NOME E COGNOME. Valutazione

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1 VERIFICA DI MATEMATICA 2^D Liceo Linguistico impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 17 novembre 2018 NOME E COGNOME 1 Consideriamo il parallelogramma ABCD, con le sue diagonali che si intersecano in O. Scelti i punti E su OB e F su OD in modo che OE OF, dimostra che i triangoli AEB e CFD sono congruenti Dimostra che due quadrilateri che hanno congruenti tre lati e i due angoli compresi tra loro sono congruenti. Che quadrilateri ottieni se i due angoli sono supplementari? Una macchina produce ogni giorno dispositivi meccanici di precisione molto delicati e una percentuale variabile ogni giorno non è accettata in quanto difettosa. Sapendo che nel corso di una settimana lavorativa, dal lunedì al venerdì, i pezzi prodotti sono stati 150, 160, 200, 180 e 120, e che le percentuali di pezzi scartati sono state 20%, 15%, 25%, 15% e 10%, determina le serie delle frequenze assolute dei dispositivi conformi alle specifiche e di quelli non accettati. Sono dati i seguenti numeri: 3, 6, 9, 12, 15. Calcola la media aritmetica, indicandola con M. Se ogni numero viene aumentato di 3, anche il valore di M risulta aumentato di 3? Che cosa succede alla media M se ogni numero viene diminuito di 3? Considera la distribuzione relativa al numero di libri di testo che ogni studente della tua classe ha portato a scuola in un certo giorno. Calcola la media, la mediana e la moda. Confronta i tre valori e spiega a parole il loro significato. Valutazione Obiettivi: consolidamento sugli argomenti di geometria con particolare riferimenti al capitolo G4 del libro di testo (1-2). Introduzione alla statistica, prendere familiarità col linguaggio tecnico, applicare elementari regole matematiche nel contesto della statistica, esercitarsi su una ricerca statistica a partire dalla raccolta dati. Valutazione delle risposte. 2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale. 1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità. 1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione. 1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore. 1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. 1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno. 0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo Nel BLOG si trovano preziosi consigli specifici per questa prova Seguendo la pagina facebook si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

2 1 Consideriamo il parallelogramma ABCD, con le sue diagonali che si intersecano in O. Scelti i punti E su OB e F su OD in modo che OE OF, dimostra che i triangoli AEB e CFD sono congruenti. Ipotesi: Tesi: ABCD parallelogramma triangoli AEB CFD OE OF Dimostrazione: Per le proprietà dei parallelogrammi le diagonali AC e BD si incontrano nel punto medio O. In particolare OD OB. Siccome per ipotesi è pure vero che OE OF allora possiamo dire che DF EB in quanto differenze di segmenti congruenti. Sempre per le proprietà dei parallelogrammi, sappiamo che AB DC. Inoltre, per definizione di parallelogramma AB CD. Osserviamo allora che gli angoli ABE FDC in quanto alterni interni di parallele tagliate dalla trasversale BD. Ricapitolando, abbiamo detto che i segmenti DF EB ; AB DC e che gli angoli ABE FDC. Dunque per il primo criterio di congruenza i triangoli AEB CFD, ovvero la tesi.

3 2 Dimostra che due quadrilateri che hanno congruenti tre lati e i due angoli compresi tra loro sono congruenti. Che quadrilateri ottieni se i due angoli sono supplementari? Nel disegno vedete soltanto uno dei quadrilateri, l'altra sarà congruente a questo e quindi dovrei fare un disegno identico. Il quadrilatero non disegnato ha come vertici A', B', C', D' in corrispondenza dei vertici A, B, C, D del quadrilatero disegnato. Ipotesi: AB A ' B' ; AD A' D ' ;CD C ' D ' angoli BAD B ' A ' D ' ; ADC A' D ' C ' Tesi: quadrilateri ABCD A' B' C ' D' n Dimostrazione (prima versione): Tracciamo anche le diagonali. Dopo aver tracciato le diagonali consideriamo i triangoli ACD e ABD. Per ipotesi i lati AD A ' D ' ;CD C ' D ' e gli angoli ADC A' D ' C ', allora, per il primo criterio di congruenza i triangoli ADC A' D ' C '. Analogamente, per ipotesi i lati AB A ' B' ; AD A' D ' e gli angoli BAD B ' A ' D ', allora, per il primo criterio di congruenza i triangoli BAD B ' A ' D '. In particolare ne segue la congruenza tra le diagonali AC A' C ' ; BD B ' D ' Ma anche la congruenza tra gli angoli BDC B ' D' C ' ; BAC B' A' C ' Allora, applicando di nuovo il primo criterio di congruenza possiamo affermare che i triangoli BCD B ' C ' D ' ; ABC A' B ' C '. In particolare abbiamo che i lati BC B ' C ', ma anche che gli angoli ABC= ABD+DBC A ' B ' D '+D ' B ' C '= A' B ' C ' BCD=BCA+ ACD B ' C ' A' +A ' C ' D' =B ' C ' D' Ricapitolando abbiamo dimostrato che i quadrilateri hanno tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti e quindi sono congruenti.

4 Dimostrazione (seconda versione, forse più semplice): Tracciamo solo la diagonale AC. Consideriamo il triangolo ACD. Per ipotesi i lati AD A ' D ' ;CD C ' D ' e gli angoli ADC A' D ' C ', allora, per il primo criterio di congruenza i triangoli ADC A' D ' C '. Consideriamo adesso il triangolo ABC. Per ipotesi AB A ' B '. Per la congruenza dimostrata sopra AC A ' C '. Siamo anche in grado di affermare che gli angoli CAB C ' A' B ', infatti per ipotesi abbiamo che DAB D ' A ' B ' e per la congruenza dimostrata sopra abbiamo che DAC D ' A' C ', dunque CAB=DAB DAC D ' A ' B ' D ' A' C ' =C ' A' B'. Quindi per il primo criterio di congruenza i triangoli ABC A' B ' C '. Dato che il quadrilatero ABCD è l'unione di questi due triangoli distinti, possiamo affermare di aver dimostrato la tesi. Ipotesi aggiunta: BAD+ ADC π Nel caso in cui gli angoli chiamati in causa fossero supplementari, cioè con somma congruente ad un angolo piatto, i quadrilateri sarebbero dei parallelogrammi. Congettura: i quadrilateri sono parallelogrammi Dimostrazione della congettura: Osserviamo ancora la figura, in particolare concentriamoci (per fissare le idee) sul triangolo ABD. La somma degli angoli interni del triangolo è un angolo piatto. ABD+ BDA+BAD=π Come ipotesi abbiamo stabilito che la somma degli angoli BAD e DAC è un angolo piatto. Allora ABD+ BDA+BAD=BAD+ ADC, allora ABD+ BDA= ADC ovvero ABD+ BDA=BDA+ BDC ovvero ABD= BDC Dunque gli angoli ABD BDC, ma tali angoli sono alterni interni rispetto alla trasversale BD che taglia le rette AB e DC. Analogamente posso ripetere il ragionamento partendo dal triangolo ACD per dimostrare il parallelismo di AD e BC.

5 3 Una macchina produce ogni giorno dispositivi meccanici di precisione molto delicati e una percentuale variabile ogni giorno non è accettata in quanto difettosa. Sapendo che nel corso di una settimana lavorativa, dal lunedì al venerdì, i pezzi prodotti sono stati 150, 160, 200, 180 e 120, e che le percentuali di pezzi scartati sono state 20%, 15%, 25%, 15% e 10%, determina le serie delle frequenze assolute dei dispositivi conformi alle specifiche e di quelli non accettati. Prima di esporre la tabella occorre fare qualche facile calcolo per ricavare i dati assoluti, ovvero quanti pezzi sono stati scartati ogni giorno. Il 20% di 150: =30 Il 15% di 160: =24 Il 25% di 200: =50 Il 15% di 180: =27 Il 10% di 120: =12 Ovviamenti i pezzi conformi si possono calcolare per differenza. Il risultato finale è la seguente tabella: Pezzi prodotti Pezzi conformi Pezzi scartati Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Considerata la facilità dei calcoli, possiamo considerare valida ed esauriente anche la risposta che si limita a riportare la tabella corretta.

6 4 Sono dati i seguenti numeri: 3, 6, 9, 12, 15. Calcola la media aritmetica, indicandola con M. Se ogni numero viene aumentato di 3, anche il valore di M risulta aumentato di 3? Che cosa succede alla media M se ogni numero viene diminuito di 3? Media aritmetica: M = = =9 Se aumentiamo ogni numero di 3 anche M aumenta di 3. Possiamo verificarlo brutalmente rifacendo il conto da capo, o anche semplicemente considerando che al numeratore dovremmo aggiungere 3 5=15 per poi dividere anch'esso per O ancora potremmo dire che al valore M appena trovato dovremmo aggiungere 5 =3. Allo stesso modo, se diminuiamo ogni numero di 3 anche M diminuisce di 3, analogamente a quanto visto sopra. La domanda mira a confonderci perché togliendo 3 il primo dato diviene 0, e questo potrebbe mandare in crisi qualcuno. Ma non lasciamoci suggestionare, se togliamo 3 ad ogni dato, il primo termine diviene 0, è comunque un dato da considerare nella media. Se la cosa non vi convince ecco il calcolo brutalmente ripetuto con tutti i dati diminuiti di 3. M ' = = =6. Visto?

7 5 Considera la distribuzione relativa al numero di libri di testo che ogni studente della tua classe ha portato a scuola in un certo giorno. Calcola la media, la mediana e la moda. Confronta i tre valori e spiega a parole il loro significato. Per questa domanda occorreva innanzitutto effettuare una vera rilevazione statistica, richiedendo ai propri compagni di classe quanti libri avessero portato, oppure semplicemente osservandoli (come ho fatto io). Dalla mia osservazione ho concluso che i 19 alunni hanno portato ciascuno questi numeri di libri: Calcoliamo la media aritmetica: = ,74 Calcoliamo la mediana, prima mettiamo in ordine i dati: Essendo 19 dati, la mediana è quello centrale, al decimo posto, ovvero 2. Calcoliamo la moda, ci può essere ancora d'aiuto la scrittura dei dati in ordine crescente: Il dato 2 ricorre per 7 volte, il dato 1 ricorre 6 volte, gli altri ancora meno, dunque la moda è 2. La moda e la mediana coincidono, la media è leggermente inferiore, ma se approssimata all'intero coinciderebbe anch'essa con mediana e moda. Questi tre valori ci danno un'informazione circa il comportamento complessivo degli studenti della classe, questa informazione può essere utile se paragonata col dato analogo di altre classi. La media aritmetica coinvolge pesantemente tutti i dati, mentre moda e mediana ci danno indicazioni che possono essere anche indipendenti dagli altri dati rilevati. Sicuramente moda e mediana possono darci una misura di quanto la media aritmetica sia effettivamente aderente alla realtà: se uno dei ragazzi portasse a scuola 10 libri, la media aritmetica risulterebbe sbilanciata, mediana e moda ce lo farebbero capire. La mediana potrebbe essere un dato eccessivamente isolato e questo ce lo farebbero capire moda e media, infine la moda potrebbe essere creata da un accumulo di dati verso il basso o verso l'alto, la mediana e la media ce lo farebbero capire.