FACOLTA di SCIENZE MOTORIE. FISICA APPLICATA ed ELEMENTI DI ELABORAZIONE INFORMATICA

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1 FACOLTA di SCIENZE MOTORIE Corso di FISICA APPLICATA ed ELEMENTI DI ELABORAZIONE INFORMATICA Appunti delle Lezioni di FISICA redatte da Paola Brocca, Laura Cantù e Mario Corti, con l aiuto di Domenica Garoffolo

2 PERCHE FISICA A SCIENZE MOTORIE? Atleti, dilettanti, bambini imparano istintivamente a spingere l altalena da su, da giù o ad andare in bicicletta, sanno che per andare senza mani bisogna essere veloci, ma imparano dal maestro a curvare con gli sci! Imparano dal preparatore atletico i giusti gesti per ottimizzare il risultato, che in realtà non sono altro che l applicazione di varie leggi fisiche. - Ginnasta alza le braccia prima del salto, non è puramente estetico. - Cosa distingue il lancio giusto o sbagliato del giavellotto o del peso, a parte la potenza dell atleta? - Perché i blocchi di partenza? - Jumping si fa con l elastico e non con una corda di acciaio o di canapa. - Dove sono montati gli scalmi della barca a remi? - Trottola del pattinatore? - Salti mortali rannicchiati e non distesi - Mal di schiena, tendiniti? Tutte queste sono situazioni che richiamano temi di fisica ed in particolare di meccanica. CINEMATICA Cominciamo con cose semplici. Movimenti di un punto materiale ( ad es. un punto rappresentativo di un corpo) che si sposta su di un percorso - Percorso traiettoria Es. percorso della maratona o di una corsa - molti atleti si muovono nella stessa traiettoria in modi diversi ( uno vince, uno perde ) cioè con leggi orarie diverse Legge oraria è quella che mi dice ad ogni istante dove sono stato e dove sarò lungo il percorso. In allenamento si prepara una legge oraria adatta alle caratteristiche dell atleta che poi verrà il più possibile mantenuta nella gara (CONDOTTA DI GARA). Forzare l andatura, imporre l andatura significa che un atleta impone agli altri la sua legge oraria, quella adatta alle sue caratteristiche, o comunque che lui riesce a reggere. O anche, un gregario lepre, che ha una legge oraria che non può sopportare per tutta la corsa, fa gioco di squadra per favorire il suo compagno e spompare gli avversari. - Velocità media si misurerà a fine gara - Velocità istantanea - Accellerazione media e istantanea - Unità di misura in MKS o SI ( 100m/10 s 36 Km/h ) 10m/s x 3600 sec/h = m/h Per definire la posizione di un corpo nello spazio è necessario introdurre un sistema di riferimento, cioè una terna di assi mutualmente ortogonali uscenti da un punto O chiamato origine (sistema cartesiano a tre dimensioni). Per il moto che si sviluppa in un piano, basta un sistema di riferimento con due assi. Per il moto unidimensionale rettilineo, basta una retta orientata come sistema di riferimento. Moti semplici regolari Per intraprendere lo studio del moto dei corpi nello spazio, riduciamo il problema complesso (moto di roto-traslazione in uno spazio a tre dimensioni) ad un problema più semplice in grado di fornirci però gli elementi necessari a comprendere le leggi che lo governano. In questo capitolo confiniamo la nostra trattazione al moto di corpi puntiformi che avvengono lungo una retta. Velocità e accelerazione.

3 Si definisce la grandezza fisica velocità media come lo spostamento realizzato durante il moto diviso per il tempo impiegato a realizzare tale spostamento: x f - x i v = t f t i Se si indica con s lo spostamento e con t l intervallo di tempo scrive v = La velocità istantanea sarà definita come lim t 0 Si definisce accelerazione media la grandezza fisica v f vi v a = anche scritta a = t ti t che rappresenta la variazione della velocità nell unità di tempo. v La accelerazione istantanea sarà definita come lim t 0 t Nel seguito considereremo sempre l istante iniziale del moto t i uguale a zero, t i = 0, così che il tempo impiegato per la realizzazione del moto che si studia sarà semplicemente indicato con t invece che t. s t Moto rettilineo uniforme. Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea a velocità costante. L equazione che lega lo spazio percorso al tempo trascorso dall inizio del moto deriva direttamente dalla definizione di velocità Legge oraria: s(t) = v i t dove s(t) = x (t)-x i è lo spostamento s t Esercizi : 1) Se Carl Lewis mantenesse la sua velocità sui 100 m ( supponiamo che percorra 100m in 10 sec.) per una intera maratona (4 km) che tempo realizzerebbe (anziché h 10min)? v = 10 m/s (36 km/h) t = s/v = m/10m/s = 400 s = 3600s + 600s = h e 10 min. ) Ridotta la velocità limite in autostrada da 140 a 130 Km/h, quanto tempo si impiega in più a percorrere i 560 Km da Milano a Roma? t 1 = s/v 1 = 560km/(140km/h) = 4h t = s/v = 560 km/(130 km/h) = 4,308 h = 4h 18 min t = t t 1 = 18 min 3) Un automobilista starnutisce per 0,5 s guidando a 90 km/h. Quanto spazio percorre mentre starnutisce? v = 90km/h = 90000m/3600s = 5m/s s = vt = 5m/s 0.5s = 1,5 m

4 E se stesse viaggiando su una Ferrari a 300km/h? s = v t = 83.3m/s 0,5 = 41,7m. Moto rettilineo uniformemente accelerato Consideriamo un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione a costante velocità varia continuamente in modo uniforme e ricaviamo la legge oraria: a = cost v = v(t) non è più costante ma varia in modo proporzionale all accelerazione, v f vi v(t) v i = a t, equazione che non è altro che la definizione di accelerazione media ( a = ) t applicata al caso a = cost Lo spazio percorso è stabilito dalla seguente legge oraria del moto uniformemente accelerato: s(t) = 1 a t + v i t Cioè in ogni istante la posizione sarà data dalla somma della posizione iniziale e di tutti gli incrementi dovuti alla velocità, che però non è costante perchè anch essa subisce a sua volta incrementi a causa dell accelerazione. Nota. La dipendenza quadratica nel tempo si comprende risolvendo il seguente sistema v f vi a = t v f vi 1 vmedia = s(t) = a t s = vmedia t che è composto da equazioni semplici dove si usa il trucco per cui lo spostamento si calcola come avvenuto ad una velocità costante pari al valor medio tra la v iniziale e la v finale del moto reale. Esercizi 1. Prestazione di una vettura : da 0 a 100hm/h in 10 sec. Cosa significa? Che la velocità della vettura può essere aumentata da 0 a 100 Km/h in 10 secondi, quindi è una indicazione sulle sue capacità di accelerazione. Quanto vale l accelerazione media in quei 10 s? v a = = t v f v t i = 100km / h 10s = m / 3600s =,77m/s 10s Come si confronta la prestazione della forza di gravità con quella del motore della macchina? Se la macchina accelerasse con a = +9,8 m/s in quanto tempo raggiungerebbe i 100 km/h? a = v t t = v a t= 3 3, ,8 ms =,83s sm

5 In 10 secondi, quanto spazio percorre nei due casi? Devo utilizzare la legge oraria del moto uniformemente accelerato : s(t) = ½ a t +v i t con partenza da ferma cioè v i = 0 s(10 s) = ½ at = ½, = 140m e s(10 s) = ½ 9,8 100 = 490m. Un giocatore di pallacanestro salta verticalmente fino a 76 cm di quota. Per quanto tempo si trattiene nella fascia di quota più elevata e ampia 15 cm (da 61 cm a 76 cm) e quanto nella fascia a più bassa quota dai 15 cm a terra? Fig.1 Ogni moto di volo verticale (salita e caduta) vicino alla superficie della terra soddisfa le leggi del moto uniformemente accelerato con a = -9.8m/s. Il moto da studiare in questo esempio è il moto di volo dal decollo (istante iniziale) al raggiungimento della quota massima (istante finale, t ) alla quale la velocità si annulla v f = 0. Essendo soggetto alla stessa a, il moto di ri-discesa è assolutamente simmetrico a quello di salita. Devo nuovamente applicare la legge oraria del moto uniformemente accelerato s(t) = ½ a t +v i t che lega lo spostamento verticale al tempo. Non conosco però con quale velocità v i (velocità iniziale) il giocatore è partito da terra (decollato) per sollevarsi di 76 cm = 0,76m. Posso ricavarla risolvendo l equazione della legge oraria nell istante finale utilizzando il tempo di v f vi volo di salita ricavato dall equazione a = che è la definizione stessa di accelerazione media, t e la metto a sistema con la legge oraria. Si cerca il tempo t che il giocatore impiega ad arrivare all altezza massima di 76cm, s = h=0,76 m, con a gravità = -9.8 m/s -9.8 m/s 0 v = i t' t = v i /g ; d ora in poi indicheremo con g l intensità dell accelerazione di gravità: g = 9,8m/s sostituendo h = v i t ½ gt h = v i v i /g ½ g (v i /g) ; h = ½ v i /g; v i = gh = ( 9.8 0,76) m/s = 3,86m/s Partendo con velocità iniziale v i, il giocatore arriva all altezza di 61cm = 0,61m al tempo t - e poi, passando per l altezza massima, ripassa all altezza di 0,61m al tempo t +. Il tempo richiesto t di permanenza al di sopra di 0,61m è dato da

6 t = t + - t -, dove t + e t - sono le radici dell equazione di secondo grado 0,61 = 3,86 t - ½ 9.8 t ; 4,9t 3,86 ± 3, ,61 4,9 3,86t = 0; t ± = 9,8 3,86 + 1,71 3,86 1,71 e quindi t + = = 0,568s e t - = = 0,19s, 9,8 9,8 perciò t = 0,568 0,19 = 0,349sec. Si confronti questo tempo t con il tempo t* che il giocatore impiega a percorrere gli ultimi 15 cm prima di ritoccare il suolo dopo il salto: (spazio da h al suolo) = 0,76m = ½ gt 0 ; t 0 = 0,76 9,8 (spazio da h a 15cm dal suolo) = 0,61m = ½ gt ; t = = 0,394 s e 0,61 = 0,353 s, quindi 9,8 t* = t 0 t = 0,041s << di t!! Il cestista trascorre 35 centesimi di secondo nel tratto alto e solo 4 centesimi nel tratto basso (15cm): I cestisti sembrano rimanere appesi al canestro!! Descrizione vettoriale del movimento. In questo capitolo estendiamo lo studio del moto dei corpi al moto di corpi sempre puntiformi (trascuro le rotazioni) ma che si muovono in uno spazio a più dimensioni. In particolare sarà sufficiente trattare il moto in due dimensioni. Per descrivere i moti che avvengono su di un piano o nello spazio, dobbiamo considerare la natura vettoriale delle grandezze fisiche spostamento, velocità ed accelerazione, che abbiamo introdotto. Tali grandezze sono caratterizzate da modulo (o intensità), direzione e verso. Quando si usano le relazioni e le leggi che coinvolgono le grandezze vettoriali bisogna calcolare somme e prodotti tra vettori. Consideriamo il caso particolare di vettori in due dimensioni, cioè in un piano. Per rappresentare un vettore utilizzeremo le sue componenti in un piano cartesiano. Supponiamo che Soldini debba comunicarci la sua posizione nell oceano, cioè deve descrivere il suo vettore posizione. Egli può dare la sua longitudine e latitudine rispetto al meridiano ( Greenwich) e parallelo (equatore) di riferimento ϑ s Fig. S

7 X s longitudine di Soldini Y s latitudine di Soldini Longitudine e latitudine dicono quali sono le componenti cartesiane del vettore orientato R s, vettore posizione di Soldini. X s = R s cos ϑ s Y s = R s sin ϑ s dove ϑ s ( sin e cos sono funzioni che variano tra 1 e 1 così che il massimo valore di X s o Y s è R s, giustamente) e R s = R s = (X s +Y s ) 1/ (Pitagora ) Operazioni con i vettori : Somma, con regola del parallelogramma; spostare i vettori lungo la loro retta di applicazione finchè si trovano coda contro coda e costruire il parallelogramma, Fig.3 oppure con componenti cartesiane, si sommmano le componenti cartesiane corrispondenti, dopo aver disposto i vettori in un insieme di riferimento cartesiano e calcolato le componenti con cosϑ e sinϑ. Prodotto per uno scalare c a, tra un vettore ed uno scalare è un vettore che ha la stessa direzione e il modulo moltiplicato per lo scalare. In particolare, moltiplicando per 1, si trova il vettore opposto. La somma di un vettore con l opposto di un altro equivale a fare la differenza fra i due vettori. Prodotto scalare a b, tra due vettori dà luogo ad uno scalare, si moltiplica l intensità dell uno per la proiezione dell altro nella direzione del primo ( o viceversa), a b = a b cos ϑ = b a poiché cos ϑ è simmetrico rispetto a ϑ = 0, cos ϑ = cos-ϑ (proprietà commutative del prodotto scalare) a b è max quando cos ϑ = 1 a e b equiversi e paralleli =0 quando cosϑ = 0 a e b sono perpendicolari ( non c è componente di b lungo a ). Si userà ad esempio per il lavoro meccanico L = F s Prodotto vettoriale a ^ b, tra due vettori, dà luogo ad un vettore di intensità a ^ b = a b sin ϑ = - b ^ a non commutativo, sin ϑ è antisimmetrico rispetto a ϑ = 0: sin ϑ = - sin -ϑ.

8 Il vettore a ^ b è diretto perpendicolarmente al piano che contiene a e b e col verso dato dalla regola della mano destra: se a ruota verso b lungo l angolo minore Fig. 4 Il vettore prodotto a ^ b esce dal foglio. Questo tipo di prodotto si incontrerà ad esempio, nel calcolo del momento di una forza, quando una forza genera rotazioni anziché traslazioni r M = R ^ Esercizio : F disporre due vettori di intensità 3 e 4 (spostamenti di 3m e 4m) in modo che la somma sia 7m, 1m, 5m a) consecutivi, nella stessa direzione, stesso verso Fig. 5 b) consecutivi, nella stessa direzione, versi opposti Fig. 6 c) Perpendicolari, Pitagora = 5 Fig. 7

9 Moto del proiettile Descriviamo il moto di un punto materiale (rappresentativo di un corpo) che viene lanciato, e dunque segue una traiettoria in due dimensioni lungo una delle quali (quella verticale) sperimenta un accelerazione diretta verso il basso a gravità = -9.8 m/s (caduta libera) e nell altra orizzontale no (accelerazione orizzontale = 0). La velocità iniziale vettoriale v i, e la successiva velocità v (t) sono considerate opportunamente in un sistema di riferimento cartesiano, in cui un asse è diretto verticalmente e il verso positivo è verso l alto. Sia ϑ l alzo, cioè l angolo di emissione. Fig. 8 L esperienza insegna che il proiettile (oggetto lanciato) cade. Se lanciato verso l alto sale fino ad un altezza massima e poi scende. In ogni istante t del moto la velocità v (t) sarà diretta come la tangente alla traiettoria. Le componenti di v (t) lungo gli assi di riferimento, v x (t) e v y (t), dipendono da tempo t, ma sono fra loro indipendenti. Si può dunque separare il moto in due dimensioni in due moti unidimensionali. Verifica dell indipendenza dei due moti è nel fatto che filmati stroboscopici di due palline una lasciata cadere, l altra lanciata orizzontalmente mostrano che dopo tempi uguali le due palline si trovano alla stassa quota. V ix V iy =0 Fig. 9 Il moto orizzontale non influenza il moto verticale.

10 Esercizi 1. Problema della scimmia Quando la scimmia si accorge che il cacciatore le spara, si lascia cadere. Fig.10 Dove deve mirare il cacciatore per prenderla? L accelerazione è in generale un vettore. Nel moto su un piano, l accelerazione è definita da due componenti: a (ax, a y ) - moto orizzontale lungo l asse orizzontale il corpo in moto non sperimenta alcuna accelerazione, a x = 0, dunque la componente orizzontale della velocità è costante se v aveva componente orizzontale non nulla v i x = v i cos ϑ, questa si mantiene e sarà i x(t) = v i x t + x i x(t) x i = ( v i cos ϑ )t spostamento orizzontale s x = ( v i cos ϑ ) t -moto verticale accelerazione costante a gravità, dunque moto uniformemente accelerato, se c era una componente iniziale v 0y della velocità v, allora y(t) = 1 (-g)t + v iy t + y i y(t)-y i = (v i sin ϑ )t- 1 gt spostamento verticale s y =(v i sin ϑ ) t- 1 gt Traiettoria del proiettile Abbiamo visto le leggi orarie in x e y ma la traiettoria? è in due dimensioni, disegnamola in un riferimento cartesiano, vedendo per ogni posizione in x quanto vale y, cioè ricavando y = y(x). Mettiamo a sistema; supponiamo di partire da x i = 0 e y i = 0, per semplicità: x x = ( v i cosϑ )t t = cosϑ y =( v i sinϑ )t - 1 gt v i

11 x 1 ( x) g y = sinϑ - g = x tgϑ - x cosϑ ( v i cosϑ) ( v i cosϑ) g (tgϑ è costante perché è l alzo iniziale; è costante perché g è costante, v i pure, ( v i cosϑ) ϑ pure). Questa è l equazione di una parabola, del tipo y = ax + bx. La traiettoria è dunque una parabola. Ha importanza sapere la gittata orizzontale, cioè a quale distanza D il proiettile toccherà il suolo (che misura farò nel lancio?) D D = x-x i = (v i cosϑ )t t = cosϑ Suolo 0 = y y i = (v i sinϑ )t - 1 gt v i 0 = v i sinϑ v i D 1 D - g cosϑ ( cosϑ ) dividendo per D sinϑ 1 D 0 = - g cosϑ ( cosϑ) v i v i sinϑ D = cosϑ (trigonometria! sinϑ cosϑ = sinϑ ) v i D = g sinϑ v i cos ϑ g v = sinϑ cosϑ i g sinϑ Questa equazione mi dice che misura farò a partire dalla velocità iniziale che riesco ad imprimere all attrezzo e all alzo del tiro. La funzione sin ha un andamento a max e min si avrà un max quando sin ϑ =1 ϑ = 90 ϑ = 45. L alzo iniziale di 45 darà il risultato migliore (assenza di vento, assenza di attrito, problema semplificato). Attenzione sin ϑ è simmetrico intorno a ϑ = 90 e dunque si avranno gittate uguali per angoli equidistanti da ϑ = 90 ϑ = 45 (osservazione di Galileo) Fig. 11 Esercizi 1 Copione di un film: cascatore deve saltare da un terrazzo sul terrazzo di un palazzo vicino distante 6,m e più basso di 4,8m; la sua velocità sul terrazzo può essere 4,5 m/sec. Accetta la parte?

12 Fig.1 Per cadere di 4,8 m impiega un tempo t c tale che y(t c ) y i = -4,8m = - 1 gt c t c = ( 4.8) ( ) 9.8 = 0,99sec Nel tempo di caduta t c = 0,99s quale distanza potrà coprire con la velocità iniziale ( e poi costante) v ix =4,5 m/sec? d = x-x i = v ix t = 4,5 0,99 = 4,5m d = 4,5m è meno dei 6,m che separano i due palazzi. Il cascatore farà bene a rifiutare la parte. Quale velocità iniziale min dovrebbe avere per avere delle chances? 6, V ix = = 6, m/sec 0,99 Salto di Bob Beamon a città del Mexico nel 1968: salto in lungo di 8,90m. Supponendo che la velocità del decollo sia stata 9,5 m/s come per un centometrista, quanto vicino arrivò alla gittata max (per assenza di resistenza aria). Dmax = g v 0 per sin ϑ 0 = 1 ( ϑ 0 = 45 ) (9,5) = = 9,8m 9,78 D = 9,8 8,90 = 0,38m

13 3 Cestista Fig.15 Quale velocità iniziale v 0 deve avere la palla affinchè il cestista possa fare canestro se l alzo iniziale è di 55 rispetto all orizzontale (le varie distanze sono indicate in Figura)? Definisco sistema di assi cartesiano con origine nel centro della palla e assi paralleli agli assi originari. In questo sistema di riferimento, la posizione del canestro è x c = 4, 0,3 = 3,9m y c = 3,1 = 0,9m L equazione della traiettoria è g y = x tgϑ 0 - x ( v0 cosϑ0) Introduco nell equazione i valori di y c, x c, tg 55 = 1,48 e ricavo il valore dell unica incognita v 0 9,8 0,9 = 3,9 x 1,48 - x (3,9) ( v0 x0,574) 74,53 0,9 = 5,569 - ( v0 x0,574) (0,9 5,569) (v 0 x 0,574) = -74,53 v 0 = , = 6,96m/sec Forze e moto Quando un oggetto cambia il suo stato di moto (da fermo si muove, o si ferma se si stava muovendo, accelera o frena, o curva) per esperienza sappiamo che è avvenuta un interazione dell oggetto con un altro corpo dell ambiente circostante, al contatto o a distanza. Il concetto di interazione prevede sempre la presenza di due corpi: un interazione viene scambiata tra due corpi. A questa interazione associamo il concetto di forza. Questa associazione non è solo qualitativa ma viene quantificata tramite una legge che collega forze e cambiamenti dello stato di moto dei corpi, rendendo la forza una grandezza derivata nel sistema SI. Ciò avviene introducendo una grandezza fisica fondamentale chiamata massa (m) che è caratteristica di ogni corpo materiale e che esprime l inerzia al moto propria del corpo quando viene sottoposto alla sollecitazione di una forza. Diciamo che due corpi hanno masse diverse se assumono accelerazioni diverse quando sottoposte all azione della medesima forza. Questa massa si dice anche inerziale. Si misura in kilogrammi (kg) ed è una grandezza scalare positiva.

14 La teoria del moto è riassunta dalle tre leggi formulate da Isaac Newton fondate sulle basi del genio di Galileo Galilei. Prima legge del moto. Ogni corpo rimane nel suo stato di quiete, o mantiene il suo stato di moto a velocità costante, se nessuna forza agisce su di esso o se la risultante delle forze ad esso applicate è nulla. Questa proprietà del moto è detta anche principio di inerzia o primo principio della dinamica. Velocità costante significa che il vettore velocità è costante, cioè non variano modulo, direzione e verso. Quindi l unico moto possibile in assenza di forze applicate è quello rettilineo uniforme. (Tale legge non può essere verificata se si prende in considerazione un sistema di riferimento che si muove di moto accelerato. Per esempio se utilizzo un sistema di riferimento solidale con l abitacolo di un automobile o di un aereo che stanno accelerando o frenando, i corpi possono scivolare, l acqua contenuta in un bicchiere vi si può rovesciare addosso, come soggetta ad una forza. In realtà ciò avviene proprio perchè questi corpi tendono a mantenere il loro stato di moto e disubbidiscono alla variazione di velocità che ciò che è solidale col sistema di riferimento sta subendo. I sistemi di riferimento nei quali si verifica la prima legge della dinamica si chiamano sistemi di riferimento inerziali e sono da essa implicitamente definiti). Seconda legge del moto. Questa legge, formulata inizialmente da Galileo e poi riproposta da Newton, è detta anche legge fondamentale della dinamica F = m a La forza F è un vettore dato dal prodotto del vettore accelerazione a per uno scalare m ed è diretto come a. Questa legge, come si vede, è una legge vettoriale. Se più forze agiscono sul corpo di massa m la legge vale per il vettore risultante che è la somma vettoriale di tutte le forze che agiscono sul corpo. L accelerazione è diretta come il vettore risultante delle forze. Si possono definire le componenti di F lungo gli assi del sistema di riferimento e la legge del moto vale componente per componente F x = ma x F y = ma y F z = ma z L unità di misura della forza è il newton (N) 1N = 1Kg m/ s E la relazione dimensionale è[ ] N = [ mlt ] Se la forza (o la risultante delle forze) applicata al corpo è nulla, è anche nulla l accelerazione e, visto che l accelerazione è definita come la variazione della velocità divisa per il tempo, la variazione della velocità sarà anch essa nulla. Ciò significa che la velocità si mantiene costante. Quindi, in assenza di forze applicate, il corpo rimane fermo se inizialmente era fermo e continua a muoversi con velocità costante se inizialmente si muoveva, come già affermato dalla prima legge. Terza legge del moto. Dal concetto di forza, che esprime l interazione tra i corpi, deriva anche quello che viene comunemente detto il principio di azione e reazione o terzo principio della dinamica : ad ogni azione corrisponde sempre una reazione uguale e contraria, cioè se due corpi A e B interagiscono in modo che il corpo A eserciti una forza F sul corpo B, allora il corpo B esercita sul corpo A una

15 forza ' F = - F. Si noti che le due forze NON sono applicate allo stesso corpo, F agisce su ' B e F agisce su A. L applicazione di questo principio è molto importante quando si considerano le forze che si realizzano al contatto tra due corpi e in particolare per le forze applicate da muscoli, tendini, legamenti e ossa del corpo umano. Forze particolari Forza gravitazionale Newton, nel descrivere il moto dei corpi celesti, ha stabilito la presenza di una forza di interazione a distanza tra due corpi che chiamiamo forza di gravità e ha fornito l espressione che la governa: mg1mg F G = -G ( legge di attrazione universale) R dove m G 1 e m G sono le masse gravitazionali dei due corpi, R è la distanza tra le due masse (considerate puntiformi) e G è una costante numerica che vale 6,67 x Nm /kg. 1 Nm /kg è anche 1m 3 /kg s. Il segno meno sta a indicare che la forza è attrattiva. La forza gravitazionale viene rappresentata con un vettore il cui modulo è dato dalla legge di Newton e che ha la direzione della congiungente i centri di massa delle due masse. La forza di attrazione sentita dalla massa m G dovuta a m G 1, ha il verso che punta su m G 1 e contemporaneamente la forza di attrazione misurata dalla massa m G 1 dovuta a m G, ha il verso che punta su m G m (le due forze sono l azione e la reazione della terza legge della dinamica. Perchè nell esperienza comune non si osserva che una matita attiri un altra matita su un tavolo? La forza attrattiva gravitazionale esiste fra di loro, ma è molto piccola (la costante G è molto piccola!) ed è contrastata completamente dalle forze di attrito (che discuteremo fra breve). La Terra su cui viviamo ha invece una massa molto grande, M = 5,97 x 10 4 kg, e quindi può esercitare una forza più che apprezzabile su altre masse, anche se piccole, come quella della matita (la matita cade dal tavolo!). Chiamiamo forza peso la forza di gravità F G esercitata dalla Terra su ogni corpo ad essa vicino e che origina dall interazione gravitazionale per la quale tutti i corpi si attirano fra di loro. La forza peso viene spesso indicata con P, che agisce su un corpo di massa m G vale M GTerramG M GTerra P = -G - g m G con g G RT RT Dove M G Terra è la massa della Terra ed R T è il raggio della Terra (R T = 6370km). Il valore di g risulta g = 6,67 x m kgs 4 5,97 x10 kg 3 (6379x10 ) m = 9,8 m/s e ha le dimensioni di un accelerazione. La forza di attrazione gravitazionale alla quale una massa m G è soggetta vicino alla superficie di un altro pianeta è diversa. Infatti la massa e il raggio degli altri pianeti sono diversi da quelli della Terra e quindi g assume un altro valore! Si può dire che il peso di un corpo cambia sui diversi pianeti o sulla Luna, mentre la massa gravitazionale è la grandezza fisica fondamentale propria di ogni corpo.

16 E molto importante ora applicare la seconda legge della dinamica, o legge fondamentale della dinamica F = m a, ad un corpo soggetto alla sola forza peso sulla superficie della Terra, cioè quando F è la forza peso P ora definita. F = m a P = m a -g m G = m a Abbiamo voluto lasciare indicato il pedice G perché in principio non c è ragione perché la grandezza con le dimensioni di una massa che compare nella legge di gravitazione sia uguale alla massa implicitamente definita dalla relazione di proporzionalità tra la F applicata e l accelerazione subita da un corpo data dalla seconda legge della dinamica. Si è tuttavia dimostrato sperimentalmente che la massa gravitazionale m G (introdotta nella legge di attrazione universale e la massa m, che si dice massa inerziale ed è definita tramite la seconda legge della dinamica, sono uguali: hanno lo stesso valore. Questo permette di semplificare le due masse nell equazione e di ottenere -g = a che significa che l accelerazione di una corpo soggetto alla forza peso sulla superficie della terra vale a = g -9,8 m/s. NB l accelerazione vale 9,8 m/s per tutti i corpi di qualsiasi massa. Infatti sui corpi con massa maggiore vengono esercitate forze maggiori in modo proporzionale alla loro massa (corpi con massa maggiore pesano di più ), così da produrre sempre la stessa accelerazione. Si è soliti assumere che g sia costante e che non dipenda dalla quota h alla quale ci si trovi al di sopra della superficie terrestre. Questa è un approssimazione molto buona nei limiti in cui h<< R T. Infatti g diminuisce con la quota: per esempio, se h = 8000m (circa sul monte Everest!), l accelerazione di gravità g si riduce a ( ) x g = x g = m/ s (meno del,5 per mille!) ( ) Forze di superficie Forze di contatto Alla superficie di contatto tra due corpi si realizzano le forze che chiamiamo appunto di superficie e che si dividono in forze di contatto e forze di attrito. Le forze di contatto La forza normale F N è la forza che un corpo sperimenta quando è appoggiato su di una superficie. Si chiama normale perché è sempre diretta perpendicolarmente alla superficie. Se la superficie è orizzontale F N Fig.16 F c

17 Piano orizzontale. Calcolare l intensità della forza normale applicata ad un oggetto di massa m fermo su un tavolo orizzontale. Per il primo principio della dinamica (principio di inerzia) se un corpo e fermo la risultante delle forze ad esso applicate è nulla, cioè P + F = 0 N In questo caso la forza normale F N è un vettore che ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore forza peso P, ma ha verso opposto. Quindi, il modulo di N F vale: F N = mg Piano inclinato. Nel caso di un piano inclinato dovrò tenere conto che F N può compensare solo la parte di P diretta normalmente al piano (infatti se non c è attrito il corpo scivola lungo il piano inclinato). Se ϑ è l angolo che il piano inclinato forma con l orizzontale, il piano inclinato fornisce al corpo una forza normale che in modulo vale F N = m g cosϑ. Fig. 17 F N F 4 Salto con molleggio Un uomo con massa m = 70kg salta da un altezza L = m. Arrivando al suolo, molleggia sulle ginocchia per un tratto l = 0. m. Si calcoli la forza di reazione che il suolo esercita sui piedi durante il molleggio. Si consideri il molleggio come una frenata che avviene con accelerazione (negativa) costante. Fig. 18

18 Cadendo da un altezza L, all istante in cui il piede tocca il suolo, la velocità V s è data dalla risoluzione del sistema di equazioni cinematiche per il moto uniformemente accelerato, con t 0 il tempo di caduta: V s = gt 0 L = ½ gt 0 V s = (gl) ½ La forza di reazione che esercita il suolo sul piede durante il molleggio è quella che imprime l accelerazione (negativa) a di frenata (più il peso del corpo mg).il corpo si ferma in un tratto l. Questa frenata si tratta con le equazioni del moto uniformemente accelerato. 0 = V s at l = V s t ½ at (essendo t il tempo di frenata) dalla prima equazione t = V s /a che, introdotto nella seconda equazione, permette di calcolare a: a = ½ V s /l e con V s = (gl) ½ si ottiene: a = g (L/l) e quindi la forza di reazione F r = mg + ma è data da: F r = mg (L/l + 1) = 70 x 9,8 x (/0, + 1) N = 7546Newton Si noti che al peso si aggiunge una forza che è il peso moltiplicato per un fattore ( fattore di caduta ) dato dal rapporto tra l ampiezza del salto e il tratto di molleggio. Questa forza si trasmette dal piede all articolazione delle ginocchia e così via!! Tensione Quando una corda è attaccata ad un corpo e viene tirata, si dice che la corda è sotto tensione. La tensione T cui è sottoposta la corde in ogni sua parte è una forza pari alla forza che si applica sia al corpo sia alla mano che lo tira, ai due estremi della corda, ed è sempre diretta lungo la corda. Fig. 19 Anche con una carrucola, cioè con la corda che si curva intorno ad una rotella, la tensione ha intensità T lungo la corda. Una corda è utile in questo caso per cambiare la direzione e il verso di applicazione di una forza: la mano tira verso il basso ma la massa è sottoposta ad una forza verso l alto.

19 Fig.0 I tendini del corpo umano sono corde e vengono utilizzati anche per variare la direzione di applicazione delle forze esercitate dai muscoli. Forza di attrito L attrito fa parte dell esperienza quotidiana, nel bene e nel male! Da una parte fa consumare più benzina (0% per motore e trasmissione), ma anche la suola delle scarpe, il battistrada delle gomme e i gomiti del maglione, dall altra consente il movimento, i nodi tengono, i chiodi fissano, etc.. Un libro che scivola su un tavolo orizzontale si fermerebbe se non mantenessi una forza costante che contrasta l attrito: su una superficie ruvida, il movimento genera lui stesso una forza che decelera il moto. Per mantenere in moto rettilineo uniforme un corpo che scivola sopra un piano, bisogna applicare al corpo una forza che serva a neutralizzare questa forza spontanea (detta di attrito), in modo che la risultante delle forze applicate sia nulla. Anche l inizio del moto è contrastato dalla forza di attrito (statico) che assume un valore uguale e contrario a quello della forza che applico, fino a raggiungere un valore massimo (valore limite). Il corpo non si muove, resiste al moto. Oltre quel valore limite, cioè se applico una forza sufficientemente intensa, il corpo inizia a muoversi. Situazione : F N P Fig. 1 Un blocco appoggiato sul piano orizzontale è fermo. verso il basso e F verso l alto sono uguali in modulo. N P Se applico una forza F per spostare il corpo verso destra insorge una forza di attrito statico

20 il cui modulo vale F att _ = µ s s F N ( µ s è il coefficiente di attrito statico, il suo valore dipende dalla natura dei materiali a contatto) esercitata orizzontalmente dal piano che uguaglia in intensità F ma di verso opposto in modo che il corpo non si muove. Se aumento F aumenta anche F att _ s. F N F att F P Fig. Diagramma delle forze applicate al blocco Raggiunto un certo valore di F il corpo ha uno strappo e comincia a muoversi nella direzione di F, verso destra, ostacolato dalla una forza di attrito dinamico F att _ d, generalmente inferiore al valore max di F att _ (è più facile mantenere un corpo in moto che muoverlo da fermo). s (Il passaggio da un regime all altro è all origine degli stridii da attrito quello, ad esempio, del gesso sulla lavagna - o anche del suono del violino). - Proprietà dell attrito riassunte : 1 Corpo fermo : la forza di attrito statica hanno uguale intensità e si annullano. F att _ s e la componente di F parallela alla superficie limite di scivolamento: la massima forza di attrito per due materiali posti a contatto è proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito statico µ F _ (max) = µ s F N. att s µ s è un coefficiente adimensionale che assume valori diversi per diverse coppie di materiali.. 3 il corpo inizia a muoversi, il valore della forza di attrito decresce rapidamente fino a F att _ k = µ k F N proporzionale alla forza normale tramite un coefficiente di attrito dinamico µ k, adimensionale e dipendente dalla coppia di materiali in considerazione. s

21 Attenzione, F att _ s e F _ sono proporzionali non a att k P ma a F, quindi nel caso di un piano inclinato bisogna considerare la componente di P perpendicolare al piano. F N equilibra solo la parte di P perpendicolare al piano. N Attenzione : le equazioni per F _ e dirette come la forza normale att F N s F att _ k, ma parallele al piano. non sono vettoriali: le forze di attrito non sono Durante una corsa : allo scatto si usano i blocchi di partenza per sfruttare la reazione del blocco alla forza muscolare di spinta. Data l inclinazione dei blocchi, la forza di reazione del blocco sul atleta si massimizza nella direzione del moto. si fa uso della azione-reazione Fig. 3 Durante la corsa si sfrutta il coefficiente di attrito statico per mantenere un piede fermo a terra mentre l altro avanza. Per non superare il limite di scivolamento all indietro del piede di appoggio la forza che si esercita sul terreno deve avere una componente normale al terreno di intensità opportunamente elevata. In ogni caso se µ è basso, si ha l effetto del camminare sul ghiaccio. s L uso di scarpette chiodate non aumenta il valore di µ s, che è il coefficiente d attrito tra due superfici lisce, piuttosto hanno una funzione simile a quella di mini blocchi di partenza: permettono di esercitare una forza sul tartan lungo la direzione del moto, cioè parallelamente alla pista. Resistenza del mezzo Consideriamo un corpo che si muove in aria. Esso incontra una resistenza da parte dell aria che agisce in modo da opporsi al movimento del corpo, cioè ha la stessa direzione e verso opposto a quella del moto. D forza di resistenza del mezzo o forza aerodinamica (detta anche forza viscosa) si 1 D = cρav (limite di alte velocità e/o alte viscosità) D è proporzionale al quadrato della velocità (termine v ). Inoltre D è proporzionale ad A, l area efficace della sezione trasversa. (l area presentata dal corpo nella direzione del moto; vedi la posizione a uovo dei discesisti di sci o dei ciclisti). ρ è la densità del mezzo. E intuitivo che la resistenza D dipenda dalla densità del mezzo: infatti il corpo, per procedere, deve farsi strada spostando le molecole del mezzo. Quindi più il mezzo è rarefatto, più è facile farsi strada e inferiore è la resistenza D. Con c si indica il coefficiente di penetrazione (il cosiddetto cx, che dipende dalla forma geometrica del corpo). La forma (oltre che

22 l area efficace A) influenza la resistenza opposta dal mezzo perché una ottimizzazione della forma (affusolata, migliorare il Cx) porta a ridurre la formazione di turbolenze nell aria intorno al corpo. Casco dei ciclisti o discesisti con forma a punta posteriore : non riduce la sezione trasversa A, ma piuttosto migliora il Cx. Fig. 4 Nel nuoto, lo sbattere i piedi serve soprattutto per mantenere il corpo orizzontale e quindi a ridurre la sezione A. Il lavoro viene fatto per lo più dalle braccia (75%). In acqua anche se la velocità v è bassa, D è significativa perché la viscosità del mezzo è grande. Per ridurre le turbolenze negli sport di velocità diventa essenziale utilizzare accorgimenti quali: nascondere dadi e cavi nelle biciclette, togliere cerchietti delle racchette da sci. Tagliare i capelli o rasarsi le gambe sono sempre modi di ridurre anche le piccole turbolenze. Velocità limite di caduta di un grave in aria. La forza D di frenamento durante la caduta libera li un corpo in aria ha verso opposto a quello della forza peso P che accelera il corpo verso il basso. Se P è costante, il corpo accelera con accelerazione g, i.e. aumenta la velocità verso il basso, ma aumentando v, dunque v, aumenta D. Ciò prosegue finché D diventa di intensità uguale P con verso opposto : D = - P A questo punto, la risultante delle forze agenti sul corpo in caduta è nulla ( F = D + (- P ) e dalla seconda legge (fondamentale) della dinamica si ha che l accelerazione a del corpo è nulla. Il corpo non accelera più, e mantiene velocità costante massima. La velocità raggiunta, detta velocità limite v lim, è tale da verificare l uguaglianza D = 1 cρavlim = mg = P quindi v lim = (mg/ cρa) ½. La v lim raggiunta dai paracadutisti può essere variata modificando A tramite dei cambiamenti dell assetto in volo. Questo permette ai paracadutisti di raggiungersi per fare figure in aria. L apertura del paracadute fa aumentare di molto A rendendo la velocità limite molto più bassa. Anche le gocce di pioggia raggiungono la velocità limite (v 7m/sec in 6m) nella loro caduta. Ad esempio, cadendo da 100m le gocce di pioggia raggiungono la terra con la velocità limite di circa 7m/sec e non con la velocità di 150m/sec che avrebbero, se non ci fosse l azione di frenamento D (dei veri proiettili!).

23 Senza D v fin = 150m/s Con D v fin = v lim = 7m/s Fig. 5 Forza elastica La forza elastica è una forza non costante. L lunghezza di riposo della molla Fig. 6 Una massa m è vincolata ad una parete con una molla. Se tiro la massa, la molla si estende, diciamo di un tratto x. La molla esercita una forza di richiamo proporzionale all allungamento x (più si allunga, maggiore è la forza F di richiamo). F = -kx richiamo cioè di verso opposto all allungamento. Ecco la ragione del segno (-) Se, raggiunta una certa estensione la molla viene rilasciata, essa si ricomprimerà, ritornerà alla lunghezza di riposo L, poi si schiaccerà di un tratto x dalla parte opposta e nuovamente agirà la forza di richiamo (che è variabile in quanto varia con il variare di x). La massa oscilla attorno alla posizione di riposo; k è la costante elastica della molla. L espressione della forza elastica vale per i respingenti del treno (k grande), come per la molla della biro (k piccola), come per l elastico del saltatore dal ponte. Impulso di una forza La legge fondamentale della dinamica F = ma può essere scritta esprimendo l accelerazione con la sua relazione definitoria (v f - v i )/t : v f vi F = m t e quindi portando il tempo t al primo membro F t = m v f v ) oppure F t = m v ( i

24 Si dice impulso di una forza il prodotto della forza per il tempo durante il quale viene applicata, F t (se la forza non è costante, l impulso è l integrale della forza nel tempo in cui viene applicata). Scritta in questo modo, l equazione fondamentale della dinamica può essere letta così. 1) Supponiamo che un corpo vari la sua velocità di una quantità v = v f - v i, tanto più lungo è il tempo t durante il quale questa variazione avviene, tanto minore è la forza che deve essere sviluppata per ottenere tale variazione della velocità. In questi termini si capisce ad esempio l utilità delle cinture di sicurezza che allungando i tempi durante i quali, in caso d incidente, la velocità del passeggero (che non è solidale con la vettura) passa da un valore v i iniziale a zero, determina una riduzione della la forza cui il passeggero stesso è sottoposto durante il breve tempo dell impatto (la forza che le ossa e le articolazioni possono sopportare è limitata). Si vede anche come funziona l elastico del jumper, finchè l elastico non è completamente svolto (<L). la forza che agisce sul jumper è P (la forza peso), poi progressivamente la forza elastica di richiamo contrasta P, quindi il jumper decelera progressivamente per un lungo intervallo di tempo e lo strappo (F applicata), necessario per contrastare P e fermare il jumper, applicato sulle sue gambe, e a cascata su tutte le sue articolazioni (secondo il terzo principio), è di entità minore. )L impulso totale prodotto F t, nella direzione ottimale, è la grandezza fisica che stabilisce l efficacia di un gesto di spinta o di lancio, non la massima forza espressa o la durata dell azione di spinta! Lavoro di una forza lavoro meccanico - 1 caso : Forza costante F. Immaginiamo una forza F che agisce su un corpo durante il suo spostamento. Immaginiamo cosi che il punto di applicazione di questa forza si sposti nello spazio di un tratto lavoro della forza F la quantità s. Viene detto L = F s = F s cosϑ (prodotto scalare di F per s ) Fig. 7 s (prodotto scalare tra i due vettori) Il lavoro è una quantità scalare, cioè è descritta completamente da un numero, da un valore. Tale valore può essere positivo o negativo a seconda che la componente di F lungo di verso opposto a s sia equiversa o s. Se F e s hanno la stessa direzione e se lo spostamento avviene nel senso di F diciamo che il lavoro è positivo (e viceversa, negativo). L intensità del lavoro può variare tra un valore massimo e uno minimo, per gli stessi valori del modulo di s e di F, a

25 seconda del valore di cosϑ. Il lavoro è massimo per cosϑ = 1 (cioè per ϑ = 0), ( F diretto come s ). Il lavoro è minimo ( L = 0) per cosϑ = 0, cioè per ϑ = 90, ( F perpendicolare a s ). Può darsi il caso che più forze agiscono sullo stesso punto. Allora, si può calcolare il lavoro totale è la somma dei lavori di tutte le forze applicate L tot = L i = ( F i s ) Dimensioni di L : [ L ]= [ F ][ s ] = m l t - l = ml t - Unità di misura di L : 1 joule = 1N 1m ( 1J ) Lavoro della forza peso durante la caduta di un grave. Un grave cade vicino alla superficie della terra sotto l azione della forza di gravità, cioè sottoposto ala forza peso P diretta verso il basso percorrendo un dislivello h. Il lavoro compiuto dalla forza peso si calcola come L P = P s = P s cosϑ notando che lo spostamento s (verso il basso) e la forza P sono paralleli con verso concorde, pertanto ϑ = 0 e cosϑ = 1, e che P = m g, si ottiene L P = m g h per uno spostamento s = h (dislivello) Lavoro meccanico nel sollevamento pesi. Durante questo gesto, sul bilanciere oggetto dell applicazione delle forze, si esercitano la forza peso P e la forza muscolare dell atleta. Naturalmente entrambe le forze lavorano ma i due lavori si oppongono uno all altro (ricorda che il lavoro può essere positivo o negativo). Il lavoro positivo deve essere nel verso del moto quindi è quello della forza muscolare dell atleta, il lavoro di P invece è negativo e se il bilanciere si alza di una quota h si calcola facilmente seguendo il procedimento del paragrafo precedente ottenendo L P = - m g h (ϑ = π e cosϑ = -1 ). Calcoliamo il lavoro della forza musculare seguendo l esempio qui proposto. Esempio: Un atleta solleva un bilanciere di peso 500N all altezza di m (sopra la sua testa) Quanto lavoro meccanico compie la sua forza muscolare? Supponiamo che il sollevamento avvenga a velocità costante, con accelerazione nulla, allora il per il primo principio della dinamica le forze applicate al bilanciere devono essere tali che F i = 0. Quindi la forza peso P = m g deve essere controbilanciata dalla forza applicata dall atleta F m. Quindi F m = - con F m = 500N P Il lavoro L a fatto dall atleta vale:

26 L m = F m s = 500 N m 1 = 5000 J (sollevamento verticale, quindi ϑ = 0 e cosϑ = 1) Quanto lavoro fa la forza peso? L p = P s = 500 (-1) = J (perché ϑ = π e cosϑ = -1) Quanto lavoro fa l atleta mentre sostiene il peso fermo sopra la testa? L = 0 perché non c è spostamento. Qui si parla di lavoro meccanico, non di lavoro fisiologico, diciamo che si fa fatica perché c è da mantenere integro un corpo non rigido che è il corpo dell atleta, quindi si il lavoro delle contrazioni muscolari per mantenere l equilibrio e l integrità è la misura del lavoro fisiologico necessario anche se il lavoro meccanico compiuto è nullo. caso : Forza variabile Nel caso in cui F è una forza variabile che dipende dalla posizione, ogni volta che avviene uno spostamento x la forza cambia. Il lavoro totale sarà la somma dei lavori elementari fatti sui tratti piccoli sui quali la forza può essere assunta costante L tot = F( x ) x. i i i ( Se si fa il limite per x i piccolo 0 e la i è l integrale L tot = xtin xin F ( x) d x ) Ad esempio la forza F può essere la forza di richiamo di una molla vincolata al muro. L intensità della forza elastica varia durante lo spostamento aumentando con l allungamento (o la compressione) della molla ed ha la direzione parallela allo spostamento, ma può avere verso concorde o discorde, quindi con cosϑ che vale o +1 o 1. Immaginiamo di avere un blocco attaccato alla molla e di tirarlo da X in a X fin, allora F(x) = - kx Fig. 8 Il lavoro della forza elastica si calcola sommando i lavori infinitesimali compiuti per spostamenti infinitesimi durante i quali la forza si assume costante. Ciò è rappresentato graficamente nel calcolo l area compresa al di sotto della curva del grafico di F (Fig 8/A). In figura si è cambiato il segno della funzione forza per comodità di rappresentazione.

27 F F= k x k x fin L AB = -area k x in 0 Fig 8/A X in X fin x Area = differenza aree dei due triangoli = 1 x B kx B 1 x A kx A Ricordandoci del segno L in,fin = kx fin + kx in e in generale L = kx Se si calcola il lavoro della forza di richiamo durante un allungamento della molla si ha lavoro negativo, mentre durante il ritorno alla posizione di equilibrio il lavoro è positivo (segno dello spostamento x e della forza concordi) Energia cinetica Il termine energia indica la capacità di compiere lavoro. L energia cinetica è la proprietà che rende conto quantitativamente del legame fra il lavoro compiuto ed il moto generato. Avevamo detto più o meno lo stesso parlando della seconda legge della dinamica riferendoci alle forze. Qui, col lavoro, non è necessaria la descrizione dettagliata delle forze che agiscono sul punto in considerazione. E sufficiente conoscere il loro lavoro totale. L energia cinetica: K = 1 mv (> 0 perché m > 0 v > 0 ) (m e v sono la massa e la velocità del corpo). L unità di misura e le dimensioni di K sono le stesse del lavoro : Joule ( J ) e [ ] K = [ t ] ml. Teorema dell energia cinetica Se una forza F compie un lavoro L su un punto materiale di massa m, si ha una variazione dell energia cinetica pari al lavoro compiuto

28 L = K fin K in = K. Nel caso che più forze agiscono sul punto materiale, il teorema dell energia cinetica si applica al lavoro totale (equivalentemente al lavoro della risultante ). E il caso dell atleta che solleva il peso di 500N? Sappiamo che ha compiuto un lavoro di 5000J, ma il bilanciare con i pesi era fermo all inizio ed è fermo alla fine. Quindi K in = 0 e K fin = 0 perché v in = 0 e v fin = 0. Allora il teorema dell energia cinetica? Vale per il lavoro totale o lavoro della forza totale, e noi abbiamo visto che la forza netta totale = 0 ( F a + P = 0 ) ed il lavoro totale è nullo, quindi giustamente si ha K = 0 1)Caso di una palla da tennis che cade : la forza peso P compie un lavoro positivo con spostamento concorde a P ; si dovrebbe avere K > 0, infatti la velocità v aumenta. )Caso di una palla lanciata verso l alto: lo spostamento ha verso opposto a P. Il lavoro della forza peso è negativo e quindi K è negativo: giusto! La velocità diminuisce. NB. Durante il volo agisce solo la forza di gravità quindi il lavoro totale comiuto sul corpo è solo quello della gravità. 3)Caso del moto circolare uniforme: la forza che agisce è la forza centripeta che è perpendicolare allo spostamento. Quindi non compie lavoro: deve essere K = 0. Iinfatti il moto è uniforme, cioè la velocità è in modulo costante. Potenza Si chiama potenza il lavoro che si è in grado di svolgere nell unità di tempo. L P = ( potenza media ) t L P = lim t 0 ( potenza istantanea) t Non è solo una stima del lavoro compiuto, ma anche della rapidità con cui si compie lavoro. Fig. 9 Per superare il muro ci vuole un certo lavoro che consiste nell innalzare il proprio corpo di un altezza h. Sia l atleta che lo supera in un sol balzo, sia il vecchietto che sale pian piano la scalinata faranno lo stesso lavoro. Quel che è diverso è la potenza dei due personaggi. Dimensioni e unità di misura della potenza: [ ] P = [L] [t -1 ] = [ml t -3 ] 1 watt = 1 joule / 1sec (1w)

29 Energia Potenziale K è energia connessa allo stato di moto di un sistema. C è anche energia connessa alla posizione di un corpo in un campo di forze (configurazione). Si chiama energia potenziale. Nel caso dell atleta di sollevamento pesi, il lavoro compiuto dall atleta L m non ha alterato l energia cinetica K dell attrezzo, ma ha modificato la configurazione del sistema (terra-attrezzo) variandone l energia potenziale (W). Il lavoro non è stato sprecato ma immagazzinato : l attrezzo prima è a terra, poi è in alto nel sistema che ora potenzialmente può compiere un lavoro, cedendo la sua energia potenziale. Energia cinetica ed energia potenziale sono due parti dell energia meccanica: possono trasformarsi l una nell altra ed in lavoro. Nell esempio precedente, quando l attrezzo è in alto si ha che K = 0 e W = W A. Quando cade, K aumenta perché la velocità v aumenta e l energia potenziale W diminuisce. In basso W = W B < W A e K è massima. L attrezzo cadendo può compiere lavoro. Se fosse un martello potrebbe far avanzare un chiodo, ad esempio. L energia potenziale viene definita proprio a partire dal concetto di lavoro di forze conservative. E conservativa una forza il cui lavoro per spostare il suo punto di applicazione da una posizione (configurazione) ad un altra dipende solo dalle due posizioni (configurazioni) iniziale e finale. Equivalentemente si può definire la forza conservativa dicendo che il lavoro di tale forza è nullo se le posizioni (configurazioni) iniziali e finali coincidono. -Lavoro per passaggio dalla posizione A a B è lo stesso lungo I o II -Se da A vado a B e torno in A il lavoro totale è nullo. Fig. 30 Posso allora definire una funzione della posizione W che assume i valori W A e W B in A e B e tale per cui L AB = W A W B ( W energia potenziale) W A, W B sono definiti a meno di una costante, tanto quello che interessa è la differenza fra loro. Variazione di energia potenziale del passaggio da A a B : W B W A = W, allora L AB = - W Con questa convenzione sui segni si rende conto del fatto che un lavoro positivo ( fatto dalle forze conservative sul corpo) fa diminuire l energia potenziale W ( L positivo W negativo W B < W A ho usato energia potenziale) un lavoro negativo (subito) aumenta W (L negativo W positivo W B > W A ho guadagnato energia potenziale). W si misura in Joule, come il lavoro e l energia cinetica.