. In un piano sono dati 9 punti a 3 a 3 non allineati. Quanti triangoli si possono disegnare con i vertici in quei punti? 6. In una classe di 28 alunni, di cui 15 maschi, devono essere scelti 2 ragazzi e 2 ragazze per un assemblea di delegati. Quante sono le scelte possibili?
57 Proprietà dei coefficienti binomiali Osserviamo che si ha ( ) n = 1 0 ( ) n = 1 n ( ) n = n 1 -
58 Proprietà dei coefficienti binomiali - Osserviamo che si ha ( ) n = 1 0 ( ) n = 1 n ( ) n = n 1 Dimostra le seguenti proprietà dei coefficienti binomiali Legge delle classi complementari ( ) ( ) n n = k n k Formula di Stifel (n ) k = ( ) n 1 + k 1 ( ) n 1 k
59 Proprietà dei coefficienti binomiali - La formula di Stifel permette di costruire il Triangolo di Tartaglia
60 Proprietà dei coefficienti binomiali - La formula di Stifel permette di costruire il Triangolo di Tartaglia ( 0 0) ( 1 ) ( 1 0 1) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( )
61 La formula del binomio di Newton - (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( ) ( ) 2 2 = a 2 b a 1 b 1 + (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( ) ( ) 3 3 = a 3 b 0 + a 2 b (a + b) n = n k=0 ( ) 2 a 0 b 2 2 ( ) 3 a 1 b ( ) n a n k b k k ( ) 3 a 0 b 3 3
62 Questa presentazione è reperibile al sito (Materiali didattici) - Grazie dell attenzione!
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