Esercizi sugli endomor smi

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1 Esercizi sugli endomor smi Esercizio E assegnato l endomor smo f dello spazio vettoriale R 3 nel modo seguente f (e ) = ( 3; 7; 6), f (e 2 ) = (; 5; 6), f (e 3 ) = ( ; ; 2) essendo e, e 2, e 3 i vettori della base canonica. a) Si stabilisca se f è automor smo, si veri chi che = 2 è un autovalore di f e si stabilisca se l endomor smo è diagonalizzabile. b) Detto S il sottospazio generato dai vettori v = (h; ; ), v 2 = ( ; ; h), v 3 = ( + h; ; ) con h parametro reale, si discuta dim S e si stabilisca quando f (S) è uguale a R 3. c) Veri cato che per h = i vettori v, v 2, v 3 costituiscono una base B di R 3, si determini la matrice A associata a f nella base B. d) Considerato R 3 spazio euclideo e detto E 2 l autospazio relativo all autovalore = 2, si determini il suo complemento ortogonale E? 2 in R 3. Risoluzione: a) Considero la matrice associata ad f nella base canonica di R 3 Ricordo che A Im f = L (f (e ) ; f (e 2 ) ; f (e 3 )). Per essere un automor smo mi basta che f sia surgettivo e quindi devo solo veri care che dim Im f = 3 e cioè che f (e ) ; f (e 2 ) ; f (e 3 ) siano linearmente indipendenti. E questo equivale a dire che ranga = 3.

2 det A = Pertanto f è un automor smo. Poichè = 6 6=. è autovalore per f, det (A I) =, devo veri care che det (A + 2I) =. det (A + 2I) = =. Quindi = 2 è autovalore per f. L endomor smo f è diagonalizzabile se e solo se lo è la matrice A. i suoi autovalori: det (A I) = = Allora det (A I) =, = 4 _ 2 = 2. Pertanto ho due autovalori = 4 con m a ( ) = e 2 = 2 con m a ( 2 ) = 2. Per stabilire se A è diagonalizzabile devo veri care se m a ( ) = m g ( ) e m a ( 2 ) = m g ( 2 ). m g ( ) = 3 rang (A I) = 3 2 = m g ( 2 ) = 3 rang (A 2 I) = 3 2 =. Quindi, essendo m a ( 2 ) 6= m g ( 2 ), ho che f non è diagonalizzabile. 2

3 b) Considero la matrice C h + h h Poichè esiste il minore M = 6=, allora il rango di C è sempre almeno 2. Pertanto det C = h + h h = h. Concludendo: det C =, h =. per h = : dim S = 2 per h 6= : dim S = 3. Essendo f (S) un sottospazio di R 3, esso sarà uguale a quest ultimo se dim f (S) = 3. E quindi, essendo f un automor smo (cioè f trasforma basi in basi), questo può accadere solo per h 6=. Inoltre S = L (v ; v 2 ; v 3 ) ) f (S) = L (f (v ) ; f (v 2 ) ; f (v 3 )). c) Ovviamente per h = i vettori v ; v 2 ; v 3 costituiscono una base di R 3. Indico con B = fv ; v 2 ; v 3 g. Considero la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica di R 3, cioè 3

4 P Detta B la matrice associata ad f nella base B, essa è data da Quindi B = P AP. B A d) Ricordo che E 2 = v 2 R 3 j (A + 2I) v =. Devo pertanto cioè il sistema 8 < : il cui insieme delle soluzioni è x y z A x + y z = 7x + 7y z = 6x + 6y = A, Allora Quindi E 2 = L ((; ; )). E? 2 = v 2 R 3 j v? (; ; ). v = (x; y; z) 2 E? 2, v (; ; ) =, x + y =. 4

5 Pertanto E? 2 = L ((; ; ) ; (; ; )). 5

6 Esercizio 2 Si consideri l endomor smo f di R 3 de nito come segue 8 (x; y; z) 2 R 3 : f (x; y; z) = (4x + 4z; hy + (h + ) z; 4x + (h + ) y + (h + 5) z) con h parametro reale. a) Si scriva la matrice A associata a f nella base canonica, si discuta dim Ker f al variare di h e si stabilisca per quali valori di h l endomor- smo è surgettivo. b) Nel caso h = si determini, se esiste, una matrice P che diagonalizza A e, in caso a ermativo, la base B di R 3 tale che P sia la matrice di passaggio dalla base canonica a B. Risoluzione: a) La matrice associata ad f nella base canonica è la matrice 4 4 A h h + 4 h + h + 5 Il nucleo di f è dato da Ker f = v 2 R 3 j f (v) =. Devo quindi studiare il sistema 8 < 4x + 4z = hy + (h + ) z = : 4x + (h + ) y + (h + 5) z = cioè devo studiare il rango della matrice incompleta di questo sistema, ovvero ranga. det A = 4 4 h h + 4 h + h + 5 = 4h 4. 6

7 Pertanto Questo signi ca che det A =, h =. per h 6= : ranga = 3 per h = : ranga = 2, cioè (essendo Ker f l insieme delle soluzioni del sistema) per h 6= : dim Ker f = per h = : dim Ker f =. Quindi per h 6= si ha che f è ingettivo e quindi surgettivo. b) gli autovalori di A: 4 4 det (A I) = 4 4 = Quindi det (A I) =, = _ = _ = 8. Poichè ho tre autovalori distinti, la matrice A, e quindi f, è diagonalizzabile. La matrice diagonale a cui è simile la matrice A è D 8 7

8 Calcolando gli autospazi relativi a =, 2 =, 3 = 8 si ottiene che E = Ker f = L (( ; ; )) E = L ((; ; )) E 8 = L ((; ; )). Pertanto la matrice che diagonalizza A è la matrice P A e la base richiesta è B = f( ; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g. 8