IL CRITERIO SAS, IL QUADRATO e LE PARALLELE

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1 IL CRITERIO SAS, IL QUADRATO e LE PARALLELE Nelle moderne assiomatizzazioni della Geometria, non viene ritenuta logicamente consistente una dimostrazione che faccia uso della sovrapposizione per moto ( * ), nello stile di Euclide, nei suoi teoremi per i criteri di uguaglianza dei triangoli SAS (Proposizione I.4) ed SSS (Proposizione I.8). Oltretutto lo stesso Euclide dimostrava il criterio ASA (Proposizione I.26) pur potendo procedere più facilmente con il metodo della sovrapposizione, probabilmente consapevole della debolezza di tale metodo. Attualmente non ci resta che adottarlo come - ASSIOMA Criterio SAS: Due triangoli con due lati e l angolo compreso congruenti sono congruenti. Seguono facilmente i seguenti corollari - COROLLARIO 1 Criterio ASA: Due triangoli con un lato ed i due angoli adiacenti congruenti sono congruenti. Posto AB=A B, a=a, b =b Se i due triangoli non fossero uguali, potremmo riportare X su A C in modo che AC = A X. Ma per l unicità dell angolo, essendo appunto b = b, il punto X dovrà stare anche su B C e quindi non potrà che coincidere con C. ( * ) Ma anche l assioma di congruenza per gli angoli, nel riportare un dato angolo in modo unico (vedi Odifreddi - Divertimento Geometrico pag. 214) fa uso, con un operazione più complessa ed indefinita che incautamente non si limita a figure finite come i triangoli di Euclide, della sovrapposizione per moto! Lo si evita se si ricorre all approccio metrico di Birkoff ( Divertimento Geometrico pag. 233) con le relative nozioni di misura: il criterio SAS resta allora sicuramente un assioma. Altrimenti, tanto vale accettare la Proposizione I.4 (Criterio SAS) di Euclide e poi riportare gli angoli facendo uso della Proposizione I.23, sempre di Euclide, appositamente dimostrata. 1

2 - COROLLARIO 2 Criterio SSS: Due triangoli con tutti e tre i lati congruenti sono congruenti. Posto AB = A B, AC = A C, BC = B C Se si fa riferimento al lato A B, costruendo il cerchio di raggio AC con centro in A ed il cerchio di raggio BC con centro in B, le due circonferenze, sul corrispondente semipiano, rispetto alla retta r che comprende il segmento A B, si incontrano in un solo punto (tenendo conto dei moderni Assiomi sulla continuità e per la costruibilità del punto X). Allora, per costruzione, il triangolo A XB che possiede tutti e tre i lati congruenti con quelli del triangolo ABC è unico. Se il triangolo A B C che sia congruente ad ABC non fosse congruente con il triangolo A XB, avrebbe almeno un lato non congruente al corrispondente lato su ABC, contraddicendo le ipotesi. Le stesse conclusioni si ottengono prendendo come lato di riferimento A C, oppure il lato B C. - COROLLARIO 3 Triangolo Isoscele: In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti. La dimostrazione più semplice ed elegante è dovuta a Pappo. Considerando lo stesso triangolo come BCA ed ACB, per l Assioma SAS i due triangoli riflessi possiedono due lati congruenti mentre l angolo b è comune ad entrambi. Quindi devono essere necessariamente congruenti, e lo saranno anche gli angoli alla base. 2

3 Nel precedente paragrafo avevamo ripercorso una buona parte del Primo libro degli Elementi di Euclide, giungendo a risultati completi e validi anche senza ricorrere al Quinto Postulato sulle rette parallele. Il tutto poggiava però sulla proposizione I.16, quella dell angolo esterno, la cui validità è oggetto di contestazione, almeno parzialmente. Pur appartenendo alle prime 28 proposizioni, dimostrate da Euclide senza far ricorso al quinto postulato, e quindi ritenuta appartenere alla cosiddetta Geometria Neutrale (od Assoluta) valida anche per le geometrie non-euclidee, la validità della proposizione I.16 nella sua versione originale viene contestata nell ambito di alcune geometrie non-euclidee, in particolare nella geometria sulla sfera e, per coerenza, anche nella geometria euclidea. Inoltre occorre considerare la necessità della definizione 23 delle rette parallele come rette che non si intersecano, ed infine si potrebbe essere indotti a sospettare come equivalente al postulato delle parallele anche la proposizione I.16. Ed anche eventualmente la proposizione I.27 che ne consegue direttamente. E superfluo evidenziare che ne scaturirebbero comunque disquisizioni di grande sottigliezza, tali da sconvolgere la semplicità e l eleganza delle dimostrazioni. Vorrei allora provare ad ottenere dei risultati il più possibile generali nell ambito della geometria euclidea e della teoria delle parallele, partendo da presupposti veramente minimi. Ovvero in assenza del Quinto Postulato, ma anche facendo a meno della semplice definizione di rette parallele, la 23. Partiamo da null altro che: - ASSIOMA Criterio SAS (già proposizione I.4 di euclide) e Corollari 1, 2, 3; - DEFINIZIONE di ANGOLO RETTO; nelle recenti formalizzazioni il postulato 4 sull uguaglianza di tutti gli angoli retti risulta dimostrato partendo dalla considerazione che gli angoli retti sono a due a due supplementari; da cui anche la sua costruzione (vedi ANGOLI RETTI, SUPPLEMENTARI, COMPLE- MENTARI, OPPOSTI AL VERTICE a pag, 24). - DEFINIZIONE MINIMA del QUADRATO come figura quadrilatera con tutti i lati e tutti gli angoli uguali (congruenti) tra loro. Questi presupposti sono validi sicuramente anche in tutte le geometrie non-euclidee, ovvero fanno certamente parte di quella che viene detta Geometria Neutrale. 3

4 Soffermiamoci un attimo sulle definizione minima appena data di quadrato: non vi si fa cenno né che esso sia un parallelogramma e nemmeno che abbia tutti gli angoli retti, come viene classicamente definito in senso euclideo. Un tale quadrato, in linea teorica, potrebbe avere gli angoli tutti acuti e quindi essere del tutto compatibile al quadrato così come viene ordinariamente rappresentato nella geometria iperbolica. Potrebbe persino essere in qualche modo sghembo. In ogni caso, risulta del tutto evidente che nelle premesse sopra esposte non è presente né una definizione di rette parallele, né alcuna costruzione che possa essere equivalente al quinto postulato euclideo e nemmeno un qualsiasi accenno alle condizioni che individuano due rette come parallele. Vogliamo ora dimostrare il seguente teorema: - Proposizione del Quadrato: esiste una geometria nella quale in un quadrato i quattro angoli sono retti ed i lati opposti sono paralleli; essa è quella euclidea. Posto AB = BD = CD = AC, Applicando il Criterio SAS ai triangoli CBA e CDA (avendo 2b=2d, BA = AD, BC = CD) si ricava a = a = a g = g = g (vedi figura) Considerando 2a = 2g, ovvero a = g, avremo complessivamente a = a = a = = g = g = g. Applicando più volte il Criterio SAS, (questo suggerirebbe anche considerazioni di simmetria) 4

5 anche a triangoli parzialmente sovrapposti come CBA e BAD, da cui discende AC = BD (diagonali uguali) ed a = d, b = g, si ottiene infine a = a = b = b = g = g = d = d = = = = I segmenti diagonali AC e BD si intersecano in E (considerando l assioma di continuità di Dedekind per l esistenza dell eventuale punto di intersezione tra due segmenti, e considerando l assioma di separazione del piano: B e D si trovano su semipiani opposti rispetto alla retta passante per A e C per cui il segmento BD interseca tale retta in E). I triangoli AEB ed AED sono uguali (congruenti) perché hanno AE in comune, AD = AB ed a = a. Analogamente (situazione simmetrica) sono uguali anche i triangoli AEB e BEC, BEC e CED, CED e DED ed i relativi angoli tutti con vertice in E sono retti, perché a due a due supplementari uguali. Inoltre si ricava AE = EC, BE = ED, anzi AE = EC = BE = ED considerando AC = BD; cioè possiamo anticipare, valido nell ambito della Geometria Neutrale, il - COROLLARIO 1 Proposizione, del Quadrato: In un quadrato le due diagonali sono uguali (congruenti) ed ortogonali, si tagliano scambievolmente a metà e sono le bisettrici dei suoi quattro angoli. 5