NOME E COGNOME. x 1 2 x 3 +4 x 2 3

Transcript

1 VERIFICA DI MATEMATICA 2^E/F Liceo Sportivo 27 ottobre 207 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 3 novembre 207 NOME E COGNOME Stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false, motivando esaurientemente la risposta. A) x+ = ha soluzione x= B) 5 x =5 x è vero per ogni x reale x C) x = x non ha soluzioni D) 5 x = x 49 ha soluzione x= 2 Consideriamo le equazioni 2 x k 7=0 ; 8 k x =9 Determinare il valore di k per cui le soluzioni delle due equazioni sono uguali in valore assoluto, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito. 3 Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito: x 3 2 x+ =x 4 Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito: x 2 <3 5 Risolvere la seguente disequazione: x 2 x x 2 3 VALUTAZIONE Argomenti: equazioni disequazioni di primo grado e fratte che contengono valori assoluti. Capitolo 0 volume del libro di testo. Valutazione delle risposte. 2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste. punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste. 0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste. 0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto. 0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi. 0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto. I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo BLOG Pagina facebook

2 Stabilire se le seguenti affermazioni siano vere o false, motivando esaurientemente la risposta. A) x+ = ha soluzione x= B) 5 x =5 x è vero per ogni x reale x C) x = x non ha soluzioni D) 5 x = x 49 ha soluzione x= A) x+ = ha soluzione x= x L'affermazione è FALSA. Infatti se sostituisco il valore al posto dell'incognita, otteniamo una divisione per zero, dunque l'espressione a sinistra del simbolo = non è nemmeno definita, in particolare l'uguaglianza non può essere vera. B) 5 x =5 x è vero per ogni x reale L'affermazione è VERA. Se x 0 l'uguaglianza diventa semplicemente 5 x=5 x che è vera per ogni x reale. Se x<0 l'uguaglianza diventa (5 x)=5( x) che è vera per ogni x reale. C) x = x non ha soluzioni L'affermazione è FALSA. Infatti se sostituisco x=0 otteniamo un'uguaglianza vera, è quindi abbiamo trovato una soluzione. D) 5 x = x 49 ha soluzione x= L'affermazione è VERA. Infatti se sostituisco x= otteniamo 50 = 50 che è un'uguaglianza vera. Dunque x= è effettivamente soluzione dell'equazione.

3 2 Consideriamo le equazioni 2 x k 7=0 ; 8 k x=9 Determinare il valore di k per cui le soluzioni delle due equazioni sono uguali in valore assoluto, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito. Risolviamo entrambe le equazioni rispetto a x. 2 x k 7=0 ovvero 2 x=k+7 ovvero x= k k x=9 ovvero x=8 k 9. k+7 Ci viene chiesto di determinare k tale che = 8 k 9 2 Si tratta di un'equazione nell'incognita k. Dovremmo essere in grado di risolverla! Si osservi che gli argomenti dei valori assoluti si annullano rispettivamente per k= 7 e per k= 9 8 k 7 Caso k< 7. L'equazione diventa = 8 k +9 ovvero k 7= 6 k +38 ovvero 2 5 k =45 ovvero k =3. Non accettabile.. Caso 7 k< 9 8. L'equazione diventa 7k=3 ovvero k= 3 7. Accettabile. k +7 2 = 8 k+9 ovvero k+7= 6k+38 ovvero Caso k> 9 k+7. L'equazione diventa 8 2 =8k 9 ovvero k+7=6k 38 ovvero 5 k = 45 ovvero k =3. Accettabile. Ricapitolando, abbiamo determinato due soluzioni: k= 3 7 k=3 Per chi ama metodi più veloci si poteva fare (in merito a questa situazione specifica) anche una considerazione molto semplice. Una volta impostata l'equazione con i valori assoluti k +7 2 = 8 k 9 potevamo semplicemente constatare che due numeri uguali in valore assoluto o sono uguali o sono opposti, dunque per l'equazione da risolvere possono avvenire due sole cose: k+7 2 =8 k 9 che ci dà la soluzione k=3 k+7 2 = 8k+9 che ci dà la soluzione k= 3 7 Fine.

4 3 Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito: x 3 2 x+ =x I due argomenti si annullano rispettivamente per x=3 x=. Distinguiamo tre casi. Caso x<. L'equazione diventa x+3+2 x+2=x ovvero 0= 6 impossibile. Caso x<3. L'equazione diventa x+3 2 x 2= x ovvero 4 x= 2 ovvero x= 2. Accettabile. Caso x>3. L'equazione diventa x 3 2 x 2=x ovvero 2 x=4 ovvero x= 2. Tale soluzione non è accettabile. Ricapitolando abbiamo trovato come soluzione x= 2

5 4 Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito: x 2 <3 Diciamo subito che l'espressione a sinistra del simbolo < ha senso soltanto se avremmo una divisione per zero. x 2, altrimenti Detto questo possiamo risolvere rapidamente tale disequazione utilizzando questo trucchetto : per il secondo principio di equivalenza la disequazione diventa 3 < x 2 ovvero x 2> 3 x 2< 3 da cui ricaviamo facilmente x> 7 3 x<5 3. Se però non ci si sente abbastanza sicuri e non ci viene in mente questo trucchetto, possiamo rimanere fedeli alle parole magiche a me hanno insegnato così e dividere in due casi. Caso x>2. x 2 <3 ovvero <3 x 6 ovvero 7<3 x ovvero 7 3 <x. Caso x<2. ovvero 5 3 > x. 2 x <3 ovvero <6 3 x ovvero 5< 3 x ovvero 5>3 x Concludendo: le soluzioni richieste sono x> 7 3 x<5 3

6 5 Risolvere la seguente disequazione: x 2 x x 2 3 Vedo un denominatore con incognita, quindi discuto subito le condizioni di esistenza. Purtroppo in questo denominatore c'è anche lo scomodo valore assoluto. Dobbiamo risolvere l'equazione x 2 3=0 per poi escludere le soluzioni dal campo di esistenza dell'espressione algebrica che sta a sinistra del simbolo di disuguaglianza. Caso x 2. Il denominatore diventa x 5. Ovviamente la soluzione dell'equazione x 5=0 è x=5. Caso x<2. Il denominatore diventa x. Ovviamente la soluzione dell'equazione x=0 è x=. Conclusione: le condizioni di esistenza sono x 5 x. Adesso possiamo pensare alle soluzioni della disequazione. Sappiamo giù che l'argomento che troviamo a denominatore si annulla per x=2 ; gli altri due argomenti che si trovano al numeratore si annullano rispettivamente per x= e per x= 3 2 (tenendo sempre conto del campo di esistenza). Caso x< < x<.. Suddividiamo in quattro casi x (3 2 x)+4 x+2 2 x 3 x 0. Il numeratore si annulla per x= 2 mentre sappiamo già che il denominatore si annulla per x=. Possiamo schematizzare la situazione con una tabella. x< 2 x= 2 2< x< x= <x< x x x+2 x Non esiste - In questo caso abbiamo come soluzioni per la disequazione 2 x<. Caso x< 3 2. x (3 2 x)+4 3 x 2 x 3 x 0. Nei confini di questo caso sia il numeratore che il denominatore non si annullano. Il numeratore è sicuramente positivo mentre il denominatore è sicuramente negativo, dunque in questo caso non troviamo soluzioni per la disequazione.

7 3 Caso 2 x<2. x (2 x 3)+4 x+6 2 x 3 x 0. Nei confini del caso in questione il numeratore non si annulla e così pure il denominatore. Il numeratore è positivo mentre il denominatore è negativo, dunque non troviamo soluzioni per la disequazione. Caso 2 x<5 x>5 x (2 x 3)+4 x+6 x 2 3 x 5 0. Il numeratore si annulla per x=6 mentre sappiamo già che il denominatore si annulla per x=5. Schematizziamo la situazione in questa tabella. x=2 2<x<5 x=5 5<x <6 x=6 x>6 x x x+6 x Non esiste Grazie alla tabella ci è facile capire che altre soluzioni per la nostra disequazione sono 5< x 6. Conclusione: le soluzioni richieste sono tutti quei valori di x tali che 2 x< 5<x 6