María Eugenia Castellanos. Cagliari, Marzo 2010

Transcript

1 María Eugenia Castellanos Dep Estadística e IO Universidad Rey Juan Carlos Visiting Professor Università di Cagliari Cagliari, Marzo 2010 María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

2 Obiettivi Capire le relazioni che ci possono essere tra due variabili statistiche Studiare il tipo di rappresentazione grafica e le sintesi che si usano per ogni tipologia di dati bivariati Usare e interpretare i diversi metodi grafici per descrivere dei dati bivariati María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

3 Relazione tra due variabili I dati che contengono osservazioni con più di una variabile permettono di analizzare la relazione o associazione tra queste variabili Per studiare queste relazioni ci occupiamo di tre casi diversi, a seconda della natura delle variabili: Primo caso: le due variabili sono qualitative Secondo caso: le due variabili sono quantitative Ultimo caso: una variabile è quantitativa e l altra è qualitativa María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

4 Distribuzione congiunta L osservazione corrispondente a un individuo può essere composta da più di una variabile Per esempio, ogni individuo è ha un peso e un altezza Quindi, oltre a studiare ogni variabile separatamente, altro obiettivo della statistica è analizare le relazioni tra coppie di variabili È molto comune disporre di informazione di più di una variabile, per esempio di k variabili María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

5 Esempio: Iris Data I famosi dati iris (Fisher s or Anderson s) contengono diverse misure, in centimetri, su cuatro variabili: lunghezze e larghezze dei sepali e petali per 50 fiori appartenenti a tre specie di iris Le tre specie sono Iris setosa, versicolor, e virginica María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

6 Esempio: Iris Data SepalLength: Lunghezza del sepalo SepalWidth: Larghezza del sepalo PetalLength: Lunghezza del petalo PetalWidth: Larghezza del petalo María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

7 I dati che studiamo si disporranno in una tabella (o matrice) di dati con: n righe = numero individui, k colonne = numero di variabili misurate per ogni individuo María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

8 Esempio dati Iris María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

9 Altro esempio: Vincitori degli Oscar nelle ultime 77 edizioni María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

10 Ci interessa descrivere congiuntamente le variabili che appaiono nei dati osservati In questo corso faremo una descrizione a coppie, relazionando una variabile con un altra Denotiamo queste due variabili che ci interessa descrivere per (x, y) Vedremo diversi metodi grafici per riassumere queste variabili a seconda della tipologia: 1 Le due variabile sono qualitative o quantitative discrete, (si possono contare in un numero finito o discreto di valori) 2 Le due variabile sono quantitative continue (non ci sono ripetizioni nei valori) 3 Una variabile è qualitativa e l altra e quantitativa María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

11 Descrizione congiunta de due variabili qualitative Supponiamo di voler riassumere l informazione contenuta in due variabile qualitative : X e Y Esempio Fisher (1940) Fisher nel 1940 fece uno studio sul colore degli occhi e dei capelli in un campione di 5387 persone di Caithness, Scotland La cosa più immediata è realizzare una tabella di doppia entrata, contando quante osservazioni hanno un valore x della variabile X, e il valore y della variabile Y, congiuntamente María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

12 Descrizione congiunta de due variabili qualitative (cont) Esempio Fisher (1940) occhi /capelli biondi rossi cast-chiaro cast-scuro neri chiari azzurri castani scuri Questo tipo di riassunti sono la generalizzazione della tabella de frequenze, adesso per il caso di due variabili Per tanto, adesso avremo una tabella di doppia entrata María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

13 Grafici per ripresentare la tabella di frequenze bivariate: grafico a barre appaiate È possibile usare diversi grafici per rappresentare una tabella bivariata Uno dei grafici possibili è: Il grafico a barre appaiate María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

14 Grafico a barre appaiate per i dati di Fisher Fisher data chiari azzurri castani scuri biondi rossi cast chiaro cast scuro neri María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

15 Distribuzioni di frequenze assolute congiunte Consideriamo la seguente tabella di frequenze (assolute) generale: X \ Y y 1 y j y J x 1 n 11 n 1j n 1J x i n i1 n ij n ij x I n I1 n Ij n IJ Tavola di Contingenza Frequenze congiunte La modalità x i per X e la modalità y j per Y sono state osservate n ij volte Il totale delle osservazioni è n n = I J i=1 j=1 Il valore n ij all interno della tavola prende il nome di frequenza congiunta María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26 n ij

16 Distribuzione de frequenze relative congiunte Si può definire anche la tabella de frequenze relative congiunte: X \ Y y 1 y j y J x 1 f 11 f 1j f 1J x i f i1 f ij f ij x I f I1 f Ij f IJ Dove ogni f ij = n ij n María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

17 Profili fila e profili colonna X \ Y y 1 y j y J x 1 n 11 n 1j n 1J n 1 x i n i1 n ij n ij n i x I n I1 n Ij n IJ n I n 1 n j n J n Tavola di Contingenza Frequenze marginali I valori al margine della tavola prendono il nome di frequenze marginali Le frequenze marginali forniscono la distribuzione di frequenza delle singole variabili X e Y detta distribuzione marginale La distribuzione marginale è la distribuzione univariata della variabile così come è vista nelle lezioni precedenti In questo contesto si chiama marginale perché si deduce dal margine della tavola di frequenze María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

18 Distribuzioni marginali In generale, la distribuzione marginale della prima variabile si rappresenta con dove il punto indica la somma su tutti i valori della seconda variabile lasciando fisso il valore i della prima tramite n i n j si rappresenta la distribuzione marginale de la seconda variabile e adesso il punto significa che sommiamo i valori della prima variabile María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

19 Esempio Esempio Fisher (1940) Distribuzione marginale occhi /capelli biondi rossi cast-chiaro cast-scuro neri Totale chiari azzurri castani scuri Totale Il totale delle persone analizzate è 5387 e tra queste solo 4 persone hanno i capelli neri e gli occhi chiari María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

20 Esempio: Distribuzione marginale colori degli occhi La distribuzione marginale dei colori degli occhi è rappresentata nella seguente tavola: x i f ij chiari 1580/5387=029 azzurri 718/5387=013 castani 1774/5387=033 scuri 1315/5387=024 María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

21 Esempio: Distribuzione marginale colori dei capelli La distribuzione marginale dei colori dei capelli è rappresentata nella seguente tavola: y j f(y j ) biondi 1455/5387=027 rossi 286/5387=005 cast-chiaro 2137/5387=040 cast-scuro 1391/5387=026 neri 118/5387=002 María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

22 Distribuzione de frequenze condizionale In molti casi ci interessa analizzare la frequenza relativa di una variabile quando ci restringiamo (o condizioniamo) a una delle modalità de l altra variabile Colori degli occhi per la gente che ha il capello biondo In questo esempio ci interessa calcolare le frequenze relative dei colori degli occhi condizionate ai capelli biondi occhi /capelli biondi rossi cast-chiaro cast-scuro neri Totale chiari azzurri castani scuri Totale María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

23 Distribuzione de frequenze condizionale Colori degli occhi per la gente che ha il capello biondo La distribuzione condizionata dei colori degli occhi condizionata a tuttte le persone bionde si calcola come: Colori occhi chiari azzurri castani scuri 688 tra i biondi 1455 = = = =007 Calcola la distribuzione condizionata dei colori degli occhi per le persone di capelli cast-scuro e per quelle di capelli neri María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

24 Diversi modi di leggere la tavola di contingenza Esistono tre modi diversi di leggere la tavola di contingenza: Frequenze congiunte: la proporzione di individui che presentano congiuntamente la modalità x i e la modalità y j : n ij /n Tali frequenze relative si ottengono dividendo per n tutti i valori della tabella, come avviamo visto Frequenza condizionate riga: la proporzione di individui che presentano la modalità y j tra quelli che presentano la modalità x i : n ij /n i Eseguendo la stessa operazione per tutte le J modalità si ottiene la distribuzione condizionata della variabile Y alla modalità x i, chiamata anche distribuzione condizionata riga o profilo riga della tavola Frequenza condizionate colonna: la proporzione di individui che presentano la modalità x i tra quelli che presentano la modalità y j : n ij /n j Eseguendo la stessa operazione per tutte le I modalità si ottiene la distribuzione condizionata della variabile X alla modalità y j, chiamata anche distribuzione condizionata colonna o profilo colonna della tavola María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

25 Esempio Distribuzione condizionata Calcolare la distribuzione del colore dei capelli condizionata agli occhi azzurri Qual è la proporzione di individui che avendo gli occhi azzurri hanno i capelli rossi? E quelli che hanno i capelli neri? Distribuzione relativa congiunta Calcola le frequenze relative congiunte per i dati di Fisher María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26

26 Esempio Distribuzione condizionata Calcola la distribuzione del colore dei capelli condizionata ai diversi colori degli occhi: chiari, azzurri, castani e scuri Calcola la distribuzione marginale del colore dei capelli Compara queste distribuzione tra loro Cosa si può dire? María Eugenia Castellanos (URJC) Descrittiva-Bivariata Marzo / 26