Bioinformatica e Biostatistica /12 Modulo di Biostatistica

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1 Bioinformatica e Biostatistica /12 Modulo di Biostatistica Alessandra Micheletti Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano alessandra.micheletti@unimi.it

2 Introduzione Il Calcolo delle Probabilità è la base su cui poggiano tutti i metodi statistici. ESEMPIO: immaginate di aver messo a punto un metodo che dovrebbe permettere di predeterminare il sesso del nascituro, facendo aumentare le probabilità di generare una femmina. Se, messo alla prova su un campione di 100 coppie, il vostro sistema porta ad avere a) 98 femmine e 2 maschi b) 60 femmine e 40 maschi potete affermare che il metodo funziona nel caso a)? E nel caso b)?

3 Caso a): sebbene sia possibile avere 98 femmine su 100 nascite anche senza interventi esterni, si tratta di una situazione talmente improbabile da essere scartata (la sua prob. è dell ordine di ), quindi concluderemo che il metodo è efficace evento raro o estremo (vedremo che sarà bassa la probabilità di commettere un errore nel trarre questa conclusione)

4 Caso b): se assumiamo che, in assenza di trattamenti la prob. di nascita di un maschio sia 1 2, la probabilità di osservare fino a 40 maschi su 100 nuovi nati in assenza di trattamenti è = 2.8% (vedremo come si calcola più avanti). Questa probabilità è abbastanza bassa da poter dire che il trattamento è efficace? Con che probabilità commetto un errore nell assumere che il trattamento sia efficace in questo caso? È quindi evidente che per effettuare inferenza statistica sui dati occorre prima imparare gli elementi alla base del Calcolo delle Probabilità.

5 Un esperimento aleatorio è caratterizzato dall insieme Ω di tutti i suoi possibili esiti (risultati). Ω = spazio dei campioni ogni elemento ω Ω è detto evento elementare. ESEMPI? (Provateci voi...)

6 Esempi

7 Lo spazio dei campioni può essere finito (es.: lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}) infinito numerabile (es.: numero di telefonate che arrivano a un centralino in un mese: Ω = N = {numeri naturali}) infinito non numerabile (es.: durata del funzionamento di una lampadina: Ω = R + = numeri reali positivi)

10 Sia P(Ω) = {sottoinsiemi di Ω}. Vorremo definire una probabilità come una funzione definita su P(Ω) a valori in [0, 1] che ad ogni A sottoinsieme di Ω associ un numero compreso fra 0 e 1. Di quali sottoinsiemi di Ω (detti eventi) vorremo calcolare la probabilità?

11 Esempio: Consideriamo il lancio di un dado. Possibili eventi sono: A =il risultato del lancio è 1 = {1} B =il risultato del lancio è un numero pari = {2} {4} {6} = {2, 4, 6} C =il risultato del lancio è maggiore di 2 = {3} {4} {5} {6} = {3, 4, 5, 6} D =il risultato del lancio è maggiore di 2 ed è pari = B C = {4, 6} E =il risultato del lancio è minore o uguale a 2= C C...

12 L evento A è semplice, mentre gli eventi B, C, D sono composti e si possono vedere come unione o intersezione di altri eventi, elementari e non. Dunque eventi di nostro interesse saranno dati da unioni, intersezioni, complementari di altri eventi. Dato uno spazio dei campioni Ω, diremo che un insieme F di sottoinsiemi di Ω è una famiglia di eventi aleatori se essa è una.

13 Definizione. Una famiglia F di sottoinsiemi di Ω è una se soddisfa le seguenti condizioni: A1. Ω F; A2. se {A n } n N, con A n elementi di F, allora n N A n F; A3. se A F allora A C F. Proprietà derivanti dalla definizione: 1) Anche l insieme vuoto è un elemento di F

14 Definizione. Una famiglia F di sottoinsiemi di Ω è una se soddisfa le seguenti condizioni: A1. Ω F; A2. se {A n } n N, con A n elementi di F, allora n N A n F; A3. se A F allora A C F. Proprietà derivanti dalla definizione: 1) Anche l insieme vuoto è un elemento di F

15 2) Le unioni finite di elementi di F appartengono a F 3) Le intersezioni di elementi di F appartengono a F 4) se A, B F allora A B F

18 La coppia (Ω, F) viene detta spazio probabilizzabile. Su di essa si può definire correttamente una misura di probabilità. Ci sono vari modi per definirla.

19 Definizione. Dato uno spazio probabilizzabile (Ω, F), si definisice misura di probabilità o semplicemente probabilità P ogni funzione P : F [0, 1] che soddisfi le seguenti proprietà: P1. P(Ω) = 1 P2. sia {A n } n N una famiglia di eventi disgiunti, ossia tali che A i A j = per i j; allora ( k ) P A i = i=1 k P(A i ) (se la famiglia è finita) i=1 ( ) P A i = P(A i ). (se la famiglia è infinita) i=1 i=1 P2. si chiama ADDITIVITÀ e ci dice che la probabilità di unioni DISGIUNTE di eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

20 Definizione. Dato uno spazio probabilizzabile (Ω, F), si definisice misura di probabilità o semplicemente probabilità P ogni funzione P : F [0, 1] che soddisfi le seguenti proprietà: P1. P(Ω) = 1 P2. sia {A n } n N una famiglia di eventi disgiunti, ossia tali che A i A j = per i j; allora ( k ) P A i = i=1 k P(A i ) (se la famiglia è finita) i=1 ( ) P A i = P(A i ). (se la famiglia è infinita) i=1 i=1 P2. si chiama ADDITIVITÀ e ci dice che la probabilità di unioni DISGIUNTE di eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi

21 Consideriamo ancora l esempio del lancio di un dado EQUILIBRATO. Sappiamo che Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Per assegnare le probabilità P({i}), i = 1,..., 6 dobbiamo chiederci quanto siamo disposti a scommettere su ciascun numero (=evento elementare). Intuitivamente, se ci fidiamo del fatto che il dado sia equilibrato, assegneremo a ogni evento elementare probabilità 1 numero di elementi in Ω = 1 6.

22 Consideriamo ancora l esempio del lancio di un dado EQUILIBRATO. Sappiamo che Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Per assegnare le probabilità P({i}), i = 1,..., 6 dobbiamo chiederci quanto siamo disposti a scommettere su ciascun numero (=evento elementare). Intuitivamente, se ci fidiamo del fatto che il dado sia equilibrato, assegneremo a ogni evento elementare probabilità 1 numero di elementi in Ω = 1 6.

23 Definizione. Lo spazio di probabilità (Ω, F, P) costituisce un modello equiprobabile o uniforme se M1. Ω è finito; M2. F è l insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω M3. per ogni ω Ω, P({ω}) = costante.

26 Per il modello uniforme valgono le seguenti proprietà P1. per ogni ω Ω si ha P({ω}) = 1 numero di elementi di Ω P2. per ogni evento A sottoinsieme di Ω si ha P(A) = numero di elementi di A numero di elementi di Ω o anche casi favorevoli P(A) = definizione classica della probabilità di casi possibili un evento: poco operativa, soprattutto se Ω ha infiniti elementi! Esempi?

27 Per il modello uniforme valgono le seguenti proprietà P1. per ogni ω Ω si ha P({ω}) = 1 numero di elementi di Ω P2. per ogni evento A sottoinsieme di Ω si ha P(A) = numero di elementi di A numero di elementi di Ω o anche casi favorevoli P(A) = definizione classica della probabilità di casi possibili un evento: poco operativa, soprattutto se Ω ha infiniti elementi! Esempi?

28 E se non mi fido sul fatto che il dado sia equilibrato? Posso lanciare il dado molte volte e calcolare la frequenza relativa all evento {esce il numero i} rispetto al numero totale di lanci: f (i) = e posso approssimare P({i}) con f (i). numero di volte in cui è uscito i numero totale di lanci Cosa accade però al variare del numero di lanci?

29 Quelli sopra sono istogrammi che riportano le frequenze relative del lancio di un dado equilibrato. Notiamo che le frequenze si stabilizzano attorno a 1/6 solo per un alto numero di lanci.

30 Ciò può indurre a identificare la frequenza relativa di un evento con la sua probabilità, quando il numero degli esperimenti sia sufficientemente grande (tenda a ). Ciò corrisponde alla definizione frequentista della probabilità anch essa poco operativa, talvolta, poichè non è sempre possibile effettuare molti esperimenti Esempio: supponete di voler calcolare la probabilità di morire ingerendo 1 mg di mercurio...

33 Proprietà derivanti dalla definizione alla Kolmogorov 1. P(A C ) = 1 P(A) per ogni evento A F. 2. P( ) = 0

34 Eventi che hanno probabilità 1 si dicono certi, eventi che hanno probabilità 0 si dicono impossibili. Esempio. L evento {il giorno di Pasqua cade di domenica} è un evento certo. L evento {il giorno di Pasqua cade di mercoledi} è un evento impossibile.

35 3. se A, B F e B è contenuto in A, allora P(A) = P(B) + P(A B) Infatti A è unione disgiunta di B e di A B applico additività. 4. se A, B F e B è contenuto in A, allora P(B) P(A)

36 Esempi: Nel lancio di un dado equilibrato, siano A = {esce un numero pari}, A B = {esce 2 o 4}

37 5. se A, B F qualsiasi, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

38 Esempio. Nel lancio di un dado equilibrato, consideriamo A = {esce un numero compreso fra 2 e 4} = {2, 3, 4} P(A) = 3 6 B = {esce un numero 3} = {3, 4, 5, 6} P(B) = 4 6 A B = {esce un numero compreso fra 2 e 4 e 3} = {3, 4} P(A B) = 2 6 A B = {esce un numero compreso fra 2 e 4 o 3} = {2, 3, 4, 5, 6} P(A B) = 5 6 =

41 6. Principio di inclusione-esclusione: siano A 1,..., A n F, allora P( n i=1 A i) = n i=1 P(A i) i<j P(A i A j ) + i<j<k P(A i A j A k ) + + ( 1) n+1 P(A 1 A n )

42 Distribuzioni NON equiprobabili La distribuzione equiprobabile o uniforme è solo un esempio dei tanti tipi diversi di distribuzione che incontreremo. Esempio. Si consideri il lancio di 2 dadi e si sommino i puntini delle due facce superiori. Lo spazio dei campioni del lancio dei due dadi é Ω = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1),..., (6, 6)} mentre lo spazio dei campioni della variabile somma delle due facce è: Ω 1 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Notiamo che gli elementi di Ω sono equiprobabili (supponendo che i dadi siano entrambi equilibrati e i dadi non si influenzino a vicenda nei lanci), mentre gli elementi di Ω 1 non lo sono.

43 Lavoriamo su Ω per calcolare le probabilità degli elementi (eventi elementari) di Ω 1 : P({i}) = casi favorevoli casi possibili = numero di coppie con cui ottengo i numero totale di coppie in Ω

44 P(somma facce sia 2) = P(somma facce sia 3) = P(somma facce sia 4) = numero di coppie che danno somma 2 numero totale di coppie in Ω numero di coppie che danno somma 3 numero totale di coppie in Ω numero di coppie che danno somma 4 numero totale di coppie in Ω... = 1 36 = 2 36 = 3 36

45 Quindi l istogramma delle probabilità degli elementi di Ω 1 è

46 Se aumentiamo il numero di dadi che lanciamo e approssimiamo la distribuzione della somma delle facce con l approccio frequentista (simulo lanci e disegno l istogramma delle frequenze relative) otteniamo:

47 Questo esempio ci mostra che esistono vari tipi di aleatorietà ; le diverse aleatorietà si rappresentano attraverso diverse misure di probabilità. Esse sono legate a diverse distribuzioni delle variabili in gioco; per calcolare tali distribuzioni spesso si può far ricorso a spazi dei campioni ausiliari, i cui elementi sono equiprobabili, in modo da ricorrere a un conteggio degli elementi degli insiemi considerati, per calcolare opportuni rapporti di { casi favorevoli}/{ casi possibili } Per calcolare tali rapporti in casi più complessi di quelli visti finora faremo ricorso al calcolo combinatorio.

51 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Permutazioni Assegnati n oggetti distinti si dice che essi sono ordinati in un allineamento se sono collocati in posizioni numerate da 1 a n. Esempio. T,G,C,A G,C,A,T A,C,T,G... sono allineamenti delle 4 basi che compongono i nucleotidi del DNA. Domanda: quante sequenze ordinate diverse posso formare con le 4 basi A,C,G,T?

52 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Posizioni: La posizione 1 la posso riempire in 4 modi diversi; per ogni scelta sulla prima posizione posso riempire la posizione 2 in 3 modi diversi; per ogni scelta sulle prime due posizioni, posso riempire la posizione 3 in 2 modi diversi; per ogni scelta sulle prime tre posizioni, posso riempire la posizione 4 in 1 solo modo. Il numero di sequenze cercato è , ossia il prodotto dei primi 4 interi.

58 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Supponiamo ora di avere n elementi diversi (ad esempio n lettere diverse, n palline di colori tutti diversi, n bambini da disporre in una fila,...) e ci chiediamo quante sequenze ordinate diverse, P n, degli n elementi possiamo formare? Procedendo come prima troviamo che P n = n (n 1) (n 2) (n 3) 1 = n! e P n si dicono permutazioni di n elementi

59 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Disposizioni semplici Definizione. Si dice disposizione semplice di n oggetti di classe k ogni allineamento di k oggetti diversi scelti fra gli n (notazione: D n,k. ATTENZIONE: k < n) Esempio. Oggetti: A,C,G,T (n = 4) Quante triplette (sequenze di k = 3 oggetti) formate da basi tutte diverse fra loro possiamo formare? Cerco D 4,3. Posso elencarle: ATG, GCA, GAC,...

60 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Oppure: come prima, considero le posizioni da riempire La posizione 1 la posso riempire in 4 modi diversi; per ogni scelta sulla prima posizione posso riempire la posizione 2 in 3 modi diversi; per ogni scelta sulle prime due posizioni, posso riempire la posizione 3 in 2 modi diversi; Quindi D 4,3 = 4 3 2

65 Permutazioni Disposizioni Combinazioni In generale: D n,k = n (n 1) (n 2) (n k + 1) = n (n 1) (n k + 1) (n k) (n k 1) 1 (n k) (n k 1) 1 = n! (n k)!

66 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Disposizioni con ripetizione Definizione. Si dice disposizione con ripetizione di n oggetti di classe k ogni allineamento di k oggetti scelti fra gli n, dove gli oggetti possono essere anche ripetuti più volte (notazione: Dn,k R. ATTENZIONE: qui può essere k < n, k = n, k > n) Esempio. Oggetti: A,C,G,T (n = 4) Quante triplette (sequenze di k = 3 oggetti) possiamo formare, ripetendo anche le basi? (Esempi: TTG, ACT,CTC,...) Dunque D R 4,3 = 43

67 Permutazioni Disposizioni Combinazioni In generale: Dunque D R n,k = nk Esercizio: in quanti modi diversi posso riempire una colonna di una schedina del totocalcio?

70 Permutazioni Disposizioni Combinazioni Combinazioni Definizione. Si dice combinazione di k oggetti scelti fra n ogni raggruppamento, comunque ordinato, di k degli n oggetti, diversi fra loro. Quindi due combinazioni differiscono solo per gli elementi che contengono e non per l ordine con cui appaiono: CGT e GTC sono la stessa combinazione! Contiamo le combinazioni di n elementi di classe k (denotiamole con C n,k ):

71 Permutazioni Disposizioni Combinazioni C n,k = D n,k /{n. di sequenze di k oggetti che differiscono solo per l ordine degli elementi} = D n,k = = P k n(n 1)(n 2)... (n k + 1) k! ( ) n! n k!(n k)! =: k ( n ) k è detto coefficiente binomiale

72 Regola della Probabilità totale Probabilità condizionata Definizione 1. Siano A 1, A 2 due eventi in F con P(A 1 ) > 0. Si dice probabilità condizionata di A 2 dato che si è realizzato A 1 la quantità P(A 2 A 1 ) = P(A 1 A 2 ). P(A 1 ) Esempio. Supponiamo di lanciare un dado due volte in sequenza. Sia A 2 = {la somma dei due lanci dà 2} Se i lanci non si influenzano, lanciare due volte un dado o una volta due dadi, e poi sommarne le facce, è la stessa cosa. Quindi abbiamo già visto che P(A 2 ) = 1 36

73 Regola della Probabilità totale Supponiamo ora di sapere che si è verificato A 1 = {il primo lancio dà 1} adesso P(A 2 A 1 ) =

74 Regola della Probabilità totale Eventi indipendenti Definizione. Due eventi A 1, A 2 in F sono indipendenti se P(A 2 A 1 ) = P(A 2 ) o, equivalentemente, se P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ). Dunque la probabilità dell intersezione di due eventi indipendenti è il prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

75 Regola della Probabilità totale Esempio. Nell esempio precedente di due lanci di un dado, consideriamo A 1 = {il primo lancio dà 1} A 2 = {il secondo lancio dà 3}

76 Regola della Probabilità totale Regola della Probabilità totale Notiamo che dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo che per ogni coppia di eventi A e B P(A B) = P(A B)P(B)

77 Regola della Probabilità totale Supponiamo ora che gli eventi B 1, B 2,..., B k formino una partizione di Ω ossia B i B j = per ogni i j k i=1 B i = Ω Allora A = (A B 1 ) (A B 2 ) (A B k ) e le unioni sono disgiunte

78 Regola della Probabilità totale Applicando quindi la additività otteniamo P(A) = P(A B 1 ) + P(A B 2 ) + + P(A B k ) ossia P(A) = P(A B 1 )P(B 1 ) + P(A B 2 )P(B 2 ) + + P(A B k )P(B k ) Questa è detta regola della probabilità totale.