Ricapitolando, oltre all'angolo di 130 ce ne sono due di 90 e un quarto di 50.

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1 1a Dato il triangolo isoscele ABC di base AB, siano M il punto medio del lato AC e N il punto medio del lato BC. Dimostrare che il triangolo MCN è isoscele. Ipotesi: AC BC ; AM CM ;CN BN Tesi: CM CN Per costruzione AC = AM +CM ; BC= BN +CN, allora dall' ipotesi AC BC (triangolo isoscele) segue che AM +CM BN +CN. Consideriamo adesso le altre ipotesi AM CM ; CN BN (punti medi), allora 2CM 2CN da cui la tesi. CVD 2a Un trapezio rettangolo ha un angolo di ampiezza 130. Quali sono le ampiezze degli altri angoli? (motivare la risposta). Per un noto teorema, la somma interna degli angoli di un quadrilatero è congruente a 2 angoli piatti, ovvero ad un angolo giro. In ampiezza sono 360. Essendo un trapezio rettangolo due dei quattro angoli sono retti (ampiezza 90 ), altrimenti le due basi non potrebbero essere parallele, se il terzo ha ampiezza 130, necessariamente il quarto ha ampiezza =50. Ricapitolando, oltre all'angolo di 130 ce ne sono due di 90 e un quarto di 50.

2 3a Dimostrare che congiungendo i punti medi dei lati di un rettangolo si ottiene un rombo. Ipotesi: ABCD rettangolo; E,F,G,H punti medi; Tesi: EFGH rombo Consideriamo i triangoli AEF; BEH; CGH; DFG. Sono, ovviamente, tutti triangoli rettangoli; Possiamo dimostrare che sono tutti congruenti tra loro, per comodità dimostriamo che la congruenza tra i primi due. Essendo E, F, H punti medi, abbiamo che AE EB AF FD BH HC ; Essendo ABCD rettangolo abbiamo anche che AD BC da cui AE BH ; Ricapitolando AEF e BEH sono due triangoli rettangoli con i cateti congruenti e quindi sono congruenti per il primo criterio. Analogamente possiamo ripetere lo stesso ragionamento per tutte le altre possibili coppie. Quindi i triangoli rettangoli sono tutti congruenti e in particolare lo sono le ipotenuse EF, FG, GH, EH. Il quadrilatero EFGH ha quindi tutti i lati congruenti. Risulta pleonastico osservare che avendo due coppie di lati congruenti, tale quadrilatero è necessariamente è un parallelogramma. EFGH è dunque un parallelogramma con tutti i lati congruenti, cioè un rombo, come volevasi dimostrare. Dimostrazione alternativa (cenno): Consideriamo il triangolo ABD, un teorema ci assicura che EF BD 2 EF= BD. Possiamo ripetere lo stesso ragionamento per i triangoli ABC; BCD; CDA. Considerando anche che in un rettangolo le diagonali sono congruenti tra loro possiamo così affermare che tutti i lati del quadrilatero EFGH sono congruenti tra loro e anche che sono paralleli a due a due (che comunque è necessario rispetto alla congruenza di tutti i lati). Da cui la tesi.

3 4a I due parallelogrammi ABCD, ADEF hanno il lato AD in comune. Dimostrare che i punti B,C,E,F se non sono allineati, sono vertici di un parallelogramma. Ipotesi: ABCD, ADEF parallelogrammi; B,C,E,F non allineati Tesi: BCEF parallelogramma. Siccome BC AD AD EF per le proprietà dei due parallelogrammi, allora per proprietà transitiva possiamo dire che BC FE. L'ipotesi che B,C,E,F non siano allineati serve soltanto ad assicurarci che BCEF sia effettivamente un quadrilatero. Fatta questa precisazione, concentriamoci sui lati BC e FE. Siccome è pure vero che BC AD AD EF sempre per le proprietà dei due parallelogrammi, allora per proprietà transitiva possiamo dire che BC FE. Ricapitolando, BC ed EF sono due lati paralleli e congruenti del quadrilatero BCEF, necessariamente BCEF è un parallelogramma, come volevasi dimostrare. 5a Quali sono le ampiezze degli angoli di un triangolo rettangolo isoscele? (motivare la risposta) Per un noto teorema, la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente ad un angolo piatto, ovvero all'ampiezza di 180. Essendo un triangolo rettangolo, uno degli angoli è retto, ovvero di ampiezza 90 e non può essercene un altro di tale ampiezza. La somma degli altri due è dunque =90. Essendo un triangolo isoscele, gli altri due angoli sono congruenti tra loro e la loro ampiezza è 90 2 =45. Ricapitolando le ampiezze richieste sono 90, 45, 45.

4 1b Dimostrare che se in un triangolo l'altezza e la mediana relative ad uno stesso lato coincidono, il triangolo è isoscele. Ipotesi: CH è altezza, ovvero l'angolo AHC = π 2 ; CH è mediana, ovvero AH HB Tesi: il triangolo ABC è isoscele, ovvero AC CB Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e BHC e osserviamo che hanno il lato CH in comune; ÂHC BHC in quanto entrambi retti; AH HB per ipotesi; allora per il primo criterio di congruenza i triangoli AHC BHC ; allora, in particolare, è anche AC CB in quanto lati corrispondenti di triangoli congruenti. Siamo così arrivati alla tesi. 2bf Dimostrare che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato e le altezze relative agli altri due lati. Ipotesi: AB A ' B' ; BK B ' K ' ; AH A' H ' Tesi: i triangoli ABC A' B ' C ' Consideriamo i triangoli ABK e ABH, sono rettangoli perché per ipotesi AH e BK sono altezze. I triangoli ABK A ' B ' K ' ; ABH A' B ' H ' per lo speciale criterio di congruenza dei triangoli rettangoli [pag.119; 125 del libro di testo], avendo le ipotenuse AB A ' B' e un cateto BK B ' K ' ; AH A' H ' per le ipotesi. In particolare gli angoli KAB K ' A' B' ; ABH A ' B ' H ' ; considerando ancora l'ipotesi AB A ' B ' possiamo dire che per il secondo criterio di congruenza i triangoli ABC A' B ' C ', ovvero la tesi.

5 3b Dimostrare che un rombo con le diagonali congruenti è un quadrato. La risposta dovrebbe essere ovvio. Per argomentare un po' di più potremmo dire subito che un rombo ha tutti i lati congruenti così come deve averli un quadrato ed un parallelogramma così come deve esserlo un quadrato. L'unica vera tesi da dimostrare è che gli angoli interni sono tutti retti. Siccome un rombo ha le diagonali perpendicolari e in un parallelogramma le diagonali si tagliano a metà, possiamo immaginare questo rombo con diagonali congruenti come la composizione di quattro triangoli rettangoli isosceli con lati tutti congruenti tra loro. Tali triangoli isosceli hanno angoli di 90, 45, 45. Di conseguenza gli angoli ai vertici del rombo hanno ampiezza 90 e quindi questo rombo è un quadrato. 4b Un trapezio rettangolo ha un angolo di ampiezza 50. Quali sono le ampiezze degli altri angoli? (motivare la risposta). Per un noto teorema, la somma interna degli angoli di un quadrilatero è congruente a 2 angoli piatti, ovvero ad un angolo giro. In ampiezza sono 360. Essendo un trapezio rettangolo due dei quattro angoli sono retti (ampiezza 90 ), altrimenti le due basi non potrebbero essere parallele, se il terzo ha ampiezza 50, necessariamente il quarto ha ampiezza =130. Ricapitolando, oltre all'angolo di 50 ce ne sono due di 90 e un quarto di 130.

6 5b Quali sono le ampiezze degli angoli di un triangolo equilatero? (motivare la risposta) È noto a tutti che l'ampiezza degli angoli di un triangolo equilatero è di 60. Qui viene chiesta una spiegazione in base ad assiomi e teoremi della geometria euclidea: la richiesta di motivare la risposta. La motivazione è basata su due teoremi. Il primo da prendere in considerazione è quello che ci assicura che in un triangolo la somma degli angoli interni è di 180. Il secondo è quello che ci dice che un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti. Nel caso del triangolo equilatero, possiamo applicare il teorema sul triangolo isoscele a qualunque coppia dei suoi lati, da cui, per proprietà transitiva, tutti i suoi angoli sono congruenti. Dunque un angolo di un triangolo equilatero ha ampiezza di un terzo rispetto alla somma totale 1 ovvero =60. 1c Sui lati congruenti AB e AC di un triangolo isoscele consideriamo due segmenti congruenti BD e CE. Dimostrare che DE è parallelo a BC. Ipotesi: triangolo ABC isoscele con AB AC BD CE Tesi: DE AB Osserviamo che AB=AD+ BD AC =AE+CE Siccome per ipotesi AB AC possiamo scrivere che AD+ BD AE+CE. L'altra ipotesi ci dice che BD CE, allora possiamo scrivere che AD +BD AE+BD, ma allora possiamo anche scrivere che AD AE ovvero che il triangolo ADE è isoscele. Ma se il triangolo ADE è isoscele, allora possiamo scrivere che gli angoli ÂDE ÂED. Osserviamo inoltre che i triangoli isosceli ADE e ABC hanno l'angolo  in comune, perciò per la somma interna degli angoli di un triangolo possiamo dire che ÂDE ÂED ÂBC ÂCD Dunque le rette DE e BC tagliate (per fissare le idee) dalla trasversale BD formano due angoli corrispondenti congruenti ÂDE ÂBC, quindi per il teorema fondamentale delle parallele tagliate da una trasversale, le rette DE e BC sono parallele, come volevasi dimostrare. Dimostrazione alternativa: Alla luce di quanto visto nelle pagine successive alla collocazione di questo esercizio nel libro, si poteva anche semplicemente osservare che se una retta divide in parti proporzionali due lati di un triangolo allora è parallela al terzo lato [teorema 11 pag.302]

7 2c Un rombo ha un angolo di ampiezza 105. Quali sono le ampiezze degli altri angoli? (motivare la risposta) Un rombo è un quadrilatero, quindi la somma degli angoli interni è congruente a 2 angoli piatti, ovvero ad un angolo giro, corrispondente ad una ampiezza di 360. Il rombo è un parallelogramma, quindi gli angoli opposti sono congruenti. Dunque se il primo angolo ha ampiezza 105 anche il suo opposto avrà ampiezza di 105. I due angoli rimanenti hanno pure la stessa ampiezza. La somma di queste ampiezze la ottengo facendo la differenza: =150 Dunque ciascun angolo misura =75. Ricapitolando i quattro angoli hanno ampiezza 105 ; 105 ; 75 ; 75. 3c Dimostrare che un rettangolo in cui le diagonali sono bisettrici degli angoli è un quadrato. Un rettangolo ha tutti gli angoli retti, quindi si tratta di dimostrare soltanto che i lati sono tutti congruenti tra loro. Siccome le diagonali sono bisettrici posso pensare al rettangolo suddiviso in quattro triangoli isosceli con angoli alla base di 45. Siccome la somma interna degli angoli di un triangolo è 180, il terzo angolo di tali triangoli è necessariamente di 90, cioè retto. Dunque le diagonali sono perpendicolari tra loro, dunque tale rettangolo è un rombo, dunque ha tutti i lati congruenti, dunque è un quadrato. Abbiamo usato il teorema che ci dice che un parallelogramma con le diagonali perpendicolari è un rombo. [teorema 10 pag.148] In alternativa: una volta osservati i quattro triangoli isosceli con angoli di 90, 45, 45, potevamo anche osservare che le diagonali di un parallelogramma si tagliano l'un l'altra a metà e quindi che tali triangoli sono tutti quanti congruenti (la diagonali del rettangolo sono congruenti e quindi le relative metà sono congruenti) e quindi, in particolare, che i lati sono tutti quanti congruenti (le basi di tali triangoli sono i lati del rettangolo). Si arriva così ad un rettangolo con tutti i lati congruenti, ovvero ad un quadrato.

8 4c Consideriamo un parallelogramma ABCD. Prendere su ciascun lato i segmenti AE, BF, CG, DH fra loro congruenti. Dimostrare che il quadrilatero EFGH così ottenuto è un parallelogramma. Ipotesi: ABCD parallelogramma ; AE BF CG DH ; Tesi: EFGH parallelogramma Osserviamo i triangoli AHE e CFG Per ipotesi AE CG Inoltre possiamo dire che AH CF. Infatti, essendo ABCD parallelogramma abbiamo AD BC ed essendo per ipotesi BF DH abbiamo che AD HD BC BF cioè AH CF. Infine, sempre perché ABCD è parallelogramma, gli angoli opposti ÊAH FCG. In conclusione i triangoli AHE e CFG sono congruenti per il primo criterio. In particolare i lati EH FG. In maniera del tutto analoga si arriva a concludere che EF GH. Dunque il quadrilatero EFGH ha le due coppie di lati opposti congruenti e quindi è un parallelogramma [teorema 2 pag.142] 5c Consideriamo un trapezio con queste caratteristiche: è isoscele; la base minore è congruente all'altezza; la base maggiore è il triplo della base minore. Quali sono le ampiezze degli angoli? (motivare la risposta) La descrizione ci permette di immaginare questo trapezio come l'unione di un quadrato e due triangoli isosceli e rettangoli. Dunque gli angoli alla base maggiore saranno di 45, ovvero gli angoli alla base di un triangolo isoscele rettangolo. Gli angoli ottusi invece posso vederli come la somma dell'angolo del quadrato con l'angolo alla base del triangolo isoscele rettangolo, ovvero come =135. Ricapitolando, gli angoli richiesti sono 45, , 135.

9 1d Un rombo ha un angolo di 40. Quali sono le ampiezze degli altri angoli? (motivare la risposta). Un rombo è un quadrilatero, quindi la somma degli angoli interni è congruente a 2 angoli piatti, ovvero ad un angolo giro, corrispondente ad una ampiezza di 360. Il rombo è un parallelogramma, quindi gli angoli opposti sono congruenti. Dunque se il primo angolo ha ampiezza 40 anche il suo opposto avrà ampiezza di 40. I due angoli rimanenti hanno pure la stessa ampiezza. La somma di queste ampiezze la ottengo facendo la differenza: = Dunque ciascun angolo misura 2 =140. Ricapitolando i quattro angoli hanno ampiezza 40 ; 40 ; 140 ; d 4f Considerare un angolo convesso di vertice O. Da un punto A della sua bisettrice condurre le perpendicolari ai lati dell'angolo, chiamando i punti di intersezione con i lati B e C. Dimostrare che OA è l'asse del segmento BC. Ipotesi: BOD ĈOD ; Tesi: ÂBO ÂCO π 2. ÔDB ÔDC π 2. Consideriamo i triangoli OAB e OAC. Sono entrambi rettangoli, essendo per ipotesi ÂBO ÂCO π 2 ; hanno l'ipotenusa OA in comune; e sempre per ipotesi BOD ĈOD ; allora i triangoli OAB OAC per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli ( o se preferite per il secondo criterio di congruenza dato che per somma interna degli angoli di un triangolo abbiamo anche che gli angoli ÔBA ÔCA ). In particolare abbiamo che OB OC e quindi il triangolo OBC è isoscele. In un triangolo isoscele la bisettrice del terzo angolo è anche altezza e mediana, quindi OD è anche altezza del triangolo OBC, quindi OD è perpendicolare a BC, e siccome il segmento OD è contenuto nel segmento (nella retta) OA, possiamo affermare che BC è perpendicolare ad OA. Inoltre essendo OD mediana abbiamo anche che BD CD (Si poteva anche già dire in virtù della congruenza dei triangoli rettangoli OAB e OAC). Ricapitolando la retta OA è perpendicolare al segmento BC e lo incontra nel suo punto medio, quindi per definizione è l'asse del segmento BC, come volevasi dimostrare.

10 3d Dimostrare che un rettangolo con le diagonali perpendicolari è un quadrato. Un rettangolo è un particolare parallelogramma, quindi le diagonali si tagliano scambievolmente a metà. Ma nel rettangolo le diagonali sono congruenti, quindi sono congruenti anche tutte e quattro le mezze diagonali. Il nostro rettangolo è così suddiviso in quattro triangolini rettangoli con i cateti tutti congruenti, quindi tutti i triangolini sono congruenti per il primo criterio e in particolare tutte le basi sono congruenti ovvero sono congruenti tutti i lati del rettangolo. Che quindi è un quadrato, come volevasi dimostrare. Ragionamento alternativo: si può ignorare il fatto che le diagonali siano congruenti tra loro e dimostrare che due triangolini adiacenti (con un lato in comune) sono congruenti. 4d Consideriamo un parallelogramma ABCD. Prolungare i lati AB, BC, CD, DA rispettivamente di quattro segmenti BF, CG, DH, AE tra loro congruenti. Dimostrare che EFGH è un parallelogramma. Ipotesi: ABCD parallelogramma; BF CG DH AE. Tesi: EFGH parallelogramma. Per fissare le idee concentriamoci sui triangoli AEF e CGH. Per ipotesi AE CG ; inoltre ÊAF ĜCH essendo supplementari di angoli opposti del parallelogramma; infine CH AF essendo somma di segmenti congruenti: BF DH per ipotesi e CD AB perché lati opposti del parallelogramma. Allora i triangoli AEF e CGH sono congruenti per il primo criterio. In particolare i lati GH EF. Analogamente possiamo dimostrare che BH FG. Il quadrilatero EFGH ha dunque le due coppie di lati opposti congruenti, e quindi è un parallelogramma [teorema 2 pag.142].

11 5d Consideriamo un triangolo rettangolo con uno dei cateti congruente a metà dell'ipotenusa. Quali sono le ampiezze degli angoli? (motivare la risposta) Il fatto che uno dei cateti sia congruente a metà dell'ipotenusa potrebbe suggerire di immaginare un nuovo triangolo ottenuto prolungando proprio quel cateto di un segmento congruente a se stesso. Nella figura l'ipotenusa è BC e il cateto congruente alla sua metà è AB. Il nuovo segmento BB', prolungamento di AB, è congruente all'ipotenusa. Osservate che anche B'C è congruente all'ipotenusa, visto che i triangoli rettangoli ABC e AB'C sono congruenti per il primo criterio (angolo retto, un cateto congruente per costruzione, l'altro cateti in comune). Ho dunque costruito un triangolo equilatero, visto che BC BB ' B' C e sappiamo che in un triangolo equilatero gli angoli hanno ampiezza 60. Ricapitolando: BAC =90 perché ABC è rettangolo in A; BAC=60 perché angolo di un triangolo equilatero; ÂCB=30 perché... si può giustificare in più modi: per somma interna degli angoli di un triangolo oppure perché AC è altezza/mediana/bisettrice di un triangolo equilatero. 1e 3f Dato il triangolo ABC, prolungare il lato AB dalla parte di A, di un segmento AD congruente ad AB; prolungare poi il lato AC dalla parte di A, di un segmento AE congruente ad AC. Dimostrare che il quadrilatero BCDE è un parallelogramma. Ipotesi: AB AD ; A,B, D allineati ; AC AE ; A,C,E allineati. Tesi: BCDE parallelogramma. Ovvio. Per le ipotesi A è il punto medio di BD e di CE, dunque le diagonali del quadrilatero BCDE si tagliano scambievolmente a metà. Allora il quadrilatero BCDE è un parallelogramma grazie alle proprietà dei parallelogrammi. Cenni su dimostrazioni alternative: Dimenticandosi di questa proprietà delle diagonali, si può arrivare lo stesso alla tesi dimostrando la congruenza dei triangoli ABC e ADE (e in modo analogo quella dei triangoli ACD e BAF) per poi arrivare a concludere che il quadrilatero ha due coppie di lati congruenti. O ancora, dopo aver dimostrato la congruenza tra ABC e ADE osserviamo che le rette BC e DE sono parallele e arriviamo a dire che il quadrilatero ha una coppia di lati congruenti e paralleli.

12 2e Un parallelogramma ha un angolo di ampiezza 145. Quali ampiezze hanno gli altri angoli del parallelogramma? (motivare la risposta) In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti, dunque gli angoli di 145 sono due. La somma degli angoli interni di un quadrilatro è quella di due angoli piatti, ovvero un angolo giro, ovvero 360. Dunque la somma degli altri due angoli del parallelogramma la trovo calcolando la differenza = Dunque gli altri due angoli opposti hanno ampiezza 2 =35. Ricapitolando le ampiezze degli angoli sono 145, 145, 35, 35. 3e Dimostrare che i segmenti congiungenti i punti medi dei lati di un triangolo, lo dividono in quattro triangoli congruenti. Ipotesi: AD DB ; BF FC ; AE EC Tesi: triangoli ADE CEF BDF EDF congruente alla sua metà [teorema 14 pag.153]. Possiamo utilizzare il teorema che ci assicura che il segmento DF è parallelo al lato AC ed è Grazie a questo teorema possiamo dire che DF AE EC perchè tutti quanti metà di AC; EF AD DB perché tutti quanti metà di AB; DE BF CF perchè tutti quanti metà di BC. Dunque i quattro triangolini hanno i lati corrispondenti congruenti e quindi sono tutti congruenti per il terzo criterio. Cenni su dimostrazioni alternative: Dimenticando il teorema citato prima, si potrebbe comunque utilizzare il teorema del fascio di parallele per dire che AC e DF sono parallele perchè tagliano AB e BC in segmenti proporzionali. A questo punto si può usare il teorema fondamentale della parallele tagliate da una trasversale per dimostrare le congruenze tra i triangoli col primo criterio. Qualcuno ha applicato il teorema 14 soltanto per la parte del parallelismo, dimostrando di nuovo la congruenza con la metà del lato parallelo.

13 4e Prolungare la mediana AM di un triangolo ABC di un segmento MD congruente a AM. Dimostrare che il quadrilatero ABDC è un parallelogramma. Ipotesi: ABC triangolo; AM mediana; AM MD ; M AD. Tesi: ABDC parallelogramma Non c'è molto da dire: le diagonali BC e AD si tagliano scambievolmente a metà, e quindi il quadrilatero ABDC è un parallelogramma per le proprietà dei parallelogrammi [teorema 5 pag.143] Infatti essendo AM mediana abbiamo che BM MC ; per ipotesi AM MD. Cenni di dimostrazioni alternative: Dimenticando la proprietà delle diagonali si può sempre dimostrare la congruenza di due coppie di triangoli e concludere osservando che il quadrilatero ha due coppie di lati congruenti e quindi è un parallelogramma. Oppure potrei lavorare su una sola coppia di triangoli e concludere dicendo che ho trovato una coppia di lati congruenti e paralleli. 5e Consideriamo un quadrilatero formato da due triangoli equilateri con un lato in comune. Quali sono le ampiezze degli angoli? (motivare la risposta) Ci sono due angoli opposti al lato in comune, e questi hanno ampiezza 60, come gli angoli del triangolo equilatero. Poi ci sono gli angoli che si formano unendo i due triangoli col lato in comune, tali angoli sono la somma di due angoli dei triangoli equilateri originali, dunque hanno ampiezza: =120. Ricapitolando gli angoli misurano: 60, 60, 120, 120.

14 1f Un parallelogramma ha un angolo di ampiezza 35. Quali solo le ampiezze degli altri angoli del parallelogramma? (motivare la risposta) In un parallelogramma gli angoli opposti sono congruenti, dunque gli angoli di 35 sono due. La somma degli angoli interni di un quadrilatro è quella di due angoli piatti, ovvero un angolo giro, ovvero 360. Dunque la somma degli altri due angoli del parallelogramma la trovo calcolando la differenza = Dunque gli altri due angoli opposti hanno ampiezza 2 =145. Ricapitolando le ampiezze degli angoli sono 145, 145, 35, 35. 5f Quali sono le ampiezze degli angoli di un triangolo rettangolo isoscele? (motivare la risposta) Essendo un triangolo rettangolo uno degli angoli è 90. Essendo la somma interna degli angoli congruente ad un angolo piatto, la somma degli altri due angoli è =90. Essendo un triangolo isoscele (e non potendo avere due angoli retti), l'ampiezza degli altri due 90 angoli è 2 =45 Ricapitolando le ampiezze degli angoli sono 90, 45, 45.